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- 겨울방학기간 수학실력 UP！ 2017학년도 수학능력 시험이 끝났다. 예년과 달리 다소 어려웠다는 평가와 함께 수험생들은 대입전략을 짜느라 분주하고, 재학생들도 다가오는 겨울방학을 맞아 학습 계획을 세우기에 여념이 없다. 여름방학과 달리 긴 겨울방학은 다음 학년을 준비하는 시기로 어떻게 보내느냐에 따라 학업 성적에 영향을 미친다. 해마다 재원생들이 우수한 진학 실적과 내신 상위권을 차지해오고 있는 것으로 유명한 매스원수학학원의 윤여창 원장을 만났다. 2004년 개원한 이래 매년 SKY대학 진학률을 유지해오고, 지금까지 100여명 이상이 SKY대학에 진학한 노하우와 겨울방학 수학 학습 요령에 대해 물어봤다.이과생, 수학 잘하면 과학도 잘한다？윤 원장은 "이번 수능 수학영역은 9월 모의평가보다 다소 어려웠다. 특히 수학 가형은 단순한 계산력보다는 여러 개념을 바탕으로 사고력을 요하는 문제들이 출제돼 다소 까다로웠던 것으로 평가된다"면서 "가형의 고난이도 문항으로 꼽힌 객관식 20번과 21번, 주관식 29번, 30번은 정답을 몇 개 맞추느냐에 따라 수능 등급 컷이 결정될 것으로 예상된다"고 2017학년도 수능 수학영역에 대해 진단했다.윤 원장의 말에 따르면 매스원 이과 학생들은 60～70회 정도의 파이널 모의고사를 통해 고난이도 문제를 대다수의 학생들이 무난히 해결했다고 말했다. 가채점 결과 평소보다 점수가 하락한 학생들도 있지만 대부분의 학생들의 점수 변동 폭이 크진 않았고, 이러한 결과는 학생들이 어려운 수능에 대비해 평소에도 고난이도 문제 훈련에 집중했던 결과라고 한다. 그러나 예상외로 수학 점수와 달리 과학 점수 때문에 합격 여부에서 손해를 보는 경우가 많다는 것. 이과생의 경우 대다수 수학을 잘하면 과학도 잘 할 것이라고 생각하지만 그렇지 않다고 한다.매스원에서는 겨울방학을 맞아 수학과 과학의 집중도를 높이기 위해 방학 數파르타프로그램을 운영한다. 이 프로그램은 9시 등원 후 본 수업이 시작되는 10시까지 1시간 동안은 출석, 과제 체크 등을 하면서 수업에 집중하기 위한 워밍업을 하는 시간을 갖는다. 2시간 수업 후에 잠시 휴식을 취하고 배운 것을 복습, 오후시간에 한 번 더 2시간 수업을 하고 또 복습 후에 오후10시에 마치는 프로그램이다. 매회 방학기간을 이용해 열리는 수학의 달인 數파르타반은 3, 4, 6월 모의고사에서 우수한 성적으로 검증되고 있어 재원생들의 참여 열기가 높다. 이번 프로그램에서는 과학 탐구 과목도 방학 기간 동안 선행과 요점정리가 이루어지기 때문에 학생과 학부모들의 관심이 집중되고 있다.매스원은 또 진학실적이 돋보이는 곳이다. 그 비결은 재원생들에게 공부에 앞서 개인별 입시컨설팅이 진행되는데 고1, 2학년 학생들이 생활기록부를 가져오면 학생부 관리와 비교과 관리를 어떻게 해야 될 것인지에 대해 학생과 함께 고민하고 방향을 제시한다. 아무런 준비 없이 고3 수능 이후 입시컨설팅을 하는 것이 아니라 고1, 2때부터 꾸준히 학생을 지켜보고 학생의 성적과 관심분야 성향 등을 파악한 다음 보다 실질적인 입시컨설팅을 해주기 때문에 합격률은 높아지기 마련이다. 이 밖에도 학생들은 기출 모의고사 100회 이상 풀이, 30만 DB로 구축된 오답문제, 질문노트, 오답 유사 문제로 정확한 피드백, 재학생들을 위한 내신 비교과 관리와 이과 수험생을 위한 수리논술 수업과 고난이 문제에 대한 해석력을 키워주는 특별 수업 등을 듣는다.대학생 인터뷰-엄예지(서울대 농업자원경제학과 2)중2때 매스원을 처음 다니기 시작했는데 그 전에 과외를 받았던 것과 달리 매스원에서는 보다 많은 문제와 기출문제를 접할 수 있어서 좋았습니다. 전 거의 5년 정도 학원을 다녔는데 무엇보다 담임 선생님의 애정 어린 관리가 기억에 남아요. 문제풀이를 해 주실 때에도 정말 이해되었는지 살펴봐주셨고, 수업시간 외에도 선생님을 찾아가 질문을 하면 항상 친절하게 가르쳐주시고 보충 자료도 찾아주시곤 했습니다. 덕분에 어려운 문제도 이해를 할 수 있었고 이러한 과정이 거듭되다보니 이해가 안 되는 문제나 개념이 나와도 할 수 있다는 자신감이 생기더군요. 또 저희들만의 공간인 자습실은 쾌적하고 선생님께서 질문을 받아주셨기 때문에 공부하기엔 최적의 환경이었어요. 