'#수학공부법' 검색결과 총 12개의 기사가 있습니다.
- 예비고1 최상위 공부법-수학(하) 곧 있으면 기말고사 기간이다. 고등학교 1학년이라면 수학 하에서 ‘함수’와 ‘경우의 수’를 공부해야 한다. 두 파트 모두 충분한 연습 없이는 잘 보기 힘들다. 고1 신입생이 있다면 수학 하를 얼마나 공부하고 왔는지 물어보곤 한다. 대부분의 학생들은 ‘한 번 이상 보고 왔어요.’ 라고 말한다. 하지만 내가 봤을 땐 한 번도 안 본 것 같다. 그만큼 너무나 아쉬운 점들이 많다. 기말고사가 코앞인데 아이들에게 가르쳐야 할 것이 너무나 많다. 훈련시켜야 할 것이 산더미이다. 시간이 더 있었으면 좋겠다는 생각이 들 뿐이다.그래서 수학 하를 기준으로 선행 수업을 할 때 꼭 연습해야 하는 내용들을 정리해 보았다.함수는 알아야 할 것이 너무나 많다!합성함수의 그래프 그리는 훈련을 꼭 미리 하길 바란다. 합성함수를 그리는 방법은 크게 두 가지가 있다. 하나는 대수적으로 계산하여 식을 얻는 방법이다. 다른 하나는 그래프의 개형을 보고 유추하는 방법이다. 만약 y=f(g(x)) 의 그래프를 그리고자 한다면 괄호 속의 함수 g(x)의 값이 변하는 것을 상상하며 한 번에 합성함수를 그릴 수 있다.내신 및 수능에 가장 잘 나오는 주제 중 하나는 함수의 개수 세기 문제이다. 이 문제는 함수 파트에서도 잘 나오고 경우의 수에서도 잘 나온다. 함수의 정의들을 정확히 구분할 줄 알아야 하며 다양한 조합 테크닉을 알아야 빠르고 정확하게 풀 수 있다.코시의 함수방정식 중 가장 유명한 f(x+y)=f(x)+f(y)에 대한 해석은 상식이라고 생각해야 한다. 시험에 잘 나오는 함수방정식을 기준으로 다양한 문제들을 풀어봐야 한다. f(xy)=f(x)+f(y) 가 나온다면 로그함수를 바로 떠올려야 한다. 상식을 알고 있어야 시간을 세이브에서 어려운 문제들을 풀어낼 수 있다.그 외에도 유리함수의 대칭성 및 기하적 해석, 무리함수의 특성과 볼록성, 역함수와 원함수의 관계, 고정점 논리, 합성함수 교점 개수 등 어려운 주제들이 많으니 미리미리 공부해야 한다.경우의 수는 노력하면 된다?경우의 수는 많은 학생들이 어려워하는 단원이다. 수학 상, 미적분, 수학 1과 같은 다른 과목들과는 별개의 독립적인 단원이라고 생각해야 한다. 고등학교 경우의 수는 올림피아드 수준으로 어렵게 출제되지 않는다. 따라서 노력하면 충분히 좋은 점수를 받을 수 있다. 경우의 수를 잘 못하면 무조건 노력 부족이라고 보면 된다. 시간이 많은 학생들에게 가장 권장하는 것은 kmo를 공부를 해보는 것이다. 포함배제의 원리, 점화식 잡기, 더블 카운팅 등 다양한 경우의 수 기법들을 배우면 고등학교 문제들은 매우 쉽게 느껴질 수 있다.만약 올림피아드 수학을 공부할 여력이 없다면 어려운 문제라도 많이 풀어보길 바란다. 복잡한 경우의 수 문제를 어떻게 해결할지 충분히 고민해봐야 한다. 한 문제를 한 두 시간씩 풀어봐야 한다. 그리고 소위 ‘노가다’도 많이 해보는 것이 좋다.가장 중요한 것은 문제를 틀렸을 때 왜 틀렸는지 짚고 넘어가야 한다는 것이다. 이 과정을 거치지 않으면 절대로 실력이 늘지 않는다. 집합 {1,2,3,4,5}에서 집합 {a,b,c}로 가는 함수 중 공역과 치역의 개수가 같은 함수는 몇 개일까? 포함배제 혹은 분할 기법으로 150개라는 것을 쉽게 알 수 있다. 그런데 많은 학생들은 ‘a,b,c로 가줄 원소 3개를 미리 선택하여 보내고(5P3=60), 나머지 정의역의 원소는 아무데나 가도 되니(3*3=9), 60*9=540, 즉 540개’라고 말한다. 이렇게 세면 중복이 일어나므로 틀리게 된다. 많은 시행착오를 통해 이상한 접근법과 생각들을 미리 고쳐나가야 한다. 기말고사를 한 달 앞두고 고민하기엔 너무나 시간이 부족하다.학생들은 수학 상 까지는 많이 보고 온다. 하지만 수학 하로 갈수록 공부했던 양이 적어진다. 앞부분인 집합과 명제는 첫 단원이다 보니 어느 정도 공부를 해 온다. 하지만 함수 및 경우의 수는 암울한 경우가 많다. 예비 고1 학생이라면 시간이 많은 지금 이 부분을 많이 보고 오길 바란다. 선행 수업으로 쉬운 교재를 적당히 돌리면 하나도 기억에 남지 않는다. 단순히 진도를 빼는 형식으로 수업을 하면 단기적으로 기억에 남을 뿐 시간이 지나면 잊게 된다. 선행은 나중에 시간이 오래 걸릴 것 같은 내용들을 미리 연습하는 것임을 기억하자. 현명하게 수학 하를 미리 집중공략하자. 그리고 최상위권이 되어보자.일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장031-919-8912 2020-11-13
