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세상을 움직이는 비밀, 수와 기하 ‘문명과 수학’ (1)
여러 수상이력이 있는 동명의 EBS 다큐시리즈를 도서화한 ‘문명과수학’은 수학역사에 관한 내용이다. 교과서적인 역사책이 아니기 때문에 빠진 문명(바빌로니아,중국문명)들도 있지만, 수학사의 전반적인 주인공격인 이집트문명, 그리스문명, 인도-아랍문명에서 발생한 수학의 기원과 미적분을 비롯한 근현대 수학의 발전상을 꽤 흥미진진하게 풀어나간다. 그리고 교육적인 측면을 위해서 역사적인 내용속에 수학적으로 구현될 수 있는 요소들을 꽤나 포함시켰고, 또한 부록을 통해서 각 장에서 언급하는 수학적인 내용들을 한번 더 보충해가기도 한다. 이 책에서 수학은 인류가 자연현상을 이해하고 표현하는 언어의 역할을 한다고 말한다.1부에서는 먼저 수의 개념은 이집트 문명에서 시작된다. 생존의 필요에 의한 막연한 셈의 단계를 넘어선 수를 의미한다. 왕의 무덤에서 발견된 파피루스는 왕국 경영에 필요한 지식이 수학이었음을 보여준다. 기원전 1650년경 이집트의 서기 아메스는 견습생을 위한 기하, 산술문제집을 파피루스에 필사했다. 이는 왕국의 모든 문제를 해결할 수 있는 2000년 전부터 내려온 것들이 적혀있다. 바로 수학으로 각종 다각형과 원 등 도형의 넓이와 부피를 구하는 법 그리고 단위분수의 계산과 일차방정식 풀이 등을 포함해 모두 84개의 문제가 담겨있다. 당시 수학은 고위 관리자들의 전유물이었다. 고대 이집트의 신들 중 나일강의 여신 히피는 인간에게 수학을 하도록 만든 신이다. 그녀는 비가 거의 오지 않는 이집트에 홍수를 일으키는 신이다. 상류의 퇴적물을 하류로 옮기기에 땅이 비옥해지지만, 그 경계는 다 허물어진다. 파라오에겐 백성들한테 그들의 땅을 다시 찾아주어야 하는 책임이 있다. 경계를 다시 짓는 건 수학의 문제인데 그중 원의 넓이를 구해야 하는 일이 종종 발생한다. 이집트인들이 원의 넓이를 구하는 방법은 지름을 9등분하여 그중 1을 버리고 남은 8을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 원의넓이로 구했다. 이는 작은 돌멩이 64개로 정사각형을 만들과 다시 배열하여 원의 넓이를 만들었을 때 지름을 이루는 돌멩이의 수가 9가 되는 식으로 실증했다. 다양한 도형의 넓이를 구하기 위해서 곱셈을 만들었고, 피라미드를 건설한 노동자들에게는 월급이 지급됐는데 화폐는 아직 없어서 빵이나 보리 등 곡식으로 지급됐다. 이를 분배하기 위해서 나눗셈을 만들었다. (물론 현대적 방식의 곱셈과 나눗셈은 아니다.)이들에게 중요한 것은 원리와 치밀한 증명이 아닌 현실문제의 해결이었다. 이는 이집트수학이 오랜 역사를 거치면서도 거의 답보상태로 놓인 원인이기도 하다. 다각형들을 이용해 곡선의 면적을 구하는 착출법(소진법)이 나온 건 그 이후 17세기 미적분학의 탄생에 영향을 미쳤다. 2부는 고대 그리스 문명으로 넘어간다. 피타고라스와 플라톤이 산술과 기하를 논했고, 2000년동안 기하학의 핵심이었던 유클리드 기하학이 만들어진 건 모두 고대 그리스였다. 고대의 경험적이고 실용적인 차원의 수학을 흡수한 그리스인들은 이집트와 바빌로니아 서기들이 사용한 원리들을 명증한 언어로 끌어냈다.(증명 또는 연역) 주어진 해법에 따라 문제를 푸는 것과 그 안에 내재된 보편적 원리를 규명하려는 태도사이에는 커다란 차이가 존재한다. 유클리드의 원론은 그리스적 사유체계를 예증하는 상징이다. 원론은 당시 왕이 배웠던 수학책이다. 피타고라스는 예언자이며 신비론자로 탈레스의 제자였다. 그는 대장간의 망치소리에서 길이가 2/3를 이루는 쇠막대에서 화음을 이룬다는 것을 발견하고 이 세상은 정수의 비로 이루어졌다고 생각했다. 피타고라스 정리의 숫자들은 그 이전 바빌론과 이집트사람들도 알고 있었지만, 피타고라스가 증명을 통해 법칙을 만들었기에 그의 이름이 붙은 것이다. 하지만, 이후 그의 제자 히파수스가 무리수를 발견함으로써 피타고라스의 정수체계가 무너졌다. 그가 보이지 않는 무리수를 발견한 것도 증명의 힘이었다. ‘이세상은 무엇으로 이뤄졌을까?’ 에 대한 답으로 그리스인들은 자기들만의 이야기 방식을 만들어냈는데 이것이 바로 증명이다.기하는 쪼갤 수 없는 점에서 출발한다고 유클리드는 원론에서 시작한다. 