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- 수포자가 되는 학생들의 수학공부 유형 ② 문제를 제대로 읽지 않고 문제를 푸는 아이들수학을 들여다보면 기본적인 연산연습과 간단한 약속들이 있으며 이 두 가지의 활용이 엄청나게 어려운 문제를 만들어 내기도 한다. 이런 것들을 해결하기 위해서는 당연히 연산연습과 간단한 약속의 의미를 파악하고 이를 활용하기 위한 기본적인 적용 연습이 필요하다.허나 수학을 좀 한다는 많은 학생들은 어려운 문제풀기에 급급하여 연산연습은 지루하고 기본문제 풀이는 쉽다고 대충한다. (물론 이렇게 해도 되는 아이들도 있다.)쉬운 문제들을 원활하게 풀 수 없는데 어려운 문제를 어찌 잘 풀 수 있겠는가? 그렇다고 쉬운 문제를 잘 푸는 아이들이 어려운 단계의 문제를 잘 푸는 것은 아니다. 왜 이런 일이 벌어질까? 흔히들 출제자의 의도를 파악하라는 말들을 하지만 내가 누군가의 의도를 파악한다는 게 쉬운 일은 아니다. 의도를 파악한다는 것은 아마도 이런 말은 듯 하다, 주어진 문제에서 숨겨져 있는 조건을 찾아 그 의미를 알고 문제를 푸는 것 인데 사실 대부분의 아이들은 단지 수학문제를(심지어 한 장을 가득 메운 국어지문을 독해 할 수 있는 아이들이 길어봤자 다섯 줄 정도인 수학문제를) 제대로 읽지도 않고 문제를 푼다. 여기서 말하는 제대로 읽는다는 뜻은 당연히 수학문제에 나와 있는 조건을 보지 않는 것인데 실상은 그러한 조건을 찾고 의미를 파악하는 훈련이 부족하다고 볼 수 있다.수식과 글에 대한 독해력이 중요하다수학문제에서의 조건이란 무엇인가? 수식이다! 물론 난이도가 높아지면 수식과 수식을 연결하는 한글로 된 문장도 읽는 연습이 필요하다. 문제를 푼다는 행위가 제대로 된 결과를 나타내려면 이러한 수식과 글에 대한 독해력이 중요하다. 그러기에 아무리 쉬운 단원이라도 관련된 연산을 잘 하는지 확인해봐야 한다. 또 수학의 약속(지금 공부하는 단원의 내용 – 굉장히 많은 아이들이 자신이 공부 하는 단원의 제목도 모른다. 독서할 때 목차를 한 번 보는 것이 얼마나 도움이 되는지 모르는가?)을 제대로 이해하고 있는지 확인해봐야 한다. 이후에 다양한 문제를 풀게 하는 게 순서 일 것이다.그래서 어떤 선생님들은 아이가 스스로 파악 할 때까지 얼마나 시간이 걸리든 놔둔다고 하기도 하고 어떤 선생님들은 풀이를 보여주고 다시 풀게 하기도 한다. 당연히 이런 방법은 아이 들마다 다르게 적용되어야만 한다. 어떠한 방식이든 개개인의 관점에서는 다 좋은 방법일 것이다. 다들 읽기를 중요시 하고 의미를 파악하여 문제를 풀어야 한다는 것에는 동일하다. 단지 나는 어떠한 선택을 할 것이냐는 학생의 상태와 비용 대 효과의 문제라고 생각한다. 초등학교처럼 학습량이 많지 않은 경우라면 당연히 아이가 할 수 있는 만큼 시간을 주어도 된다. 하지만 학년이 올라 갈수록 학습량이 많아진다면 당연히 문제를 풀 때 한 없이 시간을 줄 수 없는 노릇이다. 다른 공부를 해야 하기 때문에... 이때는 선생님들의 지도가 필요하다. 틀리는 것을 싫어하는 아이들또 한가지의 문제점은 대부분의 아이들이 연습할 때 틀리는 것을 싫어한다는 점이다. 부끄러워하고 심지어 학원에서나 학교에서 틀린 것(학교 중간고사 기말고사 시험지나 모의고사 시험지를 제외하고)을 부모님이 체크하고 혼내기까지 한다. 시험이 아닌 공부를 하는데 틀린 것은 오히려 자신의 약점을 판단하는데 아주 좋은 기준이 되고 앞으로 틀릴 것을 알려주는 좋은 지표인데 말이다. 위대한 실패라는 말도 있지 않은가. 오답의 중요성은 말로 할 필요도 없다. 아이들이 서술형 풀이를 한 것을 보고 있으면 아이들의 현 상황을 잘 알게 된다.수학 학원을 다니는 대부분의 학생들은 수학 공부를 잘 하기를 원한다. 그렇다면 수학 학원을 다니는 학생들은 현재 나오는 자신의 성적에 만족할까? 부모님은 만족할까? 당연히 아니다. 그렇기에 학생은 더 많은 시간을 학원에서 보내야 하고, 학원에서는 더 많은 시간을 아이들 잡아두기도 한다. 그리고 부모님들은 많은 시간을 학원에서 보내는 것에 대하여 너무도 당연하게 여기고 있다. 물론 이러한 방법이 틀린 방법이라는 건 아니다. 강사 생활을 하면서 수 많은 학생들을 보면서 느낀 점은 공부에는 이렇게 해야 한다는 정답이 없다는 것이다. 