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초등부터 수능까지 단계 시기별 학습으로 수학역량 높여
프라이머리 수학전문학원(이하 프라이머리)은 최고의 최고를 위한 대치동 수학교육 전문가집단이다. 초등부터 수능 수학까지 단계별, 시기별 학습을 통해 수학 역량을 최대화하는 프라이머리만의 학습 시스템과 커리큘럼을 갖췄다. 입시에서 수학의 비중이 높아져 가는 현실 속에서 해마다 남다른 입시결과를 이루어내고 있는 프라이머리 전은실, 전영희 원장을 만나보았다.꾸준한 학습으로 고등수학 초석 다지는 초중등부중등특목반은 ‘수능 고득점’이라는 특수한 목적을 전략적으로 지향하면서 다차원 출제경향분석을 통한 학교별 내신대비를 철저히 한다. 전은실 원장은 “중등 시기에는 내신과 앞선 진도를 각각 다 잡아야 하고, 중등 학령기에는 다양한 학습이 이뤄져야 합니다. 중학교 6개 학기와 고등학교 7개 학기 모두를 잘 소화해내기 위해서 중등 시기에 절대적인 학습량이 필요하며, 시간과 인내심을 들여 이런 역량을 키워야 합니다”라고 말했다.특히 중등은 격동기이다 보니 학생들의 부침이 심하다. 전은실 원장은 “공부를 했다, 안했다 하는 이 시기를 꾸준한 학습을 통해 일부 극복할 수 있습니다. 미루는 학습이 아닌, 그날 설명을 듣고 유형과 연습문제를 풀고 확인학습까지 꾸준히 학습하면 이를 통해 성장하게 됩니다. 결국 고등부에 가서 내신과 수능에서 고득점을 올릴 수 있습니다”라고 말했다.프라이머리 초등영재반은 중등, 고등수학의 초석을 다지는 초등영재 특화프로그램이다. 전은실 원장은 “어린 학생들이 애로사항을 해결해가며 같이 공부해가도록 합니다. 제 학년 수학도 놓치지 않고 가도록 학기 중 단원별로 내용을 살펴보고, 앞서는 진도 또한 제대로 나갈 수 있도록 이끕니다”라고 말했다. 프라이머리 초등·중등 과정은 각각 12개 과정으로 구성됐다. 시중교재를 모두 망라했으며 잡다한 것은 제외했다. 모든 풀이과정은 쓰도록 하고 고등수학은 과제용 노트 있어서 문제풀이하면서 하나의 개념을 여러 번 반복하도록 한다. 서술형은 첨삭을 통해 확인한다.고교별 교과편제에 최적화된 고등부 커리큘럼프라이머리 고등부는 고교별 교과과정편제에 최적화된 커리큘럼으로 고교내신과 수능을 함께 대비한다. 고등부 전영희 원장은 “고1 반은 입시 변화 격동기인 현 중3들의 성공적인 대학입시를 위해 전략적으로 먼저 시작합니다. 고1 반은 현행과 앞서는 진도를 병행하면서 내신을 좀 더 강화한 커리큘럼입니다. 고2 반은 내신강화 커리큘럼에 수능이 들어옵니다. 내신과 수능 교과목은 별개의 과목이 아니라 같은 것이며 병행해야 합니다”라고 말했다.특히 “고2 이과 학생은 수1, 수2를 기본 베이스로 해서 확통, 기하, 미적을 다 하는 커리큘럼입니다. 내신대비를 통해 수능을 깊이 있게 공부하고, 기본 개념을 변형해 충분히 심화 유형화 된 것이 수능입니다. 따라서 내신을 버린다는 건 잘못된 생각입니다. 교과에 대한 충분한 이해가 곧 내신과 수능대비입니다”라고 말했다.프라이머리 고3 반은 수학을 가장 수학답게 강의하고 관리하는 고3 수능만점 프로그램으로 진행된다. 예비 고3 겨울방학까지가 시즌1, 6월 모평 전까지 시즌2, 9월 모평 전까지 시즌3, 그리고 9월 모평 후부터 수능까지 시즌4로 나누어 각각 시즌에 걸쳐 내신강화, 수능과 수시 준비에 힘쓴다.학습, 생활, 진로까지…학생 서포트 전략기획실프라이머리는 강사와 학생을 잇는 가교역할을 하는 전략기획실이 있다. 김찬혁 중등부 실장은 “전략기획실 중등부는 학생들을 전반적으로 체크합니다. 작은 틈도 생기지 않도록 학생들을 관찰하고 챙기면서 적재적소에서 보충, 보완하는 역할을 합니다. 특히 학생들과 친밀하게 지내면서 수학을 좋아할 수 있도록 돕고 아이들의 생활도 상담하면서 학원에 잘 다닐 수 있도록 돕습니다”라고 말했다.이형주 고등부 실장은 “전략기획실은 고1, 중3 학생들이 교과, 고교를 선택할 때 도움이 될 좋은 정보를 전달해서 선택을 돕습니다. 또 과제관리나 테스트 데이터를 보면서 미진한 부분을 체크하고 긍정적인 방향으로 유도하고, 특히 고등부는 과목이 많고 학교별 성향이 다 다르므로 특화된 교재를 강사들과 함께 준비합니다”라고 말했다.문의 02-572-5734, http://primarymath.co.kr/
2019-12-12