- 수학을 왜 하는지 알아야 공부법이 보인다 수학은 몇 가지의 정의와 공리의 결합으로 이론을 만들고 이론 간의 논리적 결합을 통해 새로운 이론을 재생산해 나가는 학문이다. 그렇다면 수학을 왜 공부하는가? 수학의 본질과 개념 사이의 상관관계를 제대로 이해 할 수 있는 논리력을 키우기 위함이다. 즉 수학 기본개념을 이해하고 개념 사이의 연결고리를 탐구 할 수 있는 논리력을 키우기 위해 수학 공부를 하는 것이다.문제 풀이 위주의 공부는 암기나 마찬가지이렇게 수학공부는 왜 공부해야 하는지가 분명한 학문이다. 하지만 대부분의 학생들은 개념에 대한 이해와 개념 논리에 대한 고민 없이 많은 문제들을 유형화 시켜 놓은 문제집을 풀면서 수학 공부를 해 나간다. 수학 공부가 아니라 문제 유형을 암기하는 것이나 마찬가지다. 수학을 배우는 이유에 충실하게 접근하지 못하고 팔만 아픈 수학공부를 하면서 시간만 낭비하고 수학과 멀어지게 되는 것이다.그렇다면 어떻게 문제를 풀어야 하는가? 수학의 개념공부를 마친 뒤에는 부족한 개념이 있는지를 찾아내고 개념 간의 논리를 분명하게 인식하고 있는지를 확인하기 위해 수학 문제를 풀어야 한다. 문제를 풀면서 스킬이 느는 것은 실력과 무관하다. 문제풀이 과정 속에서 모르는 개념이나 부족한 논리를 발견했다면 다시 고민하고 공부를 해서 꼼꼼하게 채워나가는 것이 수학문제를 푸는 이유일 것이다.충분히 고민하고 논리적으로 이해하라고 만들어 놓은 교과과정 수학을 수학답게 공부하자. 오늘도 생각 없이 문제만 풀면서 문제풀이 양에만 만족하고 있는 것은 아닌지 반성해 보아야 한다. 문제를 읽고 유형별 풀이방법대로 바로 풀이를 써내려 가는 공부를 지양하자. 문제를 읽고 해석하면서 필요한 개념을 떠올리자. 그리고 개념 간의 연결을 통해 문제풀이 계획을 세우는 과정이 얼마나 중요한지를 깨닫기 바란다.목동 멘툴스수학전문학원 김현진 원장문의 02-6953-8778 2020-11-12
- 시험 기간에 피해야 할 수학공부법 5가지 학원도 다니고 나름 열심히 공부한 것 같은데도 원하는 만큼 성적이 나오지 않는 경우가 많다. 공부를 많이 했음에도 불구하고 성적이 나오지 않는 이유는 그 방법이 잘못되었기 때문이다. 이번 칼럼에서는 학생들이 흔히 반복하는 피해야 할 수학공부법 5가지에 대해 이야기하고자 한다.1. 선행에 집중하다 급하게 시험 기간에 돌입선행은 현행을 잘하기 위한 수단인데, 종종 선행에 집중하다 현행을 소홀히 하는 경우를 볼 수 있다. 특히 고등학교 시험의 경우 공부할 양이 방대하기 때문에 학기 중 다음 학기 선행에 집중하는 것은 금물이다. 선행은 방학 위주로 진행하고, 학기 중에는 현행 과정을 심도 있게 학습하기 위한 충분한 시간을 확보하자.2. 처음부터 심화문제 위주로만 공부시험문제의 절반 이상은 중-중상 난이도 이하의 기본유형문제로 구성된다. 이를 확실히 잡는 것이 시험공부의 시작이다. 기본기가 탄탄히 다져져 있지 않은 상태로는 심화문제를 온전히 이해할 수 없고, 이해하지 못하니 기억하지도 못하는 ‘헛공부’를 하게 된다. 심화교재는 자신의 수준에 맞는 유형문제집 한 권을 확실히 끝낸 후에만 진행하도록 하자.3. 학교 자료를 소홀히 하는 공부시험 문제의 대부분이 학교 수업시간 자료를 변형하여 출제된다. 학교 수업시간에 사용하는 교과서, 부교재, 학습지는 가장 중요하게 학습해야 할 자료로서 최소 3-4번 이상 제대로 풀고, 스스로 설명할 수 있을 정도로 학습하자.4. 오답 복습을 소홀히 한 채, 무작정 많은 문제를 푸는 것수많은 문제집을 풀고도 성적이 잘 나오지 않는 경우는 대부분 오답 학습을 소홀히 한 채 무작정 많은 문제를 풀기 때문이다. 틀린 문제에 내가 모르는 것이 있고, 이를 학습하여 깨우치는 것이 곧 수학 실력을 늘리는 것이다. 가장 효과적인 공부법은 틀린 문제를 여러 번 반복하여 확실히 익히는 것임을 명심하자.5. 이해하기보다는 풀이를 외워서 푸는 것어려운 문제가 나오면 풀이를 그대로 외우려는 학생들이 많다. 하지만 시험문제는 그대로 나오지 않고 핵심 풀이법을 이용하여 변형·응용되어 나온다. 마치 공식을 외워서 기계처럼 계산하는 방식으로는 절대 변형문제를 풀 수 없다. 어려운 문제일수록 시간을 갖고 그 원리를 명쾌하게 설명할 수 있을 때까지 학습하자.올마이티캠퍼스 수학학원 여호원 원장문의 02-3288-9011almightycapmus.modoo.at 2020-11-05