저 같은 경우는 자습실에서 집중이 잘 되어 수업이 끝난 후에도 자습실에 남아 숙제를 하고 가거나 시험기간에는 학원에 오는 날이 아닌데도 자습실에서 공부를 하곤 했어요.권재현(포항공대 생명과학과 2)중2때까지 종합학원을 다녔는데 대규모 학원의 획일적이고 일률적인 학생 관리에 실력이 늘지 않는다는 느낌을 받은 후 중3때 처음 매스원에 등록하게 되었어요. 중3때부터 고3 수능 볼 때까지 오랫동안 다닐 수 있었던 이유는 선생님께서 학생들에게 매우 신경을 써주셨기 때문입니다. 이곳은 수업을 진행 한 뒤 자습실에서 그날 배운 내용을 복습하면서 문제를 풀고 다시 한 번 더 확인합니다. 이곳을 다니면서 새로운 풀이방법이나 기존의 방식과 다른 훨씬 더 쉬운 접근방법 등을 많이 배울 수 있었어요. 저는 원래 수학에 뛰어난 학생이 아니었습니다. 하지만 매스원에서 공부한 결과 고3 내내 전교 3등 밖으로 밀려나 본 적이 없었어요. 사람마다 성향이 전부 다르듯 학생들 또한 수학에 있어서 강하고 약한 부분은 다르죠. 이런 학생들의 차이에 대해 정확하게 이해하고 약한 부분을 찾아 강해질 수 있도록 선생님들은 신경을 써주십니다. 그렇게 되면 수학 실력이 이전보다 훨씬 높아질 수밖에 없죠. 2016-11-24
- ‘불수능’과 도끼날 갈기 유명한 명언 중에 Abraham Lincoln은 이런 말을 했다. “나에게 나무를 벨 시간이 6시간만 주어진다면 4시간은 도끼날을 갈겠다.”나무꾼이 도끼로 나무를 베고 있었다. 흘리는 구슬땀에 비해 나무는 잘 베이지 않았지만 나무꾼은 꾸준히 집중해서 한 곳을 열심히 찍고 있었다. 지나가던 행인이 이를 지켜보다 말을 걸었다. ‘무딘 도끼날을 날카롭게 갈아보는 것이 어떻겠습니까?’ 나무꾼은 대답했다. “나는 오늘 하루 동안 여기에 있는 모든 나무를 베어야 한단 말이오. 날을 갈고 있을 틈이 어디 있소?” 아무리 도끼질이 급해도 시간을 들여 도끼날을 갈지 않으면 소용이 없다. 땀 흘려 도끼질을 해봤자 나무는 베이지 않는다.수학공부도 마찬가지다. 기본과 기초가 제대로 잡혀있지 않은 상태에서 상위학년의 학습을 한다거나, 개념이 정립되지 않은 상태에서 문제풀이만 연습하면 얼핏 보기에는 수학을 잘 하는 것처럼 보이지만 모래성 쌓는 학습에 불과하다. 며칠 전 대학수학능력시험이 끝났다. 많은 학생들의 가채점 결과 이러려고 공부 했나 자괴감이 들고 괴롭다는 반응이었다. 고3은 실전문제 위주로 다루게 되고 많은 문제를 유형별로 풀이하는 공부법을 선택해야 하므로 고3 1년 동안 열심히 공부한 학생이라 할지라도 사실상 실력을 쌓아놓는 시간까지 한계가 있다. 그렇다면 수능은 언제부터 어떻게 준비해야 할까?3,6,9월 모의고사에서 상위권 성적을 받았던 학생도 이번 수능시험 수학영역에서는 체감 난이도가 가장 높아 올해 입시 최고의 변수가 될 것으로 예상된 만큼 상당히 어렵게 출제되었다. 그러나 실력을 제대로 갖춘 수험생이라면 풀이가 다소 길어졌을 뿐 어려워서 풀이하지 못할 정도는 아니었다. 종합적 사고력을 요구하는 문제가 다수 출제되면서 깊이 있게 한 번 더 생각해야 하는 문제가 ‘진짜 실력’을 검증하는 변수로 작용했다. 실력이 갖춰진 학생과 점수를 잘 받기 위해 technical한 공부를 한 학생들의 실력 차이다.종합적 사고력은 단시간에 향상될 수가 없다. 수학을 가르치는 모든 선생님들은 개념 공부를 강조하고, 수학을 공부하는 모든 학생들은 개념이 중요하다는 것을 인지하고 있다. 수학의 모든 개념을 공부할 때 어떤 수학적 논리에 의해 개념이 도출되었는지 학습해야 한다. 증명하는 문제는 시험에서 직접적으로 출제되지는 않지만 증명하는 과정에서 사용되는 수학적 논리가 수능 수학문제의 풀이과정으로 등장한다. 왜냐하면, 수학이란 학문은 정의를 배우고 정의로부터 새로운 정리를 증명하는 과정이기 때문이다. ‘문제 하나 잘 풀어서 답을 냈다.’거기까지 공부한 학생들은 이번 수학영역이 힘들었을 것이다.키가 큰 대나무는 씨앗을 흙에 바로 심어도 뿌리와 새싹이 바로 돋아나지 않는다. 땅 밑에서 뿌리를 만들고 키우는 기간이 족히 4년은 걸리는데, 농부는 4년 동안 어떤 마음일까? 4년 동안 눈에 아무것도 보이지 않지만 물도 주고, 햇빛도 비추고, 거름도 주면서 온갖 정성을 다 들인다고 한다. 