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- 착각의 늪 시각에 관해서 생기는 착각으로 착시는 외계, 사물의 크기, 형태, 빛깔 등의 객관적인 성질과 눈으로 본 성질 사이에 차이가 있는 경우의 시각을 가리킨다고 한다. 이와 같은 차이는 항상 존재하므로 일반적으로 특히 양자의 차이가 큰 경우를 말한다고 한다.실제 주위에서 수많은 착시현상을 볼 수 있다. 사진 같은 경우, 시야의 범위를 달리하여 보면 관찰자의 의식, 사진의 인식 범위에 따라 보이는 이미지가 달리 보인다.착시는 시각적인 객관적 성질과 인식의 차이이다.시각적으로 보이므로, 최소한 비교 또는 검증이 용이하다. 착각은 보이지 않는다. 따라서 비교 또는 검증이 용이하지 않다. 착시의 경우, 객관적인 매체가 존재하므로 기준이 존재한다. 착각은 기준이 존재하지 않는다. 누가 옳고 누가 그른지가 불분명하다. 이 불분명한 것을 명확하게 하기 위해 토론을 하여 입장 차이를 좁히는 과정을 거치는 것이다.일반적으로 학습은 다음단계로 이루어진다.내용 숙지 → 내용을 바탕으로 해석. 더 세세히 나눌 수 있지만, 결과적으로는 Input-Output이다. Input은 <개념의 이해>이고, Output은 <문제해석 및 풀이>로 나눌 수 있다.물론 더 나아가 실생활에서의 응용도 가능하다. 그런데 수학은 의외로 input이 상당한 비중을 가진다. 또 이 개념의 이해과정이 타 과목에 비해 까다롭다.수학의 경우, 개념의 인식단계에서부터 많은 학생들이 어려움을 겪고 있다. 개념이 완성되지 않은 상태에서는 개념 틀과 인식 틀 사이에 착시현상이 발생한다. 일반적으로 70%이상의 학생들의 개념인식 초반에 이러한 현상을 보인다. 이러한 경우 앞서 말했듯 입장 차이를 좁히는 과정이 필요하다.개념 틀의 완성단계에서는 먼저 개념의 간략화와 반복학습을 통해 개념 틀의 붕괴를 방지하여야 한다. 반복학습 시 필기가 아닌 구두로 반복학습을 하여 먼저 틀을 구축하는 것이 중요하다. 개념 틀과 인식 틀은 일반적으로 동시에 작동하고 그 경계가 모호하다. 이를 구분 짓기 위해서는 학생 스스로 개념을 설명하게 하는 것이 가장 좋다. 이는 개념설명을 하면서 왜 이 개념이 이러하는지를 타인에게 이해시켜야하기 때문이다.그러나 개념인식이 어느 정도 되었다 하더라도, 실제 문제를 풀어보면 개념을 인식한 부분과 문제가 서로 다르게 느껴진다. 이때 학생들은 개념 틀이 붕괴되면서 사고틀까지 흔들리게 된다. 이때 인식 틀과 개념 틀이 서로 다르게 보이는 착시현상이 발생하게 되는데, 여기에서 개념 틀의 확장을 통해 사고틀을 재조립하는 과정이 반드시 필요하다.가능한 한 붕괴된 틀은 가능한 빨리 재조립하는 것이 좋다. 흩어진 지식들은 우리의 머리에선 쓰레기로 인식되기 때문이다. 이에 학생들에게 강조한다. 정리되지 않은 지식은 너희들의 머리를 쓰레기장으로 만들 것이라고…….개념인식이 명확한지, 학생과 많은 대화를 해보지 않는 이상 이 착시현상을 인지하기는 어렵다. 이를 보완하기 위해 문제풀이를 한다. 그러나 문제만을 위한 문제풀이는 ‘내용을 잘 알고 있다.’라는 착각을 불러일으킬 수 있다.개념(생각)은 적절한 때에 반복하여 수리해주지 않으면 조금씩 붕괴된다. 문제를 풀기 위한 공부가 아닌 개념 틀과 인식 틀의 간격을 좁혀 사고 틀을 완성하는 것이 목적이 되는 학습방향이 우선되어야 한다.문제를 잘 푼다고 내용을 잘 안다고 착각해서는 안된다. 학생들은 붕괴된 개념들을 수선하고 다듬어야 한다. 다시 말하지만, 정리되지 않은 지식은 쓰레기일 뿐이다.수학이 약하다고 생각하는 학생들을 위한 팁1) 자신의 한계를 넘어 문제 량을 늘리지 마라.2) 복습은 먼저 쓰면서 하지 말고, 문제 전반의 풀이순서도를 생각하여 개념의 조합으로 하라. 계산실수는 있을 수 있다.3) 한 단원의 문제풀이 순서도가 완성되었다면, 그 풀이순서도를 확인하는 작업을 하라.4) 착각은 자유다. 그러나 그 착각은 본인만이 명확히 볼 수 있다.이 순환구조만 적절히 완성된다면, 진정한 의미의 자기주도학습이 될 수 있다고 믿는다. 다시 말하지만, 공부는 머리만으로 하는 것이 아니다쓸 수 없는 지식은 머리를 어지럽히는 쓰레기에 불과하다.이원태 원장쿠스터디학원 2016-11-24
