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- 수학의 섭취와 소화 2부 수학문제는 흡입을 했다고 해서 전부다 잘 소화시킬 수는 없다. 같은 강의를 같은 선생에게 들어도 수강학생들의 성적은 다양하다. 이것은 개인별 소화의 차이에서 온다. 1997년도에 고3반 39명, 2009년도에 고2반 46명 전원이 내신시험에서 만점을 맞은 적이 있다. 그 당시에는 반마다 학생들이 지금처럼 4~7명이 아니라 기본적으로 40~50명씩 있던 상황이라 엄청난 쾌거였고, 반전체가 고기뷔페에 갔었던 즐거운 기억이 있는데 돌이켜보면 수학시험에서의 결과는 수학의 흡입보다 소화하는 방법이 더 영향을 주는 것을 알 수 있다.학생들은 당연히 시험에서 만점을 원하지만 수학의 모든 내용을 전부 알아서 만점을 맞는 것은 상당히 힘들고 시간도 많이 걸린다. 하지만 틀렸었던 문제를 두 번 다시 틀리지 않는다면 반드시 만점을 맞게 되어 있고 이 방법이 전자보다 만점 맞기에 수월하다. 개념을 섭취하고 문제를 풀면서 실력을 연마하다가 틀린 문제가 발생하면 문제를 분석해서 유사한 문제를 되풀이하여 다시는 틀리지 않도록 준비를 해야 한다. 또 학생 개개인마다 자신없어하는 단원이나 문제유형이 있다. 일부 학생들은 그 유형이 시험문제에 나오지 않길 바라며, 시험에 안 나올 거라고 합리화를 시키는 경우까지 있다. 하지만 그 문제는 나온다~^^이런 실패의 해결방법으로 오답노트를 많이 사용하는데 이것만으로는 해결이 되지 않는다.틀린 문제들을 길잡이선생님과 함께 준비하여 다른 학생에게 직접 설명을 해보도록 한다. 다른 학생에게 설명해주다보면 그 문제의 어느 부분 때문에 자신이 틀렸었는지 정확하게 알게 되고, 신기하게도 이후로는 그런 유형의 문제들을 오히려 기다리게 된다. 그리고 실수하는 학생들이 있다. 나는 수학에서만큼은 실수도 실력이라고 생각하는 사람이다. 내신은 20-23문제에 50분이, 수능은 30문제에 100분이 소요된다. 짧은 시간에 많은 문제를 풀다 보면 문제에 대한 확신이 없을 때, 심리적 초조함으로 인하여 실수가 나오게 된다. 실수를 줄이는 좋은 방법은 시험 보는 환경을 학교와 동일하게 만든 후, 시간을 10-20분 정도 더 줄인 후에 반드시 선생님 감독 아래 정기적으로 자주 시험 보게 해야 한다.가람스카이수학학원 전가람 원장 2020-10-28
- 수학 공부 코칭의 중요성 학생들은 저마다 오랫동안 굳혀져 있는 공부 습관이란 게 있다. 잘못된 점은 시간을 갖고 바꾸어나가야 하고 장점은 살리고 그것을 활용한 더 나은 시너지를 낼 수 있는 방법을 찾아주어야 한다. 31년간 학생들을 가르치면서 결국 성공할 학생과 실패할 학생이 이제는 한두 번만 가르쳐봐도 눈에 보이게 된다.수학 공부에 성공할 학생 습관조금만 TIP을 주면 자기가 해보겠다고 하고 주어진 과제를 어떻게든 다 하려고 노력하며 안 풀리면 답답해하고 짜증이 나서 오래 못 넘어가고 물어보든지 찾아보며 선생님이 강조한 것을 잘 마킹한다. 개념을 이해하는 데 필요한 원리를 정확히 물어보고 풀이를 진입 원리까지만 보고 본인이 답을 낸다. 선생님 핑계를 대기보다 본인의 역량을 돌아보기를 좋아한다.수학 공부에 실패할 학생 습관부모님이 답답하여 모든 걸 결정해서 알아보고 숙제를 공부 시간 전 대충 빨리하며 설명하라고 하면 설명하기 힘들어하며 정해진 수업 시간을 자주 바꾸려고 하고 핑계를 잘 댄다. 조금 어려워 보이면 모르겠다고 선생님에게 풀어달라고 한다.수학 공부에 성공하려면 좋은 습관을 기르고 나쁜 습관을 빨리 버려야 한다.그리고 학생들에게는 본인에게 맞는 선생님이 가장 중요하다. 그것은 수학만이 아니라 결국에는 마인드가 변하면서 전반적인 학습량 증가와 목표 의식이 생기는 것으로 발전한다. 그래서 티칭과 코칭 중 본인에게 맞는 학습 방법을 찾아주는 것이 매우 중요하다.티칭 (판서 수업)의 장점은 여러 학생과 경쟁하며 공부할 수 있다. 적극적인 학생이라면 티칭이 동기부여가 된다. 레벨이 비슷한 다른 학생들을 의식하며 공부할 수 있다. 학원 코칭 수업의 장점은 검증된 선생님의 고품질 수업을 1;1로 지도를 받는다. 과외선생님이 제공하기 어려운 부족한 부분을 잡는 콘텐츠를 제공받는다. 원하는 과정이 선행이든 심화든 나에게 맞게 배울 수 있고 마음대로 질문할 수 있다.다수인 신철민 대표원장 2020-10-28