그런데 정작 중요한 건 믿음이 아닐까? 5년 후에는 싹이 돋아 날거라는 믿음 말이다. 실제로 몇 개월 사이에 25m나 자란다고 한다. 중학교 3년이라는 시간이 어떤 비바람이 몰아쳐도 부러지지 않는 대나무를 키우는 것처럼 기본에 충실해야 하는 기간이다. 많은 학생들이 학원에 의존하고, 학원들은 급박한 선행을 부추기는 환경 속에서 깊이 있는 생각을 하며 근원적인 수학공부를 할 여유가 없다. 선행이 필요한 학생과 그렇지 않은 학생들까지 막무가내로 진도빼기에 열을 올리는 현실을 보면 뿌리를 만들기도 전에 꽃이 피기를 기대하는 조급함이 있다. 그러나 수학의 진짜 실력은 5년이라는 숙성과정이 필요함을 강조하고 싶다.김수미 원장그수학학원 2016-11-24
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정해진 시간에 의지를 갖고 수학에 접근해야
요즘 수학학원은 일대일코칭을 하는 것이 대세다. 이미 10년 전부터 방이동에서 일대일코칭수업을 해 온 카이스트 수학전문학원은 재원생들의 상위권 대학 진학률이 높은 학원이다. 개인의 실력에 맞게 단계별 지도를 하며 학생 관리에 내실을 기하고 있는 학원으로 알려져 있다.“어려운 수학문제를 만나면 최소 20분은 고민해야 합니다. 힘들어 울고 싶은 마음이 들고 빨리 답안지를 보고 시원하게 해결점을 찾고 싶은 마음을 누르며 깊이 파고들다 보면 문제 안에서 내가 놓치고 있던 개념이 어느 순간 보입니다. 가장 중요한 것은 해내겠다는 의지입니다. 수학 실력과 수학을 대하는 자세가 각기 다른 학생들을 1:1로 꼼꼼하게 살피며 지도하는 노력이 필요합니다.” 수학지도 경력 20년차 베테랑인 카이스트 수학전문학원 이진덕 원장의 말이다. 카이스트 수학전문학원은 학생 개인을 위한 독립적인 개인 맞춤형 수학 학습 시스템을 갖추고 있다. 수학은 매일 시간을 정해 놓고 공부하는 습관이 중요하다고 강조하며 1:1로 개념을 가르치고 오답정리를 하도록 지도한다. 한 반의 정원은 7명을 넘지 않도록 하고 서술형 풀이 과정에 대한 첨삭지도 역시 개인맞춤형으로 이루어진다.현재 초등학교 5학년부터 입학이 가능한 카이스트 수학전문학원은 중학생을 비롯해 고등학생의 비율이 높다. 현 중3과 고1은 명문대 진학을 목표로 원장 직강의 심화반이 운영되고 있다. 고등학생은 인근의 방산고, 잠실여고, 보성고, 한대부고, 정신여고, 창덕여고, 보인고 재학생들이 고르게 다닌다. 이진덕 원장은 “대형 강의를 해보면 수강생의 30% 정도만 학원 수업을 따라 오게 된다. 분야별 개념정리를 위해 그룹으로 수업을 할 때도 있지만 대부분 개인지도를 한다”며 “우리 학원은 단 한명의 학생이라도 학교의 내신 성향을 분석해서 따로 학교별 시험대비 문제집을 만든다. 부교재까지 만들어 학생들의 성적향상에 심혈을 기울인다. 중요한 오답정리, 교과서와 학교 프린트 분석을 빈틈없이 해 학생들의 성적향상을 이끈다”고 말한다. 이렇게 책임 있는 지도로 2014년에는 고3 재원생의 90%가 서울 상위권 대학에 합격하는 결과를 가져 왔으며 이후에도 꾸준하게 좋은 대입진학률을 보이고 있다고 밝힌다.20여년 학생들을 가르치며 느낀 점이 ‘수학은 쉽게 오르지 않는 과목이지만 안정궤도에 올라서면 내려가지 않는 과목으로 성취했을 때 가장 자신감을 주는 과목’이라고 말하는 이 원장. 수학이 대입을 결정하는 중요한 과목이기 때문에 시간투자를 아까워하지 말고 학생들이 더 근성을 갖고 파고들기를 강조한다. “누구나 처음 보는 문제는 두렵지만 틀리는 것을 두려워해서는 안됩니다. ‘틀린 문제는 나의 스승이다’라는 생각으로 수학을 극복하려는 자세가 필요합니다. 그리고 방학 때면 다들 열심히 하겠다고 각오를 다집니다. 이 때 저는 정말 변하고 싶다면 기본을 더 열심히 해야만 결과가 나온다고 말하고 싶습니다.” 카이스트 수학전문학원은 방학을 맞아 단기완성 특강 프로그램을 준비하고 있다. 고등 전과정을 다루며 개념정리와 수학의 정석, 학원 자체 문제풀이 교재를 활용하는 반과 최고난도 수능문제풀이 특강반을 운영할 예정이다. 현재 각 반 모두 7명 이내로 운영되는 중등반과 고등반은 주2회와 3회 수업 중에서 선택이 가능하고 수업은 3시간이다. 주말반도 운영되고 있는데 한대부고와 보인고, 한영외고, 잠실여고반이 개설되어 있다.