- 2017학년도 수학능력고사 분석 수학능력고사(이하 수능)을 치룬 고3들에게 수고했다는 말을 먼저 전하며, 2017년 수능! 수학을 중심으로 분석 해보자. 수능을 치룬 전국의 수험생은 605,987명으로 재학생 75%, 졸업생 25%였다. 또한 수학의 경우에는 가형 33%, 나형 67% 응시율을 보였다.가·나형 모두 전체 문항 수의 30%를 단답형 문항으로 출제하였다. 가형은 미적분Ⅱ 12문항, 확률과 통계 9문항, 기하와 벡터 9문항으로 구성하였고, 나형은 수학Ⅱ 11문항, 미적분Ⅰ 11문항, 확률과 통계 8문항으로 구성하였으며, 공통문항은 4문제로 모두 확률과 통계에서 출제하였다. 가형의 경우 미적분Ⅱ에서는 적분법이 5문항(미분법 3문항), 기하와 벡터에서는 공간도형과 공간벡터가 4문제가 출제되어 출제빈도가 높았으며 확률과 통계는 경우의 수, 확률, 확률분포가 각각 3문항씩 출제되었다.변별력이 주어지는 문제로는 공간도형에서의 선분길이의 최댓값을 벡터의 내적을 이용하여 구하는 29번 문항과 주어진 항등식을 변형하여 극점의 개수를 비교하면서 극댓값의 최솟값을 구하는 30번 문항이었다.나형의 경우 수Ⅱ에서는 집합과 명제 3문항, 미적분Ⅰ에서는 함수의 극한과 연속에서 4문제가 출제되어 출제빈도수가 높았으며 확률과 통계의 경우에는 가형과 마찬가지였다.변별력이 주어지는 문제는 소요시간이 많이 요구되는 격자점을 찾는 문항으로 자연수 n값에 따른 격자점의 개수를 주어진 조건에 따라 일일이 구하여 수열의 합을 구하는 21번 문항과, 삼차함수가 가지는 기본적인 성질(점대칭, sqrt {3} :1 등)과 역함수를 가질 조건을 이용하여 주어진 방정식이 실근을 가질 최댓값과 최솟값을 구하는 30번 문항이었다.출제경향으로 유추해 보는 올해 대입전략으로는 첫 째, 2016학년도 보다는 올해의 수능이 난이도가 상승하여 상위권대학의 최저학력기준에 영향을 주고 논술고사에서도 결시율이 상승할 것으로 보인다.둘 째, 인문계열은 국어/수학, 자연계열은 수학/과학이 변수다. 인문계열의 어느 때 보다도 수학의 비중이 커졌고, 상경계열의 경우 수학을 보는 비중이 높으므로 더더욱 그러하며, 자연계의 경우에는 정시모집에서 수학의 가중치를 주는 곳이 많으므로 수학이 변수임에는 틀림없다.셋 째, 수능 후 대학별 응시에서 최저학력기준의 미달로 결시율이 높을 것으로 예상된다.현재 2학년들에게 고(告)하는 2018년도 수능을 위해서는, 소위 변별력을 요하는 문항들을 제외한 문항은 기존의 틀을 크게 벗어나지 않아 쉽게 접근을 할 것이다. 소위 킬러 문제라고 여겨지는 문항들이 언제든지 새로운 형태로 나올 수 있음을 기억하고 다양한 형태의 문항을 접해 문제해결력과 연계성을 높여주는 연습을 충분히 하여야 한다. 또한 이러한 문제를 푸는 시간의 확보를 위해 일반적이고 정형화된 문항에 대하여 정확하고 빠른 풀이가 선행되어야 한다.최강수학 원장 2016-11-24
- 예비 중1, 수학은 어떻게 준비할까? <1> 중학교 입학을 앞두고 수학을 어떻게 준비해야 할지 몰라 고민하는 예비 중1 학생과 학부모들이 적지 않다. 지금쯤이면 현재 초등 수학 내용을 잘 이해하고 있는 학생들도 많고 초등 교과 수학에 관한 예습이 완료된 학생들도 많다. 나름 이 정도면 중학교에 입학한 후 수학을 공부해도 충분 하겠지 라는 생각으로 방향을 잘못 설정하는 경우를 많이 볼 수 있는데 중학교 입학 후 공부를 하겠다는 생각은 너무 늦다. 머리 좋고 학교 시험 점수가 좋으니 중학교에 가면 충분히 따라간다고 낙관하지만, 현실은 그렇지 못한 경우가 더 많다.수학은 연계성이 있는 학문이다. 초등 수학은 중등수학으로 가기 위한 기본 과정이며 중등 수학은 고등 과정으로 가기 위한 중간 단계이다. 그러므로 그 기본이 되는 초등 수학을 반드시 정리하고 중등 수학 공부에 들어가야 한다. 초등 수학이 연산 학습 위주로 많이 이루어졌다면, 중등 수학부터는 조금 더 심화되고 세분화돼 논리적인 이해력과 문제 해결력을 필요로 한다. 그러므로 중등과정을 잘 이해하기 위해서는 이와 관련된 초등내용부터 완벽하게 정리하고 넘어 가야 한다.중1 수학 교과 과정에는 약수, 배수, 분수의 계산과 도형의 넓이와 부피 구하기, 합동 등 초등학교 때 배운 내용이 다시 등장하므로 초등 5, 6학년 때 배운 관련 단원의 복습은 필수적이다. 초등수학의 복습이 마무리 되었으면 중학교 입학 전에는 될 수 있으면 중1-1 교과 내용을 모두 마무리 하는 것이 좋다. 만약 중1-1 교과 내용을 모두 마무리 하지 못하였다면 최소한 중학교 입학 전, 2월말까지는 중1-1 중간고사 범위에 해당되는 부분까지는 마무리 하여야 한다. 처음 중학교에 입학한 많은 학생들은 새로운 학교생활 적응과 친구들을 사귀는 데에 1학기를 거의 다 보내기 때문에 별도로 공부할 시간이 많지 않기 때문이다. 만약, 중1-1 교과 내용이 완벽하게 끝났다면, 중1-2 교과 내용 중 통계, 도형 기초, 작도가 나오는 단원까지 추가로 공부해두는 것도 나쁘지 않다.하이츠 학원 이재성원장 365-3360 2016-11-24
