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- 예비고1 수학, 이것만 알고 시작하자! 수학은 누구에게나 어렵고 힘든 과목이지만 같은 노력을 들이고도 결과물은 천양지차다. 중학교 때까지 바닥권의 점수를 받다가 고등학교에 이르러 전국 상위1%의 성적을 거둔 학생도 있었고, 고1 겨울방학부터 수학을 시작했던 이과학생이 이듬해 첫 고2 중간고사에 1등급을 받았는데 이 학생의 전학기까지의 성적이 8등급이었다. 또한 중3때 최상위권 성적을 유지하던 학생이 일반고등학교 진학 후 꾸준히 열심히 했으나 한 학기 내내 40점 내외의 저조한 성적을 내다 자신의 약점을 보완 후 결국 전교 1등으로 졸업한 학생도 있다. 이 학생들의 공통점을 들어 수학 점수 향상의 척도로 삼기로 하자.첫째, 이들은 자신이 수학에 자신 없어하는 것은 다른 수포자들과 같았으나 그렇기에 남들보다 더 많이 풀고 생각해야 한다고 느꼈고 그래서 방학 때 수학에 할애하는 시간이 절대적으로 많았다. 그중 전국 1%성적을 거둔 학생은 고2때까지 거의 수학에 올인했다. 적어도 수학을 잘하고 싶다면 최소 방학만이라도 이 정도의 투자가 필요하지 않을까?둘째, 질문을 하고 내 풀이에서 힌트를 얻고 듣는데 치중하지 않고 반드시 마무리는 스스로 끝내고 정리했다. 열심히 공부하는데 수학 점수가 오르지 않는 절대 다수는 질문을 몰아서 하고 풀이를 다 듣고 한꺼번에 풀이를 외운다. 정말 생각이란 걸 안한다. 이런 지적을 해도 고쳐지지 않는다.셋째, 교과서와 학교에서 나눠준 프린트물도 꼼꼼히 정리하면서 내가 선생님이라면 어떤 문제를 낼 것인지 스스로 만들어 보자. 창의적 사고는 응용을 통한 무한 반복의 연속선상에서 더 단단하게 짜여진다.넷째, 시험을 본 뒤 시험지는 반드시 다시 풀어보고 분석해 보자. 가령 시험문제가 객관식 위주의 수능 유사문제가 많이 출제되면 다음 시험 준비를 그저 풀기 좋고 쉬운 100문제를 푸는 것보다 수능 문제를 낑낑거리며 풀어내려고 노력하다보면 문제는 많이 풀지 못했어도 오히려 성적은 더 잘나오는 기현상을 보게 될 것이다.끝으로, 학교나 학원의 선생님의 강의는 절대 학생들의 수학 성적을 올려주지 못한다. 선생님의 역할은 학생이 수학을 풀면서 같이 고민하고 표준의 풀이방법을 제시받아 주체인 학생이 자신만의 방법으로 해결해 나갈 때 진정한 실력자가 될 것이다. 학생 스스로가 탐정이라 생각하고 각본 없이 수학문제를 해결해 간다면 명탐정이 됨과 동시에 수학의 달인이 될 수 있을것이다.일산 RX국영수학원박재순원장문의 031-924-3005 2019-12-20
- ‘사고력과 창의력 신장’을 위한 수학 공부법 사고력과 창의력 신장을 위한 수학 공부법이 무엇이냐고 질문을 받으면 필자는 아래와 같은 그림을 그려 설명을 하곤 했었는데 반응이 좋았던 관계로 소개하고자 한다.먼저 수학 교과에 나오는 여러 가지 공식들은 점을 찍어 표시하고 구분은 알파벳 대문자로 한다. 공식과 공식 간의 연관성을 알고 원리를 논리적으로 설명할 수 있으면 두 점을 실선으로 연결한다. 그렇지 않으면 두 점을 점선으로 연결한다.이렇게 하여 공식과 공식을 잇는 실선들이 점차 많아지는 그림(1)에 가까울수록 사고력은 신장 된다고 얘기한다. 그리고 실선들이 빈번하게 왔다 갔다 하는 과정에서 가끔은 반짝 광채가 나고 새로운 실선이 생기기도 하는데 이 빛과 새로운 실선을 창의력의 발현이라고 설명한다.그리고 실선이 많아지도록 노력하는 것이 사고력과 창의력을 신장시키는 수학 공부법이라고 설명한다. 의미를 모르면서 무작정 외우는 단순 암기와 양적인 문제풀이는 필자가 말하는 점선들을 양산하는 격이다.반대로 그림(2)와 같이 점선들이 많아진 경우라면 공식과 공식 간의 연관성이 단절된 경우이다. 이렇게 되면 공식을 빨리 잊어버릴 수 있으며, 수학적 지식의 누적이 불가능하다고 일러준다.곧 겨울 방학이다. 방학 내내 수학 공부시킨다는 명분으로 하루 종일 자녀에게 단순 암기와 양적인 문제풀이를 강요하여 아이를 고통스럽게 만들고, 결국에는 수학 과목을 끔찍이도 싫어하게 만들어 버리는 불행한 상황이 연출되지 않기를 바란다.김흥수 원장이아이디수학학원문의 02-567-7374 2019-12-19
- 어려운 문제 오래잡고 풀어야 실력 올라 쉬운 문제 100문제를 풀기보다 어려운 문제 10문제를 푸는 것이 수학실력을 키우는데 훨씬 더 도움이 된다. 다만 문제는 아이들이 어려운 문제는 지레 겁을 먹고 풀어보려는 시도조차 하지 않는다는 것. 수학을 잘하기 위해 꼭 필요한 훈련은 어떻게 가능할까? ‘너를 위한 수학’ 임위성 원장을 만나 수학 공부법과 변화하는 수능대비법에 대해 알아봤다.변화하는 수능 제대로 된 실력 키워야대입 기조 변화로 말들이 많다. 교육부의 방침이 수시 위주에서 정시 확대로 방향을 급선회하자 대입을 준비하는 학생들과 학부모들도 혼란에 빠졌다. 교육부는 현재 중 2학년에 대입을 치루는 2024년까지 정시 비중을 40%까지 늘릴 계획이다. 이에 대해 ‘너를 위한 수학’ 임위성 원장은 “수능의 영향력이 조금 커진 것뿐이지 큰 흐름에서 변화가 클 것 같지는 않다”고 내다봤다. 