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- 한국 수학을 잘 하면, 미국 수학도 잘할까? 자녀를 국제학교(외국인학교)에 진학시키거나 해외 유학을 보내려고 준비 중인 학부모들의 공통된 고민 중 하나는 ‘수학 선행을 어느 정도 시켜야 하는가’이다. 주변 학생들의 수학 학습량이나 선행 속도에 위기감을 느끼고, 무작정 한국 수학 학원에 보내는 경우도 많다. 하지만 안타깝게도 한국 수학을 선행했다고 해서 미국 수학의 선행이 제대로 이루어지지는 않는다. 27년 경력의 미국 수학 전문가 존 김 원장을 만나 효과적인 미국 수학 학습법에 대해 들어보았다.미국 수학≠한국 수학“미국 수학과 한국 수학은 접근하는 철학부터 다릅니다.” 존 김 원장의 말이다. 그는 “한국 수학이 ‘정교한 암기’를 베이스로 한다면 미국 수학은 ‘개념에 대한 정확한 이해와 활용’에서 출발합니다. 이 차이를 인정하지 않고 무작정 한국 수학 공부만 열심히 한다면 미국 수학과 맞닥뜨렸을 때 당황할 수밖에 없습니다”라고 설명한다.한국식 수학 학습에 익숙한 경우라면 새로운 문제를 만났을 때, 외운 공식들을 떠올리며 유형을 분석하고 적합한 공식을 적용하려고 시도한다. 하지만 미국식 수학 학습에 익숙한 경우라면 배운 적이 없는 문제를 만나더라도 당황하지 않고 다양한 방법들을 시도한다. 존 김 원장은 “학부모 상담 시 답하기 곤란한 경우가 많습니다. 예를 들어 한국식 교재로 특정 학년 몇 단계까지 공부를 했는데, 이게 미국 수학으로 몇 학년 과정까지 학습한 것과 같은지를 묻거든요. 단순하게 설명하기 어렵습니다. 미국 수학에서는 학년에 맞는 공식이나 단원이 정해져 있지 않습니다”라고 말한다.수업 중 계산기 허용된 미국 수학 현재 미국 대부분의 초중고 학교에서는 수업시간에 계산기를 사용할 수 있다. 근의 공식도 외울 필요가 없어 보인다. 하지만 명문 고등학교에서는 여전히 계산기를 거의 쓰지 않는다. 미국식 수학에서 필요한 것은 공식 암기가 아니라 개념들 사이의 연결과 전체적인 흐름 파악이다. 학년별 정해진 단계에 따라 학습하는 것이 아니라 개인적인 수준에 따라 그에 맞는 풀이법을 찾으며 학습한다.‘쿨김 아카데미’에서는 사진에서 보는 것처럼 각기 다른 학년인 5,6,7학년 학생들이 함께 문제를 풀 수 있고, 심지어 5학년 학생의 사고가 6,7학년 학생들의 아이디어 보다 뛰어나 해당 문제풀이를 리드해 나갈 수도 있다. 당연히 학생주도의 토론식 수업이 진행된다. 강사는 그 곁에서 학생들이 흔들리지 않고 풀이법을 찾아갈 수 있도록 지도하는 역할을 맡는다.미국 수학과 한국 수학의 효과적 매칭 ‘쿨김아카데미’에서 한국 수학을 활용한 미국 수학 수업을 진행하고 있는 존 김 원장은 27년 동안 강의한 베테랑 수학강사다. 미국 현지 학원과 사립학교에서 수학을 강의한 경험도 있고, 수학 교재를 집필했던 경험도 있다. 유태인 학교에서 강의하며 토론식 수업의 장점도 습득했다. 그래서 그는 수업시간에 다양한 미국 교과서와 SAT 교재를 함께 사용한다. 한국과 미국의 수학 개념이 어떻게 다른지, 미국 수학에서 꼭 알아야 하는 부분은 무엇인지, 빼도 되는 부분과 심화 학습을 해야 하는 부분은 무엇인지 학생 스스로 분명하게 파악할 수 있도록 수업한다. ‘쿨김 아카데미’에서 수학 강의를 듣는 경우, TLCI를 통해 해당 학년 미국 교과 학점 이수도 가능하다. 실제로 미국 고등학교에 재학 중이면서 방학 기간을 이용해 수학 추가 학점을 이수하거나, 국내 국제학교에 다니면서 미적분학 학점을 취득하는 등 다양한 사례들이 있다. 문의 010-3653-2511, https://ghimsmath.blog.me 2019-05-09
- '엄마표 넛지 연산' 그 현장을 가다 수학의 원리를 이해하는 '엄마표 넛지 연산'이 화제다. 수를 마음대로 가지고 놀며 수학에 자신감을 갖고 수학에 흥미를 갖는 아이들. 아이의 ‘큰’ 변화를 옆에서 지켜보며 제대로 된 연산학습에 동참하고픈 엄마들이 수요일(격주)에 지마수학학원 ‘엄마표 넛지 연산 강의’를 찾고 있다.엄마표 넛지 연산을 진행하는 지마수학 최재호 원장은 메가스터디 수리영역 강의를 비롯 수학 강의 경력만 20년에 달하는 베테랑 수학강사. ‘어떻게 하면 아이들이 수학을 잘 할 수 있을까’에 대한 깊은 고민이 그를 여기까지 이끌었다.그는 “많은 고등학생들을 가르치며 수학에서 ‘수’를 제대로 인지하지 못하면 ‘식’에 대한 이해도 제대로 할 수 없음을 실감했다”며 “수학을 잘 하기 위해서는 수학에 대한 자신감이 있어야 하고, 수의 정확한 인지를 통한 연산학습이 필수”라고 강조한다.엄마가 학생이 되어 연산에 집중하는 시간, 엄마표 넛지 연산 수업 속으로 들어가 봤다.수에 담긴 의미가 보이기 시작합니다! 오늘은 엄마표 넛지 연산 세 번째 수업으로 수업 주제는 곱셈.