2016-11-24
- 착각의 늪 시각에 관해서 생기는 착각으로 착시는 외계, 사물의 크기, 형태, 빛깔 등의 객관적인 성질과 눈으로 본 성질 사이에 차이가 있는 경우의 시각을 가리킨다고 한다. 이와 같은 차이는 항상 존재하므로 일반적으로 특히 양자의 차이가 큰 경우를 말한다고 한다.실제 주위에서 수많은 착시현상을 볼 수 있다. 사진 같은 경우, 시야의 범위를 달리하여 보면 관찰자의 의식, 사진의 인식 범위에 따라 보이는 이미지가 달리 보인다.착시는 시각적인 객관적 성질과 인식의 차이이다.시각적으로 보이므로, 최소한 비교 또는 검증이 용이하다. 착각은 보이지 않는다. 따라서 비교 또는 검증이 용이하지 않다. 착시의 경우, 객관적인 매체가 존재하므로 기준이 존재한다. 착각은 기준이 존재하지 않는다. 누가 옳고 누가 그른지가 불분명하다. 이 불분명한 것을 명확하게 하기 위해 토론을 하여 입장 차이를 좁히는 과정을 거치는 것이다.일반적으로 학습은 다음단계로 이루어진다.내용 숙지 → 내용을 바탕으로 해석. 더 세세히 나눌 수 있지만, 결과적으로는 Input-Output이다. Input은 <개념의 이해>이고, Output은 <문제해석 및 풀이>로 나눌 수 있다.물론 더 나아가 실생활에서의 응용도 가능하다. 그런데 수학은 의외로 input이 상당한 비중을 가진다. 또 이 개념의 이해과정이 타 과목에 비해 까다롭다.수학의 경우, 개념의 인식단계에서부터 많은 학생들이 어려움을 겪고 있다. 개념이 완성되지 않은 상태에서는 개념 틀과 인식 틀 사이에 착시현상이 발생한다. 일반적으로 70%이상의 학생들의 개념인식 초반에 이러한 현상을 보인다. 이러한 경우 앞서 말했듯 입장 차이를 좁히는 과정이 필요하다.개념 틀의 완성단계에서는 먼저 개념의 간략화와 반복학습을 통해 개념 틀의 붕괴를 방지하여야 한다. 반복학습 시 필기가 아닌 구두로 반복학습을 하여 먼저 틀을 구축하는 것이 중요하다. 개념 틀과 인식 틀은 일반적으로 동시에 작동하고 그 경계가 모호하다. 이를 구분 짓기 위해서는 학생 스스로 개념을 설명하게 하는 것이 가장 좋다. 이는 개념설명을 하면서 왜 이 개념이 이러하는지를 타인에게 이해시켜야하기 때문이다.그러나 개념인식이 어느 정도 되었다 하더라도, 실제 문제를 풀어보면 개념을 인식한 부분과 문제가 서로 다르게 느껴진다. 이때 학생들은 개념 틀이 붕괴되면서 사고틀까지 흔들리게 된다. 이때 인식 틀과 개념 틀이 서로 다르게 보이는 착시현상이 발생하게 되는데, 여기에서 개념 틀의 확장을 통해 사고틀을 재조립하는 과정이 반드시 필요하다.가능한 한 붕괴된 틀은 가능한 빨리 재조립하는 것이 좋다. 흩어진 지식들은 우리의 머리에선 쓰레기로 인식되기 때문이다. 이에 학생들에게 강조한다. 정리되지 않은 지식은 너희들의 머리를 쓰레기장으로 만들 것이라고…….개념인식이 명확한지, 학생과 많은 대화를 해보지 않는 이상 이 착시현상을 인지하기는 어렵다. 이를 보완하기 위해 문제풀이를 한다. 그러나 문제만을 위한 문제풀이는 ‘내용을 잘 알고 있다.’라는 착각을 불러일으킬 수 있다.개념(생각)은 적절한 때에 반복하여 수리해주지 않으면 조금씩 붕괴된다. 문제를 풀기 위한 공부가 아닌 개념 틀과 인식 틀의 간격을 좁혀 사고 틀을 완성하는 것이 목적이 되는 학습방향이 우선되어야 한다.문제를 잘 푼다고 내용을 잘 안다고 착각해서는 안된다. 학생들은 붕괴된 개념들을 수선하고 다듬어야 한다. 다시 말하지만, 정리되지 않은 지식은 쓰레기일 뿐이다.수학이 약하다고 생각하는 학생들을 위한 팁1) 자신의 한계를 넘어 문제 량을 늘리지 마라.2) 복습은 먼저 쓰면서 하지 말고, 문제 전반의 풀이순서도를 생각하여 개념의 조합으로 하라. 계산실수는 있을 수 있다.3) 한 단원의 문제풀이 순서도가 완성되었다면, 그 풀이순서도를 확인하는 작업을 하라.4) 착각은 자유다. 그러나 그 착각은 본인만이 명확히 볼 수 있다.이 순환구조만 적절히 완성된다면, 진정한 의미의 자기주도학습이 될 수 있다고 믿는다. 다시 말하지만, 공부는 머리만으로 하는 것이 아니다쓸 수 없는 지식은 머리를 어지럽히는 쓰레기에 불과하다.이원태 원장쿠스터디학원 2016-11-24
- 2017학년도 수학능력고사 분석 수학능력고사(이하 수능)을 치룬 고3들에게 수고했다는 말을 먼저 전하며, 2017년 수능! 수학을 중심으로 분석 해보자. 수능을 치룬 전국의 수험생은 605,987명으로 재학생 75%, 졸업생 25%였다. 또한 수학의 경우에는 가형 33%, 나형 67% 응시율을 보였다.가·나형 모두 전체 문항 수의 30%를 단답형 문항으로 출제하였다. 가형은 미적분Ⅱ 12문항, 확률과 통계 9문항, 기하와 벡터 9문항으로 구성하였고, 나형은 수학Ⅱ 11문항, 미적분Ⅰ 11문항, 확률과 통계 8문항으로 구성하였으며, 공통문항은 4문제로 모두 확률과 통계에서 출제하였다. 