임 원장은 “이전에도 수시 최저등급이라든지 모집인원 이월 등으로 정시의 중요성은 컸었다. 이번 방침의 변화로 오히려 안산지역 학생들은 수능공부를 더 열심히 할 수 있는 계기가 되길 바란다”고 말했다. 변화를 기회로 만들기 위해서는 차분히 준비하면 된다는 것이 임 원장의 설명이다.수학 실력 키우는데 수시 정시 따로 없다그렇다면 어떻게 준비해야 수능까지 대비할 수 있는 수학 실력을 키울 수 있을까? 임 원장은 “수시를 위한 내신시험이나 정시를 위한 수능시험이나 다르지 않다. 수학 실력을 키우는 것만이 정도”라고 강조한다. 즉 수시를 위한 공부 정시를 위한 공부가 따로 있지 않다는 것이다.“물론 자신의 성향에 따라 입시 전략을 세우는 것은 필요하다. 학교활동에 충실한 성향의 학생들은 수시를 대비해야 하고 수능실력이 내신에 비해 월등히 높은 학생들은 정시를 준비해야 한다. 하지만 대부분의 학생들은 특별한 차이가 있기 보다는 그 중간에 분포하고 있다. 수시를 위해 정시를 포기하거나 정시를 위해 수시를 포기하는 전략을 세웠다가는 결국 대입에서 자신의 선택 폭만 좁히는 결과를 가져올 수 있다”는 것이 임 원장이 조언이다. 수시와 정시로 예단하지 말고 꾸준히 실력을 키워나갈 것을 당부했다.기출문제집 고난이도 문제를 잡아라긴 겨울방학은 집중 심화공부를 통해 실력을 한 등급 올리기에 적합한 시기다. 예비 고1학년은 물론 대입 카운트 다운이 시작된 예비 고3학년이라도 겨울방학을 어떻게 보내느냐에 따라 다음 학년 성적은 달라지는 법.임 원장은 “수학 실력은 정말 어려운 문제를 혼자 스스로 풀어낼 때 성장한다. 비록 잘 안풀리고 어렵더라도 머릿속으로 계속 생각하고 혼자 방법을 찾으려고 담고 있는 시간이 필요하다. 그렇게 어려운 문제만 푼다면 수학이 재미없을 것이고 7:3 정도의 비율로 난이도를 조절하며 수학적으로 생각하는 힘을 길러나갈 필요가 있다”고 말한다. 이 때 가장 좋은 교재로 추천하는 것이 바로 ‘기출문제집’이다. 임 원장은 “기출문제는 검증받은 좋은 문제다. 어려운 문제는 답지보고 확인하는 방법이 아니라 스스로 생각하며 풀어내는 훈련을 거친다면 반드시 실력이 올라갈 수 밖에 없다”고 말한다.고통만큼 성장한다는 말이있다. 수학에서의 고통은 ‘어려운 문제를 접했을 때 막막한 그 너머의 해답을 찾아내겠다는 의지 그 자체’다. 그 답답함을 견디지 못하고 답지를 보면 해결이 된 것 같지만 비슷한 문제에서 다시 막히고 만다. 그 답답함을 견디고 혼자 이리 저리 생각해 보는 것, 또 그런 생각을 하도록 조금은 불친절하게 가르치는 것. 그런 교수법이야 말로 그것이 진짜 실력을 키우는 길이다. 2019-12-19
- 물고기를 잡는 방법 수학시험을 대비하는 방법은 학원들마다 비슷합니다. 시판되는 시험대비 교재와 기출문제의 조합입니다. 힘들다는 학원일수록 교재의 권수와 기출문제의 양이 늘어납니다. 여기서 문제의 양과 반복을 주목할 필요가 있습니다. 예를 들어 시험대비로 100문제를 푼다고 하면, 상위권은 90개 이상의 성취도를 보일 테니 10개를 오답노트나 변형 문제, 신유형만 준비하면 될 것입니다. 성취도가 낮다면 익혀야 할 유형이 늘어나고, 오답은 끝이 없을 수도 있습니다. 그래서 학원에서는 틀린 문제 위주로 반복을 시키게 됩니다. 이 과정이 매 시험마다 되풀이 되면 수학이 암기과목처럼 되는 것입니다. 이해는 커녕 이것은 이렇게, 저것은 저렇게 꾸역꾸역 머리 속에 집어 넣었다가 시험 때 와르르 쏟아내는 것입니다. 범위가 누적이 되면 이미 다 쏟아 내었기에 다음 시험은 어디서부터 손을 대야 할지 난감합니다.같은 100점이라도 어떻게 만들어진 점수인지 알아야 할 필요가 있습니다. 90개에서 고난도 실력을 쌓은 것인지, 70개에서 반복 훈련으로 만들어 낸 것인지 말입니다. 후자의 케이스가 많은 학원일수록 인기가 좋습니다. 관리에 목을 매고 일정 성적을 만들어 주니까요. 하지만 장기적으로 보면 중학교 때는 통하다가 고등학교로 가면 안 먹히기 시작하고, 수능에서는 어느 정도의 벽에서 머물 수가 있습니다. 이를 체감했을 때는 이미 수학 학습의 체계가 굳어져서 고치기 힘든 경우가 많습니다.시험대비의 시간을 거슬러 올라가서 평소에 개념을 배울 때에 진짜 이해를 해야 되는 것입니다. 이 이해를 바탕으로 시험대비 기간의 성취도를 높여야만 매번 외우고 쏟아내는 암기과목의 패턴에서 벗어날 수 있고, 어느 범위에서 나오든 대비할 수 있는 실력이 쌓입니다. 물고기를 잡아주는 것보다 잡는 방법을 알려주어야 한다는 것은 누구나 알고 있습니다. 단순한 수학공부라 치부할 수도 있지만 12년의 학습 과정이 시험 때마다 예상 문제를 찍어서 연습시키는, 필요할 때만 물고기를 던져 주는 것이 아니라, 이해를 바탕으로 어떤 문제가 와도 변형이 가능한, 고기의 종류가 달라지더라도 잡는 방법을 생각해 낼 수 있는 능력을 키워야 할 것입니다.이태우 원장히즈매쓰문의 031-410-0038 2019-12-19
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수학, 어떻게 공부해야 등급이 오를까?