“곱셈의 개념이 뭘까요? 아이와 함께 곱셈을 공부하려면 곱셈의 학문적, 사전적 의미부터 알아야 하지 않을까요? 아이들에게 어떻게 다가갈 것인지 고민해보는 것이 우선입니다.”곱셈은 동수(같은 수)의 덧셈이다. 87×23은 87을 23번 더하라는 의미. 의미를 알면 아이들은 나름의 답을 구하려 머리를 굴리기 시작한다.그런데 문제는 여기서 부터다. 남녀노소를 막론하고 많은 사람들이 이 식을 보는 순간, 손은 이미 세로식을 작성하고 있을 것이다. 수나 연산에 대한 생각 없이 세로식에 익숙하다보며 수의 대한 정확한 인지는 하지도 못한 채 단순한 한자리수 곱하기에 집중하게 된다.처음 연산을 접할 때 ‘수’ 자체를 보는 다양한 생각을 갖게 하는 것. 엄마표 넛지 연산에서 중요하게 생각하는 연산의 기본이다. 세로식 없이 답을 구해보자.87×23=87×20+87×387×20은 87의 열 배의 두 배니까 1740, 87×3은 261, 합은 2001이 된다. 이 과정을 오로지 암산으로만 하라는 것이 아니다. 단지, 습관적 세로식이 아닌 수를 생각하라는 것.“학생들에게 트윈(twin)수, 쌍둥이수에 대한 인지를 수시로 훈련시킵니다. 15+15=30 여기에서 15의 2배는 30, 30의 반은 15, 개념의 확장이 이뤄지는 거죠. 다양한 수를 같은 방법으로 훈련하다보면 아이들은 ‘수’ 안에 담긴 의미를 파악하기 시작하고, 그 수에 담긴 의미를 다양하게 활용하기 시작합니다.”지마표 연산, 아이들 자존감과 수학 자신감이 올라갑니다!주어진 숫자에 보이지 않는 수를 더하거나 빼 연산을 쉽고 빠르게 처리하는 것은 지마표 연산의 기본이다.‘456+299’ 계산을 교과서에 나온 방법으로 하라면 세로식을 사용해야 한다. 하지만 수 크기에 대한 생각과 의미가 머릿속에 그려지는 아이라면 ‘456+300-1’의 식으로 단숨에 답을 구하게 된다. 이렇게 자신만의 방법으로 연산에 익숙해진 아이들의 자존감과 수학에 대한 자신감은 엄마들이 생각하는 그 이상이다.연산에 자신감을 갖는 아이를 보며 직접 엄마표 연산 강의까지 듣게 됐다는 박진선(잠실동)씨는 “아이(초3)가 연산을 싫어해 걱정을 많이 했는데, 지마 수학 방학특강을 한 달 듣고는 아이가 180도 변했다”며 “스스로 문제를 풀려고 할 뿐 아니라 문제 푸는 시간도 굉장히 빨라져 너무 놀라웠다”고 말했다. 또, “‘우리 아이는 수학을 싫어하는구나’라고 생각했는데 수학을 좋아하는 잠재된 능력까지 알게 됐고 ‘수학을 잘 할 수 있을 것’이란 기대감도 생겼다”고 덧붙였다.최 원장은 “‘수’에 대한 정확한 인지는 수학의 큰 축을 이해하는 것”이라며 “정확하게 수를 파악한 후 빠르고 정확하게 연산을 해내는 과정은 아이들에게 수학의 자존감을 올려주는 동시에 중·고등 수학도 잘 할 수 있다는 자신감까지 갖게 한다”고 강조한다.지속된 습관이 실력으로 이어집니다!흔히 암기로 여겨지는 19단의 개념과 원리는 엄마들에겐 마법처럼 느껴진다.19×13.19단의 원리를 이해하기 위해선 사칙의 동시성이 필요하다.(10+9)×(10+3). 단순한 계산에서 그치지 말고 식을 한번 들여다보자. 10이 과연 몇 번 곱해지는 것일까. 10이 곱해지는 수는 10과 3, 9. 여기에서 아이들은 10이 22번 곱해지는 걸 찾아내고 남은 일자리수를 곱해 220+27=247란 답을 구해내는 것이다.아이들이 이런 머릿속 마법을 부릴 때 가장 큰 방해요소는 엄마들이다.“너만의 방식으로 문제를 풀지 말고 ‘학교에서 배운 대로 해’라는 엄마들의 명령에 아이들은 스스로 변형하고 수를 주무르는 사고 확장의 기회를 잃어가게 됩니다. 그러면서 한편으론 창의수학을 강조하시죠. 창의수학이 거창한 게 아닙니다. 스스로 생각하는 힘이 기본이죠. 수를 마음대로 가지고 노는 아이들은 수학적 사고의 개념이 남다르고 수학을 받아들이는 흡입력 또한 다릅니다.”최 원장이 엄마표 넛지연산 강의 의미를 강조한다. 수업에 참여한 엄마들의 반응 역시 최 원장의 강의 목표에 다가가 있다.박미옥(잠실동)씨는 “엄마표 넛지 연산 강의를 통해 새로운 연산이 있다는 걸 알게 됐고, 이런 게 있다는 걸 알게 된 것만으로 아이와 함께 제대로 된 연산을 공부하는 걸 시도해볼 수 있을 것 같다.”고 말했다.정미주(가명·잠실동)씨는 “첫 시간 원장님 강의를 듣고 ‘신세계’를 경험한 것 같아 한주도 빠지지 않고 참석하고 있다”며 “강의에서 들은 내용을 아직은 수 개념이 잡혀 있지 않은 아이(7세)에게 직접 적용해봤는데 곧잘 따라오고 흥미로워해, 수에 대한 공부를 다양하게 끌고 갈 수 있는 것 같은 확신이 든다”고 말했다.지마수학의 ‘엄마표 넛지 연산 강의’는 수요일(격주)에 무료로 진행한다. 2019-05-09
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수학과학학원에서 꿈의 가치를 찾다