- “수학 콘텐츠 서비스 플랫폼 특허 출원!” 2013년 중계동 은행사거리로 확장 이전하면서 학부모이 관심이 집중되어 온 홍재룡수학학원은 올 겨울방학 수학콘텐츠 관련 새로운 특허 출원을 알렸다. ‘투위트스 IIWYST(If I Were Your School Teacher)에듀’라는 사이트에 수학오답 관리 및 피드백 기능을 탑재한 ‘수학 콘텐츠 서비스 플랫폼’을 특허 출원(출원번호 : 10-2019-0161415)했다. 이제 곧 오픈 예정인 이 플랫폼을 이용하면 학생들이 직접 회원 가입하여 수학 콘텐츠를 활용하거나 오답 교정 또는 피드백 받을 수 있다. 홍재룡수학학원만의 특화된 학습 시스템을 정리했다.홍재룡수학학원, 입시 성공의 사례# 이수종(가명, K공고 졸업, 연세대 전자공학과 진학)특성화고에서는 늘 전교1등이던 이수종 학생. 대학 진학을 목표로 고2 겨울 홍재룡수학학원을 찾았다. 그러나 첫 모의고사에서 3문제만 맞추고, log조차 읽지 못했다. 수종이는 특성화고의 부족한 수학과목의 경쟁력을 채우기 위해 홍재룡수학학원에서 고1, 고2 모든 강의에 참여하며 프로그램에 꾸준히 참여했다. 그해 수능에서 1등급을 받아냈고 특성화고 특별전형을 통해 연세대 전자공학과에 진학했다.# 박경서(가명, D고졸, 성균관대 반도체학부 진학)고교진학 후 심각하게 방황을 겪으면서 학습의 공백이 생겼던 경서. ‘in Seoul’ 대학만이라도 진학하겠다는 목표로 홍재룡수학학원을 찾았던 경서는 고2-2학기에 들어서며 학원에서 개설해놓은 개념 강의와 클리닉 수업에 빠짐없이 참석하며 무섭게 공부했다. 대입에서는 성균관대학교 반도체학부 진학에 성공했다.단일 학원 최초, 노원·중계지역 특화된 고교별 자체교재 완비 & 적중률 최상홍재룡수학학원은 2005년부터 단일 학원으로는 최초로 노원지역에 특화된 자체교재를 제작해왔으며, 그 수는 150권에 이른다. 시중 문제은행이 지역 차이, 난이도 분류에서 기준이 없는 반면 홍재룡수학학원의 교재는 노원 중계지역 학교의 기출 문제를 분석하여 만들어낸 내신대비 자체교재로 고교별로 내신시험에서 높은 적중률을 보이면서 지역 학생들에게 이미 소문이 자자하다. 홍 원장은 “난이도가 높은 노원 중계지역 고교 내신대비를 위해서 특화된 학교별 교재이다. 기존 기출문제와 특징을 분석하여 교재를 완성했으며, 등급별로 모든 학생들에게 유용하다.”라고 설명한다.이번에 특허 출원한 ‘수학콘텐츠 서비스 플랫폼’’은 학원 홈페이지와 연동되어 학생별 오답이 누적관리 되기 때문에 내신 혹은 모의고사 대비 오답만 집중적으로 공부할 수 있다.현행과 미리학습의 병행, 그 주에 배운 내용은 그 주에 완성!홍재룡수학학원의 중고등부 수업은 자기학년과 미리학습을 병행한다. 중등부는 주 3회 수업 중 자기학년 수업 2회, 미리학습 1회를 진행하고, 개념은 칠판 수업으로, 문제풀이는 1:1 밀착된 맞춤 관리가 이루어진다. 고등부는 주2회 수업으로 학기중에는 내신대비에 집중하고 방학기간 동안 학습진도를 앞서 나가는 방식으로 진행한다.또한 고등학생은 정규 수업이외에 토/일 중 1회 등원하여 ‘그 주에 배운 내용은 그 주에 완성’ 이라는 원칙으로 주 단위로 배운 내용에 대한 마무리 평가를 하고, 오답기능을 통해 학생별로 누적된 약점을 관리하는 클리닉 수업도 진행된다.또한 학생들의 예습을 적극 권장하며, 학원에서 자체 제작한 단원별 개념강의(소단원별 10분)도 제공하여 개념에 대한 예습관리도 지원한다.등급별 약점관리가 곧 성적상승의 요인홍재룡수학학원에서는 학생의 등급간 격차를 이겨낼 수 있는 약점관리도 진행한다. 1등급 학생은 문제를 읽고 이해한 다음 펜을 든다면 2~3등급 학생들은 펜을 들고 문제부터 풀기 시작하면서 고난도 심화문제 21, 29, 30번 문제 풀이에 실패한다. 홍 원장은 이때 가장 좋은 교재는 교과서라고 단언한다. “1등급 싸움은 독해력이지 선행력이 아니다. 2~3등급 학생들의 독해력을 키우는 가장 좋은 방법은 교과서의 각 단원별 마지막 페이지의 창의력 문제를 푸는 것이다. 우리 학원에서는 이를 교재로 제작하여 지문을 읽어내는 능력을 키우는 데 활용하고 있다. 라고 강조하며 “4~5등급 학생들은 학습량을 늘리고 개념학습에는 개념집의 유형별 문제를 추천한다.”고 덧붙였다.문의 : 홍재룡수학학원 02-949-9216 2019-12-12
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왕도가 없는 수학 성적, 시간 투자와 비례
중·고등학생들의 시간은 초속으로 달리듯 눈 깜짝하는 사이에 지나간다. 12월 기말고사를 마치면 바로 겨울방학에 접어들고 방학이 끝나면 신학기가 시작되면서 대입의 첫 단추 1학기 중간고사와 맞닥뜨리게 된다. 정말 듣기만 해도 부담스러운 이야기다. 하지만 많이 부담스럽고 지독히 고생스러운 길을 선택한 학생만이 성적을 올릴 수 있는 것은 엄연한 현실이다. 그런데 공부를 잘하고 싶지 않은 학생은 없다. 이럴 때 필요한 것이 전문가의 조력과 그것을 뒷받침해줄 공간이지 않을까. 그래서 들어봤다. 안산에서 15년 동안 장수하고 있는 ‘수학사랑’에서 권오봉 대표 원장이 전하는 수학공부 TIP이다.TIP1. 수학적 개념과 원리를 깊게 공부하라개념과 원리가 빠진 진도 빼기가 무슨 의미가 있을까. 권 원장은 “수학은 개념과 원리다. 정확한 이해 없이 무조건 진도만 나가는 얕은 공부는 그래서 위험하다. 시간을 충분히 할애해서 모든 단원의 수학적 개념과 원리를 파악하는 깊은 공부를 해야 한다. 