'#수학' 검색결과 총 1,105개의 기사가 있습니다.
- 예비 중1, 수학은 어떻게 준비 할까? 2 수학의 기본은 연산과 꼭 알아야 하는 것을 이해하는 것이다. 꼭 알아야 하는 기본 개념이 머릿속에 잘 정리되어 있어야 심화내용과 응용문제를 풀어내는 힘을 기를 수 있다. 때문에 무조건 문제를 많이 푸는 것에 치중하지 말고 개념을 완벽히 이해하고 다음 단계로 넘어가는 것을 목표로 공부해야 한다. 어느 정도 개념을 이해하는 것에 자신감이 생기면 본인이 친구들이 풀 문제를 직접 만들어 보는 것도 좋다. 같은 개념이라도 출제자가 어떤 의도로 출제를 하느냐에 따라 다른 유형의 문제가 될 수 있기 때문에 본인이 직접 개념과 연관된 문제를 만들어 보면 출제자가 어떤 의도로 출제를 하는지에 대한 감을 잡을 수 있으며 출제자가 무엇을 묻고 있는지 정확히 파악하기 쉽기 때문이다.개념을 이해한 후에는 실전 수준 또는 그 이상의 문제에 대한 연습은 많을수록 좋다. 많은 문제를 풀어보면 비슷한 유형의 문제에 대한 답을 구하는데 들어가는 시간을 줄일 수 있기 때문이다. 또한 틀린 문제에 대해서는 답이 나오는 논리를 정확하게 정리하고 최적의 답안 작성을 연습하는 오답노트가 반드시 필요하다. 평소에 공부할 때는 잘 아는 학생이 시험만 보면 점수가 안 나오는 경우가 있다. 이런 학생들의 공통점은 답안작성시 논리에 오류가 있거나 풀이과정에서 실수가 있는 경우가 많다. 그러므로 평소에 정확한 오답노트를 작성하는 습관을 기르면서 답이 나오는 논리를 정확하게 정리하고 최적의 답안 작성을 연습한 후 반드시 암기하는 것이 필요하다.수학을 공부하는 목적은 자신의 꿈을 현실화 하기 위해서이다. 우리나라는 고등학교까지는 의무교육이니 꿈을 현실화 하기 위한 첫걸음은 대학에서 시작된다고 할 수 있다. 그러므로 자신의 꿈을 현실화 하기 위해서는 반드시 좋은 대학교에 진학해야 한다고 말할 수 있다. 그런데 우리나라 교육 과정상 대학 진학을 하기 위해서는 입시라는 과정을 반드시 거쳐야 하며, 입시에서 매우 중요한 비중을 차지하고 있는 과목중의 하나가 수학이기 때문이다. 그러므로 남보다 조금 더 일찍 시작해서 더 많이 공부하면 경쟁력이 올라가서 꿈을 현실화 할 수 있지만 안일한 생각으로 초등 학교 때처럼 공부하면 대학진학은 물론 자신의 꿈은 현실화 되지 못하고 꿈으로만 남을 것이다.하이츠 학원 이재성원장 2016-12-01
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사고력의 확장이 진짜 코딩교육
코딩 교육에 대한 열기가 뜨겁다. 당장 내년 2017년부터는 초등학교에 소프트웨어 교육이 의무화되고 2021학년도부터는 수능과도 연계된다고 한다. 코딩 교육을 위해 복잡한 컴퓨터 언어를 배워야 하는 건지, 아니면 프로그램 짜는 것을 배워야하는 건지 어렵기만 하다. 코딩 교육의 중요성과 열기로 여기저기 우후죽순 관련 학원들과 프로그램이 넘쳐나기는 하지만 아직까지도 체계적으로 갖춰져 있지 않은 듯하다. 제대로 된 코딩 교육은 무엇인지, CMS 에듀 서초 본원을 찾아 들어보았다.코딩교육은 사고력 확장이 핵심CMS 에듀 서초본원에서 코딩 수업을 담당하고 있는 박은정 선생님은 진짜 코딩 수업은 바로 ‘사고력 확장 수업’이라고 말한다. 단순하게 컴퓨터를 활용할 수 있는 방법이나 프로그래밍 언어를 배우는 교육이 아니라 다양한 문제의 해결 방법을 찾기 위해 전체적인 흐름과 맥락을 이해하는 것이 먼저라고 한다. 그런 다음 자료와 정보를 수집해 분석하고 가장 효율적으로 문제를 해결하기 위한 과정을 스스로 세워보는 교육이라고 한다. 컴퓨터를 매개로 알고리즘, 즉 문제 해결을 위해 문제의 특성을 먼저 분석하고 문제들 간의 논리적인 상관관계를 파악한다. 그리고 해결방법을 설계해보는 과정을 통해 사고력이 확장되고 그 속에서 창의적 생각도 키워지게 되는 것이 코딩 교육이라는 것이다. 하지만 코딩 교육의 현주소는 영어나 수학처럼 또 다른 하나의 과목으로, 혹은 컴퓨터를 다룰 줄 아는 기술을 배우는 것으로 여기는 경우도 많다. 그래서인지 코딩을 배우기 위해 컴퓨터 학원을 보내거나 혹은 어른들도 복잡한 컴퓨터 언어를 일찍부터 배우게 하는 경우도 적지 않다.아이들의 생각이 더해진상호작용 수업CMS 에듀의 코딩 교육(ICT ConFUS, 정보융합 사고력)은 남들보다 한발 앞서 시작했다.한창 코딩 교육의 열풍이 불기 시작하기 이전부터 자체 프로그램과 주기적 교육을 통해 코딩교육 전문가를 키워내고 수업을 진행했다. CMS 에듀의 코딩 수업은 일방적인 주입이 아니라 주제와 관련해 아이들의 생각이 더해져 각각 다른 결과물을 산출하는 수업이다.아이들이 생각한 발명품을 스스로 기획해보고 여기에 필요한 소프트웨어 프로그램과 발명 kit를 활용해 창의적인 작품을 만들게 된다. 예를 들면 ‘LED 도시를 건설하라’는 주제로 수업이 진행되면 LED가 켜지고 꺼지는 기본 원리를 배우고 각각 배운 원리를 구현해 낼 수 있는 산출물을 만들게 된다. 