마이웨이 괴짜 사부들의 인생과외를 그린 예능 프로그램이 물음표 가득한 청춘들에게 묵직한 메시지를 전하며 감동을 주고 있다.박진영이 초(sec) 단위로 자기관리를 하며 악착같이 살아온 이유는 꿈을 이루기 위해서였다. ‘무엇이 되고 싶다’가 아니라 ‘무엇을 위해 살고 싶다’가 꿈이 되어야 한다는 그는 인생 전체를 바칠 만한 ‘가치’를 찾아야 한다는 큰 울림을 준다.엠클래스 장동민 원장의 교육철학을 듣다보면 ‘위치’ 너머 ‘가치’로서의 꿈에 대한 박진영의 메시지가 함께 읽힌다.양적 성장보다 질적 성장을!수학과학 전문학원 엠클래스가 진짜 공부를 하고자하는 학생들 사이에서 ‘참 괜찮은 학원’으로 입소문을 타면서 얼마 전 강의실을 확장했다. 그러나 아이들을 한눈에 담기 위해 학원 규모를 줄였던 장 원장은 학생 수가 느는 것을 그다지 반기지 않는다. 아이들의 능력치를 키워주기 위해 다양한 경우의 수를 고민하고 방법을 찾아야 직성이 풀리는 그는 “아이들의 점수를 건네 듣는 것만으로는 마음이 놓이지 않아요. 품안에 있다는 느낌이 들지 않는 거죠”라며 우려를 내비친다. 그 우려는 가치 있는 삶을 살기 위한 ‘선한 영향력’이라는 장 원장의 교육철학에서 비롯된다.‘나’라는 존재가 누군가에게 선한 영향력을 미치고, 그 사람은 다른 이에게 또 좋은 영향을 주는 알고리즘이 아이들 인생의 어느 길목에 작용할지 모르기 때문이라는 것이다.‘선한 영향력’ 펼치기 위한 공부장 원장의 소신은 학원 선생님들에게도 면면히 이어진다. “명강사가 되려하지 말 것. 강의하는 사람으로 끝나면 안 된다. 학원의 모든 아이들을 향한 책임감으로 함께하기”를 주문한다. 먼저 태어난 사람으로서 선생(先生)의 역할을 다 하라는 얘기다. 화학, 물리, 생명공학을 전공한 선생님들은 ‘아이들을 사랑하는 마음’을 기본으로 장착하고 학생들의 언어와 신호를 관찰하며 아이들의 성장을 위해 일당백이 되어준다.수학?과학을 가르치지만 국어와 독서의 중요성을 강조하고, 시험 점수가 잘 나오지 않아도 ‘진짜 괜찮다’고 말해주는 사부들이 포진해 있는 학원은 공부뿐만 아니라 입시와 진로, 친구 관계 등 고민을 털어놓는 대나무숲이 된다.학생들에게도 “현재 학생 신분으로 가장 가성비 높은 일은 공부”라며 학습동기를 북돋운다. 사회에 나아갔을 때 남들이 시키는 일을 하는 것보다 자신이 하고 싶은 일을 하면서 좋은 영향력을 맘껏 펼칠 수 있는 영역을 향해 도전하라는 의미다. 이는 성공이라는 ‘위치’의 문제가 아니라 ‘가치’ 있는 삶을 살기 위한 노력을 말한다.공부와 인생의 고민을 함께 나누다교육정책이 바뀌며 고등 3년 과정이 제각각인 실정에다 정시모집 인원을 확대한다는 뉴스에 학생과 학부모들은 혼란스럽기만 하다. 수시를 준비해오던 학생들 중에는 이번 중간고사 점수가 잘 나오지 않았다며 정시를 생각하는 학생도 생긴다. 장 원장은 일희일비하지 않기를 당부한다. “중간고사가 힘들었다고 하더라도 기말에 극복하면 됩니다. 이런 역경을 극복해가는 과정이 자기소개서에 쓰일 것이고 이것이 성장이죠”라며 “교육정책의 변화에도 여전히 학교내신은 중요하다”고 했다.불현듯 ‘이게 맞을까’라며 막막해질 때, 나의 학습스타일과 생기부는 물론 친구관계, 고민까지 알고 있는 인생 선배가 곁에 있다는 건 행운이다. 엠클래스가 믿고 맡길 수 있는 학원으로 입소문 나는 가장 큰 이유다.
2019-05-09
- 수학에 미친 사람들(수미사) 중계관, 2019학년 고1 첫 중간고사 분석! 2019년 첫 중간고사가 마무리되었다. 현 고1의 경우 ‘2022학년도 수능개편안’에 따르면 문이과 구분없이 수학은 공통과목(수학I, 수학II ), 선택과목 (기하, 확률과 통계, 미적분)으로 시행된다. 하지만 전공에 따라 선택과목이 중요해진 만큼 수능범위가 줄었다고 볼 수 없다. 오히려 교과성적의 활용도가 높아지면서 ’내신시험‘의 중요도가 높아졌다. 수학에 미친 사람들(수미사) 중계관 송인범 고등부 팀장에게 고교별 중간고사 수학 출제분석과 공부전략을 들어보았다. (학교는 가나다순 게재)▶대진고 (객관식 13문항 50점, 서술형 7문항 50점)학생들이 체감하기엔 전반적으로 매우 어려운 시험지였다. 타학교에 비해 시험 범위가 (~부등식) 넓었다. 객관식은 대체적으로 평이했으나 서술형의 난이도가 꽤 높아 시간이 부족했을 것으로 생각된다. 객관식 5번은 이차방정식과 정수근의 구조를 잘 이해하고 있어야 빠른 시간내에 풀 수 있었을 것이다. 서술형 2번은 문자가 들어가면서 약간 어렵게 느꼈을 수 있고, 서술형 7번은 까다롭고 시간도 부족해서 푼 학생이 거의 없을 것으로 예상된다. 기말고사는 보다 쉽게 출제될 것이 예상되지만 변별력 확보를 위한 세 문항 안팎의 고난도 문항은 출제되기 때문에 일품, 블랙라벨, 자이스토리 4점 문항 등 고난도 문제풀이를 소홀히 해서는 안될 것이다.