이것은 중·고생 모두에게 해당된다”라고 말한다. 비근한 예로 진도에 급급했던 공부는 고등수학 앞에서 기초가 없는 모래성과 같다는 것. 더욱이 중·고등학교 수학이 계통으로 이어지는 만큼 처음 기초 개념을 탄탄히 잡아가는 것은 일이다. 한편 권 원장은 여러 단원 중에 특히 중요한 단원을 ‘함수’로 들었다. 함수는 처음 중1때 접해서 직선, 2차 함수, 방정식, 미적분으로 이어지면서 고등과정이 끝날 때 까지 배운다. 결국 개념파악이 안되면 미적분은 놓친다는 이야기가 된다.TIP2. 2:2:1 원칙으로 내신과 수능 모두 잡아라수학에는 쉬운 길이 없단다. 공부한 시간만큼 고민한 시간만큼 실력이 되고 노력은 배신하지 않는다는 말은 수학에 해당한다. 권 원장은 문제풀이 방법으로 ‘2:2:1 원칙’을 제시한다. 스스로 문제를 풀 때 2문제는 정확히 아는 문제로 2문제는 아주 많이 고민해야 풀 수 있는 문제로 그리고 1문제는 보통의 어려운 문제로 난이도를 구성해서 풀어보는 방법이다. 수학에 흥미를 높임과 동시에 자신감도 올려줄 수 있는 방법인데 이렇게 5문제 풀기를 매일매일 실천해보길 추천했다. 지켜내기만 한다면 실력향상은 무조건 덤으로 받는단다. 여기서 잊지 말아야할 중요한 한 가지가 있다. 학교 내신공부에만 매진하지 말라는 것인데 내신대비와 수능 기출문제 공부는 언제나 함께 진행해야 한다. 그래야 대입의 문을 열수 있단다.TIP3. 성실과 무기력 중 무엇을 장착하고 있나권 원장에게는 세월만큼 제자들도 많다. 그 중에 수학점수 17점으로 학원을 찾은 학생의 이야기를 했다. 한마디로 수학 낙제자다. 하지만 무기 하나는 장착하고 온 학생이었단다. 바로 성실함. 매일 권 원장이 이끄는 데로 제일 쉬운 기초문제부터 꾸준히 풀었다. 권 원장은 말한다. “카이스트에 합격한 1등부터 꼴찌까지 가르쳐 봤다. 가장 힘든 학생은 하기 싫어하는 학생이다. 하지만 처음 성적은 나빠도 성실히 따라오는 학생은 승산이 있다. 이번 기말고사 70점 이상 받을 것이라 기대한다. 수학이란 이런 것이다. 본인이 하고자하는 의지가 TIP중에 TIP이고 카드 중에 히든카드이다.”마지막은 권 원장이 건네는 애정 섞인 조언이다. “내신은 전쟁을 치루는 것처럼 매순간 임해야 한다. 고1부터 3학년 1학기까지 보는 10번의 시험이 본인이 갈 대학을 결정하는 열쇠다. 어떤 의미에서는 고1 첫 시험이 가장 중요하다. 일부 학생은 ‘1학년 첫 성적을 보면 전 학년의 성적을 알 수 있다’는 말을 듣고 첫 점수가 자신의 모든 점수라고 오판하고 학업의 선택을 달리하기 때문이다. 그 말에 얽매이지 말고 대신 첫 시험을 승리로 이끌 각오를 해보자. 상대의 전략에 완벽하게 대비하고 체계적인 방어책을 마련하면서 전쟁 때마다 승리할 전술을 다지는 데 집중하길 응원한다.”
2019-12-12
- 정시? 수시? 나에게 맞는 전형은? 해마다 달라지는 교육정책에 골머리를 썩는건 아이를 가진 부모님이라면 모두 마찬가지일 것이다. 전 세계를 통틀어 교육정책을 손바닥 뒤집듯 쉽게 뒤집는 나라는 한국밖에 없다고 할 정도로 안타까운 현실이다. 게다가 모든 정책의 기준이 대한민국의 수도 ‘서울’의 기준이니, 그 밖의 중소도시에 사는 사람들은 바뀐 이 정책의 대안법이라고 쏟아져 나오는 정보들이 진짜 신빙성 있는 것인지도 헷갈린다.과거엔 어땠었지?현재 발표된 수시:정시 비율과 비슷했던 2010학년도에 내가 어떻게 고3 아이들 입시전략을 세웠었는지 돌이켜 생각해 보았다. 결론은 수시였다. 안산에서 본인이 희망하는 대학을 들어가기 위해 정시전략을 짰을 때 성공할 확률이 수시보다는 낮았었다. 아무리 거의 수시와 정시가 5:5의 비율이어도, 서울에서 각종 학원과 사교육 무기를 들고 있던 학생들과 정시로 싸워 이기기는 쉽지 않았다.그래서 수능은 준비하지 말라고?그것은 아니다. 왜냐하면 수능 최저 점수를 맞춰야 하기 때문이다. 올해 고려대학교를 기준으로 수능최저등급은 국,영,수,사/과탐(2과목 평균) 중 3과목을 합하여 6등급이었다. 이걸 왜 못맞추냐고 묻는 사람에게 꿀밤을 한방 먹이고 싶다. 재학생들은 고 3때 배우는 교육과정과 수능과목에 차이가 있다. 학교 교육과정과 별개로 수능을 준비하는 아이들은 현실적으로 시간이 턱없이 부족하다. 한 학기에 2번씩의 정기고사와 20여개의 수행평가, 동아리 활동, 자율동아리 활동등을 하며 수능 과목을 챙기는 것은 굉장히 힘든일이다. 현재 초,중등 부모님이라면 이해가 안가겠지만, 고등학생 자녀를 둔 부모님들은 고개를 끄덕일 거라고 생각한다.게다가, 수학은 이제 유형문제가 아니다!현 고1학년들부터는 문/이과가 통합되어 수능 수학시험이 치러진다. 이미 현고2들의 수학 내신은 문,이과 없이 통합으로 매겨지고 있고, 이것은 사회계열을 전공할 아이들의 수학 내신이 과학계열을 전공할 아이들의 베이스를 깔아주는 비극적인 상황을 야기했다. 반복되는 유형문제 학습으로 킬러문제 외에는 문제 풀이가 가능했던 시대가 떠나가고 있다. 