- 비대면 강의시대 수학 공부법 수학이라는 과목은 학습자 입장에서 늘 골칫덩어리였다. 노력과 결과의 간극이 크고 어렵다는 인식이 박혀있는 학문으로 늘 포기의 1순위였다. 효율적인 그리고 제대로 된 수학학습 방법을 찾는 것 또한 미지의 영역으로 치부되어 그저 엉덩이 힘으로 수학을 공부하는 것만이 능사라 믿고, 고전적인 방법을 고수하며 많은 학습자들을 고통 속으로 밀어 넣었다.이러한 상황에 글로벌한 비극적 이벤트가 벌어졌다. COVID-19가 바로 그것이다. 그간 온라인 학습은 인터넷 환경과 과학기술이 발전함에 따라 현장에서 조금씩 적용이 되어 왔다. 하지만 비대면 수업이라는 용어가 익숙해질 만큼은 아니었다. 동영상 강의를 제공하거나 zoom 등의 프로그램을 이용하여 진행한 원격수업이 쌍방향 소통을 강화한다 해서 그것이 대면수업에서의 원활한 소통을 대신 할 수 있을 것인가? 필자는 이에 부정적인 결론을 내릴 수밖에 없었다.비대면 시대에는 학습자의 역량 중요해비대면 시대가 닥친 것은 기정사실이다. 그렇다면 이제 본질적인 것에 대해 생각해보자. 공부는 누가 하는 것인가? 급변하는 상황과 변화하는 시스템, 그리고 범람하는 프로그램 속에서 우리는 어떠한 마음가짐으로 수학을 교육하고, 또 학습해야 하는 것인가?그 답은 결국 학습자 스스로에게 있다. 도와줄 수 있는 선생님과 프로그램은 너무나도 많다. 하지만 아무리 좋은 선생님과 프로그램이 있다고 한들 이를 활용하고자 하는 의지가 빈약하다면 결국 좋은 도구를 가진 바보가 될 뿐이다.최근 교육자와 학습자가 서로에게 스트레스를 주고받는 상황이 되어 학습과는 상관없는 주제로 고민하는 모습을 심심찮게 목격할 수 있다. 숙제를 도와주는 사이트, 앱 또는 프로그램을 이용하면서 스스로 과제를 하지 않는 것이 학생들 사이에서 퍼지고 있다. 또 교육자는 이를 방지하거나 막을 수 있는 방법이 없는데 방법을 찾아야 하는 딜레마에 빠진 것이다.이상적인 모습은 학습자 스스로 공부에 대한 의지를 불태우고, 동기부여가 된 상황에서 꾸준히 공부를 하는 것이다. 이러한 자기주도 학습은 모든 학부모의 꿈이며 바람이다. 필자도 말하면서 느끼고 있다. 그렇다. 이런 학생은 극히 드물다.계획의 수립과 실천이 답그렇다면 우리는 현재 진퇴양난에 빠진 격인가? 하늘이 무너져도 솟아날 구멍은 있다는 속담에 힘입어 솟아날 구멍으로 비상할 수 있는 비책을 소개해볼까 한다.결론부터 말하자면 계획의 수립과 실천이 그 정답이다! 비대면 강의시대의 가장 큰 장점은 이동시간이 대면수업에 비해 훨씬 줄었다는 것이다. 사실 이동시간을 자투리시간으로 분류하여 그 시간을 활용한 공부법도 알려져 있다. 하지만 책상에 앉아서 공부하는 것과 비할 바는 아니다. 이 시간을 헛되이 보내지 않도록 계획을 수립할 때 반드시 활용해 보도록 하자. 예를 들어 3시~4시 수학 과제수행 이후 다른 학습을 위한 이동이나 세팅 시간이 대면수업에서의 계획이었다면, 3시~4시 30분 또는 5시까지도 수학과제 수행이 가능하다. 더구나 학원에서 수업이 끝난 후 지친 몸을 이끌고 귀가를 하는 번거로움 없이 잠시 휴식을 취한 후에 이어서 복습을 할 수 있기 때문에 학습의 연속성이 보장되어 그 이득은 대면수업에서의 부족함을 상쇄 할 수도 있다.이러한 이점을 최대한 살리기 위해서는 언급했듯이 비책을 따라야 한다. 그저 열심히 해야지 라는 수준의 결심이 아니라 치밀한 계획을 세우고, 반드시 실천하겠다는 의지를 매일매일 다짐하고, 나에게 맞는 완벽한 계획을 위해 끊임없이 수정을 반복해야 한다. 혹시 알고 있는가? 공부라는 것은 사실 원래 이런 것을 하는 것이다!비대면 강의시대가 도래한 것을 선생님, 학생, 학부모 모두가 인지한 것은 다행이다. 어느 한 집단이라도 이에 대한 반발을 하거나 받아들이지 못하는 경우가 오래되었다면 매우 곤란한 교육현장이 되었을 것이다. 조금씩 보이는 아노미 현상은 과도기에 일어나는 지극히 자연스러운 인간계의 모습이다. 이 안에서 선생님은 끊임없는 연구와 학생에 대한 관심을, 학생은 수많은 프로그램 중에서 본인에게 맞는 프로그램을 찾고, 스스로 공부하고자 하는 의지를 어떻게든 찾아보겠다는 노력, 그리고 이를 믿고 지지해주는 학부모의 적절한 기대와 신뢰는 결국 어려운 상황 속에서 빛을 발하는 대한민국의 국민성과 합치되어 생각지도 못한 정반합을 이룰 것으로 기대해 본다. 그리고 우리는 답을 찾을 것이다. 늘 그랬듯이...목동 거산학원 신동혁 부원장문의 1566-6690 2020-10-15