▶대진여고 (객관식 15문항 62점, 서논술형 6문항 38점)교과서 예제 수준의 문제, 중간 난이도, 어려운 문제까지 골고루 분포되어 있는 시험지였다. 하지만 학교 프린트부터 시중 문제집까지 꼼꼼하게 풀어본 상위권 학생이라면 어려움이 없었을 것이다. 학교 프린트와 유사한 문항이 5 문제정도 출제되었다. 변별력이 될 객관식 뒷부분 문제들이 평이했고, 서술형 4번은 블랙라벨 3step의 문항과 숫자만 다른 유사문제로 블랙라벨을 공부했다면 낯선 문항이 아니었다. 상위권 학생이라면 실수와 서술형 부분 감점이 없다면 좋은 등급이 가능할 것이다. 학교 특성상 기말고사는 어렵게 나올 가능성이 매우 높아 보여 더욱 철저히 준비해야 한다.▶불암고 (객관식 12문항 50점, 서술형 8문항 50점)서술형 비중이 작년 45점에서 50점으로 높아져 서술형 감점을 받지 않는 것이 중요하다. 난이도는 작년과 비슷한 수준으로 1등급 컷은 90점 초반에서 형성될 것으로 예상된다. 올해는 수학(상)과 수학(하) 진도가 동시 진행되어, 수학(상)만 학습하고 입학한 학생들에겐 다소 불리해 보인다. 서술형 7번은 나머리정리 문항으로 자이스토리 등 여러 교재에 유사 문항이었고, 서술형 8번은 집합 순서쌍의 개수를 찾는 과정에서 경우의 수 개념이 필요한 문항으로 수학(하) 마지막 단원인 순열과 조합까지 풀어본 학생들은 쉽게 해결했을 것이다.▶서라벌고 (객관식 15문항 70점, 서술형 3문항 30점)문항수도 많지 않고 평소 서라벌고의 난이도와 달리 평이해서 실수여부가 등급에 영향을 미칠 것으로 보인다. 객관식(12~15번)은 시간이 필요하여 침착하게 대처하는 것이 중요하다. 서술형 3번은 블랙라벨 2step 문항이 숫자만 바뀌어 출제되어 풀어봤던 학생에겐 쉬웠을 것이다. 기말고사는 중간고사 보다 다소 어렵게 출제될 것으로 예상되며 블랙라벨, 일품, 자이스토리 4점문항 등 고난도 문항을 반복 학습하는 것이 매우 중요할 것이다.▶서울외고 (객관식 19문항 95점, 서술형 1문항 5점)타 학교에 비해 서술형 배점이 적은 것이 특징이고, (작년 2문항) 난이도는 쎈수학 B단계 수준의 평이한 문제들이 출제되어 1등급 컷도 높게 형성될 것으로 예상된다. 학생들이 많이 틀린 문제로는 16번과 객관식 19번이었는데, 16번은 구간별로 다른 이차함수 그래프와 일차함수의 실근 개수 문제로 학교 부교재 (올림포스)에 있던 유형이고, 19번도 자이스토리나 블랙라벨 2step에 많이 소개된 유형으로 평소 꼼꼼한 준비가 필요했다.▶선덕고 (객관식 15문항 60점, 단답형 5문항 20점, 서술형 2문항 20점)작년에 비해 쉽게 출제되었다. 다항식의 연산파트에서는 식의 계산 1문제, 곱셈공식의 변형 3문제가 출제되었는데, 곱셈공식 변형 연습이 부족한 학생이라면 서술형 6번 정도가 까다로웠을 것이다. 작년과 같이 복소수의 거듭제곱이 2문제 이상 출제되어 연습이 반드시 필요하다. 이차방정식, 이차함수에서는 무난한 문제가 출제되었지만 14번은 식을 설정하고 답을 도출하는 계산에서 3개의 문자가 포함되어 조금 어려웠을 것이다. 선덕고는 서술형 마지막에 항상 도형과 연관된 문제를 출제하는데, 올해는 이차함수와 혼합해서 출제되었다. 도형의 해석은 어렵지 않으나 조건을 확인하고 꼼꼼하게 푸는 연습이 필요해 보인다. 기말고사는 다소 어렵게 출제될 가능성이 높기 때문에 철저한 준비가 필요하다. .▶영신여고 (객관식 16문항 55점, 서술형 6문항 45점)주관식 배점이 40점에서 올해 45점으로 늘어났고, 난이도도 소폭 상승하여 어렵게 느꼈을 것이다. 객관식은 대부분 쎈수학의 B단계 난이도로 출제되었다. 단 16번은 20차식을 2차식으로 나눈 나머지를 구하는 문제로 조금 어려웠으나 조립제법을 이용하거나 의 인수분해 공식을 알고 있다면 해결할 수 있다. 서술형 5번은 도형의 닮음을 이용한 이차함수의 최댓값을 구하는 문제인데 사각형이 삼각형에 외부에 존재해야 해서 어렵게 느낄 수 있고, 6번은 소수의 성질을 이용해서 인수분해 하면 되지만 시간이 부족했을 것이다. 1등급 컷이 이번에는 90점대 초반, 80점대 후반 정도로 예상된다.▶용화여고 (객관식 14문항 78점, 서술형 5문항 22점)쎈수학 B단계 수준의 평이한 문제가 대부분이었으나, 4~5문항은 빈출 유형을 변형했거나 블랙라벨1~2step의 유형들이 출제되었다. 객관식 7번은 쎈수학 C단계의 복소수가 실수가 될 조건을 묻는 유사 문제를 연습하지 않은 학생은 조금 어렵게 느꼈을 것이고, 10번은 쎈수학 B단계에서 빠진 연립방정식 유형(인수분해가 안되는 유형)이긴 하나 블랙라벨 1step 정도만 공부했어도 풀 수 있다. 객관식 14번도 삼차방정식이 중근 가질 조건(빈출유형)을 변형시켰기에 조금 어렵게 느꼈을 수도 있다. 서술형 5번도 블랙라벨 2step과 유사한 유형으로 출제되었다. 