이과 수학 천재들과 같이 등급을 매겨야 하는 상황이 된 것이다. 올해 불수능을 이끈 수학이 절대 쉬워질 수가 없다는 전망이다. 결국 또다시 수포자 양성의 시대로 돌아가는 것은 아닌가 하는 우려가 든다.수시는 안산 고등학생들에게는 무기이다.그럼 안산에선 어떻게 하면 될까? 현재와 같이 하면 된다. 종전과 마찬가지로 내신/수능준비를 최선을 다하며 된다. 만일 여기가 서울이라면 정시확대에 쌍수를 들고 환영하며 이제 수능의 시대! 라고 현수막을 걸겠지만, 우리는 안산시민이다. 수시라는 것은 우리에게 무기일 수 있다. 그 무기를 현명하게 변화무쌍하게 잘 쓰면 우리 아이들이 원하는 학교에 충분히 들어갈 수 있을 것이다.종로엠스쿨 안산중앙김정임 원장031-481-9877 2019-12-12
- 선행보다 심화가 수학내공 키운다 수능수학 준비는 언제부터 해야 할까? 수능 준비는 빠를수록 좋다는 입시전문가. 이 때문에 수능점수가 높은 교육특구에서는 고등학교 입학부터 수능을 준비하는 프로그램이 운영된다. 하지만 수시 진학비율이 높은 안산지역 상황은 좀 다르다. 이르면 고2, 늦으면 고3 여름방학이 되어서야 수능을 준비하는 학생들도 적지 않다. 최근 정시비중을 확대한다는 방침에 따라 수시 중심이었던 안산지역 학생들과 학부모들의 우려가 커지고 있다. 수능 어떻게 대비해야 할까? 고교생 대상 주 1회 모의고사 정시대비 상시프로그램을 운영 중인 케이매쓰학원. 수능실력을 높여 대입에 좋은 성과를 내고 있는 케이매쓰학원 신현웅 원장을 만나 정시대비 수능수학 공부법을 알아봤다.예비 고1, 선행보다 중등 심화로 복습흔히 내신과 수능 공부를 비교할 때 내신은 성적 향상이 비교적 쉬운 반면 수능 성적은 올리기 쉽지 않다고 말한다. 그 이유는 뭘까? 신현웅 원장은 “가장 큰 차이는 내신은 범위가 정해져 있고 몇 가지 유형의 문제풀이 방법을 알면 성적을 낼 수 있다. 하지만 수능은 전 범위에서 나오기 때문에 문제를 접했을 때 무엇을 묻는 질문인지 알아내는 것부터 막히기 쉽다. 이 때문에 수능을 준비하는데는 시간이 많이 걸린다”고 말한다.어떤 분야의 문제인지, 문제를 풀기 위해 내가 알고 있는 어떤 수학적 지식을 동원해야 하는지 알아내는 것이 수능 수학문제 풀이의 핵심이다. 이런 문제 풀이에 익숙해지기 위해서는 지나친 선행으로 문제 푸는 방법만 익히고 넘어가는 공부법이 아니라 심화문제를 풀어낼 수 있는 사고력을 키우는 공부법이 더 중요하다.신 원장은 “일찍 선행을 한 친구나, 제 때 공부한 친구나 고등학교 2학년 되면 실력이 비슷해진다. 그러니 지나치게 선행에 매달리기보다 심화 문제를 접하면서 풀어보는 것이 정말 중요하다”고 말한다.수능 성적 오르기 어렵지만 단단해수능성적은 오르기 어렵지만 한번 오른 점수는 쉽게 내려가지 않을 정도로 단단한 것도 특징이다. 신 원장은 “매주 시험을 보는데 신기하게도 학생이 맞는 모의고사 점수는 거의 비슷하다. 모의고사 시험은 성적변화의 폭이 10점대 내외다. 한 6개월 정도 열심히 모의고사 문제를 풀고 오답노트를 정리하다보면 2~3점이 오른다. 학생이 한 문제 정도를 더 맞출 수 있는 실력이 쌓였다는 말이다. 이렇게 오른 점수는 쉽게 안 내려간다”고 말한다.케이매쓰 학원은 고등학생을 대상으로 매주 1회 모의고사 시험과 문제오답노트 작성 과정을 진행한다. 주중에는 중학생을 위한 수업이 주말에는 고등학생 수업이 진행된다. 고등수업은 단원에 대한 개념학습이 1시간, 모의고사, 문제풀이, 오답노트 작성으로 이뤄져있다. 개념수업은 신 원장이, 문제풀이는 부 원장이 전담한다.수학전공자의 개념 설명 깊이가 다르다캐이매쓰학원의 가장 큰 특징은 원장과 부원장 모두 수학교육을 전공했다는 점이다. 단순히 문제를 잘 푸는 것을 넘어서 수학적 의미와 단원별 연관성 등 개념의 핵심 원리를 설명할 수 있다는 것이 바로 전공자의 장점이다. 신 원장은 “개념이란 단순한 공식을 설명해주는 것에 그치지 말아야 한다. 내가 배우는 이 수학적 원리가 문제를 해결하는 도구가 되는 것이다. 이 도구가 어떤 고민과정을 통해 만들어졌는지 알면 이 도구로 해결하는 문제들도 알게 된다”고 말한다. 2019-12-12
- 2020대입 수능 수학 문항 분석 - 개념과 원리로 하는 수학공부 2020학년도 수능성적 결과가 지난 12월 4일에 발표되었다.올해 수능시험에서 가형, 나형 모두 어려웠던 수학 과목[만점자 표준점수: 가형 134점(1점↑), 나형 149점(10점↑)]이 입시의 중요변수가 되겠지만 킬러문항이 사라진 수학 가형의 만점자 수가 지난해의 655명에서 올해 893명으로 늘어나 최상위권의 경쟁은 더욱 치열해졌다고 볼 수 있다.이러한 출제경향의 변화에 맞추어 간다면 수능수학은 킬러문항으로 최상위권을 변별해내는 시험에서 개념과 원리에 충실하게 공부한 상위권 학생들의 만점도전의 장으로 바뀌어갈 것으로 보인다.그렇다면 개념과 원리에 충실한 수학공부는 어떻게 해야 하는 걸까?