이렇게 시작해서 23가지 정의를 나열하고 다음으로는 증명이 필요없는 자명한 명제인 공리가 나온다. 원론은 초등수학 입문용으로 만들어진 교재인데 한편으로는 체계적인 이론서이자 이후세대의 학술서와 선언문의 구성방식을 제시한 본보기이기도하다. 자명한 공리에서 출발해 부정할 수 없는 결론에 이르는 방식이다. 미국의 독립선언서, 뉴턴의 프린키피아, 스피노자의 윤리학등 많은 책이 이러한 형식을 따르고 있다.이집트문명과 그리스 문명의 대조는 수학의 양면성을 명쾌하게 보여준다. 즉 현실세계의 필요에 답하는 유용성의 측면과 우주질서에 대한 추상적이고 사변적인 질문에 답하는 철학적 측면이다. 두 문명의 수학이 이리도 다른 이유는 전자는 측량이나 상업거래와 같은 구체적인 것이었고, 후자는 우주에 대해 이해하고자 한 갈망이다. 3부는 신을 사랑하고 영원을 믿었던 나라, 인도문명이다. 그들이 만든 숫자 하나가 인류의 역사를 바꿨다. 존재와 부재를 넘나드는 기묘한 숫자, 0은 수학을 무한의 세계로 뻗어 나가게 만들었고, 과학에게 우주를 상상할 수 있는 힘을 주었다. 종교의 나라 인도에서 인류 최고의 발명품 0이 탄생한 내력을 추적한다. 인도는 건물에 0층이 존재하는 나라 0의 고향이다. 인도수학은 천문학적 지식이 발전하면서 엄청난 진전을 보였는데 천문학에 필요한 큰 자릿수 계산 때문에 수의 계산방법이 발달했다.계산법뿐만 아니라 산술삼각법, 대수학, 기수법등으로 확대된다. 그중 삼각법이 가장 중요한 업적이다. 삼각법은 직접 잴 수 없는 길이를 잴때 편리하다. 삼각법의 기본개념은 고대 그리스에서 시작되었지만 그들은 몇 개의 특정한 각만 알고있었다. 하지만 인도인들은 훨씬 더 많이 알고 있었다.인도인들이 만든 수가 얼마나 위대한지를 알려면 다른 문명에서 사용되던 숫자를 살펴보면 된다. 이집트, 그리스, 로마 모두 수가 커짐에 따라서 문자를 계속 만들어 사용했다. 그리스는 계산술을 천시하여 큰수에 연연해하지 않았다. 중국은 두자리마다 새로운 수를 만들었다. 바빌로니아는 두 개의 쐐기문자만 사용해서 60진법을 사용하였다. 60이 넘어가면 문자 사이를 띄어서 표기했지만, 이 역시 불완전했다. 약 1200년 전 인도에서 0이 발명되었는데 이것이 현대적 위치기수법을 만들어진 순간이 된 것이다. 우선 인도는 1부터 9까지 다른 수를 쓰고 새로 숫자를 만들지 않고 수하나를 덧붙였다. 이는 아라비아를 거쳐 유럽으로 가서 아라비아숫자라는 이름이 붙었다.7세기 브라마굽타는 인도 천문학의 중심지 우자인에서 천문관장을 했다. 당시 인도천문학은 서양을 훨씬 앞서 있었는데, 그들은 이미 지구가 둥글다는 것을 알았고 지구둘레를 실제와거의 비슷하게 계산했다. 수학은 당시 천문학의 보조수단이었는데 브라마굽타는 수학자체에 고민을 시작했다. 그가 쓴 ‘브라마스푸타시단타’에는 음수와 양수,0에 대한 사칙연산, 거듭제곱, 제곱근 구하기가 담겨있다. 대수학의 도약이다. 0이 최초로 수학에 쓰였고 0이 독립적으로 쓰인 것은 계산속에 포함되면서이다.* 다음호에 이어집니다.크림슨수학이진혁 원장
2016-10-13
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비중 높아진 수학, 최고난도 문제를 정복하라
입시변화에 따라 수학실력이 더 중요해졌다. 여기에 개정된 교육과정에서는 수학을 통한 각 과목의 창의사고력과 융합능력까지 요구하고 있다. 하지만 자녀의 수학을 초등부터 기초를 잡지 못하면 수학포기 현상을 빚곤 한다. 중학교와 고등학교 수학을 어려워하는 이유도 이 때문이다. 수학적 사고력 기르기와 학교 내신 및 특목 입시를 위한 공부 방법에 대해 알아보았다.부천 중동에서 10년간 수학 지도 노하우 결과부천중동지역에서 초중고 내신수학을 기본으로 특목과 대입을 지도한 실력수학학원이 올해로 개원 10주년을 맞았다. 그 동안 이곳에서는 소수정예반을 구성해 완전학습을 실시한 결과, 놀랄만한 내신 상위권자와 상급학교 진학실적을 기록했다.먼저 실력수학학원은 중동지역을 기본으로 부천시내 중등과 고등에서 학교 내신 상위권자가 정기고사 때마다 배출되어 관심을 모으고 있다. 특히 시험을 치르지 않는 초등생이 처음 치르는 중학교 정기고사에서도 계남중을 시작으로 부명중과 심원중 등에서 다수의 내신상위권 학생이 배출된 바 있다.