어떤 친구들은 백화점을 만들기도 하고, 또 어떤 친구들은 주차장을 만들기도 하는 등 산출물을 만들기 위해 사용하는 맥락과 요소들은 각각 달라진다. 실제 왜 하는지 모르고 기술을 일방적으로 주입하거나 암기하는 교육은 자신의 생각이 더해진 결과물을 산출하기가 어려워진다. 아이들의 생각을 충분히 반영하고 또 제대로 된 과정을 세웠는지에 대한 조언을 하기 위해서는 전문교사의 역할도 매우 중요하다.정규반과 방학 특강반 운영ICT ConFUS 수업은 초등 3학년부터 5학년 아이들을 대상으로 학년 혼합으로 한 반에 8명씩 반이 구성된다. 아이들이 직접 만든 작품을 전시하면서 학부모 설명회까지 마무리 되었다. 분기별로(12회 기준) 주제가 달라지는 커리큘럼으로 총 1년 과정으로 진행된다. 커리큘럼 진행상 중간 수강은 힘들다. CMS 에듀의 코딩 교육(ICT ConFUS)은 CMS 자체 컴퓨터 언어인 SLP 과정을 포함해 C언어 습득까지 총 3년이 걸리는 교육과정이다. 흔히 C언어까지 1년이라고 말하는 다른 곳과는 차별되는 점이기도 하다.언어나 프로그램을 주입하는 교육이 아니라 컴퓨터 언어가 달라지더라도 원리와 응용력을 배우고 스스로 문제 해결과정을 세울 수 있는 사고력 확장이 수업의 핵심이기 때문이다. 또 실제로 수업을 진행하다보면 자연스러운 선행의 개념을 학습할 수 있게 된다. 예를 들어 처음 프로그램의 원리를 배우다보면 반올림 값을 배우게 되는데, 수업을 시작하는 초등 3학년들에게는 선행학습의 효과가 있다. 현재 예비 초3학년부터 초등 5학년을 대상으로 한 정규반 편성은 마감되었고 방학 특강반은 상담과 모집이 진행 중이다. 11월 28일(월)에는 CMS 재원생이 아닌 외부 학생들을 대상으로 한 체험전이 진행된다. 예비 초등 2학년부터 4학년을 대상으로 시간은 오후 8시부터 8시 50분까지다.문의 02-537-1288
2016-11-26
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문제풀이는 100% 풀이노트에 …학습 습관 잡고 실력도 향상
최근 입시에서 수학 과목의 비중이 커지면서 대부분의 학생들이 수학 진도를 빠르게 빼는 것이 현실이다. 2~3개월마다 한 학기씩 쑥쑥 진도가 나가는 걸 지켜보면서 ‘제대로 이해하고 있는 걸까?’하는 걱정이 든다. 무리한 진도 나가기가 아닌, 제대로 된 수학 공부를 고민하는 학부모들을 위해 ‘뿌리깊은 수학학원’ 안휘철 원장으로부터 올바른 수학 학습에 대한 조언을 들어보았다.‘기본+심화’ & 자기 학년 심화대부분 수학학원에서는 앞서가는 진도는 기본 교재로 나가고 심화 교재는 제 학년에서 다루고 있다. 그러나 ‘뿌리깊은 수학학원’에서는 이런 겉핥기식의 진도 빼기를 지양하고 기본과 심화 두 단계에 걸친 학습이 이루어진다. 즉 앞서가는 진도에서 기본 과정만 하고 넘어가는 것이 아니고 기본 과정으로 개념을 잡고 심화 과정으로 이를 다시 한 번 확인하고 넘어가는 것이다. 그리고 제 학년 심화를 통해 반복학습을 하도록 한다.안휘철 원장은 “저희는 앞서가는 진도는 ‘기본+심화’로, 그리고 제 학년 ‘심화’를 통해 수학의 기초를 단단히 다지도록 합니다. 얼마나 많이 진도를 나갔느냐가 중요한 게 아니고 그 내용을 잘 아는 게 중요합니다. 학부모들의 욕심이나 눈에 보이는 성과를 좇는 선행은 안한 것만 못합니다. 두 단계를 밟아서 기본을 튼튼히 하는 올바른 학습을 해야 합니다”라고 조언했다.풀이노트 활용으로 식 쓰는 습관 잡혀‘뿌리깊은 수학학원’에서는 또한 ‘풀이노트’를 중요하게 여긴다. 안 원장은 “교재에다 직접 풀지 않고 서술노트에 풀도록 지도하고 있습니다. 숙제도 풀이노트에 풀면서 정확히 서술해야 하며 틀린 문제는 오답 정리까지 스스로 하도록 이끕니다”라고 말했다.수학 문제풀이를 노트에 정확하게 하도록 지도하는 이유는 수학 공부에서 식을 쓰는 연습이 매우 중요하기 때문이다. 이런 방법이 단기간에 눈에 띄는 성적 향상을 가져오지는 않지만 초·중등 수학에서 식을 쓰는 과정이 숙달된다면 고등 수학을 공부할 때 많은 도움이 된다.안 원장은 “풀이노트를 정확하게 쓰는 것이 익숙해지면 학생들의 학습 습관 및 실력 향상에 도움이 됩니다. 궁극적으로 실제 시험에서도 정확하고 간결한 풀이 및 빠르고 정확한 검산을 할 수 있으며 실수를 줄이는 밑바탕이 됩니다. 또한 담당 선생님이 해당 학생의 공부 상태나 습관을 파악하여 정확한 지도를 할 수 있습니다”라고 말했다.학원 테스트는 실력 쌓는 과정… 즐겨라!오랜 시간 학생들을 가르치면서 안 원장이 깨달은 효과적인 수학 학습 방법은 숙제를 여유 있게 미리 하는 것과 테스트를 즐길 줄 아는 자세를 꼽았다. 안 원장은 “숙제는 학원에서 배운 내용을 소화하기 위한 최소한의 공부입니다. ‘뿌리깊은 수학학원’에서는 서술형 일일테스트를 보는 것으로 숙제 확인을 하는데, 숙제를 제대로 하지 않으면 통과를 하지 못하고 재시험을 보게 됩니다. 