- 고2 수학공부법 - 수학Ⅱ로 최상위권이 되어보자 고등학교 수학에서 가장 중요한 과목이 미적분이라는 데에는 아무도 이의를 제기할 수 없다. 워낙 공부해야 할 게 많다보니 고등 교육과정에서는 미적분학을 둘로 쪼개놓았다. 다항함수의 미적분만을 다루는 ‘수학Ⅱ'와 초월함수의 미적분까지 다루는 ’미적분‘으로 나뉘어져 있다.미적분을 배우기 전엔 지레 겁부터 먹게 된다. ‘미분’과 ‘적분’ 이라는 이름만 들어도 무시무시하기 때문이다. 하지만 조금만 공부해보면 생각보다는 할 만 하다라는 느낌이 들게 된다. 고등학교 땐 미적분의 공식을 외워서 계산만 잘해도 많은 문제를 풀 수 있기 때문이다. 입실론을 이용한 엄밀한 정의와 증명은 대학교 때 배우니 한시름 놓아도 된다. 하지만 계산 문제도 충분히 연습하지 않으면 어려울 수 있다. 또한 시험은 상대평가이므로 우열을 가리기 위한 킬러문제들이 도사리고 있다.미적분 공부의 시작은 고 2때 배우는 ‘수학Ⅱ’ 과목이다. 추석이 끝나고 중간고사가 코앞인 고등학교 2학년 학생들은 지금 한창 미분을 하고 있다. 수학Ⅱ는 내년 수능에도 나오는 과목인 만큼 지금 첫 단추를 잘 꿰어야 한다. 2학년 학생들이 수학Ⅱ 시험을 잘 보려면 어떻게 공부해야 할까?개념은 누적되는 것이다수학Ⅱ 과목의 가장 큰 특징 중 하나는 개념이 누적된다는 것이다. 첫 단원인 ‘함수의 극한’을 알아야 다음 단원인 ‘함수의 연속’을 이해할 수 있다. 극한과 연속을 알아야 미분을 정의할 수 있다. 미분이 뭔지 알아야 적분을 할 수 있다. 게다가 수학Ⅱ는 함수를 다루는 과목이므로 고1 과정인 수학 상, 하를 정확히 알고 있어야 한다. 특히 ‘수학 하’에서 함수의 정의 및 그래프 그리기 능력을 기르지 않았다면 아무 것도 할 수가 없다. 안타깝지만 고1과정과 병행해서 공부해야 한다.고1과정이 잘 되어 있다면 본격적으로 수학Ⅱ 내용을 공부할 수 있다. 중간고사 범위에서 제일 중요한 것은 ‘미분가능성’이다. 미분가능을 판단할 땐 정의를 이용하거나 몇 가지 기술을 사용한다. 서술형까지 대비하는 차원에서 정의를 이용하는 방법을 정확히 쓸 줄 알아야 한다. 그 외에도 중간값 정리, 평균값 정리의 정확한 내용을 알고 자유자재로 다룰 줄 알아야 한다. 각 정리들의 조건을 정확히 숙지하자. 그리고 왜 그러한 정리가 필요한지 고민해보자.개념은 문제를 풀 때 완성된다미분을 처음 배울 때는 ox문제를 정확히 풀 줄 알아야 한다. 간단한 문제인 ‘함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 연속인가?’ 라는 물음부터 답할 줄 알아야 한다. (정답은 당연이 ‘참’이다.) 이러한 기초적인 질문에 답을 할 수 있더라도 방심해선 안 된다. 조금만 꼬아서 명제를 만들면 여지없이 틀리게 된다. 문제를 하나 내보겠다.‘정의역이 실수집합인 함수 f(x)에 대하여, x가 0으로 갈 때, f(x)/x 의 값이 존재한다면 f'(0)이 존재한다.’정답은 ‘아니다’ 이다. x=0 에서는 1의 값을 갖고 그 외의 x에 대해서는 x를 함숫값으로 갖는 함수를 생각하면 된다.개념서를 백날 읽어도 개념을 제대로 적용하기란 쉽지 않다. 어느 정도 개념이 잡혔다는 생각이 들면 다양하고 많은 문제들을 풀어봐야 한다. 그리고 시행착오를 겪어야 한다. 특히 합성함수가 등장하는 극한 및 연속, 그리고 미분가능성과 관련해서는 나올 수 있는 모든 ox문제들을 꿰고 있어야 한다. ‘내가 모르면 남들도 모르고, 남이 몰라도 나는 모든 명제 및 증명법, 반례들까지 알고 있자’ 라는 마인드로 임해야 한다. 개념은 문제를 풀 때 완성이 됨을 명심해라.미분 근육을 단련시켜라시험은 보통 55분 내외로 시행된다. 그 안에 20문제 정도를 풀어야 한다. 평균적으론 한 문제당 3분을 넘기면 안 되는 것이다. 좋은 점수를 얻으려면 문제를 많이 풀어봐야 한다. 미분을 할 줄 알아도 빠른 시간 안에 계산하려면 숙달된 계산 연습이 필요하다. 머리가 좋지만 연습을 많이 안 해서 시험을 망친 아이들을 정말 많이 보아 왔다. 많은 문제를 풀어보는 것은 분명이 시험결과에 영향을 준다. 1시간이 안 되는 시간 안에 주어진 문제를 잘 풀려면 쉬운 문제들에서 시간을 절약해야 한다. 그래야 어려운 문제에서 충분히 고민하고 풀어낼 수 있게 된다. 난이도 중하의 문제들을 많이 풀어서 문제 푸는 폼을 길러야 함을 명심하자.수학Ⅱ의 정점에 올라서자앞에서 언급하지 않았지만, 가장 중요한 공부법은 당연히 ‘고민하기’이다. 미분의 정의를 곱씹으면서 문제마다 출제자의 의도를 파악해야 한다. 그리고 교육과정을 벗어나더라도 문제를 쉽게 푸는 방법이 더 있을지 고민해 보는 것이 좋다. 