- 통합수학 프로그램으로 초등부터 입시 로드맵 그리다 수학에 대한 중요성이 커지면서 일부에선 초등 저학년 학생들까지 선행을 시작할 정도로 수학의 열기는 뜨겁다. 여기에 학원의 상술이 더해져 남들보다 좀 더 빨리 시작하지 않으면 소위 말하는 의치대나 SKY 진학은 힘들다는 얘기도 들린다. 아직 입시가 멀게 느껴지는 초등맘들은 이런 선택 하나 하나가 다 어려운 일이다. 초등수학부터 입시까지 긴 시간동안 헤매지 않고 효율적인 성공 로드맵을 그리고 싶다면 어떻게 해야 할까? 입시전문가와 수학교육 전문가가 함께 체계적인 통합수학 프로그램을 운영하는 ‘KMG수학영재’에서 그 답을 찾아보았다.성취도 평가 통해 장기적 학습 로드맵 설정타워팰리스 G동 옆 우성캐릭터119 1층에 있는 ‘KMG수학영재’는 다양한 교수법을 적용해 초등수학, 영재수학, 중등수학, 고등내신과 수능수학, 그리고 수리논술까지 수학의 전 영역을 아우르는 수학 전문학원이다.그러나 여타 일반적인 수학학원과 차별된 점은 통일된 커리큘럼에 따라 일률적으로 학습하는 것이 아니라 각 학생의 성향과 진로에 따라 개별적인 맞춤 수업 및 장기적인 로드맵을 그린다는 점이다.이를 위해 처음 방문한 학생은 KMG진단평가를 실시해 수학적 영재성을 파악하고 대안을 제시한다.보통 학원들에서 시행되는 입학테스트와 달리 학생들의 성취도를 진단하는 평가이며, 진단평가 결과는 희망하는 진로에 맞춰 부족한 점을 보완하고 학습 로드맵을 설계하는데 활용한다.‘KMG수학영재’ 김진영 원장은 “학생 나이에 맞는 문제를 주기 때문에 선행 여부는 진단에 큰 영향을 미치지 않습니다. 어려서부터 능력 이상으로 과도하게 힘을 빼며 공부하면 나중에 공부에 질리게 되므로 쓸데없는 시간과 노력 낭비를 줄이고 효과적인 대안을 제시하기 위함입니다”라고 말했다.수학적 사고력 키워서 수학 토대 튼튼히‘KMG수학영재’의 정규과정은 유치 및 초등 저학년 대상 MIT과정, 초등 대상 KMG과정, 그리고 초·중·고 대상의 MF과정으로 구성된다. MIT과정은 수학적 사고력의 토대를 만드는 수학 지능 개발 프로그램으로 수학 문제를 바라보는 사고의 틀을 끄집어내도록 돕는다.주입식 수업이 아니고 수학적 원리를 자연스럽게 터득할 수 있도록 이끈다. 기본적인 커리큘럼은 1년 전후이며, 소수 정예 수업으로 개별적인 맞춤 지도가 이루어진다.KMG과정은 스토리텔링을 통한 수학 이론을 기반으로 책 속의 수학을 직접 만들고, 즐겁게 느끼며 터득한 이론으로 내가 새롭게 수학책을 만드는 수학 원리 학습 프로그램이다. 기본적으로 1년 6개월 과정으로 진행된다.김 원장은 “KMG수학영재는 교구, 도형 수업으로 많이 알려져 있는데 도형만 하는 것이 아니고 측정, 규칙, 확률, 통계, 연산 전 영역을 아우르면서 사고력을 키우는 수업입니다. 도형 입체를 만들고 전개도를 펼치는 등 직접 경험한 것이 기억에 오래 남고 지면으로 자연스럽게 연결됩니다”라고 말했다.이런 과정을 거친 후 교과 수학으로 들어가게 된다. MF과정은 교과서 개념의 정확한 이해와 체계적인 문제 분석 및 완벽한 적용, 해결 능력을 기르는 초·중·고 교과 심화 프로그램이다.정규과정 외에도 문장제를 중심으로 수학적 문제해결력을 키우는 프로그램인 PS과정, 수학올림피아드의 여러 이론들을 깊고 넓게 익히는 MO과정 등의 특별 과정이 있다. 학생의 성향과 진로에 따라 필요한 경우 개별 맞춤 수업으로 진행된다. 문의 02-3461-0083 www.kmgmath.co.kr 2016-11-18
- 고등수학, 어설픈 선행은 오히려 독 단기간에 실력이 완성되지 않는 수학을 위해 많은 학생들이 일찍부터 수학 공부에 매달리고 있다. 그렇지만 안타깝게도 많은 사람들이 올바른 수학 공부법에 대해 잘 모르고 있는 것 같다.많은 부모님들이 그저 선행학습에만 힘쓰고 빠르게 진도를 나가는 것이 아이의 수학 실력을 향상시키는 지름길이라고 착각하고 있다. 이런 학습법이 결국에는 학생들을 ‘수포자’의 길로 내몰고 있다. “저는 중학교 때부터 고등수학 선행학습을 많이 했는데, 정작 왜 고등학교 성적은 이럴까요?” 고등학교에서 첫 번째 시험을 망치고 상담을 온 많은 학생들이 털어놓는 고민이다.이 문제는 무분별한 선행학습에서 비롯된다. 무분별한 선행학습이란 현재 학생이 습득해야 할 기본을 제대로 습득하지 못한 상태에서 이루어지는 성급하고 어설픈 선행학습이라 할 수 있다. 어떤 공부든 마찬가지지만 수학 같은 경우에는 특히 기본과 토대가 중요하다. 기본과 토대가 중학교 때 완성되지 않으면 고등학교에 올라가서 흔들리기 마련이다.더군다나 선행을 통해 많은 진도를 나간 학생들은 “일단 나는 한 번 끝냈어”라고 자만하거나 “한 번 봤던 거니까 대충 알아”라고 섣불리 방심하기 쉽다. 