- 중3, 고교 입학 D-4개월 고등학교 3학년, 자신들이 원하는 대학과 학과를 가기 위해 사력을 다해 공부하는 시기이다. 그러면 중학교 3학년, 특히 고등학생이 되기까지 4~5개월 남겨놓은 이 시기에는 구체적으로 무엇을 준비해야 할까?첫째, 고등학교에서 배우는 과목 중 핵심과목인 수학, 국어, 영어에 대한 복습과 예습이 필요하다. 특히 수학은 예습을 하기 전, 중학수학 내용의 완벽한 이해가 필요하다. 중학교 수학과정은 당연하게도 고등 수학을 배우기 위한 기초학습으로 구성돼 있다. 따라서 중학수학을 이해가 아닌 암기로 공부한 학생들은 고등수학 공부를 하면서 많은 어려움을 겪을 수밖에 없다. 따라서 반드시 전반적인 중학수학 복습을 마친 후, 고등학교 과정을 예습한다면 훨씬 수월하다.둘째, 공부 습관을 개선할 필요가 있다. 중학생들은 시키는 만큼만 공부하는 경향이 있는데 고등학교에서 그렇게 공부하면 필패다. 수학을 정복하려면 끈질기게 파고들어 완전히 자신의 것으로 만들 때까지 고군분투해야 한다. 입학까지 남은 4개월여, 수능 수학 시험시간 100분 동안 바른 자세로 앉아 끝까지 집중하는 근성부터 길러보자.셋째, 자신의 진로에 대해 진지하게 고민해 볼 필요가 있다. 자신이 진로를 확실하게 정하기는 어렵겠지만, 어떤 과목을 잘하고 즐기는지 어떤 적성을 갖추고 있는지 정도는 고민해 보자. 일단 입학을 한 후에는 수많은 시험과 수행평가로 인해 시간이 정말 빠르게 지나간다. 그렇게 정신없이 지내다보면 어느새 고3이 되어 대학 입학원서를 쓰는 시기가 오는 것이다. 자신의 진로에 대해 진지한 고민 없이 대학에 진학한다면 자칫 미래 청사진을 다시 그려야 할 수도 있다.고등학생이 되기까지 남은 시간은 4개월여. 성공적인 고등학교 생활을 하고 싶다면 지금부터 차근차근 준비를 해야 한다. 물론 미리 준비한다고 해서 남들보다 두세 배 편해지는 것은 아니지만, 최소한 우왕좌왕하는 시간 낭비 없이 알차게 고등학교 생활을 하기 위해서이다.입실론수학학원 양종원 고2 팀장문의 031-706-1336 2020-10-26
- 누구나 수학 1등급 해낼 수 있다 수학 1등급을 가로막는 것은?수학 1등급 학생들은 강의 시간에 적극적이다. 잘 모르는 부분은 그냥 넘어가지 않는다. 과제에 대한 집착도 남다르다. 잘 안 풀리는 문제는 집요하게 물고 늘어진다. 끝내 안 풀릴 때 비로소 질문을 한다. 이런 점에 볼 때 일방적 주입식 강의야말로 수학 1등급의 가장 큰 적이라고 할 수 있다. 기본 원리부터 시작해서 거기서 파생되는 공식들이 강사의 입에서 끊임없이 흘러 나온다. 그것을 적용하는 문제 풀이의 세세한 부분까지 모든 것을 강사가 가르쳐준다. 이 과정에서 학생들의 생각이 끼어들 여지는 없다. 그저 들은대로 암기할 뿐이다.학원과 강사에 대한 의존도는 점점 높아진다.기본 문제들은 암기한대로 풀 수도 있다. 하지만 문제가 조금만 변형되어도 대책이 없다. 생각이 쌓여야만 키울 수 있는 수학적 사고력은 제자리에 멈춰 있기 때문이다. 높은 단계의 응용 문제나 고난이도 심화 문제는 손도 댈 수 없다. 결국 해설집을 보거나 고민도 안해본 채 강사의 도움을 청하게 된다. 다시 강사가 일방적으로 설명하고 그것을 암기하여 반복하는 문제 풀이는 언제 끝날지 알 수가 없다. 이제 수학 1등급은 물 건너 간 것이다.수학 공부에 대한 고정 관념에서 벗어나야그동안 너무도 오랫동안 잘못된 수학 공부 방법이 유지되어 왔다. 부모님들도 그렇게 공부했고 선생님들도 마찬가지이다. 하지만 창의성의 시대에 맞게 자율성을 중시하는 학생들의 정서는 더 이상 낡은 공부 방식을 인내하지 않는다. 학습 의지가 강하고 능력이 뛰어난 극소수의 학생들은 잘못된 학습 환경에도 불구하고 스스로 수학 1등급의 길을 찾아나가기도 한다. 하지만 이들이 올바른 공부 방법을 만난다면 지금보다 훨씬 적은 시간과 노력으로 더 많은 성과를 올릴 수 있을 것이다.수학 공부의 새 컨텐츠 필요누구나 수학 1등급을 받을 수 있는 올바른 수학 공부 방법에는 세밀한 준비가 따라야만 한다. 먼저 학생들과 소통하는 새로운 수학 강의의 필요성에 공감하고 오랜 동안의 풍부한 경험을 통해 검증된 강사가 있어야 한다. 다음으로 학생들의 적극적인 참여를 유도할 수 있는 여러 가지 강의 교재와 강의 시스템이 정비되어 있어야 한다. 