고2, 이번 겨울이 지나면 고3이라는 생각에 학생들의 마음은 불안하고 초조하다. 인문계열이든 자연계열이든 최대 고민은 역시나 수학. 3월 12일 치러지는 첫 고3 모의고사에서 한 등급이라도 더 올려야 한다는 생각에 압박감이 크다. 하지만 안타깝게도 고2 2학기는 수포자가 대량 발생하는 시기다. 구멍 난 개념을 점검해 기초를 탄탄히 다지고, 3학년에 늘어나는 학습량을 감당할 수 있는 효과적인 수학 학습법은 없을까. 문과 3학년 담당 혜성여고 문혜정 선생님, 이과 3학년 담당 용화여고 하민 선생님을 만나 겨울방학 수학 학습법을 고2 모의고사 등급을 기준으로 짚어봤다.혜성여자고등학교 문혜정 3학년 문과 수학교사인문계열 학생수학을 포기하면 다른 과목을 두 배 공부할까?고2 겨울방학 동안 수학은 개념을 다시 한 번 제대로 정리하고 자신의 부족한 부분을 메울 수 있는 마지막 기회라고 생각해야 하는데 실제로는 ‘포기냐 아니냐’를 고민하는 경우가 많다. 문혜정 교사는 “수학 등급이 안 나오는 학생들이 고2 겨울방학을 기점으로 대거 예체능으로 진로를 변경합니다. 수학을 선택하지 않을 수 있는 예체능으로 가면 상위권 대학의 진입이 가능하다고 생각하는 것이죠.”하지만 하나를 포기한 경험이 있는 학생들은 다른 과목도 손쉽게 놓아버리게 된다고 한다. “처음에는 수학을 그 다음에는 도표 분석이 필요한 ‘사회문화’를 포기합니다. 그 다음에는 지도를 봐야하는 ‘한국지리’를 포기하고 이처럼 수학과 연관된 과목들이 도미노처럼 어려워지면서 결과적으로 수학과 사회탐구 등급이 같아지는 상황이 발생합니다.” 수학을 한 과목이라고 생각하지만 적용되는 분야는 무궁무진하기 때문에 이 한 과목을 지키고 있으면 다른 과목 전체의 성적이 오를 수 있다며 방학동안 다음과 같은 공부법을 추천했다.▷ 1, 2등급 ? 추가된 지수로그, 삼각함수 과거 기출 풀어보자!현 고2가 치르게 되는 2021학년도 수능 수학(나)형에는 2009 개정 교육과정에 의해 '미적분Ⅱ' 과목에 편성, 이과생들만 배우던 '지수로그함수, 삼각함수' 등의 단원이 새롭게 출제된다. 특히 '지수·로그함수'는 문과 학생들이 가장 어려워하는 단원 중 하나이기 때문에 2016학년도 이전 수능 기출문제를 풀어보며 문제 패턴을 파악해 두자.킬러문항에 연연하며 수학에 많은 시간을 할애하기보다 수능 과목별 시간 안배를 통해 부족한 부분을 중심으로 하루 3~4시간 정도 꾸준히 학습하는 것이 좋다.▷ 3, 4, 5등급 ? 적성고사까지 대비, 중난이도 문제는 놓치지 말자!3월 모의고사 수학(나)형의 범위는 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 전범위에 ‘확률과 통계’의 순열까지다. 고2 11월 모의고사를 바탕으로 운 좋게 맞춘 것 등 자기 수준을 객관화해서 부족한 단원은 반드시 다시 한 번 공부한다. 중난이도 문제는 모두 맞히겠다는 목표로 수능특강 교재 레벨 1, 2 문제까지 연습하자. 레벨 3까지 풀면서 무리하기보다 수학을 끝까지 놓지 않겠다는 각오를 가지고 중급 문제를 지속적으로 풀다보면 적성고사까지 무난히 대비가 된다.▷ 6등급 이하 ? 나는 나, 다른 친구들과 비교하지 말자!수능 수학에는 교과서 연계 문제가 60% 정도 출제된다. 따라서 주변 친구들에게 동요되지 말고 본인의 진도에 맞춰 교과서 수준의 문제를 계속 풀어보는 것이 효과적이다. 방학동안 개념을 다지고 학기 중에 수능특강을 그리고 여름방학 때 기출 풀이에 들어가면 2, 3등급 향상이 가능하다. 수학은 배신이 없는 과목으로 변수가 많은 다른 과목들보다 등급 따기가 용이하다는 것을 명심하자.용화여자고등학교 하민 3학년 이과 수학교사자연계열 학생기하 빠진 수학 가형, 과연 쉬워질까?2021학년도 수능은 1994년 시행 이후 처음으로 난이도가 높다고 알려진 ‘기하’가 수학 가형 출제 범위에서 제외되고 치러진다. 하민 교사는 “나형으로 바꿔서 가형 4~6등급에서 나형 1등급까지 오르며 성공하는 경우가 꽤 있었습니다. 하지만 가형에서 기하와 벡터가 빠지고 문과 수학의 내용이 추가되며 나형으로 돌리는 것이 큰 의미가 없어질 수 있습니다”고 지적했다.3월 12일 모의고사는 ‘미적분’의 ‘수열의 극한’까지가 범위다. “가형의 킬러문항 자리를 기하 대신 미적분이 차지할 가능성이 높습니다. 섣불리 결정하지 말고 6월 모의고사까지 출제경향을 지켜보는 것이 좋습니다”. 더불어 고2 겨울방학은 수능 공부에 온전히 집중할 수 있는 시간이다. “자기 통제력도 학습능력입니다. 겨울방학이 시작될 때의 굳은 마음가짐이 시들해 진다면 1년 뒤의 모습을 이미지화 해보는 것도 방법입니다. 