개념과 원리를 이해하며 수학을 공부할 때의 몇 가지 특징적인 변화를 열거해 보면 다음과 같다.첫째, 수에 대한 이해는 문자와 식(다항식, 유리식, 무리식 등)을 공부하면서 점점 더 깊어진다.예를 들어 보면, 나형 26번(미적분Ⅰ_정적분과 넓이)을 보라.함수 는 절댓값을 포함한 식으로 되어 있다.절댓값을 포함한 식의 계산은 범위를 나누어주어야 하므로 불편하지만 사실 절댓값이 더 쉽고 본질적인 개념이다.실수는 양수, 0, 음수로 분류할 수 있다. 이때 0은 양수와 음수의 경계가 된다.하지만 실생활에서 수에 대한 개념은 부호를 떼어 놓고 생각하는 게 더 일반적이다.또 가형 18번(확률과 통계_정규분포의 성질)을 보라.부등식 의 의미는 다음 그림과 같다.20은 ㉠의 범위 내에 있어야 한다. 이것을 식으로 표현하면?절댓값 기호는 이렇게 개념적이고 직관적으로 해석될 수 있다.둘째로, 수학 문제를 풀 때 ‘풀이 방향’부터 고민한다. (왜 그렇게 푸는가에 대한 의문을 갖는다.)교육과정에 따른 개념 학습은 풀이 방향을 유도한다는 것에 유념하자.가형 20번(확률과 통계_독립시행의 확률)을 보라.집합은 확률과 통계에서는 사건이 된다. 주어진 사건을 벤 다이어그램을 그려 알아볼 수 있다.나형 29번(확률과 통계_중복조합)도 마찬가지로 벤 다이어그램을 그려서 풀이방향을 잡을 수 있다.나형 21번(수학Ⅱ_수열의 귀납적 정의) 은 어떤가.수열은 정의역이 자연수인 함수이므로 함수 기호로 바꾸어 생각하는 것도 좋은 방법이 될 것이다.셋째로, 초,중,고 수학의 계통성을 이해하여 그동안의 학습으로 축적된 문제 풀이 실력을 발휘할 수 있다.다음은 나형 17번(수학Ⅱ_로그의 성질)의 풀이법을 연계 맵으로 제시해 보겠다. (2015개정 교육과정)중학교 학습에서 제곱수의 약수의 개수는 홀수 개임을 배웠다면 이것을 로그계산에 접목시켜 답을 구하도록 유도하는 문항이다.네번째, 시야가 확 트인다.(어려운 수학문제는 대부분 경계가 숨어 있다. 숨겨진 경계를 찾는 것이 수학의 안목을 키우는 방법임을 알자.)가형 21번(미적분Ⅰ_정적분과 넓이)을 보라.가형 30번(미적분Ⅱ_도함수의 활용)을 보라.킬러문항이 아닌 이유는 경계가 문제 속에 드러나 있기 때문이다. 경계 부분에 대한 계산만 잘해주면 된다.음함수의 미분법과 매개변수를 이용한 미분법의 개념이 정말 중요한 문항이다. 나형 30번(미적분Ⅰ_다항함수의 미분법)도 마찬가지이다.문제 속의 두 경계를 이용하여 식으로 풀어낼 수 있어야 한다.수학공부는 문제풀이가 끝이 되면 안된다. 다시 정리해보고 성찰하는 단계가 반드시 필요하다.그렇게 할 때 좌절 또는 혼란스러움에 대한 경험을 긍정으로 바꾸어갈 수 있게 된다.올해 수능이 2009개정 교육과정의 마지막이다. 하지만 2021학년도 수능의 예고편을 보듯이 기출문제를 철저히 분석해 보면 좋을 것이다. 기하와 벡터 과목만 빼고 나면 수능수학의 출제경향은 그대로 이어질 것이 분명하기 때문이다.고등부 수학전문학원 목동수학클래스이소이 원장문의 010-5820-6010 2019-12-12
- “수학 점수 오르지 않는다면? 학원 시스템부터 점검해야죠” 수학의 막강한 영향력은 올해 수능에서도 여실히 드러났다. 특히 수학 나형 표준점수는 149점으로 지난해보다 10점이나 상승해, 수학이 당락을 가르는 최대 변수로 떠올랐다. 이렇듯 수학의 중요성은 누구나 알지만 어떻게 공부해야 할지 막막한 현실 속에서 포갬교육 <수학을 읽는다> 강세권 본부장을 만나 ‘수학 점수가 오르지 않는 학생을 위한 조언’을 들어봤다.Q. 한국교육과정평가원이 밝힌 ‘2020학년도 수능 채점 결과’ 탓인지, 고교 진학을 앞둔 중3 및 고1, 고2 학생과 학부모들의 고민이 깊다. 수학 영역의 입시 변수 때문인 듯하다. “주변에서도 그런 얘기를 많이 들었다. 심지어 이번 겨울방학 때 어떤 수학 학원을 선택해야 할지 묻는 학부모도 있었다. 비단 올해 수능뿐 아니라 중간고사, 기말고사, 혹은 모의고사가 끝나고 수학 성적이 나오면 학부모님들은 ‘학원을 옮기는 시기’라고 생각할 정도다. 문제는 대다수 학부모님이 막연하게 ‘학원이 못 가르치기 때문에 아이의 수학 성적이 낮다’라고 생각하는 경향이 있다는 점이다. 가장 중요한 건 그 학원의 수학 학습 시스템인데도 말이다.”Q. 수학 학습 시스템이란 무엇을 말하나? 학생들을 관리하는 방식을 말하나? 아니면 대형학원, 중소형 학원, 소수정예 학원, 관리형 학원 등 학원의 형태를 말하는 것인가?“학생이 수학의 기본 개념부터 탄탄하게 다져나가는 학습 환경을 총체적으로 포함한다. 2020학년도 수능 수학 영역 출제 경향을 보면 정확한 개념 이해가 없이는 풀 수 없는 문제들이 다수 출제되었다. 유형문제 풀이에만 매달려온 중하위권 학생들이 수능에서 무너질 수밖에 없는 이유이기도 하다. 깊이 있는 ‘개념 학습’을 중심으로 공부해나가는 수학 학습 시스템을 살피는 것이 학원 선택에서 가장 중요하다.”Q. 