쎈수학 B, C단계와 블랙라벨 2step 정도까지 심도있게 준비하면 기말고사에서 원하는 등급을 받을 것으로 예상된다.▶재현고 (객관식 20문항 100점, 서술형(수행평가) 3문항 100점)전체 난이도는 높은 편으로 평소 심화유형을 충분히 다루지 않았다면 중학교때 비해 엄청난 점수의 하락폭을 경험할 가능성이 높다. 재현고는 현재 교과서에서 빠진 가우스관련 문제(17번)나 최고차항의 계수가 1이 아닌 고차식의 인수분해 유형(20번)도 출제되고 있다. 물론 심화 교재에서는 동일한 유형들도 다루고 있지만 중급 이하의 교재에는 빠져있는 경우가 많아 학습정도에 따라 점수 격차가 클 것으로 예상된다. 그 외 평가원 문제들의 변형 문제들도 출제되었다.▶청원고 (객관식 14문항 60점, 단답형 4문항 20점, 서술형 2문항 20점)서술형 배점이 문항 당 10점으로 높은 편이다. 작년과 비숫하게 기본문제 풀이를 잘 이해하는 지에 대한 평가로 평이했다. 객관식 12, 13, 14번과 단답형 1번, 네 문항을 누가 더 많이 맞추느냐가 1등급을 가르고, 컷은 90점 초반 정도로 예상된다. 특히 객관식12, 13번과 단답형 1번은 블랙라벨과 매우 유사하게 출제되어 시중 문제집 고난도 문제까지 풀어봤다면 좋은 결과를 얻을 수 있다. 노원구내 시험이 어렵지 않다는 고교들도 시중 고난이도 문제집에서 많이 출제하고 있어 고난도 문제까지 공부하는 것이 반드시 필요하다.▶청원여고 (객관식 16문항 70점, 서술형 3문항 30점)노원구 고교 중에 2019-05-09
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과정 중심 탐구학습이 창의적 문제해결력 높인다
학교 교육은 물론 영재교육과 각종 입시에서는 융합적 사고력을 요구한다. 그중에서도 수학적 능력은 문제해결을 주도적으로 각 주제를 융합해 내는 창의사고력을 통해 더 길러진다. 융합사고력과 창의문제 해결력을 기르는 CMS부천영재교육센터의 과정 중심 교육이 궁금하다.흥미를 통해 수학적 사고력 키우는 수학퍼즐데이지난 19일 CMS부천영재교육센터는 일요일인데도 불구하고 수많은 초등학생들로 붐볐다. 융합사고력과 사고력 수학, 창의문제 해결력, 서술형 과제, 다산3.0인 융합형 문제해결 교육으로 알려진 CMS부천영재교육센터의 ‘제6회수학퍼즐데이’행사가 열렸기 때문이다.수학퍼즐데이 행사는 저학년과 고학년으로 나뉘어 재미있는 게임을 풀어나가는 놀이마당이다. 수학이 교과서를 뛰어넘어 우리 생활환경과 밀접한 관련이 있음을 체험하기 위해서이다. 게임 퍼즐을 통해 수학이 딱딱하고 어려운 과목이 아닌, 즐겁고 재미있는 공부란 긍정적인 교육 효과도 숨어있다.융합사고력 CMS부천영재교육센터 권애랑 센터장은 “수학퍼즐데이를 통해 학생들은 CMS 사고력 수업인 탐구활동과 토론 등에 능동적인 참여를 하게 된다. 또한 다양한 주제를 수학적 관점에서 해석하고 새로운 시각에서 생각해 보는 경험이야말로 사고력수학인 CMS탐구학습 수업방식의 장점”이라고 말했다.유·초등과정일수록 더 필요한 논리학습 경험과 융합사고력 훈련개정된 학교 7차 교육과정의 목표와 방향은 한마디로 사고력과 창의성을 통한 융합능력이다. 이를 위한 CMS부천영재교육센터의 과정중심 수업과 평가 역시 학생들의 융합적사고력을 훈련하고 높여나가는 데 있다.학교 교육 뿐만 아니라 영재교육원 및 영재학교 선발과정 역시 결과보다는 과정중심의 평가를 중시한다. 결국 미래인재에게 요구되는 4가지 핵심역량인 비판적사고, 창의성, 협업능력, 의사소통능력은 CMS부천영재교육센터의 융합사고력을 위한 학생주도적인 탐구와 발견학습과 맥락을 같이해 관심이 간다.CMS부천영재교육센터의 사고력수학과 융합적 창의력을 키우려면 우리 주변의 상황이나 사물을 수학과 관련시켜 생각해보는 기회와 경험이 중요하다. 학습된 문제해결력이 아닌 새로운 상황에서 창의적으로 문제를 해결할 수 있는 능력을 교육하는 것이 CMS부천영재교육센터의 융합사고력수학인 셈이다.융합사고력과 사고력 수학, 창의문제 해결력, 서술형 과제, 다산3.0의 수업CMS부천영재교육센터의 사고력 수업은 500여 가지의 수학 관련 주제를 활용해 다양한 수학적 경험을 제공한다. 각 주제들은 실제 생활 속 소재와 연계되어, 유초등학생들에게 학습 목표와 동기를 더 명확하게 도와준다.뿐만 아니라 융합사고력과 사고력 수학, 창의문제 해결력, 서술형 과제, 다산3.0과제 수업은 단순히 설명 위주 수업이 아닌, 학생들의 탐구와 발견, 토론, 조별활동 등의 창의적인 아이디어를 구상하고 문제해결에 적용해 보는 경험이다.융합사고력과 사고력 수학 CMS부천영재교육센터 권 센터장은 “특히 CMS부천영재교육센터의 수업은 수학에 대한 두려움을 줄이고 수학적 흥미를 높여주는 특징이 있다. 흥미롭고 다양한 경험 반복은 수학에 대한 자신감과 호기심을 키워 궁극적으로는 수학적 사고력과 창의력을 향상시킨다”고 말했다.