정신을 차리고 성과를 이뤘을 때를 상상해보며 의지를 다지길 바랍니다”라며 수능 성공의 8할은 겨울방학에 달렸다고 했다.▷ 1, 2, 3등급 ? 긴 시간, 맘 놓고 심화문제에 접근해보자!긴 겨울방학은 평소 시간에 쫓겨 소홀했을지 모를 심화문제를 들여다보기 좋은 시기다. 4점짜리 문제는 여러 개념에 대한 정확하고 종합적인 이해가 필요한 문항이 대부분이다. 각각의 개념을 연결해서 대수적 접근과 기하적 접근을 자유롭게 할 수 있는 연습이 필요하다.수능특강을 기본으로 기출 문제집 두 권 정도를 번갈아 풀면서 틀린 문제뿐만 아니라 맞춘 문제도 더 간결하게 풀 수 있는지 다양한 풀이법을 찾아보며 깊이 생각하고 분석하는 시간은 수학 근육을 더욱 단단하게 만들어 줄 것이다.▷ 4, 5, 6등급 ? ‘미적분 수능특강’ 한번 훑고 3학년 가자!중위권 학생들은 3학년 때 배우는 미적분에 대한 사전학습이 필요하다. 먼저 교과서와 개념 유형서를 꼼꼼히 보고 수능특강으로 확인해 보자. 실력이 쌓이면 적성고사나 중위권이하 대학의 논술을 함께 준비해보는 것도 도움이 된다. 대학별 선행학습영향평가보고서나 논술가이드를 보면 기출 문제와 함께 출제근거, 평가기준 또는 합격한 학생들의 실제 답안지 및 수정해야 할 부분까지 제시된다. 나의 답안지를 채점기준에 따라 채점해 보며 어떤 부분을 보완해야할지 점검해보길 바란다.▷ 7등급 이하 ? 단기 목표 달성으로 자신감 회복이 먼저다!내가 못하니까 하기 싫은 과목이고 그래서 안하니까 점수도 떨어지는 악순환 고리를 끊는 것이 우선이다. 수학은 위계 과목으로 구구단을 모르면 방정식을 풀 수 없다. EBS 인터넷 강의 등을 활용해 1, 2학년 과정 복습을 철저히 하자. 그리고 ‘3월 모의고사에서 2점짜리 3개는 모두 맞추고 3점짜리 14개 중 10개 이상 맞추자’는 식의 구체적인 목표를 설정하고 성취감을 맛본다면 수학에 대한 자신감을 회복할 수 있을 것이다.표1. 2021학년도 수능 수학 범위2021학년도 수능 수학 범위수학(가) : 수학Ⅰ, 확률과 통계, 미적분수학(나) : 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 확률과 통계과목명단원명세부 단원수학Ⅰ1. 지수함수와 로그함수(1)지수와 로그 (2)지수함수와 로그함수2. 삼각함수(1)삼각함수3. 수열(1)등차수열과 등비수열 (2)수열의 합 (3)수학적 귀납법수학Ⅱ1. 함수의 극한과 연속(1)함수의 극한 (2)함수의 연속2. 미분(1)미분계수 (2)도함수 (3)도함수의 활용3. 적분(1)부정적분 (2)정적분 (3)정적분의 활용확률과 통계1. 경우의 수(1)순열과 조합 (2)이항정리2. 확률(1)확률의 뜻과 활용 (2)조건부 확률3. 통계(1)확률분포 (2)통계적 추정미적분1. 수
2019-12-19
- 공부를 성공시키는 엄마의 도움, 우리 아이 ‘과제력’ 판단하기 학생들을 가르쳐 보면 공부를 잘 할 수 있는 능력에는 여러 가지가 있다. 이해력은 새로운 것을 배우기 쉽게 하고, 시간이 지난 후에 배운 것을 쓸 수 있게 해주는 것은 암기력이다. 기존의 지식을 활용해 낯선 문제를 해결하게 하는 힘이 응용력, 식을 세우고 꼼꼼하게 풀어내는 것이 계산력이다. 이제 부여된 학습과제를 잘 수행하는 능력을 ‘과제력’이라고 해보자. 새 반을 구성하고 여러 학생들과 공부를 해보면 초반 실력차이는 이해력의 차이인 경우가 많고, 후반부 실력차이는 과제력의 차이인 경우가 많다. IQ만큼이나 중요한 과제력은 다음 다섯 가지 단계로 나눌 수 있다.안하기 - 쇼하기 - 덜하기 - 다하기 - 더하기우리 아이는 어느 정도의 과제력을 가지고 있을까?첫 번째 안하기 단계이 단계의 학생을 지도하기가 가장 어렵다. 안 하는 이유는 너무 많다. 사람은 누구나 자신의 능력에 버거운 일을 만나면 얼굴을 돌리거나, 도망가게 되어 있다. 이 단계의 아이들에게는 ‘시도’라는 첫 걸음이 중요하다. 해보지 않으면 실제보다 버겁고 무서워 보이지만 정작 해보면 생각 보다 어렵지 않다는 것을 알게 되고, 이 작은 성공들이 쌓이면 ‘내가 뭐 그렇지’에서 ‘어, 되네!’로 생각이 변한다. ‘시작이 반이다’라는 말은 이 단계의 해법이다.두 번째는 쇼(show)하기이 단계는 보여 주기 식 가짜 과제를 하는 단계이다. 해답을 베껴 쓴다거나 잘하는 친구의 도움을 받는 등 기상천외한 방법으로 선생의 눈을 속인다. 혼나지 않기 위해서, 혹은 선생님에게 잘 보이기 위해서 쇼하기를 하는 경우가 많다. 이 단계의 또 다른 문제는 쇼하기 식 과제를 하는 시간도 공부한 시간이라고 스스로 믿게 된다는 것이다. 