가형의 경우 미적분Ⅱ에서는 적분법이 5문항(미분법 3문항), 기하와 벡터에서는 공간도형과 공간벡터가 4문제가 출제되어 출제빈도가 높았으며 확률과 통계는 경우의 수, 확률, 확률분포가 각각 3문항씩 출제되었다.변별력이 주어지는 문제로는 공간도형에서의 선분길이의 최댓값을 벡터의 내적을 이용하여 구하는 29번 문항과 주어진 항등식을 변형하여 극점의 개수를 비교하면서 극댓값의 최솟값을 구하는 30번 문항이었다.나형의 경우 수Ⅱ에서는 집합과 명제 3문항, 미적분Ⅰ에서는 함수의 극한과 연속에서 4문제가 출제되어 출제빈도수가 높았으며 확률과 통계의 경우에는 가형과 마찬가지였다.변별력이 주어지는 문제는 소요시간이 많이 요구되는 격자점을 찾는 문항으로 자연수 n값에 따른 격자점의 개수를 주어진 조건에 따라 일일이 구하여 수열의 합을 구하는 21번 문항과, 삼차함수가 가지는 기본적인 성질(점대칭, sqrt {3} :1 등)과 역함수를 가질 조건을 이용하여 주어진 방정식이 실근을 가질 최댓값과 최솟값을 구하는 30번 문항이었다.출제경향으로 유추해 보는 올해 대입전략으로는 첫 째, 2016학년도 보다는 올해의 수능이 난이도가 상승하여 상위권대학의 최저학력기준에 영향을 주고 논술고사에서도 결시율이 상승할 것으로 보인다.둘 째, 인문계열은 국어/수학, 자연계열은 수학/과학이 변수다. 인문계열의 어느 때 보다도 수학의 비중이 커졌고, 상경계열의 경우 수학을 보는 비중이 높으므로 더더욱 그러하며, 자연계의 경우에는 정시모집에서 수학의 가중치를 주는 곳이 많으므로 수학이 변수임에는 틀림없다.셋 째, 수능 후 대학별 응시에서 최저학력기준의 미달로 결시율이 높을 것으로 예상된다.현재 2학년들에게 고(告)하는 2018년도 수능을 위해서는, 소위 변별력을 요하는 문항들을 제외한 문항은 기존의 틀을 크게 벗어나지 않아 쉽게 접근을 할 것이다. 소위 킬러 문제라고 여겨지는 문항들이 언제든지 새로운 형태로 나올 수 있음을 기억하고 다양한 형태의 문항을 접해 문제해결력과 연계성을 높여주는 연습을 충분히 하여야 한다. 또한 이러한 문제를 푸는 시간의 확보를 위해 일반적이고 정형화된 문항에 대하여 정확하고 빠른 풀이가 선행되어야 한다.최강수학 원장 2016-11-24
- 예비 중1, 수학은 어떻게 준비할까? <1> 중학교 입학을 앞두고 수학을 어떻게 준비해야 할지 몰라 고민하는 예비 중1 학생과 학부모들이 적지 않다. 지금쯤이면 현재 초등 수학 내용을 잘 이해하고 있는 학생들도 많고 초등 교과 수학에 관한 예습이 완료된 학생들도 많다. 나름 이 정도면 중학교에 입학한 후 수학을 공부해도 충분 하겠지 라는 생각으로 방향을 잘못 설정하는 경우를 많이 볼 수 있는데 중학교 입학 후 공부를 하겠다는 생각은 너무 늦다. 머리 좋고 학교 시험 점수가 좋으니 중학교에 가면 충분히 따라간다고 낙관하지만, 현실은 그렇지 못한 경우가 더 많다.수학은 연계성이 있는 학문이다. 초등 수학은 중등수학으로 가기 위한 기본 과정이며 중등 수학은 고등 과정으로 가기 위한 중간 단계이다. 그러므로 그 기본이 되는 초등 수학을 반드시 정리하고 중등 수학 공부에 들어가야 한다. 초등 수학이 연산 학습 위주로 많이 이루어졌다면, 중등 수학부터는 조금 더 심화되고 세분화돼 논리적인 이해력과 문제 해결력을 필요로 한다. 그러므로 중등과정을 잘 이해하기 위해서는 이와 관련된 초등내용부터 완벽하게 정리하고 넘어 가야 한다.중1 수학 교과 과정에는 약수, 배수, 분수의 계산과 도형의 넓이와 부피 구하기, 합동 등 초등학교 때 배운 내용이 다시 등장하므로 초등 5, 6학년 때 배운 관련 단원의 복습은 필수적이다. 초등수학의 복습이 마무리 되었으면 중학교 입학 전에는 될 수 있으면 중1-1 교과 내용을 모두 마무리 하는 것이 좋다. 만약 중1-1 교과 내용을 모두 마무리 하지 못하였다면 최소한 중학교 입학 전, 2월말까지는 중1-1 중간고사 범위에 해당되는 부분까지는 마무리 하여야 한다. 처음 중학교에 입학한 많은 학생들은 새로운 학교생활 적응과 친구들을 사귀는 데에 1학기를 거의 다 보내기 때문에 별도로 공부할 시간이 많지 않기 때문이다. 만약, 중1-1 교과 내용이 완벽하게 끝났다면, 중1-2 교과 내용 중 통계, 도형 기초, 작도가 나오는 단원까지 추가로 공부해두는 것도 나쁘지 않다.하이츠 학원 이재성원장 365-3360 2016-11-24