매번 재시험에 걸리면 다음 진도도 제대로 이해하지 못하는 악순환에 빠집니다. 따라서 학원 오기 전에 급히 하는 숙제는 실력에 전혀 도움이 되지 않습니다. 해당 수업을 마친 당일 혹은 늦어도 다음 수업 전날에 충분한 시간을 갖고 풀어본 후, 수업 전에는 몰랐던 문제를 더 풀어보아야 합니다”라고 조언했다.또한 안 원장은 “학교의 시험은 평가 자체가 목적이므로 그 결과가 학생의 실력을 대변합니다. 그러나 학원 시험은 스스로 부족한 점이 무엇인지 체크하고 더 발전하기 위한 점검 과정입니다. 그러므로 결과를 두려워하지 말고 나의 발전을 위한 과정이라는 마음으로 즐기는 자세가 필요합니다”라고 말했다.문의 02-6265-0909, blog.naver.com/happyahc23
2016-11-26
- 수학 학습, 톺아보기 우리가 흔히 사용하는 ‘학습’이라는 말은 <논어>의 ‘학이편’에서 시작되었다고 한다. 우리말로 풀어 쓰자면 ‘배우고 익힌다’는 뜻이다. 수학 공부법도 여기서 크게 벗어나지 않는다. 알파벳을 배웠으면 영단어를 말하고 쓰면서 익히는 과정과 비슷하다. 하지만 학년이 올라가면서 배우는 원리 자체가 깊어지고, 이전 학년에서 배웠던 개념까지 놓치면서 문제가 발생하기 시작한다. 즉, 학교나 학원에서 강의를 들어도 이해가 안 가고, 집에서 익혀 보려고 문제집을 펼치지만 책에는 별표만 늘어 간다.현장에서 아이들에게 수학을 가르칠 때에 가장 고민하는 부분이 ‘개념 펼치기’이다. 학생 입장에서는 배움의 단계인데, 학생마다 이해의 정도와 반응의 속도가 제각각이라서 교과서 내용을 그대로 설명할 수는 없는 노릇이다. 함수만 나오면 힘들어하는 아이에게 역함수 또는 미분의 원리를 수식 원리로만 설명하면 곤란하다. 반면에 방부등식을 함수로도 접근할 수 있는 탁월한 안목을 가진 아이에게는 간혹 교과서 내용보다 더욱 깊은 원리를 보여줄 필요가 있다. 아이들의 눈높이에 맞춰서 개념에 담긴 깊이와 전달방법이 달라져야한다. 여기에 배웠던 원리를 제대로 이해하고 있는지 확인하는 작업까지 필요하다. 잘못 받아들인 원리는 오히려 모르는 것보다 더욱 해롭기 때문이다. 이제부터는 학습자가 끈기를 발휘해야 하는 시점이다. 전해들은 원리설명을 자신의 개념서를 통하여 다시 곱씹어 보며, 유형별 문제로 연습하는 과정이 뒤따라야 하기 때문이다. 생각이 무르익어 가며 질서가 잡히는 시간으로서 수학 실력을 향상시키려면 반드시 필요하다. 풀었던 문제가 ‘맞고 틀리고’보다, 그 속에 녹아든 원리를 ‘정확히 이해하고 아는지’가 관건이다. 그래서 학생 풀이 노트를 보면서 맞혔던 문제일지라도 다시 풀어 보게 시키는 경우가 있다. 교육학에서 말하는 앎의 완성 단계는 누군가에게 설명할 수 있을 때로 규정하지 않던가. 이때 설명자인 학생에게 ‘왜’라는 질문을 자주 던진다. 생각의 질서가 왜 그렇게 잡혔는지 수학적으로 타당한지 살펴봐야하기 때문이다.분명 수학을 잘 할 수 있는 방법은 여러 가지가 있을 것이다. 다만 현장에서 느꼈던 바를 솔직하게 몇 자 적었으니, 지금 자신의 수학 공부를 점검해 보는 차원에서 참고하면 어떨까.김종성원장제3지대수학전문학원문의 02-508-2266 2016-11-26
- 목적 있는 학습이 결과를 만들어낸다 아웃풋 트레이닝 주위에 성적이 높은 학생을 눈여겨보면 이들은 전략적으로 입시공부를 한다. 이들은 기출문제에 많은 공을 들이는데 기출문제를 통해 알아낸 출제 경향, 겹치는 범위, 그 안에서 스스로 부족한 부분을 정리하고 범위를 더욱 좁힌 후에는 그 부분을 집중적으로 공부한다. 자신의 능력과 특성에 맞춰 과제를 만들고 ‘아웃풋 트레이닝’을 한다. 즉, 학교나 학원의 테스트 스케줄에 맞추는 것이 아니라 자신만의 ‘아웃풋 트레이닝’을 하는 것을 주목할 필요가 있다. 스스로 과제를 만들어 공부하는 것. 학교에서 제시한 문제를 푸는 학교공부와는 차별화된 입시 공부이고 목적을 이루기 위한 공부인 것이다. ‘아웃풋 트레이닝’은 이른바 ‘복습’이라는 개념에서 출발하지만 그 목적성이 공부하는 주체인 자신에게 얼마나 심어져 있는가에 따라 성적향상 극대화에 매우 중요한 역할을 한다.기억력을 높이는 효과적인 방법 기억력이 좋으면 공부를 잘 할 수 있다. 먼저 기억의 구조에 대해 알아보자. 뇌의 기억 메커니즘은 입력된 정보가 단기기억을 관장하는 ‘해마’로 가는 것으로 시작한다. 해마는 컴퓨터에 비유하면 메모리에 해당한다. 이 해마에서 필요하다고 판단된 정보만이 정기기억을 관장하는 ‘측두엽’에 새겨진다. 하드디스크에 해당하는 측두엽에 새겨지지 않은 정보는 장기기억으로 이어지지 않는다. 해마 기억의 유효기간은 대개 1개월 정도다. 다시 말해 측두엽(하드디스크)에 새겨지지 않은 정보는 1개월 정도 지나면 자연히 사라지는 것이다. 그러면 해마는 어떻게 정보의 중요성을 판단할까. 이것은 의외로 단순한 구조로 이루어진다. 