덧붙여서 학생들의 정서에 맞는 체계적인 학습 관리와 복합적인 평가 과정들이 준비되어야 한다. 마지막으로 각종 수학 시험에서 실질적인 성적 향상을 이끌어내는 빈틈없는 프로그램이 필요하다.수학 1등급 1단계 - 원리 이해 및 응용력 배양수학 공부는 기본 원리에 대한 이해에서 시작한다. 각 소단원의 핵심 내용은 기본 원리에 전부 담겨 있다. 이것을 강사가 일방적으로 설명해버리고 지나가면 수학 공부는 첫 출발부터 어긋날 수밖에 없다. 그 상태에서 문제 푸는 기술을 쌓아봐야 모래 위에 짓는 집과 같다. 조그마한 난관에 부딪쳐도 쉽게 무너질 수밖에 없다. 기본 원리에서 파생되는 주요한 법칙이나 공식은 반드시 스스로 증명해봐야 한다. 이것을 통해 수학자들이 밟았던 사고과정을 따라할 수 있다. 공식이 나오는 여러 단계중 한 곳을 비틀어놓은 것이 바로 응용 문제이다. 따라서 증명과정을 세심하게 되짚어보는 과정을 생략한 채 결과로서 나온 공식을 암기하여 문제 푸는 것을 되풀이해봐야 응용력은 생기지 않는다.수학 1등급 2단계 - 체계적 복습을 통한 장기 기억화독일 심리학자 헤르만 에빙하우스는, 새롭게 알게 된 것은 10분이 지난 후부터 잊기 시작하여 1일 후 절반 정도를 잊어버리고 2일이 지나면 10%의 기억밖에 남지 않는다고 한다. 그런데 그 날 복습한 것은 기억 지속 시간이 일주일간으로 늘어나고 일주일 후 복습한 것은 일개월로 연장되며 일개월 후 복습한 것은 6개월동안 기억된다고 한다. 이를 위해 이러닝(e-learning)을 적극 활용해야 한다. 학원에 오기 전 정해진 시간까지 답안 입력을 해야 하고, 그것이 끝나자마자 자동 채점이 되고, 틀린 문제에 대해서는 해설 강의를 무한정 반복해서 들을 수 있다. 학원에 오면 채점 및 해설 강의 없이 바로 오답 시험부터 실시할 수 있으므로 제한된 강의 시간의 효율성이 두 배 이상 늘어난다.수학 1등급 3단계 - 성적과 직결되는 실전 모의고사올바른 공부 방법에 의해 수학적 사고력을 키웠다고 해도 치밀한 시험 대비가 뒤따르지 않으면 최고의 성적을 얻을 수는 없다. 수학 시험 1등급 준비의 마지막 단계는 실전 모의고사이다. 그런데 몇몇 학생들은 실전 모의고사를 소홀히 한다. 시간 배분도 제대로 안하고 검산도 안 한다. 이래 가지고는 절대로 실력 발휘가 안된다. 현재 우리나라에서 시행되고 있는 수학 시험은, 짧은 시간에 다수의 문제를 실수없이 해결할 것을 요구한다. 따라서 알고 있다고 해서 당연히 제한된 시간 안에 풀 수 있는 것은 아니다. 안타깝지만 현실을 인정하고 그에 맞는 준비를 할 수밖에 없다. 또한 시험 시간 내내 긴장감을 유지하여 실수를 범하지 않는 것도 훈련이 되지 않으면 실제 시험에서 실현되지 않는다.악순환에서 선순환으로학생들은 능동적인 참여를 통해 스스로 생각하고 또 생각한다. 그에 따라 수학적 사고력과 문제 해결력이 향상된다. 결국 성적은 올라갈 수밖에 없다. 해보니까 된다는 자신감으로 더 노력하게 되어 수학 학습 능력은 비약적으로 성장한다. 드디어 수학 1등급이 눈앞에 보이기 시작한다.일산 후곡 수학전문 베리타스최재용 원장031-911-0796서울대 졸업28년간 대입수학 지도17년간 베리타스 원장 2020-10-23
- 도대체 수학을 왜 어려워하는 걸까? 학생들이 타 과목에 비해서 유달리 수학 과목을 어려워하는 이유가 무엇일까? 수학을 전공하고, 30년 넘게 사교육 현장에서 학생들을 지도했던 경험을 바탕으로 생각해 보건데, 거기에는 뿌리 깊은 인식의 감옥이 있을 수 있다고 생각된다.우리나라의 학생들은 수학과목을 공부함에 있어서 재미를 느끼기보다 의무적으로 한다, 이에 따라서 시간을 충분히 가지고 문제를 해결하고자 하는 깊은 사고의 경험이 없이, 빠른 시간 안에 문제를 척척척 풀어 나가기를 원하고 있는 모습이다.이는 어려서 처음 수학을 배울 때, 논리적인 사고력 보다는 단순 수리계산에 깊은 첫인상을 받았던 경험이 학생들의 인식 깊은 곳에 자리하고 있기 때문이라고 생각된다. 거기에 시중에 유통되는 많은 교재들이 비슷한 문제들을 반복적으로 풀어서 계산력을 숙달 시키는 환경을 제공하고 있다.개념서보다 문제집 선호지난 20-30년 사이에 수학교재 시장은 개념서 보다 문제집이 주가 되어버렸다. 요즘 학생들은 수학 개념서 보다는 문제가 유형별로 잘 정리되어 있어서 반복으로 풀다보면 익숙해지게 되는 문제집을 선호한다.