2019-05-08
- 수학 성적이 점점 떨어지는, 수학과목에 대한 자신감이 점점 떨어지는 고1 학생에게 글을 시작하기에 앞서 분명히 짚고 넘어가야 할 것이 있다. 이 글은 수학을 잘하고 싶어서 열심히 공부하고 시간투자도 많이 하고 있지만 성적이 나오지 않아 고민하는 학생을 위한 조언이다.오랜기간 학생들에게 수학을 가르치면서 알게 된 ‘열심히 수학공부를 하고 있음에도 불구하고 성적이 잘 나오지 않는 학생들’의 문제점과 그 해결책에 대해 함께 생각해 보도록 하자.자신의 능력에 맞지 않는 선행학습은 학생의 수학에 대한 자신감을 송두리째 흔들어 놓는다첫 번째 문제점은 자기과정도 제대로 알지 못하면서 1년 이상의 선행학습을 하는 것이다.본인에게 도움이 안 되는 걸 뻔히 알면서도 억지로 선행을 하는(시키는) 이유는 대부분 학생이(학부모님이) 남이 하니까 나도 해야 된다는 불안감 때문이다.필자가 보기에 1년 이상의 선행학습이 도움이 되는 경우는 학생이 수학적인 재능을 타고났거나 부모가 만류할 정도로 지독하게 수학공부를 하는 학생뿐이다. 대부분의 학생은 겨울방학이나 여름방학을 이용하여 6개월 또는 1년 정도의 선행으로 충분하다.도움도 안 되는 선행할 시간을 자기진도에 쏟아 붇는 걸 추천한다. 자기과정을 3번 이상 반복을 해야 머릿속에 전체내용이 정리가 되는 느낌이 생기고, 그 후에 심화과정을 집중적으로 파고들어야 한다.재미있는 점은 자기과정을 완벽하게 소화한 후에 (3번 이상 반복 + 심화과정학습) 선행학습을 하면 효율이 엄청 높아진다. 그리고 무엇보다 자신감을 가지고 공부하게 된다는 것이다. 해보면 안다.무작정 문제만 풀지 말고 끊임없이 개념을 정리하고 반복하는 것을 병행해야 한다수학에서 새로운 과정을 시작할 때 기본 개념을 공부해서 이해한 후에 문제를 풀기 시작한다. 다양한 문제를 풀어서 여러분들이 얻고자 하는 것은 무엇인가? 기본 개념을 ‘확실히’ 이해하고 ‘완전히’ 내 것으로 만들어서 심화문제나 처음 보는 문제도 자신 있게 풀 수 있게 하기 위함이다.그런데 성적이 잘 안 나오는 학생들이 공부하는 모습을 지켜보면 개념을 쓱 훑어보고 문제를 풀기 시작한다. 문제 풀고 채점하고 문제 풀고 채점하고를 계속 반복한다. 불쑥 기본개념에 대해 설명해 보라고 질문해보면 거의 대답을 못한다. 공식으로 결과는 기억하지만 과정은 처음에 한번 대충보고 다시 생각해 본적이 없기 때문이다. 껍데기만 남아있고 알맹이는 하나도 없는 공부방식이다. 이런 식으로 아무리 많은 양의 공부를 한다 한들 성적은 요지부동일 것이다.반드시 ‘개념정리 – 문제풀기 – 채점 – 틀린 이유 확인 – 다시 개념정리’를 계속해서 반복해야 한다. 문제를 푸는 것은 개념을 확실히 이해하기 위한 수단일 뿐임을 잊지 말자.누구나 잊어버린다. 그래서 복습이 공부에서 가장 중요한 요소이다공부량에 비해 성적이 안 좋은 학생들에게 자주 듣는 얘기들이 있다.‘이 문제집 지난번에 풀었던 건데 또 풀어요?’‘교과서는 너무 쉬우니까 다른 문제 주시면 안되요?’‘어려운 문제 주세요. 쉬운 문제는 지루해요.’한 가지만 묻고 싶다.‘교과서에 있는 문제만으로 시험지를 만들어 주면 백점 맞을 수 있니?’성적을 향상시키기 위해서는 어려운 문제를 맞히는 것도 물론 중요하지만 쉬운 문제를 실수하지 않는 것이 백배 더 중요하다.쉬운 개념, 쉬운 문제라 하더라도 일정 시간이 지나면 잊어버리게 되어있다. 자기 자신은 알고 있다고 생각하지만 시간이 흐르면 머릿속에서 흐릿해져서 어이없는 실수가 발생하는 것이다.공부에서 복습의 비중을 늘리고 또 늘리자. 그것만이 잊어버리는 것을 막을 수 있는 유일한 방법이다.‘지루한 반복에 지치지 않는 자가 승리한다.’정철웅 수학과 원장끌림학원 2019-05-08
- 특목고 진학을 목표로 하는 학생들에게 강사 초년시절에는 수학을 잘 할 학생인지 아닌지를 판단하는 기준으로 수학 지능을 높이 샀다. 수업의 이해도가 좋고 발상이 참신하며 어려운 문제도 곧잘 해결하는 학생을 보면 성적에 대한 기대감도 컸다. 그에 반해 성실하기는 하지만 이해도가 떨어져서 여러 번 설명을 해줘도 확실하게 이해하는 것 같지 않은 학생에 대해서는 성적을 크게 기대하지 않았다.그러나 그 학생들의 대입 진학 결과가 예상과 달라지는 당황스러운 경험을 여러 차례 했다.그래서 이제는 학생들을 판단할 때, 수학 머리만으로 판단하지 않는다.많은 경험이 쌓인 요즘은 학생의 태도, 인내심, 자기통제 와 같은 지능 외적인 부분을 더 중요하게 본다.특목고에 진학 할 정도라면 지능의 차이가 크지 않을뿐더러 수시전형 특성상 한 번만 잘 하면 되는 시험이 아니라 3년 내내 잘 해야 하며 시험 외에도 챙겨야 할 것들이 많다.첫째, 태도는 수업을 듣는 태도로 필기, 졸음을 참으려는 노력, 과제의 완성도, 진지함 등을 본다. 머리 믿고 필기 안하고, 습관적으로 졸며 급하게 흘려 쓴 글씨체의 과제로는 좋은 성적을 기대할 수 없다.둘째, 인내심은 공부의 양이 많아도 미루지 않고 성과가 나오지 않아도 꾸준하며 부족함의 원인을 외부가 아니 내부에서 찾는 성향이라 할 수 있다. 조금만 성적이 나오지 않아도 원인을 학원의 관리나 강사의 수업방식에서 찾고 다른 학원을 찾아다니는 학생들은 결과가 좋을 수가 없다. 나보다 못한 선생님은 없기에 선택에 있어 신중했다면 전적으로 믿고 따라야 좋은 결과가 있다.셋째, 자기통제는 시간관리, 휴식의 방식, 수면과 같이 생활 전반에 걸쳐 나타난다.방과 후에 집에 들렀다 학원으로 등원하고, 쉬는 시간에 부족한 수면이나 체력을 안배하여 휴식을 취하지 않고 게임이나 sns를 즐겨하거나 규칙적인 수면을 취하지 않아 학교나 학원에서 졸면 성적이 오를 수 없다.아직 어린 학생들이라면 머리를 믿거나 탓하기보다 좋은 습관을 갖도록 노력한다면 특목고 진학 후에도 좋은 성적으로 원하는 결실을 맺을 수 있을 것이다.송명주 원장수학은 어렵지 않아 원장 2019-05-08