기억 보존기간 동안 반복 전송된 정보는 중요하게 판단한다. 즉, 1개월 동안 몇 번이고 반복 입력된 정보는 단기간에 잊혀지지 않고 장기적으로 기억한다. 기억을 잘하는 첫 번째 방법은 반복학습이다. 얼마나 반복했느냐가 얼마나 오래 기억하고 있느냐를 결정한다. 그렇다고 무작정 반복하는 것은 효과적인 공부방법이라 할 수 없다. 효과적인 공부법은 ‘자신에게 알맞은 공부법을 찾는 것’이다. 비록 그것이 몇 번의 시행착오가 있어도 자신에게 알맞은 기억방법이 있기 때문에 ‘목적성’과 연관 짓는다면 반드시 성공할 수 있다.효과적인 수학 복습 방법 수학의 개념을 공부하고 문제 풀이를 해봤는데도 시험에서는 틀리는 경우가 종종 있다. 가장 기초적인 부분은 ‘남에게 설명할 줄 아는지’와 ‘설명해 봤는지’에 초점을 맞추면 그 해답이 나온다. 학생에게 “이 문제는 아는 문제인데 왜 틀렸느냐?”고 물어보면 “학교나 학원수업에서는 100% 이해했다. 당시에는 나도 할 수 있다는 자신감이 생겼다. 하지만 막상 시험 때는 그 과정이 도무지 생각나지 않았다.”고 한다. 이런 현상이 발생하는 것은 직접 문제를 풀어서 남에게 설명할 수준으로 이끌고 실제로 설명하듯이 자신에게 ‘복습’의 기회를 갖지 않아서 발생한다. 이 때문에 기억력을 도와주는 복습의 방법에는 ‘남에게 설명할 줄 알아야 한다.’는 전제가 있어야 한다. 주위에 공부 잘하는 학생이 있다면 자신과 비교해보는 시간을 갖자. 그 학생의 내면을 들여다보고 비교해 나의 문제점을 찾고 문제 해결을 위한 노력과 해답을 찾아 ‘자기화’하는 연습을 해보자. ‘목적성’은 현 수준의 단기 목표를 설정하게 만든다. 단기 목표를 이루기 위해서는 ‘기억력’을 높여주는 방법을 탐구해야 한다. 그리고 장기적인 목표는 1등급 내신과 수능을 위해서 반드시 자신의 수학 실력을 뛰어넘을 때 사용하는 심화(어려운문제가 아니라 기본개념이 2-3개가 함께 담겨있는 문제)교재를 피하지 말고 즐겨야 한다. 틀린 문제를 다시 풀고 정리하는 반복 학습은 힘들다. 하지만 성적향상을 목적으로 하는 학습은 자신이 그동안 피했던 심화학습을 거쳐야만 최상위의 성적 결과를 이끌어 낼 수 있다는 것을 꼭 명심해야 한다.목적 있는 학습이 결과를 만들어낸다 효과적인 ‘아웃풋 트레이닝’을 위해 나에게 알맞은 공부 방법(과정)과 효과적인 복습방법을 찾아 다가오는 새로운 시험에 구체적인 목적성을 갖고 공부하자. 자신의 시험결과가 기대 이상이어서 놀랄지도 모른다.델타학원 김우헌 원장전 목동 하이스트학원 원장 2016-11-24
- 2017 수능수학의 특징과 학습방향 2017 수능이 끝났다. 작년과 비교할 때 난이도는 다소 높았다고 알려지고 있다. 하지만 냉정하게 생각해보면 이번 수능을 불수능이라고 하는 것은 지나친 호들갑이라고 할 수 있다. 이과의 경우 2개 틀린 학생까지는 1등급, 3개 틀리면 2등급으로 예측되고 있으므로 오히려 적절한 난이도라고 해야 할 것이며, 문과의 경우 3개 틀리면 1등급, 4개 틀리면 2등급으로 불수능이라고 할 정도는 아니라고 해야 할 것이다.그런데 더욱 중요한 사실은 수능 출제당국이 ‘교과서의 기본개념과 원리’를 익힌 학생이라면 충분히 해결할 수 있는 문항은 출제했다고 밝히고 있음에도 불구하고 실제 수험생의 체감난이도는 그렇지 않다는 것이다. 객관적인 사실은 둘 중의 하나일 것이다. 수능 출제당국이 ‘거짓말’을 하고 있거나 아니면 수험생이 ‘출제방향’과 맞지 않는 학습을 하고 있다는 사실이다.수능 시험은 철저하게 교과서를 근거로 출제된다는 사실을 인정하는 것이 중요하다. 이번 수능에서 난이도가 높았다고 평가되는 모든 문항은 교과서에 서술된 기본개념과 공식으로 충분히 해결할 수 있다. 뿐만 아니라 그럴 때만 가장 간명하고 명쾌하게 문제가 해결된다. 간단히 말해서 수능 출제당국은 거짓말을 하고 있지 않다.2등급을 결정하는 문항까지는 수험생도 출제당국이 거짓말을 하고 있다고 생각하지 않는다. 반대로 이야기하면 2등급을 결정하는 문항까지는 해당 문항을 틀린 경우라면 수험생 자신이 성실하게 학습하지 않은 경우이거나 아는 것을 실수로 틀렸다고 생각한다. 전자의 경우는 교과서를 학습의 기준으로 삼고 열심히 공부하면 해결된다. 특별한 학습의 방향이나 방법이 필요한 것도 아니다. 후자의 경우라면?역시 교과서를 학습의 기준으로 삼아야 비로소 해결할 수 있다. 열심히 노력했음에도 불구하고 풀 수 있는 문항을 틀리고 있다면 아는 것이 부족해서가 아니라, 아는 것이 너무 많아서 다시 말해서 문제를 해결하는데 필요하지 않은, 또는 중요하지 않은 잡스러운 내용 때문에 발생하는 문제이다. 즉 교과서의 수준과 범위를 뛰어 넘는 학습은 2등급을 결정하는 문항까지는 문제 해결에 필요 없거나 생각을 지나치게 복잡하게 만들어서 충분히 해결할 수 있는 문항을 틀리게 만든다.그렇다면 1등급, 또는 그 이상을 위해서 맞혀야 하는 문항은? 