쇼하기 첫 희생양인 학부모님 역시 우리 아이는 공부를 열심히 하고, 과제도 잘 해 가는 아이라고 오해하곤 한다. 이런 친구들이 자주 하는 말이 ‘하는데도 실력이 안 늘어요’이다. 쇼하기를 하는 단계에서는 과제할 시간을 확보하고, 잘 보이고 싶은 심리가 있기 때문에 방향만 조금 돌리면 실제로 과제를 완수함으로써 소기의 목적을 달성하는 진짜 쾌감을 맛볼 수 있다. 필요 이상의 지적질로 아이를 궁지로 몰지 않고, 과제를 거짓으로 풀어오는 것보다, 부족하더라도 직접 푸는 것이 아름답고 칭찬받을 일이라는 것을 확실히 해서 학생의 쇼하기를 멈출 수 있다.세 번째는 덜하기학생들의 과제력이 변하는 가장 중요한 단계이다. 해보려고 했지만 다 하지 못하는 단계이다. 시간이 부족해서, 혹은 난이도가 높아서. 안하기, 쇼하기 단계가 바람직한 다하기, 더하기 단계로 나아갈 때 반드시 거쳐야 하는 단계이며, 이는 완벽주의를 버리고 완성주의를 체험하는 아주 중요한 단계이다. 우리 아이가 안하기, 쇼하기의 단계에 머물지 않기 위해 학부모가 제시해야 할 방향은 다하기, 더하기가 아니라 덜하기이다. 즉, 덜하더라도 해보려한 진지하고 진실한 노력을 존중하고 격려해야 한다. 부족하더라도 스스로 풀어야 과제의 의미가 있기 때문이다.네 번째는 다하기이 단계부터는 가르치는 품이 적게 들어간다. 덜하기 단계의 학생에게 필요한 선생의 품이 100이라고 하면, 안하기, 쇼하기 단계의 학생들은 150, 많게는 200의 품이 필요하고, 다하기 단계의 아이들은 7~80의 품으로 가르칠 수 있다. 그러니 학교나 학원에서 사랑받을 수밖에 없다. 과제를 다 함으로써 공부의 선순환이 시작된다. 다하니까 수업이 재밌고, 수업에 대한 이해도도 올라간다. 이해가 잘 되니 그 이후 과제도 버겁지가 않다.마지막은 더하기내 준 과제 뿐 아니라 더 많은 양의 문제를 풀어오는 단계로 실력이 늘 수밖에 없다. 150점 맞도록 공부해야 100점 맞을 수 있다는 말이 있다. 150% 공부하는 방법은 여러 가지가 있다. 가장 쉬운 방법이 문제집을 추가하는 것이고, 이 방법 외에도 틀린 문제를 여러 번 풀어보는 방법, 과제 외 예습을 통해 배울 부분을 공격적으로 학습하는 방법 등 다양한 방법이 존재한다.학부모의 할 일은 우리 아이의 현 상태를 파악하고 한 단계 한 단계 우리 아이의 과제력을 향상시켜주는 것이라 할 수 있다.목동 체계수학학원문일권 원장문의 02-2649-1248 2019-12-19
- 수학공부는 쉽지만, 수학시험은 어렵습니다 안녕하세요, 수학을 최일선에서 10년 넘게 지도한 김민호 선생님입니다. 오늘은 유투버 버전으로 공부에 관한 짤막한 '비상식'적인 이야기를 해볼까 합니다.이과에서 경영학을, 그리고 창업하고 망하다저는 원래 이과였지만, 전공은 성균관대에서 경영학을 전공했습니다. 수학을 못했지만, 좋아해서 이과를 선택했고, 꿈이 수시로 바뀌는 바람에 전공은 경영학 부전공은 영문학을 골랐습니다. 한마디로 자기 멋대로 사는 이상한 학생이었습니다. 대학 때 삼성전자에서 인턴쉽 기장으로 2년을 마케팅관련 업무를 하다가 갑자기 창업을 하고 싶어서 대학4학년 때 펀펀스쿨을 창업했습니다. 무료로 잘나가다가 유료로 바꾸고 망했습니다. 그런데 그 때 깨달은 것이 제가 누군가를 가르치는 것이 천직이라는 것이었습니다. 학원 선생님을 좀 무시하는 학생이었던 제게 뜻밖의 발견은 예상 밖이었습니다. 천직이라면 정말 잘하고 싶었습니다. 그래서 가르치면서 공부를 시작했습니다.수학적 재능에 대한 충격가르치면서 정말 다양한 학생들을 만났습니다. 특히 수업시간에 "뭘 그렇게 길게 설명해요?" 라는 학생을 처음 만났을 때가 생각납니다. 중간성적의 평범한 외모의 학생이 제 심기를 건드렸습니다. 2달 뒤 그의 기말성적을 보고 깜짝 놀랐습니다. 평소보다 시험을 잘 보았기 때문입니다. 다 풀지 않아도 점수는 잘나왔습니다. 수업태도는 그대로였지만 성적은 꾸준히 올라서 결국은 SKY대학에 입학했습니다. 수학을 잘하는 학생 중에 이런 학생들이 좀 많습니다. 그들의 특징은 다음과 같습니다.1. 수학개념을 대충 본다.2. 문제를 틀리는 데에 부담이 없다. 다시 개념을 본다.3. 가정을 잘 만들고 증명을 해서 문제를 푼다. 암기식으로 안 푸는 것 같다.4. 답부터 찾고 이유는 나중에 설명한다.5. 자꾸 말을 끊는다.20점 맞은 조카의 성적을 96점으로 올리기제 공부방식은 이와 반대였던지라, 결과에 대한 원인을 설명하기 좀 어려웠습니다. 그렇지만 일단 이 방식을 따라 애들을 지도했습니다. 결과는 절반의 성공이었습니다. 이 방식이 맞지 않은 친구들은 학원을 바꿔도, 과외를 해도 수학점수가 오르지 않았습니다. 이 방식에 맞추려는 친구들은 성적이 빠르게 오르거나 천천히 올랐습니다. 