- 기억을 지우는 바이러스 틀린 시험 문제를 학생과 분석하다 보면 자주 듣는 말이 있습니다. ‘기억이 나지 않았어요.’ 수업을 할 때에도 전날 열심히 설명했던 개념을 물어도 대답을 못할 때가 있는데, 했었다는 생각만 있고 알맹이는 없는 것입니다. ‘누군가 머리에 기억을 지우는 바이러스, 그것도 수학만 찾아서 지우도록 심어 놓은 것일까?’수학이 부족한 학생들은 기초 개념을 모르는 경우입니다. 예로 의 계산을 못하는 것입니다. 우습게 들릴 수도 있지만 이것이 학년이 올라가면 이차방정식 풀이, 적분 계산 등에 해당됩니다. 이러한 기초가 풀이 중간에 나타나는데, 해결이 되지 않으니 못 풀거나 풀어도 틀리는 것입니다. 이때 바이러스가 등장합니다. 마치 드라마가 중반에 접어들었는데, 자주 등장하는 배우가 누군지 기억을 못하는 것입니다.조금 어려워지거나 복잡해지면 틀리는 학생들이 있습니다. 농도 공식은 아는데 소금물 문제는 틀리는 것입니다. 이를 해결하기 위해 유형별 접근법을 제시했습니다. 소금물을 섞을 때, 물을 증발시킬 때, 더 넣을 때와 같이 문제를 하나의 패키지로 만들어 분류해놓은 것입니다. 이때 바이러스가 등장합니다. 시험을 위해서 익혀야 하는 패키지가 너무 많아서 머리 속에 넣다보면 용량이 차서 먼저 넣은 순서대로 지워지는 것입니다. 혹자는 바이러스가 기억을 먹어치우는 것보다 더 많은 양을 넣으려 하기도 합니다. 문제를 아주 많이 푸는 것이지요. 그래서, 패키지만 알뿐 세부 내용을 모르는 경우도 있습니다. 문제 풀이 과정을 통째로 외운 것이지요. 구구단처럼 반사적으로 나올 수 있을 때까지 익숙해지도록 푸는 과정을 반복한 것입니다. 고학년이 되면 이 패키지가 많아질 뿐 아니라, 길어집니다. 패키지의 작동 원리를 모르거나, 패키지 안의 순서를 외우기에 벅찬 단계가 되는 것입니다. 때론, 여러 개를 섞어서 어느 것인지 찾지 못할 수도 있습니다.수학을 잘하는 사람들은 패키지 내부의 원리를 마스터한 사람들입니다. ‘왜’라는 의문을 갖고, 고민하면서 익혔기 때문에 느리게 재생할 수는 있지만 외울 필요가 없는 것입니다. 풀이에서 다음 단계를 넘어가는 과정이 자연스럽고, 논리적이어서 외운다는 생각을 하지 않는 것입니다. 기억을 지우는 바이러스를 이기는 힘은 생각하는 과정, 고민하는 노력인 것입니다.이태우 원장 히즈매쓰문의 031-410-0038 2019-05-08
- 학생에 대한 무한 열정으로 영재원 대비 재원생의 약 80% 이상이 영재교육원에 다니고 있다는 뉴턴지니어스센터에서는 오는 5월 11일부터 약 3차례에 걸쳐 서울대학교, 연세대학교, 서울교육대학교 부설 영재교육원 시험을 대비해 정확하고도 알찬 정보를 제공하는 설명회를 개최할 예정이다. 이곳에서는 평소 독특한 수업방식으로 수학과 과학의 기본 실력을 쌓아가는 과정에서 자연스레 영재교육원 시험 준비를 할 수 있도록 해주고 있다고 한다. 뉴턴지니어스센터의 대표이사인 이근재 원장을 만나 이야기를 들어봤다.“열정”으로 시작, 실력으로 입증한 영재원 대비전문 학원서울교대 사거리 인근에 위치한 뉴턴지니어스센터는 햇수로 5년차를 막 지나고 있는 영재교육원 대비를 위한 전문 학원이다. 이곳 대표이사인 이근재 원장은 과학전문 월간지 『뉴턴』의 한국 사업총괄을 담당한 경험을 바탕으로 뉴턴지니어스센터를 시작했다고 한다. 이근재 원장은 “단 두 명의 학생으로 시작해 지금은 약 80여명이 넘는 재원 생이 공부하고 있습니다. 이제는 그 학생들이 고1, 고2가 되고나서도 계속 이곳에서 공부하고 있을 만큼 당당히 그 결실을 맺어가고 있습니다”라고 말했다.대학교 부설 영재교육원 시험 대비를 위해서는 원래 우수한 아이들이라야 가능하지 않을까 하는 선입견이 있게 마련이다. 하지만 이 원장이 지금까지 경험한 바로는 영재원에 다니는 학생들은 상위 10%나 하위 10%의 학생들이 아니라 오히려 나머지 80%에 해당하는 평범한 학생들이 더 많다고 했다. 이 원장은 학부모들이 아이들의 현재 수준에 대해 아주 잘한다는 혹은 안 될 것 같다는 극단적인 편견을 가지기 몰아세우기 보다는 오히려 그러한 틀을 깨고 평범한 학생이라도 최고가 될 수 있다는 무한 열정으로 실력을 키워 준다면 얼마든지 결실을 맺을 수 있다고 당부했다.수업은 무학년제 소수 맞춤식 개별 수업, 개념 심화 방식뉴턴지니어스센터의 모든 수업의 특징은 오픈 수업으로 소수 맞춤식 수업이다. 무엇보다도 한 반에 4~5명의 학생 한 명 한 명을 대상으로 개별 진도에 맞춘 맞춤식 수업을 진행해 자연스레 실력을 갖추고 영재교육원에 들어가는 결실을 맺을 수 있었다고 한다. 오픈 수업의 특성상 학부모가 원하면 수업에 참여해 아이와 함께 강의를 들을 수 있을 뿐만 아니라 아이의 수업태도 등이나 자세를 확인할 수 있다고 했다.수업 방식 역시 단원별 진도를 나간 후 테스트를 보고 완성하는 일반적인 수업이 아니다. 모든 수업 특히 과학과 수학은 각 단원에 해당하는 중요 개념을 공부한 뒤 다시 개념과 심화를 반복하고 마지막으로 개념과 심화 그리고 응용을 하는 3단계 방식이다. 