불안한 토대 위에서 제대로 소화하지 못한 선행학습이 부질없는 자기 위안이 되고 마는 것이다.선행학습을 아예 하지 않는 경우에도 문제는 발생한다. 고등과정을 염두에 두지 않고 중등과정에만 국한된 공부를 할 경우에 고등학교에 입학한 이후 진도를 따라가기 버겁다. 특히 이과의 경우 내용이 워낙 방대하기 때문에 어느 정도 선행을 하지 않고서는 절대적으로 시간이 모자라다.그렇다면 올바른 수학 선행학습은 어떻게 이루어져야 하는가? 필자는 ‘수직적 선행학습’이라는 개념을 제시하고자 한다. 이는 교육과정 상에서 중학수학과 고등수학이 심화, 발전되는 관계로 연결되어 있는 부분에 집중한다. 예컨대 중학수학에 나오는 곱셈공식, 인수분해, 방정식, 부등식, 함수는 고등수학에서 똑같이, 그러나 다소 심화되어 등장한다.선행이 필요한 부분은 바로 이 지점이다. 중학수학에서 고등수학과 연결되는 이 단원들을 공부할 때, 자연스럽게 심화학습과 동시에 선행학습이 가능한 것이다. 이렇게 했을 때 비로소 중학수학의 기본도 챙기고, 고등수학을 처음 접할 때의 낯설음도 사전에 방지할 수 있다.김용원장청담용수학 2016-11-18
- 수학 잘하게 만드는 비법 수학을 잘하고 싶은가? 수학을 잘하게 만들고 싶은가? 그렇다면 수학을 좋아하게 하라! 좋아하게 만드는 것이 수학을 잘하게 만드는 가장 확실한 비법이다. 수학이 그냥 싫은데 어떻게 좋아하냐고? 그럼 하나만 물어보겠다. 수학은 태어날 때부터 싫었는가? 당연히 태어날 때부터 수학을 싫어하는 아이는 없었을 것이다. 점점 커가며 수학을 공부하며 수학이 싫어질 수밖에 없는 쪽으로 내몰리게 된 것 일뿐. 어느 순간엔가 부모님 또는 선생님으로부터 수학이 싫어지게 된 계기가 만들어지는 경우가 대부분이다. 빠를 수도 늦을 수도 있지만 수학이 싫어지기 시작하면 아무리 문제를 풀고 아무리 책상에 앉아있어도 아이들에게 수학은 절대 정복할 수 없는 난공불락의 요새가 된다. 그렇기에 수학이 싫어진 계기를 찾아내 거꾸로 수학을 좋아하게 만들 수 있는 비법을 찾아내 보자.1. 수학은 따분하고 재미없는 과목이라 수학이 싫었다. → 그렇다면 수학을 재미있게 설명하고 가르치면 끝!2. 이해가 잘 안되어 싫어졌다. → 그렇다면 머리에 쏙쏙 들어오게 이해를 잘 시켜주면 끝!3. 연산이 싫어 수학이 싫어졌다. → 그렇다면 연산보다 단원과 과정의 정확한 이해에 무게중심을 옮기면 끝.4. 수학은 실제 사회에 나오면 거의 대부분 쓸모가 없는 학문이기에 괜히 배운다는 생각에 수학이 더 싫어진다. → 그렇다면 수학 공부시간에 수학이 왜 실제 생활에 필요한지 만일 수학을 놓치게 되면 삶에 어떤 불이익이 닥칠지 실제 사례와 예를 들어주어 수학은 인생에서 가장 필요한, 비중이 가장 큰 과목임을 깨닫게 만들어주면 끝!5. 아무리 해도 안 되더라. → 방법이 잘못되었는데 아무리 해도 안 되는 것은 당연한 것이 아닌가? 방향이 잘못되었는데 열심히 그 방향으로 노력해서 걸으면 목적지를 찾을 수 있겠는가? 기존의 비효율적이고 한심한 방법을 획기적으로 효율적으로 바꾸면 끝! 위에서 보듯 수학을 싫어하게 된 이유와 사연들은 다양하다. 그러나 싫어하게 된 이유들을 반대로 적용시키면 수학을 좋아하게 만드는 비법이 되기에 아이들을 위에 제시된 답안대로 수학에 접근시키면 된다.꼭 명심하자. 수학을 잘하면 좋아하는 것이 아니라 수학을 좋아하면 잘하게 되는 것이다. 선후가 바뀌면 안 된다. 그래서 수학을 잘하게 만드는 비법은 아주 단순하게도 우선 수학을 좋아하게 만들면 되는 것이다. 이 얼마나 쉽고 간단한 비법인가!김필립원장김필립수학전문학원 2016-11-18
- 고등학교에서 올바른 수학 학습법(3) - 고2 드디어 고3 수험생이라는 타이틀이 붙었다. 이제 무언가를 하지 않으면 안된다는 부담감이 엄습한다. 하지만 많은 이들이 이 시기가 다들 중요하고, 열심히 해야 한다는 걸 알고 있으면서도 무엇을 어떤 방법으로 해야 하는지에 대해서는 고민하지 않는다. 그저 열심히만 하면 무언가 될 것으로 생각하는가? 아니다. 방향이 잘못되면 아무리 열심히 뛰어도 원하는 장소에 도착하기 어렵다. 고3. 열정이 불타오르는 그 시기에 어떤 준비를 해야 더 효율적으로 그 열정을 불태울 수 있을지 알아보자.1. 작심삼일은 저리가라! 충분한 계획이 필요하다.어차피 작심삼일, 계획을 짜봤자 못 지킨다고 그냥 되는대로 하루하루 공부하는 것이 낫다고 하는 사람도 있다. 1, 2학년엔 어떻게 맞춰갈 수 있을지 몰라도 3학년은 다르다. 그날그날 공부하면서 잃어버리는 시간이 얼마나 많은가. 1년이라는 시간은 길다. 하루에 1시간씩만 낭비를 해도 365시간, 즉 보름의 시간이 낭비된다. 