문제를 내려다보는 연습을 하는 것이다. 안타깝게도 혼자만의 노력으론 한계가 있다. 요즘은 수학Ⅱ 문제풀이에 관한 기상천외한 스킬들이 많이 개발되어 있다. 빼기함수, 삼차함수의 비율관계, 변곡점과 대칭성 등은 전 국민이 다 아는 상식이 되어 버렸다. 따라서 주변의 고수들에게 적절한 도움을 받으며 다양한 풀이 기술을 배우는 것이 분명 도움이 된다.수학Ⅱ 시험이 얼마 남지 않았다. 체계적으로 계획을 세워서 할 수 있는 것들은 다 해보자. 지금 잘 공부하면 2학기 내신 및 수능까지 한 방에 잡을 수 있음을 기억하자. 남은 시간 파이팅 하길 바란다.일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장031-919-8912 2020-10-08
- 예비중1을 위한 수학 공부법 3가지 코로나로 중학교를 준비하는 예비중1 자녀를 둔 부모님들은 자유학기제와 더불어 더욱 수학을 어떻게 공부해 나가야 할지 막막하기만 하다. 여기서 소개한 수학공부법을 체득해 나간다면 수학뿐 아니라 다른 과목에 대한 학습의 바로미터가 될 수 있을 것이다.백지복습법백지 복습법은 수학 공부에만 적용되는 방법이 아니며 모든 과목을 공부할 때 유용하게 쓰일수 있는 공부 방법이다. 수학에서는 이러한 복습이 별 효과가 없을 거라고 생각하는 경우가 많지만 백지를 꺼내 천천히 개념이 생기게 된 원리부터 최종적인 정의까지 말로 적어 보면 개념 이해에 큰 도움이 된다. 이때 학습 목차와 학습 목표를 적극적으로 활용하는 것이 좋다. 그 후 교과서와 비교하여 틀린 내용은 수정하고 부족한 내용은 보충한다. 완성된 종이는 버리지 말고 벽에 붙여 놓고 틈틈이 무엇을 공부했는지 확인하면 기억이 오래 지속된다. 예를 들어 수업이 끝난 후 쉬는 시간에 그날 배운 내용을 백지에 기록하며 복습하는 등의 실천 계획을 세울 수 있다.설명정말로 자신이 정확히 알고 있는지 여부는 다른 사람에게 그 개념을 설명해 보면 정확히 알 수 있다. 주변에 있는 사람에게 배운 것을 설명하도록 해라. 친구도 좋고, 동생도 좋고, 부모님도 좋다. 다른 사람을 설득시킬 만큼 충분히 논리적인 설명을 하는 과정에서 많은 것을 배울 수 있기 때문이다. 이 방법 역시 수학뿐 아니라 다른 과목에도 적용될 수 있는 공부법이다. 예를 들어 혼자 공부할 때 적어도 두 번 이상 같은 개념을 소리 내어 설명해 보는 것이다. 휴대폰의 녹음 기능을 사용하여 누군가 옆에 있다고 생각하고 설명하는 것도 좋은 방법이다. 이렇게 차근차근 말하다 보면 어느새 자신이 모르거나 헷갈리고 있는 부분이 어디인지, 더 공부해야 할 부분이 어디인지 찾을 수 있다.목차 학습법책 앞의 목차를 이용하는 것은 개념 학습을 시작하기에 매우 좋은 방법이다. 목차는 책의 전반적인 내용을 정리하고 있기 때문에 앞으로 공부할 부분을 간략하게 이해시켜 준다. 또한 목차의 순서를 따라가며 공부할 내용에 대해 미리 예상해 보는 것만으로 훌륭한 예습이 되고, 복습할 때도 전체적인 공부의 흐름을 잊지 않도록 도와준다. 개념 학습은 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 첫 번째는 단원별 학습, 두 번째는 단원 간 연계 학습이다. 단원별 학습이란 한 단원 안의 수학적 개념, 즉 공식이나 법칙을 이해하는 것으로 공식 자체보다는 공식이 생겨난 과정을 이해하고 기억해야 한다. 시간이 걸리더라도 학생이 직접 증명해 보면 서술형 문제 대비 등에 큰 도움이 된다. 반면 단원 간 연계 학습이란 지금까지 배운 수학적 개념을 서로 연결시켜 이해하는 것이다. 단원 간 연계 학습은 단원별 학습이 충분히 이루어진 이후에만 가능하며, 이때 개념을 도식화하면 좋다. 도식화란 개념 요소를 서로 묶어 보거나 따로 떼어 내어 그림, 도표, 그래프 등으로 나타내는 것이다.일산 RX국영수학원 박재순 원장문의 031-924-3005 2020-09-11