- 통합수학 프로그램으로 초등부터 입시 로드맵 그리다 수학에 대한 중요성이 커지면서 일부에선 초등 저학년 학생들까지 선행을 시작할 정도로 수학의 열기는 뜨겁다. 여기에 학원의 상술이 더해져 남들보다 좀 더 빨리 시작하지 않으면 소위 말하는 의치대나 SKY 진학은 힘들다는 얘기도 들린다. 아직 입시가 멀게 느껴지는 초등맘들은 이런 선택 하나 하나가 다 어려운 일이다. 초등수학부터 입시까지 긴 시간동안 헤매지 않고 효율적인 성공 로드맵을 그리고 싶다면 어떻게 해야 할까? 입시전문가와 수학교육 전문가가 함께 체계적인 통합수학 프로그램을 운영하는 ‘KMG수학영재’에서 그 답을 찾아보았다.성취도 평가 통해 장기적 학습 로드맵 설정타워팰리스 G동 옆 우성캐릭터119 1층에 있는 ‘KMG수학영재’는 다양한 교수법을 적용해 초등수학, 영재수학, 중등수학, 고등내신과 수능수학, 그리고 수리논술까지 수학의 전 영역을 아우르는 수학 전문학원이다.그러나 여타 일반적인 수학학원과 차별된 점은 통일된 커리큘럼에 따라 일률적으로 학습하는 것이 아니라 각 학생의 성향과 진로에 따라 개별적인 맞춤 수업 및 장기적인 로드맵을 그린다는 점이다.이를 위해 처음 방문한 학생은 KMG진단평가를 실시해 수학적 영재성을 파악하고 대안을 제시한다.보통 학원들에서 시행되는 입학테스트와 달리 학생들의 성취도를 진단하는 평가이며, 진단평가 결과는 희망하는 진로에 맞춰 부족한 점을 보완하고 학습 로드맵을 설계하는데 활용한다.‘KMG수학영재’ 김진영 원장은 “학생 나이에 맞는 문제를 주기 때문에 선행 여부는 진단에 큰 영향을 미치지 않습니다. 어려서부터 능력 이상으로 과도하게 힘을 빼며 공부하면 나중에 공부에 질리게 되므로 쓸데없는 시간과 노력 낭비를 줄이고 효과적인 대안을 제시하기 위함입니다”라고 말했다.수학적 사고력 키워서 수학 토대 튼튼히‘KMG수학영재’의 정규과정은 유치 및 초등 저학년 대상 MIT과정, 초등 대상 KMG과정, 그리고 초·중·고 대상의 MF과정으로 구성된다. MIT과정은 수학적 사고력의 토대를 만드는 수학 지능 개발 프로그램으로 수학 문제를 바라보는 사고의 틀을 끄집어내도록 돕는다.주입식 수업이 아니고 수학적 원리를 자연스럽게 터득할 수 있도록 이끈다. 기본적인 커리큘럼은 1년 전후이며, 소수 정예 수업으로 개별적인 맞춤 지도가 이루어진다.KMG과정은 스토리텔링을 통한 수학 이론을 기반으로 책 속의 수학을 직접 만들고, 즐겁게 느끼며 터득한 이론으로 내가 새롭게 수학책을 만드는 수학 원리 학습 프로그램이다. 기본적으로 1년 6개월 과정으로 진행된다.김 원장은 “KMG수학영재는 교구, 도형 수업으로 많이 알려져 있는데 도형만 하는 것이 아니고 측정, 규칙, 확률, 통계, 연산 전 영역을 아우르면서 사고력을 키우는 수업입니다. 도형 입체를 만들고 전개도를 펼치는 등 직접 경험한 것이 기억에 오래 남고 지면으로 자연스럽게 연결됩니다”라고 말했다.이런 과정을 거친 후 교과 수학으로 들어가게 된다. MF과정은 교과서 개념의 정확한 이해와 체계적인 문제 분석 및 완벽한 적용, 해결 능력을 기르는 초·중·고 교과 심화 프로그램이다.정규과정 외에도 문장제를 중심으로 수학적 문제해결력을 키우는 프로그램인 PS과정, 수학올림피아드의 여러 이론들을 깊고 넓게 익히는 MO과정 등의 특별 과정이 있다. 학생의 성향과 진로에 따라 필요한 경우 개별 맞춤 수업으로 진행된다. 문의 02-3461-0083 www.kmgmath.co.kr 2016-11-18
- 고등수학, 어설픈 선행은 오히려 독 단기간에 실력이 완성되지 않는 수학을 위해 많은 학생들이 일찍부터 수학 공부에 매달리고 있다. 그렇지만 안타깝게도 많은 사람들이 올바른 수학 공부법에 대해 잘 모르고 있는 것 같다.많은 부모님들이 그저 선행학습에만 힘쓰고 빠르게 진도를 나가는 것이 아이의 수학 실력을 향상시키는 지름길이라고 착각하고 있다. 이런 학습법이 결국에는 학생들을 ‘수포자’의 길로 내몰고 있다. “저는 중학교 때부터 고등수학 선행학습을 많이 했는데, 정작 왜 고등학교 성적은 이럴까요?” 고등학교에서 첫 번째 시험을 망치고 상담을 온 많은 학생들이 털어놓는 고민이다.이 문제는 무분별한 선행학습에서 비롯된다. 무분별한 선행학습이란 현재 학생이 습득해야 할 기본을 제대로 습득하지 못한 상태에서 이루어지는 성급하고 어설픈 선행학습이라 할 수 있다. 어떤 공부든 마찬가지지만 수학 같은 경우에는 특히 기본과 토대가 중요하다. 기본과 토대가 중학교 때 완성되지 않으면 고등학교에 올라가서 흔들리기 마련이다.더군다나 선행을 통해 많은 진도를 나간 학생들은 “일단 나는 한 번 끝냈어”라고 자만하거나 “한 번 봤던 거니까 대충 알아”라고 섣불리 방심하기 쉽다. 불안한 토대 위에서 제대로 소화하지 못한 선행학습이 부질없는 자기 위안이 되고 마는 것이다.선행학습을 아예 하지 않는 경우에도 문제는 발생한다. 고등과정을 염두에 두지 않고 중등과정에만 국한된 공부를 할 경우에 고등학교에 입학한 이후 진도를 따라가기 버겁다. 특히 이과의 경우 내용이 워낙 방대하기 때문에 어느 정도 선행을 하지 않고서는 절대적으로 시간이 모자라다.그렇다면 올바른 수학 선행학습은 어떻게 이루어져야 하는가? 필자는 ‘수직적 선행학습’이라는 개념을 제시하고자 한다. 이는 교육과정 상에서 중학수학과 고등수학이 심화, 발전되는 관계로 연결되어 있는 부분에 집중한다. 예컨대 중학수학에 나오는 곱셈공식, 인수분해, 방정식, 부등식, 함수는 고등수학에서 똑같이, 그러나 다소 심화되어 등장한다.선행이 필요한 부분은 바로 이 지점이다. 중학수학에서 고등수학과 연결되는 이 단원들을 공부할 때, 자연스럽게 심화학습과 동시에 선행학습이 가능한 것이다. 이렇게 했을 때 비로소 중학수학의 기본도 챙기고, 고등수학을 처음 접할 때의 낯설음도 사전에 방지할 수 있다.김용원장청담용수학 2016-11-18