또한 고교 역시 계남고, 부천여고, 원미고, 부천고, 심원고, 부명고, 중흥고, 중원고 등에서 내신 1등급은 물론 함현고와 경기외고, 과천외고 및 북일고 등의 내신1등급을 배출하고 있다.이밖에도 원광대 한의대와 연세대 및 서울시립대 등의 대학 진학자 역시 우수한 수학실력을 기반으로 배출되어 화제를 모으고 있다. 그렇다면 실력수학학원의 수학 지도 노하우는 어디에 있는 것일까.초등부터 수학을 전문적으로 배워야 중등과 고등수학 가능부천 중등과 고등내신은 물론 특목과 대입에서 수학 실력을 발휘하는 실력수학학원의 노하우는 먼저 알 때까지 지도되는 자기주도학습 기반 완전학습 시스템에 있다. 이를 위해 이곳에서는 입학테스트를 통해 수준별로 반 배정을 한다. 한 반 정원은 4~6으로 소수정예이다.실력수학학원 전대준 원장은 “실력수학학원에서는 완전학습을 기본으로 창의사고력 훈련으로 지도한다. 특히 학생들이 고전하는 서술논술형 문항 지도는 다양한 풀이방법과 훈련을 통해 사고력을 키우고 확장하는 기회”라고 말했다.특히 최고난도 서술논술형 문항 정복을 위한 창의사고력 훈련은 학생들에게 고득점을 통해 자신감을 주고 있다. 학교 내신에서 만점자들이 특목고와 대입에서 좋은 결과를 내는 것도 탄탄한 수학실력에 따른 자신감의 결과이기 때문이다.각종 입시에서 더 중요해진 수학비중최근 수능변화에 따라 수학이 더 중요해졌다. 따라서 수학을 초등부터 더 비중 있게 공부해야 한다고 한다. 과연 입시전략에서 수학 비중은 예전보다 얼마나 높아지고 달라진 것일까.전 원장은 “영어가 절대평가로 바뀌면서 수학의 비중은 늘어났다. 특히 특목고는 물론 대학 측에서는 우수학생 선발의 기준 중 하나를 수학적 능력으로 평가하고 있다. 하지만 수학은 초등부터 꾸준히 관리하지 않으면 중등과 고등에서 기피과목으로 전락되고 만다”고 지적했다.특히 최근 들어 초등과정이 과정중심 평가로 바뀌면서 시험을 치르지 않게 되었다. 때문에 중학교에서 치르는 수학 시험은 생소하고 어렵게 느껴진다. 여기에 초등 고학년 과정은 중등과 고등수학과 유기적으로 연계되어 있다. 따라서 수학을 초등부터 전문적으로 학습해야 하는 가장 큰 이유도 이 때문이다.
2016-10-13
- 대치동 수학 전문 에이펙스수학학원 예비중등부 및 예비고1*2*3 설명회 * 대치동에서 탁월한 실적과 빈틈없는 관리로학교 선생님, 학부모, 학생들이 인정한 수학 전문 학원* 개인별, 수준별 맞춤수업으로 학생들의 실력을 끌어올려 많은 최상위권 학생들을배출하고, 중상위권 학생들 또한 최상위권으로 성장시키는 학원[ 에이펙스수학학원 설명회 일정 ]*사전예약 필수(방문 또는 전화)문의 02-501-3541강남구 대치동 977-12번지 리치몬드상가 2층블로그 http://blog.naver.com/kmjgate 2016-10-13
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수학은 논리적 언어!
영재도 아닌, 보통의 초등학생 아이가 겁도 없이 대입 수학능력시험 수학 25문제를 거뜬히 푼다! 반복적인 문제풀이가 아니라, 논리적인 언어로서 수학을 이해하고 접근한다! 정말일까? 어떤 논리라는 거지? 학창시절 난해한 수학과목으로 인해 고충을 익히 맛봤을 우리 엄마 아빠들의 귀가 솔깃해질 얘기. 지금 초등 고학년을 자녀로 두고 있다면 더더욱 관심이 갈만한 내용이다. 수학을 하나의 논리적인 언어로 보며, 수학이란 큰 산을 찾아 차근차근 길을 찾아간다는 ‘수학여우’ 프로그램을 소개한다. 논리수학, 너 대체 뭐니?서울․경기권 학부모들 사이에 입소문 효과를 단단히 보고 있다는 '류연우논리수학'. 최근 춘천 상륙을 계기로 지역 내 초등 학부모들의 관심 급증이 수학여우 설명회 참석 열기로 이어졌다는 후문이다. 현재도 상담전화가 꾸준하게 이어지고 있다는 것이 ‘류연우 통합논리수학 춘천교육센터’의 설명. '류연우 논리수학'을 맡아 강의하고 있는 민경목 강사는 흔히 많은 학생들이 수학에 어려움을 느끼고 흥미를 가지지 못하는 이유에 대해 수학공식을 암기하고 반복된 문제풀이만을 강조하기 때문이라고 전했다. 이런 현실에 류연우논리수학은 이름 그대로 논리로 접근한다. 단순한 공식과 기법인 아닌 큰 흐름과 배경, 그리고 기본 원리를 심어놓는다는 것.“실수를 줄이고자 무한반복으로 문제만 푸는 것, 그것이야말로 수학에 대한 호기심과 흥미를 잃게 만드는 요인이죠. 수학 또한 논리적인 언어의 한 부분입니다. 