- 짧아진 2020 여름방학 수학공부법 안 그래도 겨울에 비해 짧은 여름방학이 더 줄었다. 이 기간 동안 2학기 과정을 예습하려는 학생들에게 ‘그저 열심히’라는 말은 너무 무성의 하다. 학기 중 내신(시험) 준비가 장거리 레이스 였다면, 여름방학의 예습은 100m 단거리 레이스에 비유할 수 있다. 같은 육상종목이더라도 달리는 거리에 따라 준비과정이 다르듯이 내신준비와 여름방학을 활용하는 공부법 사이에는 차이가 존재한다.수학이란 과목은 이해를 필요로 하기 때문에 아무리 빠르게 진도 나가려해도 마음대로 되지 않는다. 결국 한 과정을 다 끝내지 못한 채 2학기를 맞이하게 될 가능성이 높다. 다그친다고 이해의 속도가 올라가지는 않으므로 방학을 이용하여 수학공부를 하려는 학생들에게는 새로운 전략이 필요하다.우선순위를 정하고, 핵심내용을 중심으로 학습하자!먼저 각 단원의 가장 중요한 핵심내용을 파악하고 그것을 우선순위로 공부해야한다. 바로 이 때 선생님의 역할이 중요하다. 원리에 대한 이해는 학생의 몫이지만 어떤 원리를 왜 우선적으로 이해해야 하는지 길을 제시해주는 것은 선생님의 몫이기 때문. 부수적인 내용들은 과감히 미뤄두자. 예습의 목적은 미래를 준비하는 것이지 당장의 시험점수가 아니기 때문이다.이 후 핵심문제를 통해 학습한 개념들을 사용하는 연습을 해야 할 것이다. 이 때 주의해야 할 것이 있다. 각 유형마다 문제를 풀 수 있는 특수한 공식이나 접근법이 존재할 수 있다. 만약 핵심개념을 이용한 문제풀이 연습을 하지 않고, 특수 공식을 사용하는 문제풀이에 맛들이게 된다면 결국 모든 유형을 머릿속에 담아야 한다. 이는 학습량 증가로 이어질 뿐 아니라, 각 유형들이 독립적으로 인식되어 내용의 연계성을 해치는 결과를 초래한다. 그러니 수학의 큰 줄기가 핵심내용들을 중심으로 이어지게 학습과 문제풀이를 해야 한다.이렇게 여름방학동안 공부한 핵심내용을 확장시켜나간다면 단순한 나열식 학습보다 시간적, 개념적으로 훨씬 효율적인 학습을 할 수 있다. 짧은 방학이지만 올바른 방법으로 공부하여 오히려 다른 학생들과 격차를 벌릴 수 있는 전화위복의 기회가 되길 바란다.목동 멘툴스수학전문학원 고형근 부원장문의 02-6953-8778 2020-08-06
- 김형규 원장과 함께 하는 수학의 완성 올 수능 역시 수학이 변수였다. 한 해도 거르지 않고 수능시험의 변수가 되는 수학에서 만족스러운 성적을 얻기 위해서는 구멍이 생기지 않게 확실하게 다지는 공부를 해야만 한다. 그러려면 현재 수학 실력이 어느 정도인지 정확하게 분석하고, 분석 결과를 토대로 맞춤학습과 밀착 관리가 반드시 필요하다. 대치동에서 개별 맞춤 수업과 밀착 관리의 대표로 꼽히는 미투스카이 김형규 원장이 올해는 기존 고3 집중관리반과 함께 고3 오픈 강의반, 무학년선행반을 진행한다. 어떤 특징이 있는지 알아보았다.미적분을 확실하게, 고3 오픈 강의와 선행반그동안 김형규 원장은 고3 집중관리반을 통해, 수능 전날까지 학생들을 밀착 관리했다. 학생들과 끊임없이 소통하고 학생의 실력과 학습 상태를 철저하게 분석해 맞춤학습 전략과 관리를 제공하는 집중관리반과 함께 미적분과 수학2를 주 1회만 투자하여 완성시킬 수 있는 오픈강의를 진행한다.주말을 이용한 오픈 강의는 시즌별로 8회~12회 프로그램으로 시즌 1에서는 수능에 나오는 모든 개념을 정리하고 기출문제에 적용해 보는 과정으로 운영된다. 시즌 1 수업만 잘 따라와도 수능점수 80~84점은 충분히 나올 수 있도록 김 원장의 역량과 노하우를 수업에 담아낼 예정이다.올 여름방학 때부터 시작한 무학년선행반 수업은 고3 집중관리반과 마찬가지로 학생과 학부모의 높은 호응도를 얻었다. 한 수업 당 4명 정원으로 수학 상, 하, 1,2, 미적분, 기하, 확률과 통계로 과목을 세분화해 학년에 구분 없이 수능대비에 초점을 맞춘 수업이 진행된다. 이 역시 집중관리반과 마찬가지로 모든 과제를 해결한 다음 귀가하고 개념 설명부터 질문 해결까지 완성하는 수업이다. 팀 수업에 기반 둔 1:1 맞춤식 수업김형규 원장의 명성은 고3 집중관리반에서 비롯되었다. 서울대 자연과학대 출신으로 오랫동안반포와 압구정, 대치동에서 과외방 지도 경력을 쌓고 현재 미투스카이 원장으로 10년 이상의 경력을 갖고 있다. 김 원장의 집중관리 수업은 팀 수업을 중심으로 1:1 개별 수업을 병행, 시너지 효과를 내고 있다. 판서수업 형태의 팀 수업에서는 학생들이 공통으로 부족한 개념을 정리하고, 또 심화된 내용을 보충하게 된다.개별 수업에서는 팀 수업에서 배웠던 내용을 재차 복습하면서 반복학습을 하게 되고 개인별 오답노트와 기출자료집, 잘 틀리는 유형 등의 맞춤 자료를 제공받아 공부하게 된다. 학습 후에는 테스트를 통해 모니터링 하게 된다. 매일 매일의 학습량을 정해 정해진 시간에 학습 완료 문자를 보내게 하는 등 밀착 관리와 학부모 피드백 또한 철저하게 하고 있다.고3 집중관리반에서는 학생에게 가장 적합한 ‘개별화된 문제해결력’을 길러주는데 초점을 두고 있다. 학생의 현재 실력, 특성, 공부하는 자세, 동기 부여 방식 등 학생 한 명 한 명에 대한 정확한 분석을 통해 팀 수업에 기반을 둔 맞춤식 개별 관리 수업을 진행한다. 