개념 학습을 내세우는 수학 학원들은 많은데, 어떤 차이가 있을까? “시중에 개념서는 많고, 개념을 가르치는 수학 학원도 많다. 대부분 공식처럼 정리된 내용을 언급하며 개념을 외우라거나 혹은 이 문제는 이런 개념이 적용된 문제니까 이 단원의 개념을 잘 익혀두라는 식으로 학생들을 가르친다. 상위권 학생들은 별 문제가 안 되지만, 중하위권 학생들은 개념이 만들어지는 과정을 차근차근 설명해주지 않으면 이해하기 어렵다. 개념에 접근하는 방식, 개념을 깊이 있게 익히는 수학 학습 시스템이 중요하다는 의미다.”Q. 이해를 돕기 위해 개념을 익히는 수학 학습 시스템을 예시로 설명해 달라.“포갬교육 <수학을 읽는다> 프로그램을 예로 들면 ①개념서를 읽고 ②부족한 부분을 인강으로 채우고 ③서울대생의 개념 적용 방법을 담은 온라인 해설서를 읽은 후 ④스스로 문제를 풀어보는 4가지 학습 시스템을 기반으로 한다. 중하위권 학생 대다수가 개념이 만들어지는 과정에 대한 이해 없이 무조건 유형문제 풀이에만 매달리다 보니, 올해 수능처럼 조금만 어렵게 출제되어도 무너지는 것이다. ‘수학을 읽는다’ 개념서처럼 기본 개념과 공식과의 관계를 알아야 완벽한 개념 이해가 가능하다는 것이 개념 학습시스템의 핵심이다.”Q. 하지만 학원은 여러 명의 학생이 함께 수업을 받다 보니, 개념이 만들어지는 과정을 일일이 설명하면서 진도를 나가기란 현실적으로 시간과 환경의 제약이 따른다.“그래서 입시 실적을 강조하는 학원 대부분이 테스트를 통해 상위권 학생만 모집하는 것이다. 또, 수준별 수업을 하는 학원이라도 중하위권 레벨 반의 경우 간단하게 개념을 설명하고, 수준에 맞는 문제를 풀게 하고, 틀린 문제를 다시 풀게 하거나 비슷한 유형의 문제를 대거 숙제로 내준다. 혹은 시중의 개념서를 보고 문제를 다시 풀어보라고 한다. 아이러니하게도 학부모님들조차 숙제를 많이 내주는 학원이 ‘아이들을 공부하게 만드는 학원’이라고 믿는다. 하지만 이렇게 공부해서는 아무리 오랫동안 학원에 다녀도 수학 점수가 오르기 어렵다.”Q. 학원 입장에서도 개념 중심의 수업에 한계가 있을 텐데, 그렇다면 학부모들의 깊이 있는 개념 학습 시스템을 갖춘 학원을 어떻게 찾을 수 있나?“<수학을 읽는다> 프로그램을 개발한 취지는 ‘중상위권 학생들이 간략한 몇 줄의 개념이 아닌 그 안에 숨은 의미를 알게 하자’는 것과 ‘기존 수학 학원에서 수업 중 시간이 부족해 표현하기 힘들었던 부분을 정확하게 표현하여 학습자들을 위한 교육 시스템을 제공하자’는 것에서 출발한다. 학원의 입장에서 보면 아무리 관리를 잘한다고 해도 사실상 모든 학생을 케어할 수는 없다. 하지만 깊이 있는 개념 중심의 <수학을 읽는다> 4단계 학습 시스템의 장점을 학원 프로세스에 합친다면 중하위권 학생을 상위권으로 끌어올릴 수 있다. 솔직히 잘하는 학생을 데리고 성과를 내는 것보다, 잘 못 했던 학생을 데리고 성과를 내는 것이 훨씬 더 드라마틱하지 않은가?”Q. 포갬교육 <수학을 읽는다> 가맹점(가맹 학원)이 늘고 있다던데, 그 현황이 궁금하다. “학생들을 위해 꼭 필요한 프로그램인 것을 많은 분들에게 설명하고 있으며 가맹점의 숫자를 말하기보다는 <수학을 읽는다>의 개념 학습 시스템을 도입한 학원이 더욱 확대되어 12월 말에는 전국 어디서든지 만날 수 있도록 임직원 모두가 최선을 다하고 있다. 우리의 목표는 전국의 중하위권 학생들과 수학을 어려워하는 고등학생들이 개념을 힘들어하지 않고 개념의 숨은 의미까지 쉽게 이해할 수 있는 시스템으로 어디에서든지 만날 수 있기를 바란다.” 2019-12-11
- “수학 도대체 잘하는 방법이 있을까? ” _ 2편 심화문제가 어려운 이유는 계산과정이 복잡한 것도 있지만 한 문제에 최소 ~개의 개념 및 원리가 섞여 복합적인 경우가 많다. 그런 문제들을 잘 풀고 싶다면 “틀리는 것”을 두려워 하지 말고 자꾸 도전해야 한다. 학생들이 어차피 공부해도 틀릴 것이라고 생각하고 고3 때 그런 문제를 풀어보면 된다고 미루는 경우들이 많다.이는 잘못된 생각이다.심화 문제를 풀고 오답, 분석하는 과정에서 얻어지는 “다른 문제들이 쉽게 느껴지는 놀라운 효과”도 좋지만 일단 자꾸 친해져야 나중에 정복할 수 있다. 물론 제대로 걷지도 못하는데 뛰라는 것은 아니다. 자신의 수학 실력에 맞게 심화 문제를 적당히 섞어서 공부하는 것이 중요하다는 말이다.셋째, 어려운 문제를 잘 풀고 수학 실력이 높다고 수학 점수가 높은 것은 아니다.어떻게 보면 첫 번째와 모순되는 말이 아니냐고 생각하지만 거의 실력이 비슷한 두 학생의 실제 점수가 점이나 차이나는 것이 자주 일어난다. 소위“실전에 강한 학생”과 실전에서 실수하거나 시간 조절을 못 하는 학생의 차이다. 물론 넓은 의미에서 “실력의 차이”라고 할 수도 있지만 나는 공부 습관의 차이라고 말한다. 