학생들의 경우의 수가 너무 많아 각각의 특성을 파악하고 거기에 맞는 커리큘럼을 만들어 주는데에도 시간이 걸린다. 우리의 아이가 어떤 상태인가 하는 것을 판단하는 것은 굉장히 어렵고 중요한 일이다. 수학 공부는 잘하긴 어려워도 못하긴 참 쉽다.앞서 말한 다섯가지에 내가 어디에 해당하는지 생각해 보고 자신의 상태를 주위에 선생님들에게 빨리 찾아가 말하고 필요한 처방을 받는 게 중요하다. 환자가 자신이 아픈 걸 굳이 숨길 필요는 없다.그래도 한가지 꼭 알아두셔야 할 부분은 아이가 어떤 상태인지 개의치 않고 무조건 많이 풀고 오래동안 남겨서 시키는 그런 곳을 보내는 것은 다시 고려해 볼 필요가 있다. 숨돌릴 틈도 없이 만들면 수포자가 될 확률이 높다는 것이다.일산 후곡 수박 수학학원 박형록 원장031-922-0979 2020-10-23
- 수포자가 되는 학생들의 수학공부 유형 대학입시에서 수학의 중요성이야 설명할 필요가 없을 것이다. 초등학교때부터 시간과 돈을 엄청나게 투자 하지만 결과에 만족하는 경우는 사실 많지 않다고 볼 수 있다. 오랫동안 수학을 지도한 경험자로서 본다면 수학에서 좋은 성과를 얻지 못하는 유형의 학생들이 있다.첫 번째- 연산연습을 하지 않는 것!수학 공부를 하는데 있어서 가장 중요한 첫 번째 능력이 연산 능력이다. 운동을 할 때도 기초체력이 중요한 것처럼 수학도 기초 체력이 중요한데 그것이 바로 연산 능력이다. 그런데 그 연산 능력을 기르는 작업이 너무 힘들고 지루하다. 반복된 계산을 하여야 하니 더 그렇다. 하지만 꼭 필요한 준비 중에 하나이다.두 번째- 해설지를 자주 보는 습관!문제풀이를 할 때 어려운 부분, 막히는 부분이 나오면 바로 설명을 듣거나 해답을 보는 것이다. 항상 바쁜 아이들이 있다. 대부분은 지금 이걸 빨리 풀고 쉬고 싶다는 마음이겠지만...세 번째- 문제를 꼼꼼하게 읽지 않는다!두 번째의 습관 덕분에 문제를 잘 읽지 않는다. 이런 습관은 학년이 올라 갈수록 난이도 높은 문제에 대한 이해도가 떨어지는 결과를 초래한다. 흔히들 이런 상태의 아이들이 하는 말이 있다. “전 응용문제가 어려워요!” 학원에서 꽤나 많은 숙제를 주어도 다하는 아이들 중에서 혹시 학원서는 잘하는데 시험 보면 영 아니라는 생각이 들면 한 번 쯤 아이가 습관적인 문제풀이를 하는 것은 아닌지 볼 필요가 있다.네 번째- 틀린 문제를 다시 보지 않는다!당연히 틀린 문제를 다시 풀어봐야 하지만 선생님의 설명만 듣고 다시는 보지 않는 학생이 꽤 많다. 공부에서 복습은 굉장히 중요한 요소 인데도, 자신이 틀리거나 자신의 약점을 그대로 나둬 버린다. 사실 이건 공부 시스템의 문제일 가능성도 있다. 학원에서는 끊임없이 과제를 주고 그걸 풀어야 하는데 문제를 다시 볼 시간이 얼마나 있을까? 과제를 안주니 공부를 안 한다는 말도 일리는 있다. 학생들 중 공부를 재미있어 하는 아이들이 도대체 몇이나 있을까? 결국 이는 학원이나 학교에서 어떻게 학생에 대한 계획을 세워 주는가의 문제일 뿐이다.다섯 번째- 과도한 선행 학습!선행이야 많이 할수록 좋겠지만 학생마다 각각의 선행 소화량은 개개인의 능력이나 상황에 따라 어느 정도는 정해져 있다. 한 번쯤은 현재 자신의 수학 실력을 생각해보고 그것이 선행을 하지 않아서 인지 아님 지금 현재에 충실하지 않아서인지 생각해볼 필요가 있다. 사실 중학교에서 해야 할 양이 많지 않아 조금만 노력하면 진도를 끝내는 것은 일도 아니다. 그러다 보니 아이들의 선행 학습이 그 결과인데 몇 명에 맞춰진 선행은 결국 공부에 대한 아이들의 피로도로 나타나는 듯하다.(드디어 고등학교 1학기 중간고사 이후에 수포자들이 우후죽순처럼 나타난다.) 고등학교에서 수학 못 하는 학생들이 하는 공통된 말이 하나 있다. “ 샘 그래도 저 중학교 때는 수학 좀 했어요”작은 양의 진도와 징글징글 할 정도로 수학 문제만 풀게 되면 비슷한 문제가 시험에 나오는 건 당연한 것이고 그러니 생각 안하고 문제만 풀어도 답이 나온다. 수학을 잘 한 게 아니라 암기를 잘 한 거다.일산 후곡 秀박수학 박형록 원장031-915-0979 2020-10-16