- 수학 잘하게 만드는 비법 수학을 잘하고 싶은가? 수학을 잘하게 만들고 싶은가? 그렇다면 수학을 좋아하게 하라! 좋아하게 만드는 것이 수학을 잘하게 만드는 가장 확실한 비법이다. 수학이 그냥 싫은데 어떻게 좋아하냐고? 그럼 하나만 물어보겠다. 수학은 태어날 때부터 싫었는가? 당연히 태어날 때부터 수학을 싫어하는 아이는 없었을 것이다. 점점 커가며 수학을 공부하며 수학이 싫어질 수밖에 없는 쪽으로 내몰리게 된 것 일뿐. 어느 순간엔가 부모님 또는 선생님으로부터 수학이 싫어지게 된 계기가 만들어지는 경우가 대부분이다. 빠를 수도 늦을 수도 있지만 수학이 싫어지기 시작하면 아무리 문제를 풀고 아무리 책상에 앉아있어도 아이들에게 수학은 절대 정복할 수 없는 난공불락의 요새가 된다. 그렇기에 수학이 싫어진 계기를 찾아내 거꾸로 수학을 좋아하게 만들 수 있는 비법을 찾아내 보자.1. 수학은 따분하고 재미없는 과목이라 수학이 싫었다. → 그렇다면 수학을 재미있게 설명하고 가르치면 끝!2. 이해가 잘 안되어 싫어졌다. → 그렇다면 머리에 쏙쏙 들어오게 이해를 잘 시켜주면 끝!3. 연산이 싫어 수학이 싫어졌다. → 그렇다면 연산보다 단원과 과정의 정확한 이해에 무게중심을 옮기면 끝.4. 수학은 실제 사회에 나오면 거의 대부분 쓸모가 없는 학문이기에 괜히 배운다는 생각에 수학이 더 싫어진다. → 그렇다면 수학 공부시간에 수학이 왜 실제 생활에 필요한지 만일 수학을 놓치게 되면 삶에 어떤 불이익이 닥칠지 실제 사례와 예를 들어주어 수학은 인생에서 가장 필요한, 비중이 가장 큰 과목임을 깨닫게 만들어주면 끝!5. 아무리 해도 안 되더라. → 방법이 잘못되었는데 아무리 해도 안 되는 것은 당연한 것이 아닌가? 방향이 잘못되었는데 열심히 그 방향으로 노력해서 걸으면 목적지를 찾을 수 있겠는가? 기존의 비효율적이고 한심한 방법을 획기적으로 효율적으로 바꾸면 끝! 위에서 보듯 수학을 싫어하게 된 이유와 사연들은 다양하다. 그러나 싫어하게 된 이유들을 반대로 적용시키면 수학을 좋아하게 만드는 비법이 되기에 아이들을 위에 제시된 답안대로 수학에 접근시키면 된다.꼭 명심하자. 수학을 잘하면 좋아하는 것이 아니라 수학을 좋아하면 잘하게 되는 것이다. 선후가 바뀌면 안 된다. 그래서 수학을 잘하게 만드는 비법은 아주 단순하게도 우선 수학을 좋아하게 만들면 되는 것이다. 이 얼마나 쉽고 간단한 비법인가!김필립원장김필립수학전문학원 2016-11-18
- 고등학교에서 올바른 수학 학습법(3) - 고2 드디어 고3 수험생이라는 타이틀이 붙었다. 이제 무언가를 하지 않으면 안된다는 부담감이 엄습한다. 하지만 많은 이들이 이 시기가 다들 중요하고, 열심히 해야 한다는 걸 알고 있으면서도 무엇을 어떤 방법으로 해야 하는지에 대해서는 고민하지 않는다. 그저 열심히만 하면 무언가 될 것으로 생각하는가? 아니다. 방향이 잘못되면 아무리 열심히 뛰어도 원하는 장소에 도착하기 어렵다. 고3. 열정이 불타오르는 그 시기에 어떤 준비를 해야 더 효율적으로 그 열정을 불태울 수 있을지 알아보자.1. 작심삼일은 저리가라! 충분한 계획이 필요하다.어차피 작심삼일, 계획을 짜봤자 못 지킨다고 그냥 되는대로 하루하루 공부하는 것이 낫다고 하는 사람도 있다. 1, 2학년엔 어떻게 맞춰갈 수 있을지 몰라도 3학년은 다르다. 그날그날 공부하면서 잃어버리는 시간이 얼마나 많은가. 1년이라는 시간은 길다. 하루에 1시간씩만 낭비를 해도 365시간, 즉 보름의 시간이 낭비된다. 중간/기말고사 기간에 시험을 하루 앞두고 ‘일주일만 더 있었으면, 다음 주가 시험이면..’이라고 후회해 본 경험이 있다면 이 보름이 얼마나 소중한 시간인지 알 것이다. 낭비하는 시간을 최소한으로 하고 주어진 시간을 계획적으로 잘 보낼 수 있는 것만으로도 훨씬 큰 경쟁력을 얻는 것이다.계획은 일주일 단위로 짜는 것이 좋다. 일주일 씩 정리할 수 있는 스터디플래너를 이용하는 것도 좋다. 대부분 학교나 학원의 일정이 일주일 단위로 시행되기 때문에 주간 계획이 유리하다. 다만 의욕에 앞서 무리하게 기상 시간이나 취침 시간을 설정하거나 쉬는 시간 없이 공부 시간만 꽉 채우면 작심삼일이 되기 쉽다. 학교 수업 시간외 시간에 공부할 목록을 작성해 보고, 매일 고정된 시간을 먼저 정리하고 남은 시간에 공부 및 다른 활동을 계획하면 효과적이다. 공부 시간 중간에 쉬는 시간도 10분씩 가지는 것도 방법이 된다. 예상 밖의 일정이나 가족 모임 또는 컨디션이 좋지 않는 날도 있을 수 있기 때문에 유동적으로 활용할 수 있는 시간을 넣어주고, 휴식할 수 있는 시간도 함께 확보하는 것이 좋다. 책상에 앉아 있는 것만이 공부는 아니다. 