평상시에 긴장 없이 편하게 수학문제를 푸는 습관은 매우 위험하다. “연습은 실전처럼, 실전은 연습처럼”이라는 스포츠에 많이 나오는 문구가 다른 과목보다 실수가 많은 수학시험에서는 그대로 적용될 수 있다.넷째, 아무리 좋은 공부 방법이 있더라도 공부하는 학생의 의지와 행동력이 없으면 의미가 없다. 이것이 가장 중요한 요소라고 할 수 있다. 그 많은 다이어트의 방법들이 있지만 결국 다이어트에 성공하는 사람들은 그 다이어트의 방법이 좋아서가 아니라 다이어트를 하는 사람의 의지가 강해서라고 생각한다.즉 “동기 부여 → 계획 → 지속적인 실천”이 중요하다. 내가 왜 수학 공부를 해야 하며 어떤 계획으로 꾸준히 열심히 할 지를 정하고 지속적인 실천을 한다면 분명히 좋은 결과를 얻을 것이라고 확신한다.평촌 설연고김동현 대표원장 2019-11-11
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개념부터 사고력까지, 내신잡고 수능기초 다진다
중학교에서는 나름 우수한 성적이라고 자부했던 학생들이 고등학교에 와서 확연히 달라진 내신등급을 받고 쉽게 좌절하는 경우를 보게 된다. 특히 수학은 학생들이 힘들어 하는 과목으로 학생들 간의 격차도 클 뿐 아니라, 단기간에 성적을 올리기 쉽지 않은 과목이다. 어떻게 하면 수학이 대학진학에 걸림돌이 되지 않고 든든한 전략과목이 될 수 있을지 카이스트, 고려대 수학(교육)과 출신 고등수학 전문가의 차원이 다른 수업으로 입소문을 타고 있는 유파수학 박주홍 원장에게 조언을 구해봤다.중학수학에서 벗어나라! 고등학교는 9등급 상대평가로 중학교 시절 절대평가와는 체감하는 등급자체가 다르다. 그래서 많은 학생들이 성적과 등급하락으로 위축되곤 한다. 이에 대해 박 원장은 “특히 수학은 중학과정 대비 3배 가까운 양과 어려워진 내용으로 인해 더 이상 중학교 때처럼 유형만 외워서 문제만 많이 푸는 방식으로 공부해서는 높은 점수를 받기 힘들 뿐 아니라, 고등수학에 대한 이해 없이 선행에 급급한 나머지 잘못된 공부습관을 지속한다면 노력대비 낮은 성적을 받는 일이 반복될 것이고 결국 수포자 될 것”이라며 “중학수학에서 벗어나라”고 조언한다.고등수학의 핵심은 사고력!대치동과 목동 일대에서 수년간 강의 경험을 가진 박 원장에 따르면 선행여부는 고등수학에서 크게 중요하지 않다고 한다. 선행진도가 많이 나갔다고 자신하는 학생 상당수는 학원 테스트에서조차 기본문제도 제대로 풀지 못하는 경우가 많다고. “고등수학은 무엇보다 수학을 다양한 시각으로 바라보며 사고하는 능력을 키워야 어떤 문제가 나와도 해결할 수 있는 문제해결능력을 키울 수 있으며, 그러기 위해서는 개념부터 제대로 파악하고 개념을 문제에 적용해 스스로 해결할 수 있게 하는 데 초점을 맞추어야 한다”고 거듭 강조했다.이제 레이스는 시작되었다!고등학교 입학과 동시에 대학입시를 위한 레이스가 시작된다고 해도 과언이 아니다. 한 순간의 방심도, 한 순간의 좌절도 용납되지 않는다. 박 원장은 “대학입시라는 레이스에서 기꺼이 학생들의 페이스메이커가 되어 학생들 한 명 한 명이 좋은 결과를 위해 보다 철저하게 계획하고 세심하게 케어하고 있다”고 자신 있게 말했다.진도는 체계적으로, 피드백은 전략적으로!유파수학은 1학기 개학 전까지 1년 과정을 처음부터 다시 배운다는 생각으로 기본 개념부터 꼼꼼하게 가르치고, 문제풀이까지 제대로 잡아주며, 학기 중에는 제 학년 복습 및 심화를 3회 반복하여 1학기에 치르는 중간고사 대비까지 될 수 있도록 체계적이며 세심하게 접근한다. 시험대비기간에는 학교 기출문제 분석 자료를 바탕으로 출제경향에 맞게 철저하게 준비하기 때문에 내신 성적이 잘 나올 수밖에 없다고.또한 시험이 끝난 이후에는 상담을 통해 학생들과의 소통도 잊지 않으며 함께 시험결과를 분석하고 앞으로 계획을 세우며 꾸준하게 학습동기를 부여하고 있다. 박 원장은 “시험성적이 좋지 못하면 속상하고 좌절하기도 하고, 많은 학생들이 결과 위주의 평가방식으로 인해 자존감이 낮아지기 쉽다”며 “학생의 장점을 인지시키고 칭찬과 격려로 자존감을 회복하도록 도와주는 것이 필요하다”는 말도 잊지 않았다.박 원장은 물론, 유파수학학원의 강사진들은 모두 카이스트와 고려대 수학(교육)과 출신의 고등수학 전문가들이다. 이들은 탁월한 실력으로 학생들에게 차원이 다른 수업으로 방향성을 제시할 뿐 아니라, 따뜻한 격려로 자존감을 회복시켜 신뢰와 교감을 쌓고 있다. 박원장은 “이런 이유로 오랜 기간 재원하는 학생들이 많고 해마다 입시결과도 좋다”고 자부한다. 누구보다 고등수학을 잘 가르칠 수 있다고 자신하는 그들에게 고등수학 믿고 맡겨보는 것도 좋을 듯하다.고등수학 전문 유파수학에서는 내년 3월부터 1,2학년 학생을 위한 클리닉수업을 개설하여 주간테스트, 진도체크 및 학부모피드백 등의 꼼꼼한 관리를 통해 학생들의 학습성과를 높일 수 있도록 할 예정이다. 고등학교 수학 제대로 한번 해 보고 싶다면 고등수학 전문가인 유파수학에서 진정한 멘토를 만나는 것에서부터 시작해보자.