수험생이 체감난이도가 높아지는 이유는 이런 문항을 해결하는데 교과서의 수준과 범위를 뛰어 넘어서 공부한 내용이 전혀 도움을 주지 못할 때이다. 그렇기 때문에 정말로 열심히 공부했음에도 불구하고 이런 수준의 문제를 해결하지 못하고, 체감난이도가 높은 불수능이라고 말하는 것이다.수능은 시험이 갖고 있는 본질적인 특징이 언제나 ‘새로운 유형’이 출제된다는 것이다. 특히 체감난이도가 높다고 평가되는 시험일 수록 이런 문항의 수는 당연히 증가한다. 그리고 이런 문항은 대비할 수 있는 유일한 방법은 ‘신유형’의 문제를 해결할 수 있는 능력을 만드는 것일 뿐이다. 학교 시험이라면 모를까, 수능에서는 출제가능성이 있는 ‘새로운 유형’의 문제는 유형별 풀이 방법을 미리 익혀두는 것이 불가능하다. 왜냐하면 수능 문제의 출제에서 가장 신경을 쓰는 것이 시중에 이미 존재하는 문제와 유사한 문항을 출제하지 않는 것이기 때문이다.신유형에 강해지는 방법은? 그렇다. 교과서에 ‘있는’ 기본개념과 공식을 이용하여 교과서에 ‘없는’ 여러 난이도의 문제를 풀면서 공부하고 훈련하면 된다. 그런데 많은 학생이 교과서에 없는 문제를 교과서에 없는 수준으로 유형을 세분화하고, 유형별로 해결방법을 익히는 학습을 하고 있다. 당연하게 신유형의 문제를 풀어보는 학습이 전무하고, 2등급을 결정하는 문항까지도 좋은 결과를 얻지 못하고, 높은 난이도의 문항은 그것대로 해결하지 못한다.철저하게 교과서를 기준으로, 출제당국이 밝히는 출제원칙과 방향을 따르면서 공부하고 훈련하는 것. 오로지 이것만이 수능을 효과적으로 대비하는 유일한 방법이다. 그것이 실제 학생이 처한 여러 학습 환경을 고려하지 못한 출제당국의 ‘갑질’이라고 생각한다고 해도, 그것을 감내하고 성실하게 노력하는 것만이 수능 학습의 정도임을 2017 수능에서도 다시 한번 확인할 수 있다..이정스터디 수학이정환 원장 2016-11-24
- 자녀교육 중심잡기 - 사교육 최대한 활용하는 법 사교육 현장에 있는 강사이지만 솔직히 말씀드리자면 큰 틀에서 사교육은 없어지는 것이 백번 옳다. 그러나 치열한 경쟁의 결과로 입시를 결정하고 그 결과가 이후 인생의 계속 영향을 미치는 현재의 입시제도와 사회구조 속에서는 고등학생들에게 일정 부분 사교육의 도움이 필수적이기도 하다. 그래서 염치 불구하고 학부모님들께 최대한 비용을 절감하면서도 사교육을 잘 활용하는 방법에 대해 말씀드리고자 한다. 가장 중요한 것부터 시작하자면, ‘자녀들이 혼자 스스로 학습하는 방법을 터득하도록 도우셔야 한다’는 점이다. 스스로 능동적으로 공부를 해야 성적도 나오고 사교육비도 줄일 수 있지 않겠는가! 그러자면 저학년 시기에 처음부터 끝까지 배움을 떠먹여주는 종합반 학원을 수강하는 것은 반드시 피하셔야 하겠다. 그러면 어떻게 능동적으로 공부하도록 도울 것인가? 비결은 ‘복습 습관’과 ‘계획성’에 있다. 공부도 기술적인 면이 있어서 비결을 습관이 될 때까지 익히면 상당히 도움을 받을 수 있다. 본격적으로 공부를 시작하는 중학교 시절부터 익혀야 할 것은 바로 ‘복습’ 기술이다. 여기서 핵심은 진도를 얼마나 많이 나가는가가 아니라 본인이 공부한 내용을 얼마나 제대로 소화했는지 스스로 확인해보는가가 되겠다. 자기만의 방법을 찾아야겠지만 예를 들면 본인이 체크한 밑줄 부분의 대한 복습은 바로 다음날 바로 하고, 3~4일이 지난 후에는 별이 두 개 이상 있는 것을 복습하고, 일주일 후에는 별이 세 개 이상 있는 것을 재 복습하는 식이다. 두 번째 비법은 바로 본인 스스로 ‘계획’을 세우는 것이다. 특히 공부 계획을 세울 때는 월간 계획을 세우기보다는 주간 계획을 세워야 하는데 그 이유는 일주일 단위로 일정을 짜야 틈틈이 수정해가며 계획을 완성시킬 수 있기 때문이다. 이렇게 스스로 자기 주도 학습으로 공부하다보면 꼭 돈을 들여 사교육을 시키지 않더라도 공부에 흥미를 느낄 수 있기 때문에 성적 향상에도 큰 도움이 된다.자녀에게 ‘복습 습관’과 ‘계획성’에 대해 알려주셨다면 그 다음 할 일은 ‘읽기능력 향상’을 위한 노력이 되겠다. 대학 입시 제도는 지식보다는 역량을 평가하는 방향으로 계속 변해왔다. 그래서 독해력, 추론능력, 논증능력을 갖추는 것이 대단히 중요하다. 예를 들면 언어영역과 논술 문제를 살펴보면 독해력, 추론능력, 논증능력을 물어보는 문제가 대다수다. 이는 달달 외워서 익힌 지식이 아닌 본인 스스로 이해하고 풀 수 있는 역량을 길러야 풀 수 있다. 또한 영어시험도 언어영역처럼 추론 능력과 연관이 있다. 영어공부를 할 때도 무조건 외우게 하는 주입식 사교육에 의존하기 보다는 자녀 스스로 ‘역량’을 키워 나가야 한다는 것이다. 문제를 푼다는 것은 어렵고 수준 높은 글을 빨리 이해하는 것과 다름 아니다. 이런 읽기 능력을 높이려면 초등학교와 중학교, 총 9년 동안 신문, 잡지 등 다양한 글을 접해 보는 것이 가장 좋다. 어릴 적부터 독서하는 아이들은 지식을 얻을 뿐만 아니라 자연히 ‘독해력’과 ‘추론능력’을 동시에 익힐 수 있기 때문이다. 