- 수포자에 대하여 10대의 생활속에 인생의 첫 시련을 맞이한다. 몇몇은 아니겠지만 80%에 이르는 사람은, 특히나 고등학교를 진학하면서 ‘수학’이라는 거대한 벽을 만나게 된다. 어떤 과목보다 처음 등장한, ‘수’포자. 입에도 뭔가 착착 감기는 말이다. 왜 이런 현상들이 세대가 바뀌어도 계속 반복되는 걸까? 10대 때부터 수학을 어려워하는 친구들의 수학을 가르쳐 주며 자라온 나로서는 명확하게 이해가 안 되었지만, 수학교육의 뜻을 품고 대학에서 더 나아가 교육의 현장에서 피부로 느끼면서 이러한 것들의 의심과 의문들이 조금은 체계적으로 구조화가 되었다. 거시적 관점에서 수포자의 원인을 말하기에는 너무 광범위하고, 지금 말하고자 하는 것은 중·고등학교 수학시험점수가 낮은 것에 대한 이야기를 해 볼까 한다.학생의 학습능력에 보았을 때,1. 수 체계에 대한 이해도(이산적, 연속적)확실하게 자연수나 정수와 같은 이산적(서로 단절되는. 또는 그런 것. 연속되는 것과 반대되는 것)체계의 수나 형태들을 직관적으로 이해하기란 그다지 어려운 일이 아니다. 그런데 이 체계가 연속성의 세계로 진입을 하게 되면 추상적인 개념들로써 생각을 해야 되는데 이 벽을 넘지 못하는 학생들이 많다. 특히 고2로 올라와서 함수의 극한과 미적분에서 많이 좌절을 하게 되는 경우가 생긴다.2. 문자와 수식에 대한 이질감수학문제를 접하고 개념을 정리하면 상당히 많은 문자와 수식 만나게 된다. 수학의 모든 과정에서의 일반화와 수많은 공식과 개념설명, 문제풀이에서 쓰인다. 그리고 문자가 주어진 공식이나 식의 형태자체를 하나의 완성형으로 생각하는 경우도 많고, 모양이 조금만 바뀌어도 받아들이기 쉽지 않아지는 경우가 생긴다. 문제 속에서 나오는 특정 문자가 변수인지 미지수인지의 차이를 인지 못하는 경우도 있다. 물론 워낙에 수학의 개념과 공식을 일반화하기 위해 문자와 수식이 많은 것도 사실이다.3. 함수와 그래프, 방정식, 부등식의 관계이해도(대수와 해석기하의 이해도)대부분의 수학을 가르치는 분들은 이 부분에서 특히 많은 공감을 하실 것이라고 본다. 그래프를 그리는 것과 그 그래프들을 이용해서 방·부등식의 관계를 이해하는 해석기하의 부분이 결여된 학생들이 가장 많은 좌절을 맛본다. 달리 말하면 이 부분이 어느 정도 이해를 하고 많은 연습을 하면 수학이 조금 더 재미있어지고 쉬워질 것이다.4. 문제풀이의 잘못된 자세문제를 풀 때 잘못된 습관들이 상당히 많다. 해설지를 보고 푸는 경우, 틀린문제에 대한 피드백을 하지 않는 경우, 문제가 조금 어려울 때 조금의 고민과 시도없이 그냥 포기하는 경우 이런 일들이 반복이 되면 실전에서 좋은 점수를 맞기란 힘들고 점수가 낮아지면 자연스레 수학이 싫어질 것이다.5. 자기합리화(메타인지부족)이것은 수학적 능력뿐만이 아니라 10대의 생활의 전반적 부분에 속한다. 수학의 개념이나 문제를 정확히 이해 못 했을 때, 메타인지가 부족한 학생들은 각자의 방식대로 자기방어를 하게된다. 명확하게 본인의 문제점과 이 문제를 해결하기 위한 올바른 계획을 세우지 못하고 넘어가 버리게 되면, 수학이라는 학문의 특성상 앞의 부분이 제대로 이해가 되지 않으면 그 다음 스텝을 나가는 것은 거의 불가능하다. 이런 일이 반복이 되면 흥미가 떨어지는 것은 너무 당연한 일이다.학습하는 환경에서의 문제1. 실력에 따른 적절한 진도(선행)의 양선행은 필요하다. 하지만 학생의 능력에 따른 선행의 양을 적절히 나가야 한다. 대부분의 선행을 나가는 방법들이 무작정 진도만을 나가는 곳이 많다. 앞에서도 언급을 했지만, 수학이란 학문은 연결이 되는 개념들이 너무나 많고, 앞부분이 막혀 버리면 그 진도는 그냥 시간낭비와 학생들에겐 지루함만을 안겨 줄 뿐이다.2. 문제풀이의 부족수학에서 나오는 개념들은 타 과목보다는 어렵다. 수학을 가르치고 있어서가 아니라, 수포자라는 말이 그 증거라 볼 수 있다. 개념이해가 잘 되어도, 명확하게 안 되고 기억이 나지 않는 부분들은 반드시 많은 문제 풀이를 해주어야 한다. 문제를 반복적으로 풀어 봄으로써 막혀있던 개념들이 조각모음처럼 되는 상황도 존재하고, 주어진 문제를 푸는 해결력과 알고리즘도 생기고 본인이 부족한 부분들도 파악할 수 있다.3. 잘못된 교수법수학을 가르치는 강사들의 수학적 자질에 대한 문제뿐만 아니라 교수법에 대한 명확한 철학이 없이 가르치는 것은 아이들이 수학적 흥미와 성적에 좋지 않은 영향을 미친다. 아이들의 생각과 그 수준에 맞는 정확한 교수법이 더 해진다면, 학생들이 좀 더 수학에 흥미를 가질 것이고, 더 좋은 시너지가 날 것이다.4. 