손으로 반복하는 것이 아니라 말로 반복함으로써 자연스럽게 기본 원리를 익히고, 나아가 더 깊이 생각하고 응용하면서 성취감을 확보할 수 있는 것이지요.”언어로 차근차근, 스스로 찾아가는 수학!류연우 논리수학의 핵심은 초등학교 고학년, 특히 분수의 곱셈과 나눗셈이 자유로운 실력 정도만 갖춘 학생이라면 중․고등학교 수학의 영역별 개념원리를 충분히 완성할 수 있다는 것. 수학여우는 수학을 하나의 언어로 보고 1차 방정식, 최대공약수 등 중․고등학교 과정의 수학 개념들을 약 300여 개의 언어로 정리했다. 이 300여 개의 언어를 초등학생 때 논리적으로 습득하게 되면, 수학이라는 전체의 산 모양을 살펴본 상태에서 차근차근 길을 찾아들어가기가 쉽다는 개념이다.6명 이하 수강생으로 구성된 수업은 류연우 수학박사의 동영상 강의를 듣고 학생들의 발표수업으로 진행된다. 스스로 동영상 강의를 머릿속으로 정리를 하고 친구들에게 자신이 이해한 부분을 다시 가르쳐주는 형식으로 단순 암기, 단순 문제풀이가 아닌 본인이 확실하게 아는 상황에서 친구들에게 설명을 한다는 게 가장 차별화된 점. “혼자서 문제만 풀고 넘어가면 2~3개월 후엔 또 까먹고 다시 개념을 짚어봐야 합니다. 하지만 수학논리를 이해하고 말로 몇 십번 반복하며 친구들을 가르치다보면 자연스레 숙달되어 내 것이 되는 것을 경험하게 되지요.”물론 중․고생들이 힘들어하는 부분에서는 초등학생들도 똑같이 헷갈려하고 부담스러워한단다. 하지만 스스로 필기를 찾아보고 고민하고 답을 찾으려 노력하는 과정이 자연스레 자기주도학습으로 연결되고 더불어 성취감도 더 커진다는 설명이다. 숲 전체를 보고 지도를 머리에 그리며 출발하는 수학“실제로 저와 함께하는 초등학생들이 실제 수능 수학의 기본문제를 접하면서 ‘이게 수능이예요? 쉽네요!’하며 자신감을 보이고 있어요. 저 역시 더 큰 확신이 생겼습니다.”중학교 과정 따로 고등학교 과정 따로 단계별로 진행되는 수학진도를 통합논리로 이해하며 전체 개념을 마스터하다보니 수능시험에서의 2, 3점짜리 기본 개념문제는 거의 무리 없이 해결하는 수준이라고 한다.민경목 강사는 “다수의 초등생들이 현재 자기 학년의 교과과정 내에서 심화 혹은 선행을 통해 앞으로의 수학을 준비하고 있지만, 결과적으로 우리가 도달해야 하는 곳은 입시수학이고 수능수학”이라고 강조하면서, 지금 수학에 재능과 흥미를 보이는 학생일수록 반복된 문제풀이보다는 앞을 보고 큰 개념을 잡아주는 것이 훨씬 효과적일 것이라고 전했다.“이미 전체 숲의 모양을 보고, 지도를 머리에 그리며 출발하는 친구와 맨몸으로 거길 들어가는 친구 중 누가 더 유리할까요?” 1년 6개월 과정이 마무리되는 시점에서 아이들의 큰 성장이 기대가 된다는 그는 무엇보다 특목중, 특목고를 준비하는 학생들일수록 수학의 논리적 개념 정립을 빨리하는 것이 큰 도움이 될 것이라고 조언했다.문의 : 033-263-2172
2016-10-10
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더선에듀 수학학원, 철저한 관리형 시스템으로 수시·정시 철저 대비
학생부종합전형이 대세를 이루면서 특목고나 자사고 등 경쟁이 치열한 학교보다는 내신이 유리한 학교로 자녀를 진학시키려는 학부모들이 늘고 있다. 이 경우 뒤따르는 문제는 내신 공부에 집중하다가 수능 대비를 제대로 하지 못하는 경우가 생긴다는 것. 그래서 송파ㆍ잠실지역 학부모 중에는 자녀들의 학원만큼은 대치동으로 보내야 한다고 생각하는 경우가 있다. 하지만 차분하게 잘 살펴보면 학교 인근 송파지역에도 내신과 수능을 동시에 준비시키는 대치동식 학원이 있다. 수시ㆍ정시 입시형 수학 전문 학원 ‘더선에듀 수학학원’의 윤기은 원장을 만나보았다. 내신 심화&모의고사 100점, 1등급 완성교육 열기로 둘째가라면 서러울 송파ㆍ잠실 지역에서 ‘더선에듀 수학학원’이 학부모들의 높은 관심을 받고 있는 건 데이터에 입각한 정확한 분석을 통한 철저하고 빈틈없는 내신 심화수업과 더불어 완성도 높은 개념 이해 선행수업까지 수업구성을 할 수 있기 때문이다.학생들은 진단평가를 통해 정확한 개인 커리큘럼을 구성한 후 과정별 문제유형에 대한 철저한 피드백 관리를 받고 있으며 물샐 틈 없는 오답노트 관리와 오답 반복 완성 시스템을 따르고 있다. 정규수업 한 반의 정원은 초등 6~8명, 중·고등 8~12명. 