특히 시사주간지는 논술 지문과 글의 문체, 문맥, 흐름, 주제 면에서 겹치는 면이 많아 도움이 된다.학생들이 사교육의 도움을 가장 많이 받는 수학 공부에 대해서는 수학 공부는 반드시 원리 중심으로 한다는 원칙을 세우시기 바란다. 수학은 원리를 이해한 후 추론 능력을 통해 문제를 풀어나가야 하는데, 어떤 학원에서는 깊이 있는 원리학습보다는 그저 문제풀이의 반복에 치중하는 경우도 있어 수동적 태도가 굳어지고 오히려 수학을 잘 할 수 있는 능력이 떨어질 수도 있다. 중요한 것은 수학 100문제를 풀어서 답만 빨리 내는 것이 아니라 10문제를 풀더라도 본인의 아이디어를 사용해 풀고 이를 타인에게 다양한 방법으로 설명할 수 있는가이다. 기본 공식과 유형을 단순히 외우는 방식으로 공부하는 것은 단기간 동안 기본유형 문제를 풀 수 있을 뿐이어서 어릴 때부터 이렇게 하는 것은 도움이 되지 않는다. 수학에서 점수 격차가 나는 것은 기본 문제가 아니라 응용 문제에서이다. 공식만 아는 학생은 원리와 개념을 이용해 푸는 응용 문제를 만나면 당황하게 되지만 원리를 공부하는 학생들은 응용 문제가 나오더라도 당황하기보다는 원리와 개념을 이용해 풀려고 노력하기 때문에 점수차가 많이 날 수 밖에 없다.이렇게 어릴 적부터 부모님의 도움을 받아 주도적으로 공부하면 공부의 기초체력이 생긴다. 그러면 중학교 2학년 후반부터 영어와 수학 중심으로 천천히 고등학교에 입학할 준비를 할 때 매우 수월하게 공부하게 된다. 학원에 다닌 적이 없는데 금새 뛰어난 학생이라는 칭찬을 듣게 되는 것이다. 우리 아이의 자기 주도적 학습법은 공부의 흥미를 느끼는 동시에 가장 빨리 성적을 올리는 비법임을 다시 한번 말씀드린다.케이튜터수학 중계관이성규 원장 2016-11-24
- 겨울방학기간 수학실력 UP！ 2017학년도 수학능력 시험이 끝났다. 예년과 달리 다소 어려웠다는 평가와 함께 수험생들은 대입전략을 짜느라 분주하고, 재학생들도 다가오는 겨울방학을 맞아 학습 계획을 세우기에 여념이 없다. 여름방학과 달리 긴 겨울방학은 다음 학년을 준비하는 시기로 어떻게 보내느냐에 따라 학업 성적에 영향을 미친다. 해마다 재원생들이 우수한 진학 실적과 내신 상위권을 차지해오고 있는 것으로 유명한 매스원수학학원의 윤여창 원장을 만났다. 2004년 개원한 이래 매년 SKY대학 진학률을 유지해오고, 지금까지 100여명 이상이 SKY대학에 진학한 노하우와 겨울방학 수학 학습 요령에 대해 물어봤다.이과생, 수학 잘하면 과학도 잘한다？윤 원장은 "이번 수능 수학영역은 9월 모의평가보다 다소 어려웠다. 특히 수학 가형은 단순한 계산력보다는 여러 개념을 바탕으로 사고력을 요하는 문제들이 출제돼 다소 까다로웠던 것으로 평가된다"면서 "가형의 고난이도 문항으로 꼽힌 객관식 20번과 21번, 주관식 29번, 30번은 정답을 몇 개 맞추느냐에 따라 수능 등급 컷이 결정될 것으로 예상된다"고 2017학년도 수능 수학영역에 대해 진단했다.윤 원장의 말에 따르면 매스원 이과 학생들은 60～70회 정도의 파이널 모의고사를 통해 고난이도 문제를 대다수의 학생들이 무난히 해결했다고 말했다. 가채점 결과 평소보다 점수가 하락한 학생들도 있지만 대부분의 학생들의 점수 변동 폭이 크진 않았고, 이러한 결과는 학생들이 어려운 수능에 대비해 평소에도 고난이도 문제 훈련에 집중했던 결과라고 한다. 그러나 예상외로 수학 점수와 달리 과학 점수 때문에 합격 여부에서 손해를 보는 경우가 많다는 것. 이과생의 경우 대다수 수학을 잘하면 과학도 잘 할 것이라고 생각하지만 그렇지 않다고 한다.매스원에서는 겨울방학을 맞아 수학과 과학의 집중도를 높이기 위해 방학 數파르타프로그램을 운영한다. 이 프로그램은 9시 등원 후 본 수업이 시작되는 10시까지 1시간 동안은 출석, 과제 체크 등을 하면서 수업에 집중하기 위한 워밍업을 하는 시간을 갖는다. 2시간 수업 후에 잠시 휴식을 취하고 배운 것을 복습, 오후시간에 한 번 더 2시간 수업을 하고 또 복습 후에 오후10시에 마치는 프로그램이다. 매회 방학기간을 이용해 열리는 수학의 달인 數파르타반은 3, 4, 6월 모의고사에서 우수한 성적으로 검증되고 있어 재원생들의 참여 열기가 높다. 이번 프로그램에서는 과학 탐구 과목도 방학 기간 동안 선행과 요점정리가 이루어지기 때문에 학생과 학부모들의 관심이 집중되고 있다.매스원은 또 진학실적이 돋보이는 곳이다. 그 비결은 재원생들에게 공부에 앞서 개인별 입시컨설팅이 진행되는데 고1, 2학년 학생들이 생활기록부를 가져오면 학생부 관리와 비교과 관리를 어떻게 해야 될 것인지에 대해 학생과 함께 고민하고 방향을 제시한다. 아무런 준비 없이 고3 수능 이후 입시컨설팅을 하는 것이 아니라 고1, 2때부터 꾸준히 학생을 지켜보고 학생의 성적과 관심분야 성향 등을 파악한 다음 보다 실질적인 입시컨설팅을 해주기 때문에 합격률은 높아지기 마련이다. 