이로 인해 학생들은 처음 풀어보는 문제를 잘 풀지 못하게 되어 버렸다. 딱히 문제집이 나쁘다기 보다 이런 교재를 사용하면서, 거기에 담겨있는 수학적 개념과 원리를 차근차근 이해하는 시간이 생략되고, 반복해서 비슷한 패턴의 문제를 풀면서 그 풀이과정이 거의 외워지게 되는 것이다.보물찾기 이론나는 학생들에게 보물찾기이론 이라는 것을 이야기 해주곤 한다. 어렸을 때 소풍을 가게 되면 빠지지 않는 이벤트가 보물찾기다. 보물을 찾아는 봤지만 대부분이 사람들은 보물을 숨겨본 경험은 없을 것이다. 만약 학생들에게 자기가 선생님이 되어서 보물을 숨겨 본다면 어디에 숨길 것인지 상상해 보라고 했다. 초등학교 1학년 담임선생이 높이 10미터의 소나무 꼭대기에 있는 독수리 둥지 안에 보물쪽지를 숨기려 하지는 않을 것이다.선생님은 약1미터 정도의 눈높이에서, 지나치게 노골적으로 쉬운 곳도 아니면서, 아이들이 조금만 주위를 둘러봐서 찾을 수 있는 곳에 보물을 숨기려고 할 것이기 때문이다.수학문제를 출제하는 선생님도 바로 이런 보물찾기이론 대로 문제를 출제한다. 우리는 수학문제가 마치 천재나 수제들만 척척 푸는 과목으로 오해하고 있다. 교과과정의 기본개념을 설명해서 이해하게 가르치고, 이를 바탕으로 조금만 집중해서 논리적인 추론과정을 거치면 풀어지게 문제를 만드는 것이다.경험에 의한 문제 풀이반면에, 학생들은 지나치게 문제풀이의 강박에 시달리고 있다. 그래서 수학공부의 즐거움을 경험한 학생이 적다. 또한 시간에 쫓기다 보니 사고력에 의한 논리적 과정보다 경험에 의한 문제풀이를 하고 있다. 거기에 점점 더 제시된 수학문제를 읽고 그 문장을 바르게 이해하는 능력이 부족해지는 모습이다. 이런 경험적 노련함은 학생들에게 비슷한 문제유형의 선입견을 각인 시킨다. 그래서 학생들은 제시된 문제의 문장을 사려 깊게 읽지 않게 되고 문제의 첫 문장만 보고도 풀이과정을 유추해서 빠르게 정답에 도달하게 되는 모습이다.이는 수학교육의 본래 목적인 사고력배양이 아니라 기계적인 수리계산만 키워줄 뿐이다. 따라서 고학년이 되면서 요구되는 고차원적 사고력이나 창의력 등에 있어서 수학이 어렵게 느껴지게 된 것이라고 본다.송수학학원 일산 본원 김명수 원장031-923-2113 2020-10-23
- 고2 - 대입을 결정하는 마지막 시간 고등학교 1학년 때는 모두가 열심히 수학 공부를 한다. 그리고 높은 등급을 기대한다. 하지만 시험을 치를수록 자신이 생각했던 것과 다른 결과를 얻게 된다. 많은 학생들의 목표는 상위권이지만, 안타깝게도 입시는 상대평가다. 따라서 절대 다수는 자신의 성적에 만족하지 못하게 된다. 문제는 고2때 시작된다. 이때부터 슬슬 정시와 수시 중 어느 것이 나을지 고민하게 된다. 1학년 때 내신 성적이 안 좋았다면 수능 쪽으로 눈을 돌리게 될 것이다. 내신이 좋은 편이라면 계속해서 내신에 올인 하는 게 좋다. 어느 쪽으로 입시 전략을 정하느냐에 따라 공부 방법도 달라진다. 고1과 고3을 연결해주며 가장 갈팡질팡할 수 있는 시기가 바로 고 2인 것이다.다행히도 수학은 그 고민의 폭이 좁다. 고2때 배우는 수학Ⅰ 및 수학 Ⅱ가 수능에서도 필요한 과목이기 때문이다. 수능과 내신을 한 번에 잡을 수 있는 시기가 바로 고2인 것이다. 그렇다면 고2때는 어떻게 공부를 해야 할까?우리 학교는 내신이 쉽게 나온다?학교마다 다르지만 대부분의 학교에서는 수학 시험을 쉬운 난이도로 출제한다. 또한 학생들이 다 같이 잘 하는 게 아니라서 90점대 후반의 점수라면 상위권이 될 수 있다. 아이들은 보통 자신의 학교 시험의 난이도에 맞춰서 공부하게 된다. 문제는 고2때부터 배우는 수학은 직접적인 수능 출제 범위라는 것이다. 즉, 수능 기출문제를 풀어봐야 한다. 고1때는 다양한 시중 내신 문제집을 풀어도 학교 시험을 잘 볼 수 있다. 하지만 고2때는 더 많이 더 다양한 문제를 풀어봐야 하는 것이다.나는 고2 수업을 할 때 수능 스타일의 어려운 문제들을 많이 풀린다. 일부 아이들은 '우리 학교 시험은 쉽게 나와요. 이렇게 어려운 문제까지 풀 필요가 없어요.’라고 말한다. 이는 굉장히 위험한 생각이다. 실제로 이러한 안일한 생각에 젖어 얕게 공부하다가 큰 코 다친 사람들을 많이 봤다. 고2 내신시험에서는 예전 수능 기출문제들이 그대로 나오기도 한다. 또는 고난도 문항이 등장하며 1학년 때와 다르게 시험이 어렵게 출제 되는 경우가 많다. 