고3 집중관리반은 한 수업 당 4명의 정원으로 수능 전날까지 관리 받는다.우수한 강사진의 내신 대비 수업도김형규 원장뿐만 아니라 미투스카이의 모든 강사들은 서울 소재 명문대와 수학전공자 출신으로 엄격한 테스트를 통해 실력이 검증된 강사들만 채용된다. 또 실력뿐만 아니라 학생들의 멘토가 될 수 있도록 좋은 품성을 갖췄는지도 강사 채용의 기준이 된다고 한다.김 원장의 밀착 수업이 수능 대비를 위한 것이라면 내신대비는 미투스카이의 우수한 강사진과 함께 꼼꼼하게 체크해 볼 수 있다. 김형규 원장은 수학 성적의 향상을 위해서는 방대한 양의 공부와 심화된 공부가 함께 되어야 하고, 그러려면 공부할 수 있는 분위기를 만들어주고, 또 관리할 수 있는 시스템이 마련되어야 한다고 강조한다.그 관리에는 장기간 집중할 수 있는 여건, 또 아이의 공부하는 마음까지 챙겨야 된다는 것. 김연아 선수가 세계 최강이 되기 위해서 본인 스스로 열심히 하는 것뿐만 아니라 코치, 안무가, 엄마 등 주변의 관리를 계속 받았기 때문에 목표를 이루었던 것처럼 아이들의 수학 성적역시 아이의 특성과 상황에 맞는 밀착 관리가 무엇보다 중요하다고 강조한다.문의 02-539-9511, www.metosky.com 2019-12-12
- 수학을 잘하게 만드는 기본지침- 수학 독트린 25년간 학생들에게 수학을 지도해 오며 수많은 학생의 학업에 관한 고충과 고뇌를 함께 공유해온 ‘옳음학원’의 김태경 원장은 ‘수학을 잘하는 방법은 없을까?’라는 질문에 수학은 과목 자체에 흥미를 느끼는 학생과 큰 흥미가 없는 대다수의 일반적인 학생들의 학습법 차이에 따른 접점을 찾을 수 있는가 하는 부분을 먼저 들여다볼 필요가 있다고 설명했다.수학의 기본지침이 되는 김태경 독트린!‘수학은 숫자와 기호를 철자로 하는 언어로 이를 이용해서 명제의 진위를 판단하는 과정에서 일련의 논리적 관계를 기술하는 학문’이라고 설명하는 김 원장은 수능시험 역시 본질적인 관점에서 바라볼 때, 명제를 참으로 만들어 주는 진리 집합의 원소를 찾아내는 하나의 형식이라고 설명했다. 따라서 수능 수학을 잘 하려면 문제에 쓰인 언어를 잘 해석하고 출제자가 문제를 통해 묻고 있는 논리가 무엇인지 파악하면 쉽게 해답을 찾아낼 수 있다고 설명했다.김 원장은 수학 학습에 있어서 왕도란 없다고 강조하며 수학을 잘하기 위해서 수학 학습의 기본지침이 되는 ‘김태경 독트린’을 제시했다. 정치나 학문의 신조를 나타내는 뜻으로 쓰이는 ‘독트린(Doctrine)’은 역사에서는 강대국이 대내외에 천명하는 외교 노선의 기본지침이 되곤 했다. 수학 역시 그러하다. 수학 학습의 기본지침이 되는 ‘김태경 독트린’을 제대로 알면 소위 킬러 문항이라고 하는 고난도 문제와 준 킬러 문항들로 구성된 수능은 물론 최근 큰 변화가 예상되는 수시모집에서 비중이 커지는 내신도 효과적으로 대비할 수 있다고 강조했다.철저한 원리, 개념 학습에 집중하라.한정된 범위와 학습해야 할 분량이 정해져 있는 수능 수학은 출제 범위 내에서 사용되는 모든 논리를 철저하게 습득해서 체화시켜야 한다. 시험시간은 한정돼 있고, 시간 안에 모든 문제를 해결해야 하므로 출제자의 의도가 파악된 순간부터 풀이 과정이 시작되고 머릿속에서 문제 해결에 필요한 모든 개념을 하나도 빠짐없이 찾아내 순서에 맞게 논리적으로 맞춰 가는 능력을 기르는 것이 관건이 된다.김 원장은 “수학문제를 푸는 것은 마치 노랫말을 음정과 박자에 맞게 불러서 아름다운 노래로 구현하는 것과 같아서, 조금이라도 음정이 틀리거나 박자가 늦으면 듣기 싫은 노래가 되듯이 수학도 한정된 시간 안에 일련의 풀이 과정이 완전하게 나오려면 풀이 과정에 돌입한 순간부터 뇌와 손이 하나인 것처럼 유기적으로 움직여야 한다”고 설명했다.이런 부분이 가능하게 하려면 노랫말과 음정, 박자를 모두 외우고 있어야 하는 것처럼 문제에 쓰이는 모든 개념과 원리를 알아야 하며 알고 있는 부분도 수없이 반복 학습해서 체화해야 하는데, 이것이 ‘김태경 독트린’의 첫 번째 핵심이다.어떠한 문제가 나와도 경전(輕戰)할 수 있게 준비하라.제갈공명의 병법서에 나오는 경전(輕戰)의 표면적인 뜻은 가벼운 전투이지만 내포된 의미는 이를 초월한다. 벌이나 전갈이 어떠한 적도 두려워하지 않는 것은 자신만의 무기인 독침을 가지고 있어서인 것처럼 전사가 용감하게 싸우기 위해서는 확실하게 믿을 수 있는 견고한 방어책을 갖추고 있어야 경전할 수 있다는 의미다.김 원장은 수학을 잘하기 위해서는 반복된 학습으로 쌓아온 자신의 실력을 적재적소에 사용할 줄 아는 것도 중요하다고 강조했다. 