학부모님의 잘못된 영향학생들이 학교를 다니기 시작하고 시간이 지나면 대부분은의 학부모님은 우리아이들과 벽이 생기는 것을 느끼는 경우가 많을 것이다. 너무나 자연스러운 일이니 마냥 부수려고 하기 보다는 조금 더 신중하고 자연스럽게 다가가는 것이 좋을 것이다.현재도 과거에도 그리고 앞으로도 입시에 가장 많은 영향을 미치는 것은 수학이다. 그 누구도 이의제기를 하기가 어려울 것이다. 수학을 잘하고 못하고를 떠나서 수학을 포기하지 않고 정확한 계획과 실행이 되어 진다면 상상치 못할 결과물들이 나올 것이다.‘노력은 가끔 배신을 한다. 하지만 포기는 절대 배신하지 않는다.’ 참 좋아하는 문구이고, 수포자라고 본인을 표현하는 학생들에게 꼭 해주는 말이다. 절대 수‘포’는 하지 않기를 바라고, 앞으로 또는 현재 학생들이 행복한 학창시절을 수학과 함께 보냈으면 좋겠다.페르마수학 평촌캠퍼스고등부원장 정영채 2020-03-04
- 수포자는 태어나는 것이 아니라 만들어진다. 우리나라에서는! DNA는 바꿀 수 없다. 그러나 재능이 있는데도 후천적으로 만들어진 수포자라면 수학을 싫어하고 증오하게 된 과정을 복기하며 잘못된 부분을 분석하여 그에 맞는 명쾌한 설명과 원리 이해 그리고 진정성 있는 참된 동기부여로 수학에 대한 자포자기를 희망으로 바꿀 수 있으며 더하여 수학을 좋아하며 즐기게까지도 만들 수 있다.혹시 우리나라의 시중 수학 교재의 문제들을 꼼꼼히 살펴봤는가? 질식할 정도의 양으로 아이들의 기를 죽이는 물량폭탄식 문제집들, 말장난으로 베베 비틀어 놓은 소위 변별력을 가린다는 억지 문제들을 분별력 없이 풀게 하는 무모함, 그런 문제 선별 능력도 없는 것도 한심한데 어려운 풀이와 기계적인 해설로 오히려 설명을 듣고 나면 더 머리가 복잡해지고 가슴이 답답해지는 고구마 강의, 숙제를 일단 많이 내주는 것이 성적을 올릴 수 있는 지름길이라는 무책임함 등 이외에도 아이들을 수포자로 내모는 이유는 차고 넘친다. 이런 삭막하고 무지막지한 수학교육의 현실에서 어려움을 느끼지 않고 잘 해내고 있다면 그것은 거의 기적이다.위에 열거한 수포자의 지름길(?)을 하나하나 피하면서 아이들을 자발적인 참여와 동기부여로 현명하게 이끌어 내면 드디어 수학은 미소를 지으며 아이들에게 다가 선다. 문제를 하나하나 제대로 선별하여 날릴 것은 날려주며 진짜 문제다운 좋은 문제를 풀도록 하며 각 단원의 원리와 개념을 장황하거나 어렵지 않게 아주 간단히 촌철살인의 명쾌함으로 완벽히 깨닫게 만드는 멋진 사이다 강의, 문제풀이의 개수보다 한 문제를 풀더라도 철저한 오답 해설 그리고 리뷰까지 짚어주는, 양보다는 질을 우선으로 하는 깨어있는 선생님의 가르침 등은 아이들을 수포자의 늪에서 건져내어 즐겁고 재미있는 수학의 세계로 인도해낸다. 후천적 수학포기자(수포자)를 다시 후천적 수학성공자로 만드는 일은 이렇게 얼마든 가능하니 절대 미리 포기하거나 좌절하지 말기를 바란다. 수학 포기자는 스스로 이겨내기를 포기했을 때만 수포자로 남는 것이다!김필립원장김필립수학전문학원문의 02-552-5504 2020-02-06
- 왜 안산 학생들은 수포자(수학포기자)가 되는가? 안산 고등학생들의 대부분은 수학에 대해 부정적인 생각을 가지고 있고 심지어 수학을 포기 했다고 답하는 학생들도 종종 보인다. 안타까운 사실은 고교과정까지의 수학은 학문적으로 깊이 들어가지 않을뿐더러 단순한 연관관계에 대한 이해와 풀이뿐이라는 것이다.다시 말해서 현재 내신이나 수능에서 나오는 문항들은 올바른 접근법을 통해서 막혀있는 문제를 보다 쉽게 해결해 갈 수 있다는 이야기이다.그런데 왜 안산의 학생들은 수학을 어려워하고 포기하려고 하는 걸까? 필자는 수학을 공부하는 습관이 잘못되었기 때문이라고 생각한다. 평촌과 대치, 그리고 안산에서 다년간 수학 강사로 일해 온 필자는 그동안 많은 학생들과 수학 교육을 진행하면서 학생들의 수학 습관을 살펴보았다. 그리고 수학을 잘하는 학생들과 못하는 학생들을 구분해 보았는데 수학을 잘하는 학생들의 집단은 수학에 대한 학습법에 올바른 습관을 가지고 있는 반면, 수학을 못하는 학생들의 집단은 대부분 수학에 학습 습관을 가지고 있지 않을뿐더러 문항 풀이에 대한 전혀 정리되지 않은 풀이를 가지고 있었다.이것에 대해 막혀있는 자물쇠의 열쇠의 비밀은 무엇일까? 답은 간단하다. 본인만의 학습 노트를 작성해 나가는 것이다. 