하지만 추가로 소수 정예 맞춤 수업을 진행하고 있어서 학생 한 명 한 명 꼼꼼하게 관리 받을 수 있다.윤 원장은 “진도 나간 부분은 정확하게 마스터 하는 것이 중요합니다. 급하다고 대충 진행하면 시간낭비가 되기 쉬워요. 5번 이상 풀이 과정을 거쳐 모르는 부분이 없도록 꼼꼼하게 점검하고 단원별 특강과 클리닉 수업을 통해 부족한 부분을 충분히 채우고 지나갈 수 있도록 지도하고 있습니다”라고 설명한다. 예비 고1 위한 7주간의 수학 캠프이과 선호 경향이 강해지면서 고등학교에 진학하기 전에 교과 내용을 미리 선행하고 들어가는 학생들이 갈수록 늘고 있다. 실제로 고등학교 이과 학생들은 2학년까지 수1, 수2, 미적분1, 미적분2, 확률과 통계, 기하와 벡터 과정을 다 배운다. 본 학년에 개념부터 응용, 심화까지 하는 것은 시간상 무리가 있을 뿐더러 학교 시험에서 실질적으로 좋은 점수를 받기 힘들다. 그래서 중3 기말고사가 끝나고 나면 대다수의 학생과 학부모들은 빠르게 선행을 나가길 원한다.윤 원장은 “중3, 2학기 기말고사 직후부터 겨울방학 시작 전 12월까지 7주간 이루어지는 수학 캠프 기간을 이용하면 보다 효과적인 수학 학습이 가능하다”고 말한다. 윤 원장은 “고등학교에 입학하기 전에 배우는 고등 수학은 지금부터 ‘고등학생’이라는 분위기를 조성해주는 것이 가장 중요합니다.그래서 중간고사, 기말고사를 3.5주씩 잡고 실제 고등학교 1학년 1학기 내신 기간인 것처럼 시험 준비를 해보고 실제 학교 기출문제를 준비해서 미리 등급을 점검해보는 시간을 반드시 갖도록 하고 있습니다. 이 과정을 거치면 학생 스스로 부족한 부분을 알게 되고, 본인이 지망하고자 하는 학교의 내신을 체감할 수 있습니다.”라고 설명한다. 이후 ‘더선에듀 수학학원’에서는 시험 결과를 토대로 겨울방학 프로그램까지 연계해서 학생들에게 플랜을 제안해준다.자유학기제 이후를 준비하는 예비 중1 수학중학교 1학년 시기 자유학기제가 시행되면서 학생들의 학업태도 부분 및 성취도 면에서 많은 변화가 생겼다. 많은 학생들이 이 시기를 이용해 선행학습을 하는데, 학교의 정규 시험이 없다보니 빈틈이 많이 생긴다. 학습 내용은 물론 OMR 마킹 방법이나 시간 분배 등 시험에 대한 트레이닝을 받지 않은 학생들은 중학교 2학년이 되어 본인의 성적을 온전히 내기 힘들다.윤 원장은 “예비 중1도 4번의 시험이 있는 중2와 학사일정을 맞춰 1년 플랜을 짜서 학습을 시켜본 결과 성취도적인 부분과 2학년 실전 대비에서도 긍정적인 효과가 나타났습니다. 학생들마다 선행 진도가 제각각 다르겠지만, 학원 내신 기간 동안에 희망하는 학교의 해당 학년 내신대비를 하면서 기출문제로 시험을 치르고 그 학교의 실질적인 점수분포도에 의한 등수를 비교하며 경험치를 높여 중2 실전에 강해질 수 있도록 훈련하는 것이 중요합니다”라고 말한다.문의 02-416-4050
2016-10-07
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서울대 수학과 출신 3인방 선생님과 함께하는 수학·수리논술, ‘위키매틱스’
많은 시간을 학원에 투자하고 빠른 선행학습을 진행했음에도 불구하고 만족스러운 성적은커녕 실력조차 늘지 않아 많은 학생들이 어렵고 힘들어하는 과목이 수학이다. 하지만 절대평가를 실시하는 수능 영어, 늘어나는 대학별 수시 정원 등 급변하는 대학 입시 속에서도 여전히 변하지 않는 것은 수학의 절대성이다. 입시 당락까지 결정지을 정도로 수학은 여전히 결코 포기해서는 안 되는 매우 중요한 과목이다. 여기 서울대 수학과 출신 3인방 선생님들이 수학 실력을 향상시키는 제대로 된 학습법으로 괄목할 만한 입시성과를 이끌고 있는 전문학원이 있다. 중·고등 수학·수리논술 위키매틱스의 차별화된 프로그램과 강점에 대해 알아봤다.학(學)과 습(習)의 조화 이루는올바른 학습 습관수학을 어려워하는 학생들의 공통된 문제점은 대부분 잘못된 학습 습관에서 문제점을 찾을 수 있다. 너무 많은 학원과 온라인 강의의 보편화로 학생들은 ‘수업을 듣는 것’이 ‘공부를 하는 것’이라고 생각하고, 문제풀이 과정을 눈으로만 익히며 자신의 실력이 향상되었다는 착각에 빠지곤 한다.“누군가에게 빠르게 배우는 ‘학(學)’도 중요하지만, 스스로 익히는 ‘습(習)’이 없다면 수학 과목에서 발전이란 있을 수 없습니다. 수학은 특히 고민 없이 설명을 듣는 것보다 스스로 고민하며 깨우치는 것이 진짜 실력이 되는 과목입니다.”