아무리 강력한 무기를 가진 자라도 그 무기를 제대로 쓸 줄 모르면 낙엽을 쓸어내는 빗자루를 들고 있는 것과 같은 것처럼 수학의 모든 원리와 개념을 외우고 있어도 문제를 풀 때 제대로 사용하지 못하면 결국은 무용지물이 되고 만다는 것.수능 수학을 효과적으로 대비하려면 다양한 기출문제로 원리를 적용하는 연습이 필수적이고, 내신 시험은 출제자가 바로 눈앞에 있다는 사실을 잊지 말고 수업 시간에 강조한 부분과 최근 5개년 기출문제를 반복해서 풀어보면서 출제 경향을 제대로 파악할 수 있어야 한다고 김 원장은 조언했다.수학 문제는 조건 하나로 완전히 다른 답이 도출될 수 있는 학문임을 알고 다양한 문제를 풀어보는 과정에서 원리와 개념을 철저히 익히고, 이렇게 체화된 실력을 손과 머리를 유기적으로 사용해 문제를 해결할 수 있는 능력을 갖추게 하는 것이 김태경 수학 독트린 두 번째 핵심이라고 설명했다.문의 02-533-0931옳음학원 설립인 김태경성균관대학교 수학과연세대학교 대학원수학전문학원 강의 및 경영 25년 2019-12-12
- 예비고1, 예비고2를 위한 수학공부법과 겨울방학의 중요성 ① 수학은 왜 공부하기 어려울까? 또, 성적은 왜 그다지 오르지 않는 걸까? 수학점수가 곧 수학실력일까? 수학공부법을 바꿔야 할까? 등 수학성적 때문에 여전히 고민이라면 과연 효율적인 수학공부를 하고 있는지 생각해볼 필요가 있다.1. 기본으로 돌아가자‘추신수의 불고기 광고’에 대한 기사가 떴던 적이 있다. 서양인은 분류적 사고를 하고 동양인은 연관적 사고를 한다고 한다. ‘수학은 서양식 사고다`! 일례로 순열의 수를 구할 때 연속적인 곱셈이 나오는 것은 분류적 사고를(의식하든, 의식하지 않던 간에) 하고 있음을 나타낸다. 이러한 범주화의 습관은 논리적, 객관적 사고를 수반한다. 또, 짧은 시간 안에 문제를 해결해 버린다. 여기서 수학은 계통성이 강한 학문이라는 점을 기억하자. 이러한 과목을 공부할 때는 다 안다고 생각하여 내용을 건너뛰는 것이 매우 치명적일 수 있다. 겸손한 마음으로 처음부터 공부하되 중복을 피하면 된다. 또, ‘지난 과정 생각해내기’와 ‘다음 과정 예측하기’를 활용하여 빠르게 개념정리를 해보면 좋을 것이다. 수학이 어려운 또 하나의 이유로 수학이 요구하는 정교성을 이해하지 못했을 때가 있다.‘다 안다고 생각하는 것’ 에 대한 오해이다. 초등학교 때는 계산을 통해 수학은 정확해야 한다는 것을 배운다.중학교 때는 용어의 뜻과 기호를 통해 정확한 수학적 표현을 배운다. 이러한 것들이 쌓여야만 고등학교 수학 과정에서 더욱 치밀하고 정확한 사고를 요구하는 문제들을 거뜬히 해결해낼 수 있다.2. 빙산 모형의 이용 수학점수는 곧 수학실력을 말하는 걸까? 점수가 안 나오는데 수학을 잘한다고 말할 수 있을까?[그림1]의 빙산 모형은 수면 아랫부분의 보이지 않는 90%가 윗부분의 보이는 10%를 움직이고 있음을 나타내는 그림이다. 우리가 표면화시킨 수학실력은 빙산의 윗부분에 해당된다. 보통 공부만 열심히 하면 수학실력이 쌓일 거라고 생각하는 것은 조금 위험하다. 빙산의 아랫부분의 절반밖에 채우지 못한다는 것을 알아야 한다. 공부하는 대로 그대로 실력으로 나오려면 ‘결과’와 ‘보이지 않는 노력’간의 연결고리가 잘 형성되어져야 한다. 스스로 내면화하여 문제를 해결하고 시험점수 올리는 습관까지 완벽하게 준비되어져야 한다. 이것을 위한 노력이 또한 절반이다.예를 들어 수학의 약한 부분에 대처하는 단계를 [그림2]와 같이 설정해보자. ①~⑤순서로 단계를 진행시키면서 공부해 나간다면 어떨까.3. 플래너를 통한 목표설정과 공부습관 점검 학습플래너를 사용하면 좋은 공부습관을 만들어갈 수 있다. 플래너 작성은 쉽고 간단하게 시작하자. 매일의 To do List를 만드는 것만으로도 훌륭하다. 반드시 실천해야 하는 것부터 우선순위를 부여하여 적어나가고 지키지 못한 것들은 소멸시킨다. 플래너 자체가 한권의 노트와 같은 역할을 하고 모든 학습이 다 기록되게끔 하는데 이 과정을 통해 스스로 공부습관을 점검하면서 목표에 다가가기 위한 세부계획을 세우게 한다. 목표설정은 시험주기, 달, 주, 일 단위로 세분화시켜 설정하자. 달성률을 통해 목표는 바꾸지 못해도 변화되어가는 과정에 따라 전략은 유연하게 변화시킬 수 있다.고등부 수학전문학원 목동수학클래스이소이 원장문의 010-5820-6010 2019-11-07
50대
이상
40대
30대
20대
이하
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