필자는 수학을 가르치는 학생들에게 본인만의 학습 습관 노트를 통해서 학생들의 수학 학습 습관 개선을 진행을 하고 있다. 수학 학습 노트를 통해 학생들이 필기하고 식을 해결하는 과정을 필자가 직접 피드백을 통해서 교정을 해주며 이 모든 과정을 필자가 보여주고 학생들이 따라함으로써 본인들의 습관으로 만드는 과정을 진행하고 있다. 이러한 과정을 통해 올바른 수학 학습 습관이 자리 잡으면 학생들은 스스로 본인의 문제점을 찾을 수 있고 충분히 보완해 나갈 수 있다.혹시나 수학 성적이 나오지 않아서 걱정을 하고 있는가?본인이 수학 성적이 나오지 않았다면 단순히 머리가 나빠서 또는 수학 자체가 어렵다고 생각하지 말고 학습습관교정을 통해 답을 찾길 바란다.나무학원유재형(나비쌤)031-362-5667 2019-12-05
- 수포자는 태어나는 것이 아니라 만들어지는 것이다! 아이가 성장하는 속도가 각각 다르듯 수학을 깨우치는 속도와 시간도 당연히 다르며 좋아하는 수학의 분야도 각각이다. 어떤 아이는 연산을 잘하고 어떤 아이는 삼각형 평행사변형을 좋아하기에 저마다 각기 다른 대응 전략으로 지혜롭게 가르쳐야 하지만 교육 현장에서는 획일적인 주입을 강요하며 아이들이 수학을 포기할 수밖에 없도록 몰아세운다.연산 실수 때문에 성적이 안 나온다며 연산으로만 빽빽한 문제집 한 권을 다 풀도록 강요한다. 그럴수록 아이는 연산이 더욱 더 끔찍해지며 결국 그놈의 연산 때문에 수학이 싫어진다. 함수를 아무리 들어도 이해가 안 가고 함수의 뜻도 도통 머리에 와 닿지 않는 데 문제를 풀어야 실력이 는다며 문제집을 계속 풀으란다. 잘 몰라서 그냥저냥 푸는 시늉을 하고 있는데 진도를 빨리 나가야 한다며 오답도 제대로 안 해주고 다음 진도를 나간다.그렇게 훌쩍훌쩍 진도를 나가다가 어느새 책 한 권 선행을 마쳤다며 끝낸다. 가슴이 답답하다. 뭘 배웠는지도 기억이 가물가물 캄캄한데 어떻게 수포자가 안될 수 있겠는가?이렇듯 수포자는 태어나는 것이 아니라 잘못된 수학교육 과정에서 어쩔 수 없이 만들어진다. 아이들 각각의 이해도와 선호도 및 개별 습득 속도를 헤아리고 배려하며 파도처럼 몰아치다 때로는 차분히 아이의 속도에 맞춰 기다려주면서 아이의 장점을 발판삼아 약점까지 커버하게 만드는 훌륭한 선생님의 제대로 된 설명 및 강의라면 어떤 수준 어떤 학년의 아이라도 수학을 좋아하게 만들 수 있는데 안타깝게도 그런 참 선생님을 찾기가 하늘의 별 따기다. 그러니 수포자도 많아지는 참담한 현실이다.그러나 찾기는 쉽지 않지만 분명 존재하는 훌륭하고 지혜로운 선생님의 참다운 가르침을 만난다면 수학을 좋아하게 되고 수포자에서 수학 1등급으로의 극적인 역전도 이루어 낼 수 있으니 절대 미리 좌절하거나 지레 포기하지 말길 바란다. 그리고 다시 한번 명심하라. 잘못 만들어진 모든 것은 훌륭한 손길로 다시 제대로 완성할 수 있음을!김필립원장김필립수학전문학원문의 02-552-5502 2019-10-31
- 포기하려니 중요하고, 같이 가자니 버거운 수학 요즘은 문이과 계열 구분이 사라졌지만 계열을 떠나서 대부분의 학생들에게 중요한 과목이 수학이지만 대부분의 학생들에게 어려움과 정신적 육체적 고통을 주는 과목 또한 수학인 것 같습니다. 어느 한 학년 또는 어느 한 학기를 소홀히 하면 그 파장으로 인하여 수학을 포기하는 상황까지 이르게 되기 때문입니다.이러한 수학을 공부하는 방법은 의외로 간단하기도 단순하기도 합니다.눈으로 보고, 귀로 듣고 동시에 머리로 익혀야 합니다. 수학을 공부하기 위한 첫 단계이자 가장 중요한 부분입니다. 수학적인 개념과 원리는 설명과 판서로 이루어지기 때문에 개념설명을 귀로 듣고, 눈으로 관찰하고 머리로 이해를 하는 과정이 필수적입니다.그다음 단계는 이해한 개념을 스스로 익혀야 하는 단계입니다. 개념과 원리를 파악한 후 다양한 문제에 적용을 하여 문제를 해결하는 과정을 통해서 자신의 것으로 만들어 가야 합니다. 배우기만 하고 익히지를 않으면 수학은 아무런 소용이 없습니다. 개념과 원리를 배운 시간의 최소 2배 이상의 시간을 투자하여 익히기를 해야 합니다.마지막 단계는 복습입니다. 일주일간 익혔던 과정을 다시 되돌아보는 시간이 중요합니다. 또한 틀린 문제는 반드시 확인해야 합니다. 선생님 또는 친구에게 질문하여 해결한 문제를 자신이 해결한 것이라 착각을 하는 경우가 많습니다. 학교시험에서 틀린 문제는 수학 공부를 하면서 틀렸던 문제들인 경우가 상당히 많습니다. 따라서 틀린 문제는 두 번 세 번 꼭 확인하는 습관을 가져야 합니다.눈으로 보고, 귀로 듣고, 머리고 이해하고, 스스로 익히는 과정을 꾸준하게 실천을 한다면 수학 성적은 자연스럽게 상승할 수 있습니다. 누구나 알고 있는 간단한 방법이지만 누구나 쉽게 실천할 수 있는 것도 아닙니다. 이제부터 꾸준하고 계획성 있는 수학공부를 시작해 보시기 바랍니다. 아직 늦지 않았습니다!!!안카에듀육남곤 부원장 2019-07-18