중간/기말고사 기간에 시험을 하루 앞두고 ‘일주일만 더 있었으면, 다음 주가 시험이면..’이라고 후회해 본 경험이 있다면 이 보름이 얼마나 소중한 시간인지 알 것이다. 낭비하는 시간을 최소한으로 하고 주어진 시간을 계획적으로 잘 보낼 수 있는 것만으로도 훨씬 큰 경쟁력을 얻는 것이다.계획은 일주일 단위로 짜는 것이 좋다. 일주일 씩 정리할 수 있는 스터디플래너를 이용하는 것도 좋다. 대부분 학교나 학원의 일정이 일주일 단위로 시행되기 때문에 주간 계획이 유리하다. 다만 의욕에 앞서 무리하게 기상 시간이나 취침 시간을 설정하거나 쉬는 시간 없이 공부 시간만 꽉 채우면 작심삼일이 되기 쉽다. 학교 수업 시간외 시간에 공부할 목록을 작성해 보고, 매일 고정된 시간을 먼저 정리하고 남은 시간에 공부 및 다른 활동을 계획하면 효과적이다. 공부 시간 중간에 쉬는 시간도 10분씩 가지는 것도 방법이 된다. 예상 밖의 일정이나 가족 모임 또는 컨디션이 좋지 않는 날도 있을 수 있기 때문에 유동적으로 활용할 수 있는 시간을 넣어주고, 휴식할 수 있는 시간도 함께 확보하는 것이 좋다. 책상에 앉아 있는 것만이 공부는 아니다. 자신의 몸을 알고 컨디션을 유지하면서 지속적으로 공부할 수 있도록 계획을 작성하는 것이 가장 중요하다. 일주일 씩 52번을 해야 하는 계획이므로 ‘지속가능한가?’ 이것이 가장 중요하다.2. 자신의 위치를 정확히 파악하라!학기 중에 부족한 것을 채워 내기란 여간 어려운 것이 아니다. 내신 준비에 수능, 수리논술에 자소서까지 할 게 너무나도 많다. 겨울방학은 길고 할 것은 많다. 부족한 부분을 채울 수 있는 기회로 겨울방학을 이용하는 것이 유리하다. 하지만 이도 내가 무엇이 부족한지 모르고 그냥 열심히 공부만 한다고 해서 부족한 것이 채워질 리가 없다.① 정확한 이론을 알아야한다.문제유형서를 두 번, 세 번 풀면서 문제에 유형파악에 집착하는 학생들이 있다. 수능은 말할 것도 없고 내신을 준비하는 것도 정확한 이론이 필요하다. 그럼 이론은 무엇일까? 교과서를 보면 각 단원 초반에 그 단원에서 사용하는 이론의 원리에 대한 해석과 증명을 해놓은 부분이 있다. 다시한번 정리를 하라. 이것들은 풀이에 대한 이유이다. 그 이유에서 사용된 이론이 다양한 유형의 문제에 적용되는 근본이 된다. 똑같은 이론으로 수능의 2점, 3점, 4점짜리 문제로 만들 수 있기 때문에 이왕이면 4점을 얻는 공부가 필요하지 않을까? 그저 유형만 외우려하다가 문제가 조금만 바뀌어도 다른 유형인 줄 알고 못 푸는 상황이 되지 말고 그 문제의 기본 이론을 익혀 기본을 탄탄하게 흔들리지 않는 것이 중요하다.② 공부에도 순서가 있다.사람마다 같은 시간을 공부해도 그 시간에 해낸 양과 질에서 모두 차이가 난다. 시간을 확보했으면 그 시간을 얼마나 효과적으로 사용하는지도 매우 중요하다. 예를 들어 고3이 되었으니 EBS 수능특강을 우선 구매하고 작년 EBS교재를 더 구하여 풀어보는 것보다, 기출 문제를 단원별로 먼저 정리해보는 것이 필요하다. 기출 문제로 단원을 정리하다보면 각 단원의 출제 경향이 보인다. 그 후에 EBS 교재들을 풀어보면 기존의 출제경향의 문제와 새롭게 추가된 문제의 구분이 가능해진다. 이러한 흐름을 파악하고 공부하면 훨씬 더 유리하다.③ 변화된 시험을 주목하자.고3이 되면 과거 3~4년치 수능과 모의고사 문제를 여러 번 풀어보는 것을 많이 강조했었다. 하지만 현재 고3 수능에서 수학은 전혀 새로운 단원 구성과 출제범위로 바뀌었고, 국어는 출제 유형과 구성이 바뀌었다. 따라서 고3이 되는 학생들은 3~4년 전의 기출문제만 보는 것은 위험하다. 참고하는 정도면 충분할 것이다. 변화된 시험에서 어떤 부분을 중요시하고 있는지 파악하는 것이 좋다. 그저 들리는 소리에 ‘국어가 어려워 졌다던데, 수학이 많이 바뀐 것 같다던데’라고 막연하게 생각하지 말고 직접 문제를 교육청이나 평가원 홈페이지에서 다운받아 보고 문제를 확인해보자. 문제를 풀고 못 풀고, 쉽고 어렵고가 중요한 것이 아니라 어떤 분위기에서 어떤 흐름으로 변화되었는지 직접 확인해보는 것이 좋다. 수학의 경우 쉬운 문제는 쉽게 어려운 문제는 확실히 변별력을 주고 있다. 이러한 변화 기조를 파악하고 공부하는 것이 유리하다.3. 전략? 우선 현재에 충실하라.올인성 전략은 최후의 선택이다. ‘내신은 이미 망쳤으니 정시에 올인’, ‘내신으로 밀어붙여 수시에 올인’ 이런 식의 생각은 위험이 너무 크다. 2년의 시간이 지났고 그간 만들어져 있는 것이 많은 것도 사실이지만, 아직 1년의 시간이 남아있고 그 시간 동안에 어떻게 발전할지, 어떤 위기가 생길지 아직 변수가 많다. 