위키매틱스의 서울대 수학과 출신 3인방 중 ‘멘탈 관리의 신’이라고 불리는 심상헌 원장은 ‘수학은 특히 능동적인 학습이 필요한 과목’이라고 강조했다. ‘학(學)’과 ‘습(習)’의 조화로움이 없다면 수학 공부에서 좋은 성적을 기대하기 어렵다는 것이다.학생들 스스로 공부하는 힘, ‘올바른 학습 습관 만들기’는 위키매틱스의 교육목표이기도 하다. 스스로 계획을 세워 목표를 달성해 가는 성취감은 지치지 않고 공부할 수 있는 중요한 원동력과 수학에 대한 자신감으로 실력 향상을 이끄는 지름길이 된다. 이러한 모토를 실천하며 재원생의 60~70%이상 확실하게 실력을 향상시키는 학원으로 위키매틱스는 이미 정평이 나있다.개개인에 대한 정확한 분석 기초로1:1 맞춤식 수업수학 잘하기 위해서 선행은 반드시 필요할까? 위키매틱스의 심 원장은 ‘수학 과목에 있어 선행보다 우선시되고 가장 중요하게 생각해야 하는 것이 원리적인 이해’라고 힘주어 강조했다. 무조건 공식만 외우고 문제만 풀이하는 것이 아닌 개념과 원리의 정확한 이해가 필요하며, 무엇보다 기본력을 탄탄하게 만드는 것이 가장 중요하다는 것이다.진단을 통해 부족한 부분을 정확하게 파악하고 학생들의 서로 다른 장·단점과 개인의 특성은 물론 학생 개개인의 수준과 실력에 맞는 교육을 하기 위해 위키매틱스는 1:1 맞춤식 수업을 진행한다. 학년과 상관없는 개인별 진도와 차별화된 교재와 숙제는 물론 철저한 1:1 강의를 통해 효율적인 학습이 되도록 지도하고 있다.수시 전형이 확대됨에 따라 수학 과목 역시 내신 등급 관리가 더욱 중요해지고 그 경쟁 또한 치열해졌다. 위키매틱스는 각 학생의 학교 진도를 고려해 내신대비 역시 철저하게 병행할 수 있도록 지도한다. 특히 강남·서초지역 고등학교 수학 내신의 경우, 서울대 수리논술 문제를 응용해서 출제할 정도로 그 수준이 높아졌다고 심 원장은 분석했다. “수학에 대한 사고력과 응용력을 평가하는 내신대비 역시 깊이 있는 학습이 되도록 철저하게 준비해야 한다”고 강조했다.명불허전,서울대 수학과 출신 선생님들의 성공신화매주 수요일 위키매틱스에서는 서울대 수학과 출신 선생님들이 모여 수리논술 문제에 대한 세미나를 진행한다. 수시로 변하는 입시에 따른 효율적인 수업과 수학 교육에 대한 연구 역시 게을리 할 수 없기 때문이다.위키매틱스는 이렇게 수학에 대한 뜨거운 열정과 검증된 실력을 지닌 ‘명불허전 수학의 신! 서울대 수학과 츨신 3인방 선생님’이 함께 뜻을 모아 이끄는 학원이다. ‘개념 정리의 신’ 손광균 선생님, ‘문제풀이의 신’ 임창선 선생님과 ‘멘탈의 신’ 심상헌 선생님의 오랜 경험과 축척된 노하우를 바탕으로 학생들이 제대로 된 수학 실력과 내공을 기를 수 있도록 지도하고 있다.학생들에 대한 꼼꼼하고 철저한 관리와 중등 수학을 담당하는 ‘경시영재의 신’ 유아라 선생님의 수업 역시 위키매틱스의 자랑거리다.문의 02-535-8965
2016-10-07
- 영어로 배우는 북미수학 북미수학은 영어로 수학을 배우는 국제학교에서 주로 배우는데. 한국학생들이 다니는 일반학교 학생들의 수요도 점차 늘어나고 있는 추세이다. 단순히 영어로 배우는 수학학습 이라고 생각하기 쉬우나, 학습방법부터 한국수학과 다른 북미수학 학습 방법을 소개 하고자 한다.결과보다 과정을 중요시 하는 북미수학북미수학에서는 답을 도출해 내는 결과보다는 과정을 중요시 하는데, 문제를 풀어가는 과정에서의 단계별 이해도를 중요시한다. 단계별 이해가 잘 되지 않은 상태에서 선생님의 설명을 듣고 답을 도출해 내었다 하더라도 비슷한 문제를 다시 보면, 문제를 풀며 암기했던 풀이를 기억해 내려고 할 뿐 스스로 생각하여 단계별 사고력을 바탕으로 풀어내지 못한다. 문제를 풀다가 막히는 부분에서 풀이방법을 임시방편으로 암기하기 보다는 그 부분에서 나아가야 할 방향을 토론을 통해서 찾아가는 방법이 북미수학 학습방법이다.토론을 통해 답을 찾아가는 학습방법필자는 학생들과 수업을 하며 문제를 풀 때, 문제를 읽고 푸는 방법을 칠판에 보여주는 수동적 한국식 수업방식을 거부하고, 학생들에게 문제에 대해서 어떻게 생각하는지 물어본다. 그리고 문제가 정확히 무엇을 요구하는지 같이 확인하며 영어로 커뮤니케이션을 시도한다. 사고력을 점검한 후 풀이를 전개해 나가기 위한 수학적 지식을 토론을 통해서 확인하면서 진행된다. 