- 최강수학 최동조 원장의 3월 모의고사 분석 “수능영어와 국어의 난이도는 높아진 반면 수학 난이도는 점점 낮아지는 추세다. 특히 지난해와 3월 모의고사 수학문제를 분석해 보면 킬러문항 난이도의 하락 경향이 두드러지게 나타나고 있다” 3월 7일 치러진 모의고사를 분석한 최강수학 최동조 원장의 말이다. ‘지피지기면 백전백승’이라는 병법의 말처럼 최근 입시경향을 알아야 공부전략도 세울 수 있다. 최동조 원장을 만나 변화된 입시환경에서 효과적인 수학 공부법에 대해 알아봤다.수포자 키우는 킬러문항, 난이도 하락수학과목의 난이도의 기준은 소위 ‘킬러문항’의 난이도를 말한다. “수능 21번과 30번 문항은 최상위권 학생들이나 도전할 수 있는 킬러문항이다. 일본 동경대 본고사 문제와 유사한데 동경대 본고사는 150분에 6문제를 푸는 시험인데 반해 우리 수험생들은 킬러문항을 포함한 30문항을 100분안에 풀어야 한다. 이 때문에 아예 최상위권 문제를 포기하고 시험을 준비하는 학생들도 적지 않았다”고 말한다.이처럼 어려운 문제는 학교 현장에서 수학을 포기하는 일명 ‘수포자’를 양성해왔다. 하지만 킬러 문항의 난이도가 하락하면서 수학을 꾸준히 공부해온 학생들에겐 희망이 생겼다. 최 원장은 “최상위권 문제가 예전보다 쉬워지면서 수학 공부를 놓지 않고 꾸준히 해왔던 학생들도 만점에 도전할 수 있게 됐다. 수학 난이도 하락은 안산지역 학생들에게는 입시실적에서 유리하게 작용할 것이다”고 말한다.출제자 의도 분석하며 심도 있게 공부해야난이도가 낮아지면 변별력이 없어지지 않을까? 지난 3월 모의고사 등급컷을 살펴보면 난이도 하락이 등급컷 상승을 불러오진 않았다는 것을 알 수 있다. 수학 가형과 나형의 1등급컷은 각각 88점과 80점. 생각보다 낮게 형성됐다. 최 원장은 “시험이 어렵지 않았는데 등급 컷은 생각보다 낮은 것은 올해 수험생들의 실력을 보여주는 수치다. 특히 지난해 불수능으로 인해 재수생들도 많을 거라 예상되기 때문에 실제 수능에서는 3월 모의고사 등급보다 1~2등급 내려갈 것을 예상해야 한다”고 말한다.그렇다면 수학 고득점을 위한 공부법은 어떻게 해야 할까? 최 원장은 “킬러 문항 난이도가 낮아진 것은 사실이지만 나머지 문제들의 난이도는 그대로다. 중상위권 학생들이라면 유형별로 문제를 분석하는 등 심도 깊은 공부를 해야 실수를 줄이고 최상위권 문제에 도전할 수 있는 시간을 벌게 된다”고 조언한다.수학 잘하면 정시에서도 유리수학공부를 포기할 수 없는 이유 중 하나는 수학성적이 높을수록 정시에서 유리하기 때문이다. 최 원장은 “나름 전략을 세운다는 학생들 중 가장 안타까운 사례가 수시 준비한다며 정시 준비를 포기하는 학생들이다. 물론 내신 대비와 학교 활동 등 수시를 준비도 중요하지만 미리부터 수능을 포기하겠다는 것은 수시전형 중 최저가 있는 전형과 정시전형 기회를 포기한다는 말이다. 수시를 준비하는 학생들이라도 수능 수학만큼은 포기하지 말아야 한다”고 말한다.정시에서는 각 학교마다 수학과목 반영비율이 높아 수학점수가 높을수록 대학별 환산점수가 높기 때문이다. 과목별 반영 비율에 따라 환산점수는 달라지는데 정시에서 수학 반영비율은 최대 50%까지로 높다. 서울대, 성균관대 중앙대 단국대 세종대 등 5곳은 40%의 비율로 반영하고 숙명여대는 수학 반영비율이 50%나 된다. 수학 가형에 가산점을 부여하는 학교도 많아 정시전형에서 수학성적은 절대적이다.안산 수학전문학원 최강수학에서는 내신과 수능 대비를 위해 상위권반을 별도로 운영 중이다. 최 원장은 “최근 3년간 모의고사와 수능의 난이도 높은 문제를 풀면서 각자가 푼 방식에 대해 토론도 하며 실력을 쌓아간다. 정답을 찾는 과정에 대한 탐색이 이뤄지기 때문에 학습효과가 뛰어나다”고 말한다. 2019-03-27