수학을 잘하는 애들의 방식을 따라하는 것이 최선입니다. 효율적인 공부법이기 때문입니다.누나에게 쌍둥이 두 딸이 있습니다. 얼마 전 수학오답노트를 정리하고 있더군요. 점수가 충격적이었습니다. 20점!! 누나도 패닉상태에 애들을 혼내는데 제가 나서지 않을 수 없었습니다.일단 애들을 데리고 가서 지겨운 오답노트를 멈추게 하고 숙제하지 말고 그냥 혼나라고 했습니다. 그리고 수학책을 가지고 제가 수학을 좋아하고 공부 잘하는 친구들이 좋아하는 방식으로 수학공부를 같이 했습니다. 결론부터 말하면 다음 시험에 큰애는 96점에 작은애는 92점이 나왔습니다.원인은 방법과 태도 그리고 습관!방법이 맞아도 초등학생은 비교적 성적이 빠르게 나오지만 중등은 몇 달 걸리고 고등은 일 년은 걸리는 것 같습니다. 공부량이 누적되어서 따라잡기 어려워지고 공부습관은 더 더욱 고쳐지지 않습니다. 아이들이 수학성적을 올리기 위해서는 성적자체보다 수학에 대한 쉬운 접근법과 인내심이 결합된 공부습관조성이 가장 중요합니다. 굳이 숙제를 시키지 않아도 굳이 시험 대비를 하지 않아도 알아서 공부를 하게 됩니다. 이 방법이 모두에게 맞는 것은 아니지만 적어도 공부 좀 한다는 친구들에게 공통적인 교집합인 것 같습니다. 문제는 이걸 시키는 것이 아니라, 부모님이 선생님이 보여주고 같이 해야 합니다.공부하는 선생님, 가르치는 학생제가 유학파는 아니지만 졸업생중에는 유학생들이 많이 있습니다. 평범한 선생님이 되기 싫었습니다. 그래서 가르치는 시간만큼 공부를 꾸준히 하였고 지금은 비교적 어려운 미국수학 AP를 지도하고 있습니다. 저보다 뛰어난 학생들이 제가 가고 싶었던 대학을 갈 때마다 많이 부럽습니다. 유학을 보내주지 못했던 부모님을 잠시 원망했지만 이제는 스스로 보내줄 수 있지 않을까 생각이 들었습니다. 그래서 졸업생들에게 물어보고 배우고 있습니다. 조금 더 시간이 걸렸을 뿐, 해내면 되는 것이잖아요!듣기 좋은 말과 아는 척 미확인정보보다, 공부에 대한 성적에 대한 진실한 말을 하고 싶어서, 개인적인 경험을 이야기했습니다. 여러분이 최선을 다했지만 성적이 안 나왔다면 그건 여러분의 잘못이 아닐지도 모릅니다. 공부법의 문제이고, 선생님의 책임도 있습니다. 너무 힘들어하지 마시고 새로운 방법을 찾아보세요."미친 짓이란, 매번 똑같은 행동을 반복하면서 다른 결과를 기대하는 것이다" (아인슈타인)김민호 원장탑에듀학원 2019-12-18
- 수학은 섭취와 소화다! 수학강의를 하면서 제일 많이 듣는 질문이 수학 잘하는 방법이다. 나에게 질문을 하신다는 건 모두가 알고 있는 방법을 물어보신 게 아니다. 불철주야 수학책만 붙들고 쌔빠지게 열심히 하는 그런 방법이 아니라 좀 더 효율적으로 공부하여 최소의 노력과 시간을 들여서 최대의 점수를 끌어내는 방법을 물어보신 거다. 결론부터 얘기하면 방법이 있다. “수학의 결론은 섭취와 소화다.”한 학생에게 고장 난 스마트폰을 주면서 분해와 조립을 거쳐 휴대폰을 고쳐보라고 하자. 어떤 이는 분해까지도 힘들겠지만 분해한 후에 완전히 조립을 다 하였다고 해도 그 스마트 폰이 제 기능을 할지는 안봐도 뻔하다. 그 폰을 전문수리기사에게 맡기면 시간의 차이는 있겠지만 정상적으로 작동 되는 걸 볼 수 있다. 이것은 당연한 결과이다. 스마트 폰의 내부구조 조차 잘 모르는 이와 자세히 알고 있는 정도를 넘어서 매일 이것을 수리해야만 먹고사는 이의 차이다.수학문제도 마찬가지이다. 모든 학생들은 어떤 수학문제든지 처음 접하게 된다. 그리고 그 문제를 보고 분해해서 정답까지 재조립하는 것이다. 그 때 섭취하는 순간 탁월한 길잡이가 있는 경우가 있고, 없는 경우가 있다. 위의 질문을 하시는 분들은 길잡이의 안내를 받으시는 게 맞다. 스마트폰을 뼛속까지 알고 있는 이에게 길을 안내받으면 당연히 최소시간으로 극대의 효과를 얻을 수 있는 것이다.이제 소화가 남았다. 수학문제를 잘 섭취했다고 전부다 잘 소화시킬 수는 없다. 같은 반에서 똑같은 강의를 같은 선생에게 들어도 학생들은 만점자와 비만점자로 나누어진다. 1997년도 고3, 2009년도 수업에서 고2 학생반 전원이 내신에서 만점을 맞은 적이 있다. 그때는 반정원이 지금처럼 5~7명이 아니라 기본적으로 40명씩 있던 상황이라 그건 상당히 비정상적인 쾌거였고, 반전체가 고기부페에 갔었던 특별한 경우였지만 보통은 만점을 받지 못하는 학생이 생기게 마련인데 그 이유는 소화의 문제다. 강의를 잘 듣는 것만큼 중요한 게 소화를 잘하는 방법이다.글이 길어져서 소화하는 방법은 다음 칼럼에서 소개하도록 하겠습니다가람스카이수학학원전가람 원장 2019-11-18