뒤가 없는 계획은 실패의 확률도, 그 이후의 충격도 너무 크다.겨울방학에 차분하게 부족한 부분을 채우고, 폭넓은 공부와 준비를 하여 개학 이후 모의고사 결과도 확인하고 내년 시험의 흐름과 분위기를 파악하면서 대응을 하는 것이 훨씬 유리하다. 막연하게 모든 것을 잘 하겠다는 생각보다는 계획을 가지고 충실히 준비하는 것이다.수리논술이 부담스러운가? 이번 겨울방학에 기본에만 충실히 임한다면 중상위권 대학들의 수리논술을 풀 수 있다. 예전에 비해 수리논술의 수준이 확실히 쉬워지고 있다. 어렵게만 출제하던 대학들도 대부분 쉽게 출제하고 있다. 또한 수능 최저도 많이 사라지고 있다. 내신이 약하면 겨울방학부터 준비하는 것도 좋다고 생각한다. 이번 겨울방학부터 여름방학까지 대학기출의 기본으로 확실한 이론과 쓰기를 연습하면 충분히 승산이 있다. 대학을 미리 정하고 논술에 대비 하면 실패할 경우가 있다. 논술은 폭 넓은 공부와 깊은 사고가 필요하기 때문이다.내신이 부담스러운가? 이번 겨울방학에 미리 한 번 시험범위를 정리해 놓고 학기를 맞이한다면 마음이 여유로울 수 있다. 정시를 준비하는 학생도 수시를 준비하는 학생도 내신이 0.1이라도 높은 것이 유리하기 때문이다. 착실한 준비로 학기 중에 여러 가지 준비할 것이 많은데 내신 준비를 조금 여유롭게 할 수 있다면 그 또한 이익이다.김창주 팀장매쓰플러스수학학원 고2팀 2016-11-17
- 수학의 등급은 ‘선행 여부’가 아닌 진짜 ‘실력’이다 ‘공부는 스스로 하는 것이다.’라는 말이 참 무색해졌다. 과외, 학원을 무한반복하며 순회하는 아이들을 볼 때면 학생 스스로 학습에 대한 의지력 보다는 학원을 많이 다니면 모든 것이 저절로 이루어 질 것 같은 막연한 보상심리를 엿볼 수 있다. 공부는 원래 방법이나 비법 보다 ‘스스로’ ‘앉아서’ ‘해결해 보려는’ ‘학습에 대한 의지’없이는 절대 최상위권에 도달할 수가 없다. 그런 면에서 더 이상 개천에서 용 나기 어렵다는 말에 동의하고 싶지 않다. 어디 공부할 수 있는 여건이나 환경이 문제겠는가? 일정 부분 좋은 환경이나 사교육 혜택이 촉매제는 될 수 있지만 그것이 전부가 될 수는 없다. 학습에 대한 내구성은 학생의 행동의식 속에서 만들어 진다.독학자습, ‘스스로’ ‘앉아서’ ‘공부하는 행위’의 적은 학원도 과외도 아니다. 작게는 무엇을 어떻게 스스로 해야 할지에 대한 막막함이고 크게는 학생의 무기력함이다. 이런 것을 해결하지 않고 외부적인 환경 개선만을 시도해 봤자 매번 새로움만 있을 뿐이다. 오랫동안 앉아있을 수 있는 엉덩이 힘, 학습 지구력, 그리고 모르는 것을 알아내겠다는 의지력이 어우러져 숙성과정을 거쳐야 한다. 그러나 많은 부모님과 학생들은 이러한 문제점은 인식하지 못한 채 또다시 원인을 분석하고 학원을 순회하거나 과외로 전향하면서 새로운 대안을 끊임없이 찾는다.스스로 공부하는 힘을 기르는 것은 신세계의 교육 패러다임이 아닌 학습의 본질이다. 소위 말하는 명문대에 진학한 학생들을 조사해보면 학원이나 과외 등의 방법론적인 과정, 공부에 대한 재능도 있지만 치열하게 ‘알기 위해’ 어떤 노력을 했고 어떻게 역경을 극복했는지 찾아볼 수가 있다. 11월이면 어느덧 한 학기가 마무리 되어 가면서 저마다 ‘예비’학년으로 진급 준비를 갖추게 된다. 이번 겨울 방학은 스스로 공부할 수 있는 학습 의지력을 갖춰보는 기회가 되었으면 좋겠다.예비중, 예비고 학생들은 선행학습에 집착하기보다 기본에 충실해야 한다는 것을 당부하고 싶다. 반드시 자기 자신만의 개념노트를 만들어서 개념에 대한 완벽한 학습이 체화가 되어야 하는데 개념은 문자고 문제를 풀고 답을 낼 때는 숫자이다. 다시 말하면 문자에 대한 해석을 한 후(수학적 용어에 대한 이해) 문제를 풀 때는 문자로 풀지 말아야 한다. 체화된 개념을 이용하고 적용해야 한다. 문제를 읽고 어떤 개념을 어떻게 활용할 것인지를 판단할 수 있을 때까지 개념공부의 중요성에 대해 강조하고 싶다. 그러기 위해서는 책 한 권을 끝내기 까지 오랜 시간이 걸리는데 어떤 책을 몇 개월 만에 끝냈느냐는 더 이상 중요한 문제는 아니다.여러 유형의 문제들을 접하면서 어떤 개념이 어떤 식으로 쓰였는지 풀이과정에도 순서가 있다. 한 권의 문제집을 선정한 후 제대로 알 때까지 반복해서 푸는 것이 좋다. 기초 초석을 잘 닦아놓아야 심화학습도 가능하다.진짜 실력을 만들기 위해서는 실력을 향상시킬 수 있는 문제를 풀어야 하고 문제가 어렵다는 것은 시간이 오래 걸린다는 것을 의미한다. 그러므로 빠른 선행학습의 여부로 아이들의 레벨을 판가름 하는 방법은 훗날 수학이 나를 배신하는 날이 오지 않을까?김수미 원장그수학학원 2016-11-17