고2때부터 수능 문제를 많이 풀어보고 어려운 난이도까지 대비를 해야 한다. 그래야 당황하지 않고 시험을 잘 볼 수 있다.수학 시험은 지식만으로는 잘 볼 수 없다. 직접적인 계산을 통해 답을 내야 한다. 즉, 집중력이 중요한 시험이다. 집중력은 적절한 긴장이 있을 때 발휘된다. 수학 시험은 항상 어렵게 출제될 것이라는 마인드를 가져야 한다. 그래야 철두철미하게 시험을 준비할 수 있다.학생은 시험을 예측할 수 없다.앞서 말한 대로 학교 시험이 쉬울 것이라는 예측은 굉장히 위험하다. 두 번째로 위험한 것은 섣불리 문제를 거르는 행동이다. 물론 굉장히 어렵다거나, 내신스럽지 않은 문제들은 거르는 것이 낫다. 하지만 내용을 함부로 건너뛰면 안 된다.수학Ⅰ에서 수열 파트를 공부한다면 수학적 귀납법에 대해 배우게 된다. 실제로 제자 중 한 명이 수열 시험공부를 하던 중이었다. 그 학생은 ‘학교 선생님이 수학적 귀납법 부분을 매우 조금 수업하셨고 강조도 안하셨으니’시험에 안 나올 것이라고 말했다. 하지만 시험범위는 수열 전체였다. 나는 수학적 귀납법은 무조건 서술형에 나올 것이니 유형별로 대비해야 한다고 말했다. 그리고 당연히도 서술형으로 수학적 귀납법을 이용해 명제를 증명하는 문제가 출제되었다. 그 학생은 나와 준비한 덕분이 시험을 잘 볼 수 있었다.이처럼 학생들은 자신의 학교 시험에 무슨 문제가 나올지 예측하곤 한다. 나올 문제를 예측하는 것은 괜찮다. 하지만 나오지 않을 문제를 예측하는 것은 굉장히 위험하다. 학생들은 전문가가 아니기 때문이다. 시험 문제를 함부로 예측 하지 말고 범위 내의 모든 것들을 철저하게 준비해야 한다.개념은 고2때 완성해야 한다.고2 때 배우는 내용들은 수능에서도 나온다. 따라서 고3때 같은 내용을 반복하게 된다. 고3 때 어려운 문제를 위주로 문제풀이에 전념하고자 한다면 고2 때 개념을 완성시켜 놓아야 한다. 설령 수능에 더 치중해서 공부한다고 해도 내신 시험은 잘 준비해 보는 것이 좋다. 어차피 같은 범위이기 때문이다. 고2 내신 기간에 2학년 수학을 철저하게 기초부터 심화까지 다져 놓아야 한다. 그래야지 고3때 편하게 공부할 수 있다. 만약 고2때 공부를 게을리 한다면, 수능이 코앞인 시점에서 개념서를 계속 들여다 볼 수밖에 없는 자신을 발견하게 될 것이다. 과거의 부족함을 채우는 것도 중요하다. 고1 과정은 수능 시험의 직접적인 출제범위는 아니지만 사실상 시험에 나온다고 생각해야 한다. 고2, 고3 수학의 기초가 되는 부분이기 때문이다. 고1 수학이 중요하지 않다고 생각하는 건, 곱셈은 초등학교 때 배우니까 고등학교 때 필요가 없다고 말하는 것과 같은 수준이다. 고2부터는 고1 수학을 안다는 가정하게 내용이 전개된다. 고1 수학 개념이 부족해서 문제가 막힐 경우 반드시 돌아가서 공부해야 한다. 고3 때 이 과정을 진행하기엔 너무 늦다. 예를 들어‘방정식의 근의 분리’, ‘절댓값 함수의 그래프 그리기’들 고2, 고3 때 계속 필요한 내용들은 꼭 복습하고 넘어가는 것이 좋다.고2는 고1때와는 상황이 많이 다르다는 것을 빠르게 인지해야 한다. 그리고 그에 맞는 공부법대로 공부해야 한다. 시험에 대한 시행착오는 고1때 마무리해야 한다. 이미 학교 시험을 1년이나 경험한 상태이다. 과거의 경험을 토대로 영리하게 공부해야 한다.고2 시간을 잘못 보내면 고3 때 고생할 수밖에 없고 이는 재수로 이어진다. 고3때는 다 같이 열심히 공부하기 때문에 전세를 뒤집는 것이 쉽지 않다. 남들보다 더 열심히 치고 올라가기 위해선 2학년 때 기초를 탄탄히 다져 놓아야 한다. 수능과 내신은 한 뿌리라는 마인으로 내신 준비를 해보자. 절대로 방심하지 말자. 그렇다면 시험 기간 후에 웃는 자신을 발견하게 될 것이다.일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장031-919-8912 2020-10-23