그리고 그 정보들의 연관성에 대해서 설명해주고, 토론을 통해서 스스로 알아내도록 도와준다. 학생의 풀이가 정답과 다른 방향으로 나아가더라도 잘못된 방법이라고 정의하기보다 그 방향으로 나아갔을 때 나올 수 있는 결론에 대해서 질문하며, 왜 다른 방향으로 수정해야 하는지 대화를 통해서 풀어나간다. 수학과 영어를 동시에 학습이 과정에서 영어로 된 문제를 읽고, 영어와 한국어로 토론하며, 북미식 수학 학습 방법으로 수학을 학습하게 되는 것이다. 이 과정에 수학문제를 풀기 위해 영어로 된 수학문제를 분석하면서 영어 독해력 향상뿐 만 아니라, 수학문제를 풀기 위해 논리적으로 풀이과정을 토론하며 영어 말하기 능력 향상에도 많은 도움이 된다.해외대학 수학과 출신 선생님반포 북미수학 아카데미는 북미수학 전문성을 고려하여 구성된 해외대학 수학과 출신 북미수학 전문가 그룹으로, SAT, AMC, TOEFL, 유학대비, 국제학교 학생뿐만 아니라, 일반학교 재학중인 학생들도 독해가 가능하면 수업을 들을 수 있도록 학습 프로그램을 개발하였으며, 수업은 영어와 한국어 동시 사용하며 진행된다.장원태 원장반포 북미수학 아카데미문의 02-6929-3419 2016-10-07
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‘플랫랜드’로 읽는 계급, 인식 그리고 차원이야기 (2)
꿈에서 깬 주인공은 손자인 정육각형에게 제곱에 대해서 가르쳤다. 한변이 1인치인 정사각형 9개로 한 변이 3인치인 정사각형을 만들어 보게 했다. 이에 손자는 3인치정사각형을 그대로 위로 들어 올려 세변이 3인치인 도형은 3의 세제곱으로 표시될 수 있는지 주인공에게 물었다. 주인공은 아무 의미 없다고 했지만, 손자는 그 의미를 찾으려고 했다. 이미 플랫랜드에 익숙한 주인공도 손자의 3차원에 대한 문제제기에 아무런 고민을 하려고 하지 않았다. 자기가 속한 세계, 처한 상황을 뛰어넘는 일인 것이다. 갑자기 동그라미를 담고 있는 동그라미(구)라는 이가 집으로 들이닥쳤다. 스페이스랜드(3차원세계)에서 왔다는 그는 크기와 밝기가 매순간 변했고, 만져보니 완벽한 동그라미였다. 그는 방금 우리집 내부를 다 지켜봤다고 하고 스페이스랜드(3차원)에 대해서 설명하면서 위아래로 움직이며 단면이 커지고 작아졌다. 하지만, 주인공은 알아듣지 못하고 사기꾼이라고 화를 냈다. 그는 다른 방법으로도 설명했는데 점을 북쪽으로 이동해서 남긴 흔적을 직선, 그 직선을 동서쪽으로 그 직선길이 만큼 평행 이동하여 남긴 흔적이 정사각형, 다시 그 정사각형을 위쪽으로 같은 길이만큼 평행이동하면 정육면체인 3차원공간이 된다고 설명했다. 또 다른 방법으로도 설명했지만, 정사각형은 이해하지 못했다. 급기야 정사각형은 구를 공격하기에 이르렀고 구는 그를 피해 위로 올라갔다. 물론 정사각형 눈에는 사라졌다. 구의 목소리는 들렸는데 3차원공간으로 보는 집 내부의 모습을 설명하며 계속 그를 설득했다. 구와 함께 3차원 세상으로 간 정사각형은 그 동안 보지 못한 세상을 보게 되었다. 구의 모습을 온전히 본 것은 물론이고 자신의 집의 온전한 모습 또한 보게 되었다. 급기야는 플랫랜드의 도시모습도 보았다. 3차원세계에 대한 확신이 든 정사각형은 구에게 4,5차원등에 관한 설명을 부탁했다. 하지만, 구는 그런 세상은 들어 본적은 있지만, 보지는 못해서 잘 모르겠다고 했다. 집으로 돌아온 정사각형은 이 사실을 가족에게 숨겼다. 그리고는 잠들어서 꿈속에서 포인트랜드(0차원세계)로 가서 그곳의 왕에게 1차원, 2차원 등에 대해 설명했지만, 이해시키지 못했다. 깨어난 정사각형은 아내와 손자에게 3차원의 세계를 설명하려 했지만 이마저도 실패했다. 그래서 논문을 남기로 하고 글을 썼다. 하지만 이를 보고 이해하는 사람들은 드물었다. 마지막으로 총독관저에서의 모임에서 정사각형의 생각과 경험을 말했다. 즉시 체포되어 감옥에 갇혔다. 이야기는 이렇게 마무리된다. 3차원에서 온 구를 통해서 그가 속한 세계를 뛰어넘는 세상을 맛보았으며 이를 타인에게 설명하려고 노력하는 모습들이 굉장히 안타까워 보인다. 인간이란 자신이 겪어본게 아니면 잘 인정하려고 하지 않는다. 물론 선구자적인 몇몇 사람들은 그런 노력을 하며 세상을 발전시켜나갔지만, 대부분은 외면하고 편견에 가득한 자신만의 시선으로 세상을 살아가는 것이다. 