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너와 나의 연결고리 수학웅덩이
20대에 처음으로 교사가 되어서 나는 많은 꿈과 포부를 가지고 있었다. 그래서 학생들과 함께 수업하면서 나누었던 이야기들, 각종 학교행사에서 함께하며 찍었던 사진들, 아침 일찍 나와 축구했던 일들, 퍼즐과 큐브를 가지고 놀았던 많은 이야기들을 공유하고 나눌 수 있길 바랐다. 이런 자료들이 학년이 바뀔 때마다 사라져 가는 것이 안타까웠다. 나름 그 학생들에게 좋은 추억을 남겨주고 싶어서 1년 동안의 추억의 조각들을 모아 학년 말에 CD로 제작하여 학생들에게 나누어 주기도 하였다. 하지만 그 조각들이 모아진 공간을 만들어 함께 그 추억들을 나누고, 지금의 학생들이 선배들이 만들어간 추억을 공유하고 다양한 활동들을 접할 수 있다면 더 풍성한 학교생활을 할 수 있을 것이라 생각했다. 물론 시작은 쉽지 않았다. 당시는 인터넷 환경이 급속도로 발전하고 있었기 때문에 새로운 컴퓨터에 대한 지식을 공부해야 했다. 수업준비 외에도 다양한 홈페이지 연수를 받으며 나의 첫 번째 홈페이지를 만들어서 조금씩 수학 자료를 올리고 아이들과 소통할 수 있는 공간을 만들어갔다. 홈페이지 이름은 무엇으로 하지?이렇게 제작된 홈페이지를 인터넷에 올릴 때 독특한 이름을 정하는데 꽤 오랜 시간이 걸렸다.“홈페이지 이름을 무엇으로 하지?”“내가 수학교사니까, 수학사랑, 수학나라, 수학바보, ...”이런 저런 홈페이지 이름을 생각해 봐도, 이미 있는 이름이거나 썩 마음에 들지 않았다.고민 중에 아내의 제안으로 ‘웅덩이’란 이름에, ‘수학’을 붙여 ‘수학웅덩이’로 정하였다.웅덩이는 움푹 파여 물이 괴어 있는 늪보다 훨씬 작은 곳을 말한다. 내가 생각하는 수학웅덩이는 작은 곳이지만 수학과 관련된 자료와 아이들의 이야기로 채워지는 공간이었으면 했다. 이러한 나의 마음과 생각으로 인터넷 상에 수학웅덩이(Mathpool) 공간이 탄생되었다. 홈페이지에 함께 공유하고 싶은 내용들홈페이지에 많은 내용들을 담고 싶었지만 우선 아이들에게 필요한 각종 수학 자료와 기출문제, 활동지 등을 언제라도 참고할 수 있도록 공유하였다. 그리고 각종 행사나 수업 중에 찍었던 사진이나 추억의 결과물을 올렸다. 작은 게시판을 열어서 학생들의 생각을 듣기도 하고, 수학질문 게시판을 만들어 학생들이 수업을 통해 궁금했던 내용들을 질문하고 답변해 주는 공간도 마련하였다.초기에는 자료도 부족하고 회원 수도 많지 않았다. 고작 우리 반 학생들이 대부분이었다. 그러나 해가 거듭될수록 많은 자료들과 추억들이 쌓여 묘목에서 커다란 나무로 열매를 맺고 있었다.그렇지만 나 한사람의 생각만으로는 많은 사람들의 필요를 채워나가기에는 부족함이 느껴졌다.게시판을 통해 건의하는 학생들의 필요가 더 많아지고 다양해졌다.“선생님 수학퍼즐에 대한 것도 더 알고 싶어요.”“동아리 활동 게시판도 필요해요.”“방과후학교 게시판도 만들어 수학자료와 동영상 강의도 올려 주세요.”“공부에 도움이 되는 추천사이트도 공유해 주세요.”홈페이지를 아이들과 함께 만들어가요...!처음에는 홈페이지를 혼자 만들어 관리했지만 점차 학생들과 함께 소통하며 누리는 공간이 되길 바랐다. 다양한 아이들의 의견을 먼저 들어보고, 홈페이지 관리를 함께 하고 싶어 하는 학생을 모집하였다.학급의 중요한 전달사항을 포함하여 활동사진을 올리는 학생, 아침축구를 공지하고 즐겁게 축구했던 이야기를 남기는 학생, 큐브를 맞추면서 해법을 공유하고, 질문을 하는 소소한 일들을 글로 남기는 학생 등 자신이 좋아하는 것들을 함께하고 게시판에 추억을 한 장씩 써 내려갔다.꽤 많은 학생들이 각각의 게시판에 관리를 맡겠다고 달려왔고, 즐겁게 자신들의 이야기와 사진들을 올렸다. 나는 학생들과 함께 우리들의 소중한 공간인 수학웅덩이(Mathpool) 홈페이지를 더 풍성하게 하나하나 조각들로 채워나갔다.“샘 제가 올린 자료 보셨죠.”“이거 제가 쓴 글인데, 다른 친구들이 많이 읽고 댓글도 많이 남겼어요.”“샘 이 퍼즐문제 제가 만들어서 올린 건데, 풀어보세요.”추억의 보물 상자홈페이지 속에서 5년 전 학생들과 함께 고민하면서 만들었던 퍼즐문제와 함께 풀이했던 흔적을 보면서 입가에 미소가 지워진다. 여름방학에 학교에 나와 학생들과 퍼즐문제를 만들어서 홈페이지에 올린 후 친구들과 함께 문제를 풀면서 다양한 생각들을 댓글로 남겼던 기억이 난다. 학생들과 수학실에 모여 과자를 먹으면서 보드게임도 하고 퍼즐문제 풀이로 고민했던 그날을 생각하면 그냥 즐겁다. 어떤 이유가 있어서가 아니라 그냥 즐거웠던 기억들, 그러한 기억들이 나의 홈페이지 안에 추억의 한 페이지로 고스란히 남아 있다.“10년 후 이 자료들을 너희들이 본다면, 행복했던 이날을 기억할거야”“그래서 샘은 오늘도 홈페이지, 수학웅덩이에 너희들과 함께하고 있는 소중한 현재를 담고 있단다.”“이 공간이 우리들의 추억의 보물 상자가 되길 바라며...”휘문중 조규범 교사 (수학, 진로진학부, 자유학기제TFT) www.mathpool.com (수학웅덩이)