- 하나라도 확실히 알고 넘어가도록…정확한 개념 학습과 소수정예 맞춤 수업으로 수학실력 잡는다! 중·고 수학 전문으로 정평이 나있는 평촌 ‘에녹수학학원’은 5명 이내의 소수 반 편성을 고집하는 곳으로 유명하다. 소수반편성은 한 명 한 명 꼼꼼하게 가르쳐야 효과를 보는 수학에서 선택이 아닌 필수로 평가받는다. 개인별 맞춤 교육이 가능해 학생들의 수학실력 향상에도 한 몫 한다. 뿐만 아니다. 무조건 문제를 많이 푸는 것보다는 ‘하나를 알더라도 제대로 아는 것이 중요하다’는 소신아래, 개념학습에 누구보다 공을 들이며 성과를 내고 있다.최근에는 겨울방학을 앞두고, 특강 형식의 윈터스쿨 프로그램을 계획해 주목받고 있다. 아울러, 예비고1들을 위한 고등수학 개념 학습을 방학동안 집중 진행해 고등 첫 시험에 대비한 실력 쌓기에도 나설 예정이다. 확실한 개념잡기로 기본기 다지고, 응용과 심화로 실력 업그레이드“문제를 많이 풀면서 수학을 공부하는 학생과 문제는 적게 풀지만 문제를 이해하고 왜 그런지 개념을 알고 넘어가는 학생이 있을 때, 어느 쪽이 수학실력이 더 좋아질까요?”에녹수학학원 백에녹 원장은 효과적인 수학학습법에 대한 물음에 이런 질문부터 던졌다. 백 원장은 “그리 복잡하지 않은 중학수학까지는 문제를 많이 푼 학생의 성적이 더 잘나올 수 있지만, 유형이 복잡해지고 복합 개념 문제가 등장하는 고등수학에서는 전자보다 후자의 학생이 훨씬 더 성적이 잘 나온다”고 평가했다. 그러면서 “그러니 문제를 많이 풀어 성적이 좀 잘 나왔다고 ‘이해 못해도 대충 넘어가자’ 하지 말고 개념을 정확히 알고 이해할 때까지 꼼꼼히 학습하는 습관을 가져야 한다”고 설명했다. 또한 고등수학은 많은 양을 풀려 해도 시간적 여유가 없기 때문에 문제풀이의 퀄리티를 높이는 것이 성적향상에 큰 도움이 된다고 강조했다.이런 이유로, 에녹수학학원은 수학의 개념 학습에 무엇보다 공을 들인다.특히 고등수학을 처음 접하는 학생들을 위해 개념을 정확하고 쉽게 이해할 수 있도록 개념서를 자체 제작해 활용한다. 백 원장은 “정확한 개념학습을 통해 기본기를 튼튼히 다져가고 응용과 심화 과정을 동시에 진행해 입체적인 수학학습을 해나간다”며 “기본부터 심화까지 모두 섭렵하도록 지도하기 때문에 수학실력 향상을 가져오는 것은 물론 내신과 입시대비에도 효과적”이라고 말했다.소수정예 반편성으로 개별맞춤 교육, 탁월한 강사진의 교수법도 주목에녹수학학원은 한반에 5명을 넘지 않는 소수인원으로만 구성한다. 대치동과 송파 시절부터 고집스럽게 고수했던 백 원장의 소신으로 평촌학원가 10여 년 동안도 여전히 지켜내고 있다. 백 원장은 “개념을 정확하게 이해시키지 위해서는 학생 개인별 실력과 성향 등을 고려해 학습해야 한다”며 “5명 이내로 한반을 구성해야 선생님이 일일이 챙기며 학생들의 실력을 점검하고 깊이 있게 가르칠 수 있다”고 설명했다.5명 이내의 소수구성은 학생들과의 소통에도 효과적이다. 백 원장은 “학생들이 모를 때는 언제든지 자유롭게 질문할 수 있도록 학습 분위기를 편안하게 만들고 질문도 많이 유도한다”며 “소수이기에 가능하며, 모를 때마다 거리낌 없이 질문하다보면 수학을 더 잘 알게 되고, 이는 자신감으로 이어져 수학의 흥미를 높이고 성적향상에도 기여하게 된다”고 설명했다.한편, 에녹수학학원은 입학 테스트를 보지 않는 것으로도 유명하다. 한 번의 짧은 테스트로는 학생을 평가하는 것이 부족하다고 판단하기 때문. 입학테스트 보다는 학생이 평소 공부한 문제집을 보며 풀이과정과 장·단점을 분석하고 학생의 성격부터 개념 이해여부, 학습습관과 수준, 진도까지 파악해 이에 맞는 반편성과 맞춤 교육을 진행한다.특강 형식의 윈터스쿨 진행, 예비고1반은 고등수학 개념에 집중!이번 겨울방학, 에녹수학학원은 특강 형식의 윈터스쿨을 진행한다. 중등의 경우, 학년 전체를 통합한 논리 및 확률영역의 개념을 학습할 계획이다. 논리영역에는 집합, 명제 등이 해당되고, 확률영역에는 순열과 조합이 포함된다. 수학의 주요 개념을 전체적으로 이해하며 학습하기 때문에 사고력과 논리력을 키우는 데 효과적이다. 아울러, 고등수학을 미리 경험해 보는 효과도 있다.12월 초 새롭게 개강하는 예비고1의 경우, 방학기간 고등수학 상·하를 개념부터 학습할 예정이다. 고등수학 상·하 자체교재로 개념을 철저히 익히고, 유형문제집을 병행해 풀며 보완해 나갈 계획. 이후, 3월부터 정규반 과정을 진행해 내신위주의 수업을 하며 가장 중요하다고 평가받는 1학년 첫 시험에 대비한다. 백 원장은 “중3 겨울방학 때 열심히 공부하면 그동안 부족했던 부분을 어느 정도 따라잡고 고등에서 상위권으로 치고 올라갈 수도 있다”며 “입시를 위해 중요한 시기니만큼 예비고1들은 이번 방학에 집중해서 학습해야한다”고 조언했다. 2019-12-18