- 수포자가 되는 학생들의 수학공부 유형 ② 문제를 제대로 읽지 않고 문제를 푸는 아이들수학을 들여다보면 기본적인 연산연습과 간단한 약속들이 있으며 이 두 가지의 활용이 엄청나게 어려운 문제를 만들어 내기도 한다. 이런 것들을 해결하기 위해서는 당연히 연산연습과 간단한 약속의 의미를 파악하고 이를 활용하기 위한 기본적인 적용 연습이 필요하다.허나 수학을 좀 한다는 많은 학생들은 어려운 문제풀기에 급급하여 연산연습은 지루하고 기본문제 풀이는 쉽다고 대충한다. (물론 이렇게 해도 되는 아이들도 있다.)쉬운 문제들을 원활하게 풀 수 없는데 어려운 문제를 어찌 잘 풀 수 있겠는가? 그렇다고 쉬운 문제를 잘 푸는 아이들이 어려운 단계의 문제를 잘 푸는 것은 아니다. 왜 이런 일이 벌어질까? 흔히들 출제자의 의도를 파악하라는 말들을 하지만 내가 누군가의 의도를 파악한다는 게 쉬운 일은 아니다. 의도를 파악한다는 것은 아마도 이런 말은 듯 하다, 주어진 문제에서 숨겨져 있는 조건을 찾아 그 의미를 알고 문제를 푸는 것 인데 사실 대부분의 아이들은 단지 수학문제를(심지어 한 장을 가득 메운 국어지문을 독해 할 수 있는 아이들이 길어봤자 다섯 줄 정도인 수학문제를) 제대로 읽지도 않고 문제를 푼다. 여기서 말하는 제대로 읽는다는 뜻은 당연히 수학문제에 나와 있는 조건을 보지 않는 것인데 실상은 그러한 조건을 찾고 의미를 파악하는 훈련이 부족하다고 볼 수 있다.수식과 글에 대한 독해력이 중요하다수학문제에서의 조건이란 무엇인가? 수식이다! 물론 난이도가 높아지면 수식과 수식을 연결하는 한글로 된 문장도 읽는 연습이 필요하다. 문제를 푼다는 행위가 제대로 된 결과를 나타내려면 이러한 수식과 글에 대한 독해력이 중요하다. 그러기에 아무리 쉬운 단원이라도 관련된 연산을 잘 하는지 확인해봐야 한다. 또 수학의 약속(지금 공부하는 단원의 내용 – 굉장히 많은 아이들이 자신이 공부 하는 단원의 제목도 모른다. 독서할 때 목차를 한 번 보는 것이 얼마나 도움이 되는지 모르는가?)을 제대로 이해하고 있는지 확인해봐야 한다. 이후에 다양한 문제를 풀게 하는 게 순서 일 것이다.그래서 어떤 선생님들은 아이가 스스로 파악 할 때까지 얼마나 시간이 걸리든 놔둔다고 하기도 하고 어떤 선생님들은 풀이를 보여주고 다시 풀게 하기도 한다. 당연히 이런 방법은 아이 들마다 다르게 적용되어야만 한다. 어떠한 방식이든 개개인의 관점에서는 다 좋은 방법일 것이다. 다들 읽기를 중요시 하고 의미를 파악하여 문제를 풀어야 한다는 것에는 동일하다. 단지 나는 어떠한 선택을 할 것이냐는 학생의 상태와 비용 대 효과의 문제라고 생각한다. 초등학교처럼 학습량이 많지 않은 경우라면 당연히 아이가 할 수 있는 만큼 시간을 주어도 된다. 하지만 학년이 올라 갈수록 학습량이 많아진다면 당연히 문제를 풀 때 한 없이 시간을 줄 수 없는 노릇이다. 다른 공부를 해야 하기 때문에... 이때는 선생님들의 지도가 필요하다. 틀리는 것을 싫어하는 아이들또 한가지의 문제점은 대부분의 아이들이 연습할 때 틀리는 것을 싫어한다는 점이다. 부끄러워하고 심지어 학원에서나 학교에서 틀린 것(학교 중간고사 기말고사 시험지나 모의고사 시험지를 제외하고)을 부모님이 체크하고 혼내기까지 한다. 시험이 아닌 공부를 하는데 틀린 것은 오히려 자신의 약점을 판단하는데 아주 좋은 기준이 되고 앞으로 틀릴 것을 알려주는 좋은 지표인데 말이다. 위대한 실패라는 말도 있지 않은가. 오답의 중요성은 말로 할 필요도 없다. 아이들이 서술형 풀이를 한 것을 보고 있으면 아이들의 현 상황을 잘 알게 된다.수학 학원을 다니는 대부분의 학생들은 수학 공부를 잘 하기를 원한다. 그렇다면 수학 학원을 다니는 학생들은 현재 나오는 자신의 성적에 만족할까? 부모님은 만족할까? 당연히 아니다. 그렇기에 학생은 더 많은 시간을 학원에서 보내야 하고, 학원에서는 더 많은 시간을 아이들 잡아두기도 한다. 그리고 부모님들은 많은 시간을 학원에서 보내는 것에 대하여 너무도 당연하게 여기고 있다. 물론 이러한 방법이 틀린 방법이라는 건 아니다. 강사 생활을 하면서 수 많은 학생들을 보면서 느낀 점은 공부에는 이렇게 해야 한다는 정답이 없다는 것이다. 학생들의 경우의 수가 너무 많아 각각의 특성을 파악하고 거기에 맞는 커리큘럼을 만들어 주는데에도 시간이 걸린다. 우리의 아이가 어떤 상태인가 하는 것을 판단하는 것은 굉장히 어렵고 중요한 일이다. 수학 공부는 잘하긴 어려워도 못하긴 참 쉽다.앞서 말한 다섯가지에 내가 어디에 해당하는지 생각해 보고 자신의 상태를 주위에 선생님들에게 빨리 찾아가 말하고 필요한 처방을 받는 게 중요하다. 환자가 자신이 아픈 걸 굳이 숨길 필요는 없다.그래도 한가지 꼭 알아두셔야 할 부분은 아이가 어떤 상태인지 개의치 않고 무조건 많이 풀고 오래동안 남겨서 시키는 그런 곳을 보내는 것은 다시 고려해 볼 필요가 있다. 숨돌릴 틈도 없이 만들면 수포자가 될 확률이 높다는 것이다.일산 후곡 수박 수학학원 박형록 원장031-922-0979 2020-10-23