- 수포자의 늪 피해 수능까지 수학 완주하기 첫 영어절대평가가 도입된 2018 수학능력시험이 끝나고 수학 과목의 중요성은 더욱 높아졌다. 영어 90점 이상을 받은 1등급 학생들이 10%를 차지하면서 상위권 학교에서 영어과목의 변별력이 사라지지고 풍선효과에 의해 국어 수학의 중요성이 높아졌기 때문이다. 영어의 부담이 줄어들자 수험생의 가장 큰 고민으로 떠오른 수학. 특히 수학은 건축과 비슷해서 단단한 기초위에 하나하나 쌓아가야 하는 학문이다. 단기간에 성과를 낼 수 없을 뿐만 아니라 끝까지 완주하기 위해 넘어야 하는 산도 많다. 수학능력시험이라는 구체적인 목표가 눈앞에 나타난 고등학생들의 겨울방학 수학 공부법 어떻게 설계해야 할까? 수능수학 전문학원 클레이수학 임위성 원장을 만나 고등학생 학년별 수학 공부법 조언을 들었다.예비 고1, 절대적인 학습시간 늘리기고등 수학을 준비해야 하는 예비 고1 학생들에게 겨울방학은 매우 귀중한 시간이다. 중학과정에 비해 고등 수학은 난이도가 높아질 뿐만 아니라 시간을 투자한 만큼 성과를 내기도 쉽지 않아 자칫 고등학교 진학 후 수학을 포기하는 수포자가 많이 발생하는 시기도 바로 고등학교 1학년 과정이다. 이 때문에 수포자의 늪을 피할 수 있느냐는 예비고1 겨울방학에 달려 있다고 해도 과언 아니다.임위성 원장은 고등수학 체감 난이도를 높이는 이유 중 하나는 평가방법의 차이 때문이라고 꼬집었다. 평가방법에 대해 정확히 알게 된 후 자신의 위치에 맞는 수학 공부법을 찾아야 한다는 것이다. 임 원장은 “중학교 수학 성취평가 결과를 분석해보면 수학과목에서 90점 이상인 A등급을 받는 학생들의 비율은 약 20% 정도지만 고등학교에서는 상위 4% 이내에 들어야 1등급을 받을 수 있다. 중학교 때 A를 받았던 학생들이 그 실력 그대로 유지했을 경우 1등급에서 3등급까지 수학 점수를 받게 된다”고 말한다. 고등학교에서 기대보다 낮은 성적을 받았다고 지나치게 실망하거 포기하지 말고 학습시간을 늘리는 공부습관을 키워야 한다는 것이다.예비 고2, 진로에 맞는 문 이과 선택내년 고2는 문·이과 통합교육 전 마지막 세대다. 진로에 따라 문과 이과를 분리해 선택하는 학년이다 보니 선택에 따라 수학 공부법도 달라질 수 밖에 없다. 문과는 수학의 범위가 이과보다 좁기 때문에 기존 공부습관에 따라 차근차근 준비해야하지만 수학시험 범위가 배로 늘어나는 이과 선택 학생들의 경우 그만큼 학습량이 늘어나야 한다.임 원장은 “특히 한 학기에 수학 두 과목을 배워야 하는 고등학교 2학년 과정은 마치 두더지 잡기 게임과 같이 하나를 잡으면 다른 한 과목이 무너지는 현상이 반복된다.”며 “이런 과정을 극복하기 위해서는 절대적인 학습시간이 늘어나야 한다”고 말한다.학습시간을 무작정 늘리기가 쉽지 않은 경우 1:1 첨삭지도로 단기 목표를 정해 차근차근 시간을 늘려나가는 것도 필요하다. 임 원장은 “수학 수업을 어떻게 진행하는 것이 효율적인가에 대한 고민을 계속하는데 강의식 수업보다는 개인별 수준에 맞춘 첨삭식 수업이 훨씬 효과적이라는 것이 입증되고 있다”며 “첨삭식 수업은 개인별 수준에 따라 진도를 설정하고 목표를 달성하기 때문에 훨씬 효과적으로 수학을 공부해 나갈 수 있다”고 말했다.예비 고3, 진도 마무리 후 수능 대비 집중예비 고3들의 수학 공부는 본격적인 수학능력시험 준비라고 할 수 있다. 3학년 진도 예습과 함께 모의고사 준비를 시작해야 하는 시점도 바로 겨울방학이다. 임 원장은 “수학능력시험 시작은 3월 모의고사라고 할 수 있다. 경쟁 상대인 모든 학생들이 수능을 향해 출발한 만큼 과거의 성적에 연연하지 말고 착실히 준비해 나간다면 좋은 성과를 볼 수 있다”는 것이다.특히 모의고사 준비에서 가장 비중을 많이 차지하는 것이 기출문제 풀이다. 기출문제 풀이는 평가원의 문제 경향을 분석하고 사고력을 키울 수 있는 공부법이다. 임 원장은 “수능은 세상에 없는 문제를 풀어내는 시험이다. 기출문제 풀이는 계산력, 추론력, 해결력, 이해력을 키울 수 있는 과정이 된다”고 말한다. 2017-12-13