- 3학년, 이제는 수능에 집중할 수 있어야 이제 2021 학년도 대학입시의 서막이 올랐다. 입시를 마주하게 되는 예비고3들은 내신 공부만 해온 상태라, 걱정이 앞선다. 거기다 수학이라니. 수능에서의 수학이 가지는 특별한 위치를 감안하면, 예비고3들의 부담감이 만만치 않다. 어떻게 하면 수능수학에서 만족한 만한 성적을 받고 대학입시에서 성공할 수 있을까? 고3과 재수생을 위한 수능 강의로 유명한 윤성준 원장을 만나 조언을 구했다.바뀐 수능의 트렌드를 읽고 대비해야이제 고3이 되는 학생들은, 수능을 빼놓고는 대학입시를 얘기할 수 없다. 특히 내신등급이 모자라는 학생들은 3학년이 되면서 수능에 집중해야 할 때다. 윤 원장은 “내신 1,2 등급을 제외하고는 수시로 서울권 대학에 가기가 쉽지 않다”며 “하지만 다행스럽게도 정시가 늘어나는 추세로, 예비고3들은 수능을 통해 역전을 할 수 있는 기회가 있다.”고 조언했다.그러려면 현재 바뀐 수능의 트렌드부터 읽을 수 있어야 한다. 작년 9월까지의 문제 출제 경향과 작년 수능부터의 경향이 확 달라져서, 그에 맞추어야 한다고. “21,29,30의 킬러만 어렵고 나머지 문제는 쉬웠던 경향에서, 이제는 킬러를 낮추고 앞부분의 난이도를 올렸습니다.” 윤원장의 말이다. 그러면 상대적으로 쉬워진 것 아니냐고 질문하자, “체감 난이도 평가는 매우 어려운 시험이 되어간다는 것”이라고 강조해 말했다. 내신 1,2등급 학생들도 6월 모평에서 낮은 등급을 받는 경우가 흔해졌다고.수능 수학의 문제 읽는 법, 가르쳐주는 곳 없어윤 원장은 “수능 수학을 힘들어하는 수험생들은 패턴이 있다. 첫째 문제를 처음부터 끝까지 읽고, 둘째 이것저것 닥치는 대로 문제를 많이 풀거나, 셋째 내신 준비하듯이 적당히 쉬운 난이도의 문제만으로 공부하는 것”이라며 “수능수학은 문제 유형이 결정된 것이 아니라, 내용이 같게 나오는 것이기 때문에 문제를 많이 풀어 유형을 외우는 것이 일절 소용없다”고 말했다. 또한 “수능 수학은 문제가 길기 때문에 내신과 문제 읽는 법 자체가 다르다”며 “무엇보다 문제 해석 능력인데, 제대로 알려 주는 곳이 없다”고 한탄했다.그러기 위해서는 사실상 처음부터 다시 해야 한다고. 대부분은 엄두조차 내지 못하지만, 윤원장의 수업은 이점에서 독보적이라 알려져 있다. 강남의 재수학원을 다니면서도 수학만은 찾아와 듣는 학생들도 많다고. 때문에 윤원장의 수능수업에서는 내신 성적의 좋고 나쁨으로 반 구성을 하거나 하지 않는다. 수능 수학으로의 연결 고리를 찾지 못한 학생들이 태반이기 때문. 그래서 아무것도 모른다는 가정 하에, 수능에서 등장하는 기본기부터 고난도 테크닉까지를 연결하여 수업한다.출판 예정인 교재, 맞춤형 수업 시기와 방향성까지윤원장의 고3 강의가 특별한 이유는 직접 집필한 교재도 한몫을 차지한다. 수능수학 기본개념서부터 실전문제풀이집, 모의고사문제집 등 모든 교재를 윤원장이 집필해왔다. 이 교재들은 ‘다르마시리즈’로 출판예정이기도 하다. 교재의 시리즈 구성은 수업과 맞닿아 있어서, 겨울방학부터 6월 모의고사 전까지는 개념서를 통한 기본기의 정립 시기다. 9월까지는 평가원의 기출을 통해 고난도 문제의 접근방법을 배우고, 9모평 이후 수능까지는 사설문제를 포함해 다양한 난이도의 문제들을 다뤄본다. 윤 원장은 “10월 수시 기간이전인 9월까지는 수능수학이 완성되어 있어야한다” 며 “유파수학의 수업만 따라온다면 충분히 가능하다”고 말했다.허나 힘든 수험생활을 버텨내며 수업을 잘 따라가는 것은 그것 자체로 힘든 법. 해서 입학 시부터 상담을 통해 학생들이 현실을 깨닫고 학습동기와 각오를 다질 수 있도록 독려한다는 윤 원장. “입학 전에는 반드시 대면 상담을 통해 학습목표를 설정하고, 수업을 따라올 각오가 되어있는지 확인한다”며 “주기적인 상담과 입시 전략 지도를 통해 수능까지 꾸준히 학습을 진행할 수 있도록 하고 있다”고 말했다. 이렇게 윤원장의 방식대로 수업을 잘 따라온다면 4,5등급의 학생도 1,2 등급으로 충분히 역전이 가능하다고.2021학년도 입시를 앞두고 원하는 대학에 수시지원 가능한 내신이 되지 않아 고민이라면, 내신에 관계없이, 지금부터 수능수학에 집중해도 충분히 1,2등급이 가능하다는 윤 원장의 말을 믿고 역전 만루 홈런을 쏘아보자.주소 안양시 동안구 평촌대로 140 아트상가빌딩 7층 2019-12-18
50대
이상
40대
30대
20대
이하
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