- 혼자 풀고 자습만 하는 심화가 좋아요? 1. 초등·중등 수학학습의 정도(正道)“개념의 정확한 이해→실전형 준심화·심화 문제 풀이와 정리→수학 역량 강화를 위한 사고력 키우기”의 흐름이 최선이라고 보고, 학생의 성향에 따라 영역별 가감이 있을 수 있다. 그런데 개념학원, 심화학원, 사고력학원을 각각 따로 다니는 기현상을 자주 볼 수 있다. 교육과정의 내용을 완성(예를 들어 수능100점)하기 위해서 개념-심화-사고력은 하나의 줄기이다. 개념으로 심화를 해결하고, 여기까지의 실력이 사고의 폭과 깊이를 결정하지만 연습을 통해 더 확장하는 것이 타당하다.2. 혼자 오래 풀기 VS 능력 밖 문제를 빨리 정확히 배우고 오답정리잘 하는 아이들이 많이 간다는 학원이 좋을 수 있지만, 평범한 내용만 배우고 어려운 문제는 혼자 답이 나올 때까지 푼다고 가정해보자. 정답 여부를 떠나 논리적 흐름이 도저히 생각나지 않는 내용을 스스로 깨우친다는 것이 말이 되는가? 모든 문제마다 정확한 풀이의 유레카가 될 수는 없다. 영재가 아닌 이상 학습 효율을 극대화 시켜서 영재들과 경쟁하기 부족함이 없는 실력을 만들 방법을 찾아야 한다. 즉, 정확하게 해결이 안되는 문제를 어설프게 혼자 답만 내거나 엄마아빠 찬스를 쓸 것이 아니라 제대로 배우고 오답노트까지 쓰면서 머리와 뼛속까지 흡수시켜야 한다.3. 학원은 타고난 재능이 다소 부족한 학생을 완벽하게 만들어주는 훈련소수업을 시작하면 책에는 틀린 문제인데도 설명과 필기가 없는 빈 부분을 발견하기 쉽다. 신기하게도 어려운 문제는 풀이가 부족하고 평이한 것만 설명되어 있다. 필자도 아이를 학원에 보내면서 느낀 물 없이 먹는 고구마 같은 답답함에 자식 교육을 위해 학원을 열게 되었다.4. 학원수업을 위해 엄마가 숙제하고, 보조학원과 과외까지 하는 것은 프로그램의 명백한 하자15년 이상 학생들을 가르치면서 딱 2문제 차이로 1등급~3등급이 나뉘는 원인이 단순히 학생의 노력에만 기인하는 것이 아니라 프로그램과 체계에도 있음을 잘 알고 있다. 아직 기회와 시간이 많은 어린 학생들이 공부에 지치기 전에 학습 방법을 바로 잡아 수학학습의 최종단계인 고등과정에서도 정확한 이해와 재미있는 접근을 할 수 있기를 바란다.수준영재수학학원 박수준원장문의 02-508-8971 2020-10-22
- 예비 고1 수학 어디까지 공부 했니? 12월이 되면 외고와 자립형 사립고를 선발로 본격적인 고입 시즌이 시작된다. 예비 고1들이 가장 부담을 느끼는 과목은 당연히 수학이다. 고등학교에 들어가기 전 진도는 어디까지 빼야 하는지. 내신 1등급의 장벽은 과연 어떻게 하면 넘을 수 있을지. 진학에 대해 궁금하기도 불안하기도 하다. 동산고 인근에서 주로 동산고등학교 학생들을 가르치던 ‘연세수호수학학원’이 얼마 전 고잔 신도시 푸르지오 3차 앞에도 문을 열었다. 소수정예 반을 운영하고 있었지만 이미 아름아름 입소문이 나서 학생들로 채워져 있었다. 강의는 모두 원장 직강으로 운영된다. 연세수호 최인호 원장이 직접 전하는 예비 고1 수학공부 포인트다.진도에 매달리는 공부대신 풀이과정 중심 수학 상·하에 집중하라예비 고1들과 상담을 하다보면 비슷하게 나타나는 문제점이 있다. 학부모도 학생도 진도에만 집중한다는 것이다. 특히 공부에 관심을 둔 학부모라면 더욱 그런 경향이 있는데 고교진학 전에 수학 상·하에서부터 수Ⅰ수Ⅱ까지 다 마치길 원한다. 하지만 일반적인 대부분의 학생들은 그 진도를 따라가지 못한다. 무리한 진도 빼기는 결국 수Ⅰ수Ⅱ로 넘어갔을 때 계산조차 할 수 없어 성적을 내지 못한다. 가장 중요한 것은 당장의 진도를 빼기보다는 고등 수학의 기본인 ‘상·하’를 완벽하게 공부하는 것에 집중하고 절대적으로 풀이과정에 충실해서 심화과정까지 마스터해야 한다. 그런 다음 수Ⅰ수Ⅱ 진도에 속도를 내는 것이 맞다. 고등 내신의 갈림길은 수학 ‘상·하’를 어떻게 공부하느냐에 달려있다.수학공부도 트렌드에 맞게 준비하자2년 전부터 수학의 트렌드가 바뀌었다. 