이 밖에도 학생들은 기출 모의고사 100회 이상 풀이, 30만 DB로 구축된 오답문제, 질문노트, 오답 유사 문제로 정확한 피드백, 재학생들을 위한 내신 비교과 관리와 이과 수험생을 위한 수리논술 수업과 고난이 문제에 대한 해석력을 키워주는 특별 수업 등을 듣는다.대학생 인터뷰-엄예지(서울대 농업자원경제학과 2)중2때 매스원을 처음 다니기 시작했는데 그 전에 과외를 받았던 것과 달리 매스원에서는 보다 많은 문제와 기출문제를 접할 수 있어서 좋았습니다. 전 거의 5년 정도 학원을 다녔는데 무엇보다 담임 선생님의 애정 어린 관리가 기억에 남아요. 문제풀이를 해 주실 때에도 정말 이해되었는지 살펴봐주셨고, 수업시간 외에도 선생님을 찾아가 질문을 하면 항상 친절하게 가르쳐주시고 보충 자료도 찾아주시곤 했습니다. 덕분에 어려운 문제도 이해를 할 수 있었고 이러한 과정이 거듭되다보니 이해가 안 되는 문제나 개념이 나와도 할 수 있다는 자신감이 생기더군요. 또 저희들만의 공간인 자습실은 쾌적하고 선생님께서 질문을 받아주셨기 때문에 공부하기엔 최적의 환경이었어요. 저 같은 경우는 자습실에서 집중이 잘 되어 수업이 끝난 후에도 자습실에 남아 숙제를 하고 가거나 시험기간에는 학원에 오는 날이 아닌데도 자습실에서 공부를 하곤 했어요.권재현(포항공대 생명과학과 2)중2때까지 종합학원을 다녔는데 대규모 학원의 획일적이고 일률적인 학생 관리에 실력이 늘지 않는다는 느낌을 받은 후 중3때 처음 매스원에 등록하게 되었어요. 중3때부터 고3 수능 볼 때까지 오랫동안 다닐 수 있었던 이유는 선생님께서 학생들에게 매우 신경을 써주셨기 때문입니다. 이곳은 수업을 진행 한 뒤 자습실에서 그날 배운 내용을 복습하면서 문제를 풀고 다시 한 번 더 확인합니다. 이곳을 다니면서 새로운 풀이방법이나 기존의 방식과 다른 훨씬 더 쉬운 접근방법 등을 많이 배울 수 있었어요. 저는 원래 수학에 뛰어난 학생이 아니었습니다. 하지만 매스원에서 공부한 결과 고3 내내 전교 3등 밖으로 밀려나 본 적이 없었어요. 사람마다 성향이 전부 다르듯 학생들 또한 수학에 있어서 강하고 약한 부분은 다르죠. 이런 학생들의 차이에 대해 정확하게 이해하고 약한 부분을 찾아 강해질 수 있도록 선생님들은 신경을 써주십니다. 그렇게 되면 수학 실력이 이전보다 훨씬 높아질 수밖에 없죠. 2016-11-24
- ‘불수능’과 도끼날 갈기 유명한 명언 중에 Abraham Lincoln은 이런 말을 했다. “나에게 나무를 벨 시간이 6시간만 주어진다면 4시간은 도끼날을 갈겠다.”나무꾼이 도끼로 나무를 베고 있었다. 흘리는 구슬땀에 비해 나무는 잘 베이지 않았지만 나무꾼은 꾸준히 집중해서 한 곳을 열심히 찍고 있었다. 지나가던 행인이 이를 지켜보다 말을 걸었다. ‘무딘 도끼날을 날카롭게 갈아보는 것이 어떻겠습니까?’ 나무꾼은 대답했다. “나는 오늘 하루 동안 여기에 있는 모든 나무를 베어야 한단 말이오. 날을 갈고 있을 틈이 어디 있소?” 아무리 도끼질이 급해도 시간을 들여 도끼날을 갈지 않으면 소용이 없다. 땀 흘려 도끼질을 해봤자 나무는 베이지 않는다.수학공부도 마찬가지다. 기본과 기초가 제대로 잡혀있지 않은 상태에서 상위학년의 학습을 한다거나, 개념이 정립되지 않은 상태에서 문제풀이만 연습하면 얼핏 보기에는 수학을 잘 하는 것처럼 보이지만 모래성 쌓는 학습에 불과하다. 며칠 전 대학수학능력시험이 끝났다. 많은 학생들의 가채점 결과 이러려고 공부 했나 자괴감이 들고 괴롭다는 반응이었다. 고3은 실전문제 위주로 다루게 되고 많은 문제를 유형별로 풀이하는 공부법을 선택해야 하므로 고3 1년 동안 열심히 공부한 학생이라 할지라도 사실상 실력을 쌓아놓는 시간까지 한계가 있다. 그렇다면 수능은 언제부터 어떻게 준비해야 할까?3,6,9월 모의고사에서 상위권 성적을 받았던 학생도 이번 수능시험 수학영역에서는 체감 난이도가 가장 높아 올해 입시 최고의 변수가 될 것으로 예상된 만큼 상당히 어렵게 출제되었다. 그러나 실력을 제대로 갖춘 수험생이라면 풀이가 다소 길어졌을 뿐 어려워서 풀이하지 못할 정도는 아니었다. 종합적 사고력을 요구하는 문제가 다수 출제되면서 깊이 있게 한 번 더 생각해야 하는 문제가 ‘진짜 실력’을 검증하는 변수로 작용했다. 실력이 갖춰진 학생과 점수를 잘 받기 위해 technical한 공부를 한 학생들의 실력 차이다.종합적 사고력은 단시간에 향상될 수가 없다. 수학을 가르치는 모든 선생님들은 개념 공부를 강조하고, 수학을 공부하는 모든 학생들은 개념이 중요하다는 것을 인지하고 있다. 수학의 모든 개념을 공부할 때 어떤 수학적 논리에 의해 개념이 도출되었는지 학습해야 한다. 증명하는 문제는 시험에서 직접적으로 출제되지는 않지만 증명하는 과정에서 사용되는 수학적 논리가 수능 수학문제의 풀이과정으로 등장한다. 왜냐하면, 수학이란 학문은 정의를 배우고 정의로부터 새로운 정리를 증명하는 과정이기 때문이다. ‘문제 하나 잘 풀어서 답을 냈다.’