자신의 몸을 알고 컨디션을 유지하면서 지속적으로 공부할 수 있도록 계획을 작성하는 것이 가장 중요하다. 일주일 씩 52번을 해야 하는 계획이므로 ‘지속가능한가?’ 이것이 가장 중요하다.2. 자신의 위치를 정확히 파악하라!학기 중에 부족한 것을 채워 내기란 여간 어려운 것이 아니다. 내신 준비에 수능, 수리논술에 자소서까지 할 게 너무나도 많다. 겨울방학은 길고 할 것은 많다. 부족한 부분을 채울 수 있는 기회로 겨울방학을 이용하는 것이 유리하다. 하지만 이도 내가 무엇이 부족한지 모르고 그냥 열심히 공부만 한다고 해서 부족한 것이 채워질 리가 없다.① 정확한 이론을 알아야한다.문제유형서를 두 번, 세 번 풀면서 문제에 유형파악에 집착하는 학생들이 있다. 수능은 말할 것도 없고 내신을 준비하는 것도 정확한 이론이 필요하다. 그럼 이론은 무엇일까? 교과서를 보면 각 단원 초반에 그 단원에서 사용하는 이론의 원리에 대한 해석과 증명을 해놓은 부분이 있다. 다시한번 정리를 하라. 이것들은 풀이에 대한 이유이다. 그 이유에서 사용된 이론이 다양한 유형의 문제에 적용되는 근본이 된다. 똑같은 이론으로 수능의 2점, 3점, 4점짜리 문제로 만들 수 있기 때문에 이왕이면 4점을 얻는 공부가 필요하지 않을까? 그저 유형만 외우려하다가 문제가 조금만 바뀌어도 다른 유형인 줄 알고 못 푸는 상황이 되지 말고 그 문제의 기본 이론을 익혀 기본을 탄탄하게 흔들리지 않는 것이 중요하다.② 공부에도 순서가 있다.사람마다 같은 시간을 공부해도 그 시간에 해낸 양과 질에서 모두 차이가 난다. 시간을 확보했으면 그 시간을 얼마나 효과적으로 사용하는지도 매우 중요하다. 예를 들어 고3이 되었으니 EBS 수능특강을 우선 구매하고 작년 EBS교재를 더 구하여 풀어보는 것보다, 기출 문제를 단원별로 먼저 정리해보는 것이 필요하다. 기출 문제로 단원을 정리하다보면 각 단원의 출제 경향이 보인다. 그 후에 EBS 교재들을 풀어보면 기존의 출제경향의 문제와 새롭게 추가된 문제의 구분이 가능해진다. 이러한 흐름을 파악하고 공부하면 훨씬 더 유리하다.③ 변화된 시험을 주목하자.고3이 되면 과거 3~4년치 수능과 모의고사 문제를 여러 번 풀어보는 것을 많이 강조했었다. 하지만 현재 고3 수능에서 수학은 전혀 새로운 단원 구성과 출제범위로 바뀌었고, 국어는 출제 유형과 구성이 바뀌었다. 따라서 고3이 되는 학생들은 3~4년 전의 기출문제만 보는 것은 위험하다. 참고하는 정도면 충분할 것이다. 변화된 시험에서 어떤 부분을 중요시하고 있는지 파악하는 것이 좋다. 그저 들리는 소리에 ‘국어가 어려워 졌다던데, 수학이 많이 바뀐 것 같다던데’라고 막연하게 생각하지 말고 직접 문제를 교육청이나 평가원 홈페이지에서 다운받아 보고 문제를 확인해보자. 문제를 풀고 못 풀고, 쉽고 어렵고가 중요한 것이 아니라 어떤 분위기에서 어떤 흐름으로 변화되었는지 직접 확인해보는 것이 좋다. 수학의 경우 쉬운 문제는 쉽게 어려운 문제는 확실히 변별력을 주고 있다. 이러한 변화 기조를 파악하고 공부하는 것이 유리하다.3. 전략? 우선 현재에 충실하라.올인성 전략은 최후의 선택이다. ‘내신은 이미 망쳤으니 정시에 올인’, ‘내신으로 밀어붙여 수시에 올인’ 이런 식의 생각은 위험이 너무 크다. 2년의 시간이 지났고 그간 만들어져 있는 것이 많은 것도 사실이지만, 아직 1년의 시간이 남아있고 그 시간 동안에 어떻게 발전할지, 어떤 위기가 생길지 아직 변수가 많다. 뒤가 없는 계획은 실패의 확률도, 그 이후의 충격도 너무 크다.겨울방학에 차분하게 부족한 부분을 채우고, 폭넓은 공부와 준비를 하여 개학 이후 모의고사 결과도 확인하고 내년 시험의 흐름과 분위기를 파악하면서 대응을 하는 것이 훨씬 유리하다. 막연하게 모든 것을 잘 하겠다는 생각보다는 계획을 가지고 충실히 준비하는 것이다.수리논술이 부담스러운가? 이번 겨울방학에 기본에만 충실히 임한다면 중상위권 대학들의 수리논술을 풀 수 있다. 예전에 비해 수리논술의 수준이 확실히 쉬워지고 있다. 어렵게만 출제하던 대학들도 대부분 쉽게 출제하고 있다. 또한 수능 최저도 많이 사라지고 있다. 내신이 약하면 겨울방학부터 준비하는 것도 좋다고 생각한다. 이번 겨울방학부터 여름방학까지 대학기출의 기본으로 확실한 이론과 쓰기를 연습하면 충분히 승산이 있다. 대학을 미리 정하고 논술에 대비 하면 실패할 경우가 있다. 논술은 폭 넓은 공부와 깊은 사고가 필요하기 때문이다.내신이 부담스러운가? 이번 겨울방학에 미리 한 번 시험범위를 정리해 놓고 학기를 맞이한다면 마음이 여유로울 수 있다. 정시를 준비하는 학생도 수시를 준비하는 학생도 내신이 0.1이라도 높은 것이 유리하기 때문이다. 착실한 준비로 학기 중에 여러 가지 준비할 것이 많은데 내신 준비를 조금 여유롭게 할 수 있다면 그 또한 이익이다.김창주 팀장매쓰플러스수학학원 고2팀 2016-11-17
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