기존에는 문제 풀이에만 급급했던 수학이었다면 지금의 수학은 개념과 개념 해석력 그리고 문제 해석력 등 다양한 방면을 요구한다. 즉 문제를 해석하고 개념을 끌고 와서 식을 만들어야한다. 식을 완성했으면 다시 또 다르게 해석해서 풀어야하는 문제들이 출제된다. 즉 공식만 외우는 1차원적 수학을 해서는 좀처럼 점수를 내기 어렵다는 말이다. 최근 수능 문제가 쉬워졌음에도 불구하고 오히려 성적이 더 나오지 않는 양상을 보이는 것은 바로 개념, 해석력, 응용력, 생각하는 힘 등 다양한 실력이 받쳐주지 않는 것이 원인이다. 그런 능력을 키울 수 있는 학습태도와 방법으로 트렌드에 맞는 공부를 초등단계에서부터 시작해야 한다.무궁무진한 아이디어를 주는 스승은 또 다른 키워드수학에는 문제를 접할 때마다 나타나는 능력, 즉 아이디어가 필요하다. 특히 3학년이 됐을 때는 디테일하게 봐야하는 것들과 문제마다 다양한 아이디어들이 차고 넘친다. 수능에서 가장 어려운 30번을 풀 수 있느냐는 이런 아이디어들이 얼마나 쌓여 있느냐의 문제이고 기본적인 개념들이 완벽하게 정립이 되어있느냐의 반증이다. 하지만 이 부분에는 선생의 역할이 필요하다. 학생들이 순간순간 아이디어를 잘 활용할 수 있도록 가르치는 것이 관건이다. 현재 ‘연세수호학원’에서는 각 반 정원을 6명 이상 채우지 않는다. 개인별 부족분을 분석하고 내신과 수능 두 마리 토끼를 다 잡는데 주력한다. 내신1등급이 나와도 모의고사 3,4등급을 찍는 안산의 현실은 그런 부분에 취약한 것이 원인이다. 원생들 중 실력이 받쳐주는 학생들은 자사고나 특목고와 똑같은 커리큘럼으로 꾸준히 모의고사를 준비하면서 내신과 모의고사 등급을 같이 맞추고 있다. 그것만이 2023년 정시비율이 추가모집 포함 60%까지 육박할 것을 예견해서 준비할 수 있는 최상의 방법이다. 2020-10-22
- 평촌학원가 수학을 가르치며 20년 전쯤의 얘기다. 강사라는 직업을 갖게 된지 얼마 안 됐을 때, 나를 보는 대부분의 사람들이 ‘선생님’하고 부르는 것이 아직은 어색할 때다. 어색함보다는 ‘선생님’이라는 단어가 주는 무거움에 대해서 충분히 감당 못 했다고 보는 것이 더 낫겠다. 대체 내가 뭐라고 이분들은 한참 어린 내게 선생이라고 깍듯이 대하시는 걸까. 아이들 또한 해병대를 전역한 아직 어린 나를 선생이라는 이유로 두려워하면서도 잘 따르려고 노력하는 것이 고맙고도 무거웠다.선생. 이젠 내 인생의 절반을 함께한 이름. 먼저 산 사람. 그래서 따를만한 가치가 있는 사람. 내가 의도한 것보다 훨씬 더 큰 영향을, 좋은 것이든 아닌 것이든 줄 수 있는 사람. 기왕 내가 선택한 이 길을 최대한 부끄러움 없이 감당해야지, 청출어람이란 말이 화석처럼 예전에만 존재하던 개념이 아니고 나보다 더 나은 제자를 기필코 만들어내야지, 매일을 이런 생각으로 살고 노력해 왔다. 특히나 강사 초반에는 남들보다 경험이건 지식이건 부족한 것이 틀림없기에 누구보다도 더 많은 에너지를 아이들에게 쏟았다. 가르친 모두에게 내 진심과 에너지가 잘 전달되진 않았겠으나 분명 적지 않은 아이들이 나와 함께 공명(resonance)하며 서로를 발전시켰다.어떤 직업을 갖든 20년 동안 한 가지 일을 한다는 것은 보람되지만 지칠 때가 생기는 것이 자연스럽다. 언제나 아픈 환자를 보는 의사처럼, 열심히 가르쳐도 언제나 부족한 학생들을 가르치는 것은 쉬운 일이 아니다. 그러나 진짜 프로는 내면에 동기에 의해 상황과 관련 없이 최선을 다하는 것이 당연하다. 코로나건 뭐건 우리 아이들의 미래는 소중하니까. 또 지금 선생으로서 마땅히 할 일을 다하는 것이 나중에 우리 아이들의 인생에 분명 긍정적인 영향을 미칠 것이 당연한 것을 최근에 새삼 깊게 다시 느낄 일이 생겼다. 졸업하고서도 매해 잊지 않고 찾아온 제자 중 하나가 내 생애 첫 주례를 부탁한 것이다. 고맙고 무겁고 말로 표현하기 힘든 감상이 든다. 진심을 다해 온 선생으로서의 삶에 작은 선물 하나 받은 느낌이다.부족한 점 많은 한 인간이 다음 세대를 위해 무엇을 해야 할까. 선생으로 나를 바라보며 내게 영향을 받는 많은 이들에게 어떤 모습을 보여야 할까. 정답을 찾기 힘들지만 하나 확실한 것은 20년 전의 마음과 다르지 않고 ‘선생님’이라는 단어를 무겁게 간직하는 것이리라.해병수학 김통영 원장 2020-10-22
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