2019-12-11
- 인터뷰 - <수학공부의 재구성> 저자 민경우 소장 초등부터 엄청난 시간과 비용을 수학에 쏟아 붓지만 원하는 성적을 보장받기는커녕 오히려 수포자가 점점 늘어가고 있다. 이런 안타까운 현실에서 <수학공부의 재구성>이라는 책으로 화제가 되고 있는 민경우 소장이 지난 11월 분당 서현동에 ‘하이퍼미래교육’을 오픈했다. “중・고등 수학의 6년 과정을 핵심을 중심으로 재구성함으로써 중학교 때 수능 수준의 수학을 빠르게 완성할 수 있다”는 민경우 소장을 만나보았다.아이들에 맞게 수학 공부를 재구성하는 것이 절실하다서울대 의대를 들어갈 만큼 수학·과학을 좋아했고 수학을 10년 넘게 가르쳤던 민경우 소장은 21세기 중고등학생의 수학 교과서가 아직도 40년 전과 비슷한 구성이라는 것에 놀랐다. “지적 수준과 학습 배경이 과거에 비해 상당히 높아졌음에도 불구하고 아직도 예전 수학 교육의 구성을 그대로 답습하고 있다는 것이 상식적으로 이해되지 않았습니다”라며 수학 공부의 재구성이라는 ‘발상의 전환’을 떠올린 계기를 털어놓았다.“현재 수학 학습의 현실적인 목표인 수능에 맞게 중・고등 수학 6년 과정을 재설계하기로 마음먹고 교과서를 살펴보니, 가장 먼저 여러 과정이 어지럽게 편제되어 있다는 것을 발견했습니다. 그래서 함수와 미적분을 중심으로 쓸데없는 부분을 과감히 생략하고 연관된 영역을 묶는 재구성으로 현대 과학과 고급 수학으로 빠르게 진입하는 길을 만들었습니다”라며 실제 초등학교 4, 5학년에게 지수 루트 로그 기본 과정을 설명해보니 충분히 이해하고 받아들이는 아이들이 많다는 것을 확인했다고 했다.초등 5학년도 지수, 루트, 로그부터 배운다수능에서 가장 어렵다는 미적분을 초등 고학년이 쉽고 재미있게 배울 수 있다고 말하는 민 소장은 지난 3년간 지도한 학생들의 사례와 근거를 들어 증명했다. 우선 미적분 중심으로 수학 공부를 재구성한 이유는 현 수학 교과서 자체가 이미 미적분을 중심으로 설계되어 있지만, 너무 복잡하고 어려운 학습 과정으로 구성되어, 많은 학생들이 이공계열 진학이나 수학 자체를 포기하는 것이 안타까웠기 때문이라고 역설했다.“기존의 학교와 학원의 공부 방법이 내 자녀의 수학 실력을 올려주었는가를 냉정히 생각해 봐야 합니다. 중2 때 정석을 2~3번 학습했지만 실력이 오르지 않았다면 분명 공부 방법에 문제가 있는 것입니다. 수능 고득점이라는 목표에 맞게 무엇을, 어떻게 공부할지 가늠하고, 연관된 영역을 묶어 핵심만 빠르게 공부하면 길고 지루한 교과 과정을 상당 부분 압축할 수 있고, 그러면 초등 고학년과 중학생도 충분히 고등 수학을 이해하고 스스로 문제를 풀 수 있습니다.”최단경로 교재와 1:1 온라인 대면 학습으로 수능 수학 지름길 제시이미 새로운 학습법에 공감한 학부모들에게 확실한 결과로 믿음을 주고 있는 민 소장은 새롭고 효과적인 미적분 커리큘럼을 제안한다. 먼저 ‘수학 공부의 재구성 실천편’에 해당하는 교재 ‘미적분으로 가는 최단경로’ 1권이 12월에 출간된다. 미적분의 기본, 완성, 심화, 미적분+α 전 4권으로 구성된 교재는 각권마다 생각의 맛 동영상(개념)과 손맛 동영상(연습)을 첨부해 학생 스스로 공부할 수 있도록 할 계획이다.뿐만 아니라 학생 개개인이 개념을 정확히 이해하는 데 초점을 두고, 수준별로 선별한 문제를 풀게 하여 단기간에 실력을 이끌어내는 맞춤형 집중 수업인 주 1회 30분 온라인 대면 학습과 학생들의 학습 상황에 맞게 미적분 과정을 하루 동안 몰입해서 학습하는 몰입형 캠프, 12차시에 나눠 진행하는 단기 특강도 마련하고 있다. 학생들은 자신의 상황에 맞게 두 가지 또는 세 가지를 선택해 학습함으로써 고등 수학을 배우고 나아가 수능 수학을 완성할 수 있다.문의 031-781-2017 2019-12-09
50대
이상
40대
30대
20대
이하
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