- 수포자가 생기는 이유는? 2018년을 기준으로 고1이 되는 학생들은 새로운 수학교육과정을 배운다. ‘수포자(수학포기자)’ 발생을 막고자 학습량이 과다한 부분을 적정화한 듯하다. 그리고 학생들의 설문조사를 바탕으로 수포자의 원인을 ‘내용이 어렵다, 배울 양이 많다. 진도가 빠르다’쪽으로 원인을 연결시킨 듯하다. 사실 수포자가 생기는 이유에 대해서 “내용이 어렵고 학습량이 많으며 진도가 빠르기 때문”이란 내용은 수학포기의 원인을 너무 단순화하고 진짜 원인을 보지 못하게 하는 문제점을 지닌다. 필자가 현장에서 만나본 수포자 발생의 원인은 내용의 난이도나 학습량의 과다보다 훨씬 더 넓고 깊다.수학을 학습할 의미를 느끼지 못해서, 수학 외에도 학습해야 할 과목이 너무 많아서, 문제가 풀리지 않을 때 누가 바로 옆에서 피드백을 주고 도와주는 사람이 없어서, 선천적으로 학습이 느리거나, 난독증 같은 인지적 장애, 주의력결핍 과잉행동장애등 수학을 포기하는 이유는 정말 다양하다.필자는 수포자의 발생원인을 자기체계(self-system)를 기반으로 검토해봐야 한다고 생각한다. 자기체계란 그 사람만의 고유한 인식과 경험의 집합체로서 그 사람만의 상호 연결된 신념 체계이다. 이것이 세상을 이해하고 목표를 결정하고 어떤 과제를 추구할 것인가를 결정한다. 즉 이는 학습동기를 결정하는 시스템이다. 수업을 진행하면 학생의 자기시스템이 무의식적으로 다음 세 가지 질문을 스스로에게 던진다.“저것이 내게 필요한가? 저것이 나에게 어떤 의미가 있지?”“저것을 내가 해낼 수 있을까?”“내가 지금 저것을 할 기분인가?”수많은 수포자가 수학을 포기하는 이유는 위의 세 가지 질문과 깊은 관련이 있다.즉, 수학을 포기하는 첫 번째 이유는 필요하다고 느끼지 않기 때문이다. 학생이 스스로 수학이 필요하다고 느끼지 않으면 수학 수업 내용에 주의를 기울이지 않는다. 이를 테면 수업에 집중하는 대신 친구들, 간식, 게임, 외모, 연예인등에 더 관심을 가진다. 어떤 학생에게는 이것이 생존을 위해 수학 수업보다 훨씬 더 중요할 수 있다고 자기체제가 반응하기 때문이다. 만약 수학이 절실히 필요한 것이라고 느꼈다면 어떨까? 가령 6개월 후 미국으로 이민을 간다면 영어가 어렵다고 영어를 배우지 않겠는가? 지금까지 수학이 교과목으로 지금만큼이라도 유지될 수 있었던 것은 순전히 대학입시 때문이다. 대입을 위한 목적 외에 수학을 배울 필요가 있다고 느끼지 못하는 학생이 다수일 것이다. 이것이 수포자가 발생하는 제 1원인일 수 있다.수학을 포기하는 두 번째 주요 이유는 자신은 해낼 수 없다는 생각 때문이다. ‘자신이 해낼 수 있다, 없다’는 단순히 수학의 난이도를 말하는 것이 아니다. 오히려 자기 유능감(self-efficacy), 자신감(confidence)과 관련이 깊다. 자기 유능감이 낮은 것은 과거 성공의 경험이 없기 때문이다. 학생은 자신에 대한 주위의 기대에 따라 반응한다. 하지만 많은 선생들이 학습부진을 겪는 학생들에 대해 유전요인, 환경요인, 다른 조건들 때문에 학습 잠재력이 낮다고 믿는다. 또, 가르쳐도 이해하지 못하거나 금방 잊을 거라 생각하고 대충 가르치기도 한다. 부정적인 피드백을 자주 하기도 한다. 강점보다는 잘못된 것부터 찾아내는 경우도 많다.마지막으로 수학을 포기하는 주요 이유는 학습을 할 기분이 나지 않기 때문이다. 몇 가지 이유를 찾아보면 수업 환경이 위협적인 경우가 있다. 선생의 권위적이거나 일방적인 지시, 교사의 잔소리 등이 다 포함된다. 또 질문에 대해 잘못 답변을 했을 때 창피를 당할지도 모른다는 두려움도 모두 포함된다. 교사가 평소에 학생을 인정하고 수용하며 노력하면 가능성이 충분하다는 성장관점, 긍정적 기대 등을 가지고 있을 때 학생은 수학 시간에 수업할 기분이 든다.그러면 이런 원인으로 수학을 소홀히 하는 학생은 어떻게 해야 하는가? 가르치는 것에만 포인트를 줘서는 안된다. 이 과정이 현재 세상의 어떤 부분에 어떻게 응용되고 활용되었는지의 정보를 지속적으로 줘야한다. '무엇(what)을' 가르치고 배울 것인가 보다는 '왜(why), 어떻게(how)' 가르치고 배울 것인가가 중요하다. 또, 자기 유능감을 키워주려면 작지만 성공의 경험을 하나씩 늘려가야 한다. 기초가 부족한 학습자들에게는 한 단계 위로 올라가기 위한 발판의 마련(scaffolding)이 중요하다. 그리고 교실의 수업분위기가 기본적으로 편안하고 안전해야 한다. 또, 실수에 대해서 관대하고 실수하는 것을 두려워하지 않도록 해야 한다.신도열 강사에이텐수학학원 2017-11-15
50대
이상
40대
30대
20대
이하
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