2016-11-12
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중·고등부 내신·수능 전문‘제3지대 수학학원’
요즘 학생들 대부분 학교와 집 다음으로 하루 중 가장 많은 시간을 보내는 장소를 꼽으라면 거의 모두 학원이라고 대답할 것이다. 복잡하고 어려워지는 입시 현실 속에 탄탄한 실력으로 차별적인 경쟁력을 갖추기 위해서 학원은 학생들에게 선택이 아닌 필수가 되었기 때문이다.?’자신의 미래와 꿈을 실현하기 위한 제3의 공간’이라는 의미를 담은 ‘제3지대’의 학원 이름과 ‘학생들과 소통하는 수업’으로 학습 효과를 높이고 있는 학원이 있다. 대치동에 위치한 ‘제3지대 수학학원’(이하 ‘제3지대’) 김종성 원장을 만나 효과적인 수학 학습법에 대해 들어봤다.학생과 소통하는 질의응답 일대일 맞춤 수업!수학은 개념과 원리들을 연결하는 학문이다. 따라서 이러한 수학적 개념과 원리들을 정확하게 이해하는 것이 무엇보다 중요하다. 같은 학년이라도 이해하는 폭이 다르고 개인별 유난히 약한 부분이 있을 수 있다. 김 원장은 일방적인 강의식 판서 수업보다 학생 개개인별 일대일 맞춤 수업이 대다수 학생들에게 적합하고 필요한 수학 수업이 될 수 있다고 설명했다.학생과 선생님이 서로 묻고 답하는 일대일 맞춤형 수업.‘제3지대’ 김 원장은 자신의 수학 실력을 탄탄하게 만들기 위해서는 주저 없이 질문할 수 있는 학생들의 적극적인 자세가 필요하다고 말했다. 하지만 대다수 학생들이 모르는 것을 인정하고 먼저 질문하는 것을 어려워하는 것이 현실! 강의 수업과 달리 일대일 수업에서는 학생이 어느 정도 알아듣고 이해하고 있는지 정확히 파악할 수 있다는 장점이 있다. 또 학생의 개인적 상황을 고려해 과제와 학습량을 조절시키며 학습 효율성을 높일 수도 있다.‘제3지대’에서는 자신이 풀었던 문제풀이 과정을 역으로 다시 설명하고 반문하도록 지도하고 있다. ‘학생이 풀이 과정을 설명하며 스스로 답을 다시 찾기도 하고, 생각을 정리해 개념과 원리를 응용하면 수학적 사고력을 효과적으로 기를 수 있다’고 김 원장은 강조했다.오답 모니터링은 필수,단권화 작업으로 효율성 UP!흔히 수학은 풀이나 오답노트 만드는 것이 중요하다고 한다. 하지만 김 원장은 오답노트는 만드는 것보다 시험을 앞두고 실제로 유용하게 사용할 수 있는 활용도가 중요하다고 설명했다.“처음 자신의 풀이과정과 마지막 작성된 오답 풀이과정은 반드시 비교하고 모니터링 하는 것이 필요하다”고 김 원장은 설명하며 ‘시간이 부족하고 긴장하게 되면 익숙한 습관이 반복되어 시험에서 같은 문제를 또 다시 틀리게 된다’고 경고했다. 오답에 대한 모니터링은 문제를 다시 분석하고 스스로 고민했던 학습 기억을 결정적인 순간 떠올리게 해 같은 실수를 시험에서 반복하지 않도록 도와주게 된다. 오답은 반드시 주요 개념서에 자신이 확실히 알아볼 수 있게 표시해 두는 것이 좋다. 자신이 빈번하게 틀리거나 약한 부분을 개념서 한권에 오답으로 표시해 두면 시험 임박 시간이 부족할 때 유용한 나만의 활용 지침서가 될 수 있다.선행이나 클리닉 보다 선수학습이 중요!제3지대’ 수업은 요즘 대치동 학원가에서 유행처럼 진행하는 선행이나 클리닉 수업과 차이가 있다고 김 원장은 설명했다. 앞의 과정을 알기 위해 빠진 부분이나 약한 부분은 반드시 알게 하고 보완하도록 하는 ‘선수학습’을 중요하게 생각하기 때문이다. 고등학교 이과생이 기하 파트를 어려워 하고 약하다고 판단되면, ‘제3지대’에서는 주저 없이 중학교 도형 파트 과정을 다시 공부시켜 보완하도록 한다.‘수학은 실력보다 학생의 노력과 의지가 더욱 중요하다’고 김 원장은 강조하며, ‘제3지대’ 입학테스트 역시 지필시험이 아닌 학생과의 인터뷰를 통해 진행된다고 설명했다. 수학은 무턱대고 풀어서 정답을 찾는 것이 아닌 배웠던 원리를 접목시켜 어떤 식으로 풀어갈 것인지에 대한 생각의 시간이 필요한 과목이다. ‘제3지대’에서 수업이 끝나고 귀가하는 학생들에게 수업 일기를 쓰도록 지도하는 것도 배웠던 부분에 대한 기억을 되새기며 ‘생각하는 익숙함’이 습관이 되도록 지도하기 위해서다.
2016-11-12
50대
이상
40대
30대
20대
이하
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