거기까지 공부한 학생들은 이번 수학영역이 힘들었을 것이다.키가 큰 대나무는 씨앗을 흙에 바로 심어도 뿌리와 새싹이 바로 돋아나지 않는다. 땅 밑에서 뿌리를 만들고 키우는 기간이 족히 4년은 걸리는데, 농부는 4년 동안 어떤 마음일까? 4년 동안 눈에 아무것도 보이지 않지만 물도 주고, 햇빛도 비추고, 거름도 주면서 온갖 정성을 다 들인다고 한다. 그런데 정작 중요한 건 믿음이 아닐까? 5년 후에는 싹이 돋아 날거라는 믿음 말이다. 실제로 몇 개월 사이에 25m나 자란다고 한다. 중학교 3년이라는 시간이 어떤 비바람이 몰아쳐도 부러지지 않는 대나무를 키우는 것처럼 기본에 충실해야 하는 기간이다. 많은 학생들이 학원에 의존하고, 학원들은 급박한 선행을 부추기는 환경 속에서 깊이 있는 생각을 하며 근원적인 수학공부를 할 여유가 없다. 선행이 필요한 학생과 그렇지 않은 학생들까지 막무가내로 진도빼기에 열을 올리는 현실을 보면 뿌리를 만들기도 전에 꽃이 피기를 기대하는 조급함이 있다. 그러나 수학의 진짜 실력은 5년이라는 숙성과정이 필요함을 강조하고 싶다.김수미 원장그수학학원 2016-11-24
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정해진 시간에 의지를 갖고 수학에 접근해야
요즘 수학학원은 일대일코칭을 하는 것이 대세다. 이미 10년 전부터 방이동에서 일대일코칭수업을 해 온 카이스트 수학전문학원은 재원생들의 상위권 대학 진학률이 높은 학원이다. 개인의 실력에 맞게 단계별 지도를 하며 학생 관리에 내실을 기하고 있는 학원으로 알려져 있다.“어려운 수학문제를 만나면 최소 20분은 고민해야 합니다. 힘들어 울고 싶은 마음이 들고 빨리 답안지를 보고 시원하게 해결점을 찾고 싶은 마음을 누르며 깊이 파고들다 보면 문제 안에서 내가 놓치고 있던 개념이 어느 순간 보입니다. 가장 중요한 것은 해내겠다는 의지입니다. 수학 실력과 수학을 대하는 자세가 각기 다른 학생들을 1:1로 꼼꼼하게 살피며 지도하는 노력이 필요합니다.” 수학지도 경력 20년차 베테랑인 카이스트 수학전문학원 이진덕 원장의 말이다. 카이스트 수학전문학원은 학생 개인을 위한 독립적인 개인 맞춤형 수학 학습 시스템을 갖추고 있다. 수학은 매일 시간을 정해 놓고 공부하는 습관이 중요하다고 강조하며 1:1로 개념을 가르치고 오답정리를 하도록 지도한다. 한 반의 정원은 7명을 넘지 않도록 하고 서술형 풀이 과정에 대한 첨삭지도 역시 개인맞춤형으로 이루어진다.현재 초등학교 5학년부터 입학이 가능한 카이스트 수학전문학원은 중학생을 비롯해 고등학생의 비율이 높다. 현 중3과 고1은 명문대 진학을 목표로 원장 직강의 심화반이 운영되고 있다. 고등학생은 인근의 방산고, 잠실여고, 보성고, 한대부고, 정신여고, 창덕여고, 보인고 재학생들이 고르게 다닌다. 이진덕 원장은 “대형 강의를 해보면 수강생의 30% 정도만 학원 수업을 따라 오게 된다. 분야별 개념정리를 위해 그룹으로 수업을 할 때도 있지만 대부분 개인지도를 한다”며 “우리 학원은 단 한명의 학생이라도 학교의 내신 성향을 분석해서 따로 학교별 시험대비 문제집을 만든다. 부교재까지 만들어 학생들의 성적향상에 심혈을 기울인다. 중요한 오답정리, 교과서와 학교 프린트 분석을 빈틈없이 해 학생들의 성적향상을 이끈다”고 말한다. 이렇게 책임 있는 지도로 2014년에는 고3 재원생의 90%가 서울 상위권 대학에 합격하는 결과를 가져 왔으며 이후에도 꾸준하게 좋은 대입진학률을 보이고 있다고 밝힌다.20여년 학생들을 가르치며 느낀 점이 ‘수학은 쉽게 오르지 않는 과목이지만 안정궤도에 올라서면 내려가지 않는 과목으로 성취했을 때 가장 자신감을 주는 과목’이라고 말하는 이 원장. 수학이 대입을 결정하는 중요한 과목이기 때문에 시간투자를 아까워하지 말고 학생들이 더 근성을 갖고 파고들기를 강조한다. “누구나 처음 보는 문제는 두렵지만 틀리는 것을 두려워해서는 안됩니다. ‘틀린 문제는 나의 스승이다’라는 생각으로 수학을 극복하려는 자세가 필요합니다. 그리고 방학 때면 다들 열심히 하겠다고 각오를 다집니다. 이 때 저는 정말 변하고 싶다면 기본을 더 열심히 해야만 결과가 나온다고 말하고 싶습니다.” 카이스트 수학전문학원은 방학을 맞아 단기완성 특강 프로그램을 준비하고 있다. 고등 전과정을 다루며 개념정리와 수학의 정석, 학원 자체 문제풀이 교재를 활용하는 반과 최고난도 수능문제풀이 특강반을 운영할 예정이다. 현재 각 반 모두 7명 이내로 운영되는 중등반과 고등반은 주2회와 3회 수업 중에서 선택이 가능하고 수업은 3시간이다. 주말반도 운영되고 있는데 한대부고와 보인고, 한영외고, 잠실여고반이 개설되어 있다.
2016-11-24
50대
이상
40대
30대
20대
이하
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