이것이 개념을 반복하면서 심화와 응용까지 완성하는 이곳만의 독특한 수업방식이다. 한 과정을 마무리 하는 테스트는 대입이라는 목표 달성을 수월하게 할 수 있도록 대입 모의고사 시험지로 하고 있다. 고1, 3월 모의고사는 중학교 통합과정이기에 중학교 실력을 제대로 측정할 수 있다고 했다.바른 자세가 올바른 공부 자세, 학생들에 대한 세심한 관리뉴턴지니어스센터의 학생 관리는 이 원장의 자녀만큼 철저히 이뤄진다. 아이 한명 한명의 발자국까지 살펴볼 정도로 학생의 자세를 바르게 만들어 주고 아이들의 공부에 대한 의지를 키워 주고 있다. 바른 자세가 올바른 공부 태도로 이어진다는 것이 원장의 신념이다.영재원 대비는 5월 중순경 개념 수업으로 시작하는 것이 가장 바람직하다고 한다. 이를 위해 오는 5월 11일 오전 10시에 약 2~3회 걸쳐 진행될 예정인 설명회에서는 영재원 입학을 위한 실질적이고 알찬 정보를 제공할 예정이라고 한다. 각 영재교육원 교수들의 특성에 따른 입학시험 대비법에 대해 진행된다.문의 02-525-1905 2019-04-26
- 개념과 원리 꿰뚫어 탄탄한 수학 성적 만들어 고등수학은 내신뿐만 아니라 수능까지 함께 준비해야 하기 때문에 흔들림 없는 굳건한 실력이 뒷받침되어야만 한다. 그러기 위해서는 개념과 원리가 구멍 없이 체계화되어 있어야 하고, 이를 활용한 문제해결력을 갖춰야만 한다. 구반포역 반포프라자 6층에 위치한 ‘아이겐 수학학원’은 철저한 맞춤 지도로 반복되는 문제풀이가 아닌 개념과 원리를 꿰뚫는 강의로 많은 학생과 학부모 사이에서 입소문난 곳이다.맞춤식 개별지도로 구멍이 생기지 않게‘아이겐 수학’의 지성환 강사는 외고와 청심 국제학교 및 해외에서 수학교사로, 대치동에서 수학강사로 실력을 검증받은 베테랑 강사다. ‘아이겐 수학’에서 고등부 수학을 담당하고 있다. 지성환 강사와 ‘아이겐 수학’은 무엇보다 맞춤식 개별지도가 가장 큰 수업 특징이다. 먼저 기본적인 레벨 테스트를 통해 비슷한 실력의 학생들로 5명 이내로 반을 구성하고 각자 아이들의 이해도와 실력에 맞게 시중 교재와 편집한 자체 교재로 문제를 풀고, 또 강의가 필요한 부분은 판서 수업을 병행하게 된다.개별지도의 핵심은 바로 ‘역질문’. 강사의 일방적인 강의나 풀이가 아니라 직접 문제를 분석해 풀이과정을 세우고, 필요한 개념과 원리를 적용해 보도록 역질문을 통해 지도하고 있다. 지성환 강사는 “고등수학은 기본적인 원리와 개념은 물론 증명 문제까지 하나도 빼놓지 않고 원리 위주의 학습을 해야만 내신과 수능, 어떤 유형과 난이도의 시험이라도 어려움 없이 해결할 수 있습니다. 그래서 암기가 아닌 철저한 이해를 기반으로 다양한 유형들을 접할 수 있도록 지도합니다”라고 덧붙였다.맞춤형 오답노트, 성적 향상으로 이어져학생의 약점을 보완하고 구멍이 생기지 않도록 하기 위해서는 오답노트의 활용이 중요하다. 하지만 다뤄야 할 범위와 문제의 양이 많은 고등부의 경우 학생들 스스로 오답노트를 만들기는 쉽지 않다. 따라서 지성환 강사는 학생 개인별로 맞춤형 오답노트를 제작해 제공하고 있다. 틀린 문제와 풀이만 모아둔 일반적인 오답노트가 아니라 수업 교재, 시중교재, 모의고사 기출문제 중에서 학생이 틀렸거나 헷갈렸던 문제를 모아 편집해 오답노트를 만들고, 자주 틀리는 유형, 정확하게 잡히지 않는 개념과 원리를 다시 한 번 점검할 수 있도록 한 것이다. 특히 내신기간에는 오답노트를 적극 활용해 좋은 성과를 얻고 있다.“개별 오답노트는 나만의 내신대비 교재로 충분히 활용할 수 있습니다. 오답노트를 꼼꼼하게 작성하다 보면 전체적인 유형분석과 자신의 취약한 부분을 파악하게 됩니다. 또 시간 낭비를 줄이고 바로 해석이 되지 않는 어려운 문제까지 반복 학습이 가능하기 때문에 오답노트를 활용해 성적 향상으로 이어질 수 있습니다”라고 말했다. 이런 지도 방법으로 작년 고3 재원생 전원이 수능시험에서 수학 1등급을 받기도 했다.강사들도 열심히 공부해‘아이겐 수학’의 지성환 강사를 비롯해 원장과 모든 강사는 모두 열심히 공부한다. 가르치는 강사가 실력과 지식을 겸비하고 있어야 학생이 제대로 된 실력을 쌓을 수 있다고 믿기 때문이다. 특히 혼란한 입시제도로 지금의 고등학생은 학년별로 수능 시험이 다 다르고, 수학의 경우 학년별로 빠지는 영역과 선택해야 하는 영역이 생기게 된다. 변화하는 입시 트렌드를 정확하게 읽고, 학생들 지도에 반영해야만 만족스러운 성적으로 이어질 수 있다.‘아이겐 수학’의 원장과 모든 강사는 함께 수업을 연구하고, 또 교재 역시 자체 개발해 다른 곳과는 차별성을 두고 있다. 철저한 개별지도와 맞춤형 오답노트, 학생과 학부모의 질의에 바로 대응하는 관리 시스템은 재원생들의 성적 향상으로 이어졌고, 인근 세화고, 세화여고, 서문여고, 서울고, 상문고, 반포고 학생들뿐만 아니라 입소문으로 대치동과 동작동 등에서도 일부러 이곳을 찾는 학생들이 많다.지성환 강사는 “고등수학은 내신 시험과 모의고사가 촘촘히 계속 되는 일정이다 보니 부족한 부분을 보강할 수 있는 시간적 여유가 많지 않습니다. 따라서 시간낭비를 줄이면서 확실한 개념과 원리의 정리가 필요하고 취약한 부분은 효율적인 반복학습과 유형분석 학습이 필요합니다. 그러기 위해서는 개별 맞춤 지도와 맞춤 오답노트 활용이 좋은 방법이 될 수 있습니다”라고 말했다.문의 02-535-5995(eigenmath.modoo.at) 2019-04-26
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