이책을 읽어보면 3가지 관점에서 내용에 대한 고민을 하게 된다.일단, 수학적인 관점이다. 3차원의 세계에 사는 우리가 2차원세상을 상상하게 되고 그들의 세상에서 일어나는 일들을 처음에는 당황하면서, 나중에는 이해하면서 읽게된다. 그러면서 이야기속에 빠져들게 되면 자연스럽게 3차원의 세계를 넘어선 4차원세상을 상상하며 호기심을 가지고 싶어지게 된다. 실제로 검색을 해보면 초사면체나, 초입방체 등의 여러 4차원세계에 대한 이야기들을 알수 있게 되고, 이미 물리학에서는 우주의 생성원리나 블랙홀, 웜홀등의 개념을 설명할 때 쓰인다. 또한 플랫랜드에 영감을 받아서 제작된 소설이나 애니메이션들을 같이 감상해보는 것도 좋다.(스페이스랜드, 스피어랜드등 )두 번째로 19세기 당시 시대상이다. 빅토리아 여왕이 해가 지지않는 제국을 만들던 당시 영국이 아니더라도 계급사회로 인한 여러 가지 폐해는 우리의 조선후기상황도 별다르지 않았다. 그가 풍자하려는 여러가지 상황들을 대입해보면 흥미롭게 이야기를 재전개할수있다. 물론 계급사회를 풍자하는 다른 소설들도 비교해보면서 보면 좋다.(걸리버여행기,올리버트위스트등)마지막으로 인간의 인식과 편견의 한계에 대해서이다. 이 세상을 지배하다시피하는 인간이라는 존재가 얼마나 인식의 한계를 느끼며 편견에 사로잡혀 사는지를 말이다. 자기가 경험해보지 않은 상황이나 현실 너머를 인식하고 알려고 행동하는 것이 얼마나 힘든일인지, 얼마나 중요한지 말이다. 작게는 나중심의 삶, 크게는 인간 중심의 삶이 전지구적으로 인류에게 얼마나 큰 해악을 주는지 아는 게 중요하다. 중계동 크림슨수학이진혁 원장
2016-10-06
- 중·하위권 학생들을 위한 수학공부법 제안! 평촌 학원가에서 철저한 개별맞춤교육으로 유명한 김장현 평촌수학학원이 얼마 전 새로운 클래스를 열어 주목받고 있다. 수학실력을 잡고 싶은 고1 학생들, 그 중에서도 수학의 기본기가 튼튼하지 못한 중·하위권 학생들을 대상으로 한 ‘프리미엄 개별 지도반’이 그것으로, 이 학원의 핵심 전략인 ‘개별맞춤교육’을 극대화한 교수법이 특징이다. 시작한 지 얼마 되지 않았지만 학생들의 만족도가 높아, 입소문을 타고 반을 늘려달라는 요구가 있을 정도로 효과도 그만. 어떻게 운영되는 클래스인지 김장현 평촌수학학원 김장현 원장에게 들어봤다.중·하위권 학생들을 위한 심화된 밀착강의, 1:1수업의 ‘프리미엄 개별 지도반’“학생들을 가르치다보니 중하위권 학생들에게는 칠판식 수업보다는 보다 더 세심한 개별관리와 맞춤교육이 필요하다는 생각을 많이 했습니다. 고민 끝에, 강사와 학생이 1:1 과외식으로 수업해보면 좋겠다 생각하고 고1학생들을 대상으로 ‘프리미엄 개별 지도반’을 만들게 됐습니다. 칠판식 수업에 따라가느라 몰라도 대충 넘어갔던 중·하위권 학생들이 강사가 자신에게 완전히 맞춘 1:1 수업을 진행하자 개념에 대해 보다 확실히 이해하는 것은 물론 모르는 부분은 거침없이 질문할 정도로 수학실력과 흥미, 자신감 등에서 눈에 띄는 변화를 보였습니다.”김장현 원장은 자신이 예상했던 것 보다 훨씬 좋은 효과에 적잖이 놀랐다고 고백했다. 특히 중·하위권 성적의 자녀를 둔 학부모들이 “내 아이가 학원에서 다른 잘하는 아이의 들러리나 되지 않을까 늘 걱정이었는데, 1:1로 수업하며 내 아이만을 위한 학습이 진행되니깐 무척 만족스럽다”고 전해올 때 뿌듯하다고도 했다.그렇다면 ‘프리미엄 개별 지도반’은 어떻게 운영되는 걸까? 우선, 대상은 고1학생들로 상담을 통해 실력을 파악하고 수준에 맞는 반을 편성한다. 한반은 5명을 넘지 않는 소수 인원으로 구성하며, 강사 2명이 상주해 학생들을 지도한다. 수업시간 동안 칠판식 강의는 지양하고 주강사가 학생들의 수준과 진도에 맞는 개별맞춤강의를 1:1 과외식으로 진행한다. 또 다른 강사는 복습과 첨삭지도, 학습관리 등을 맡아 학생별로 밀착 관리하며 실력에 누수가 없도록 꼼꼼하게 챙긴다. 수업시간도 일반적으로 진행하는 주 2회 수업이 아닌 주 3회로 편성해 보다 빨리 실력을 쌓을 수 있도록 배려했다.또한 주교재로 수학 개념서를 활용하고, 프린트된 개념 활용 문제들을 풀면서 확실히 이해했는지 체크한다. 이후 유형분석프로그램을 통해 자신이 맞고 틀린 문제의 유형을 파악, 틀린 유형의 문제 위주로 집중해 학습한다. 학기 중에는 개별 수준에 맞는 범위 내에서 학습하다 방학이 되면 심화된 내용과 부족한 부분을 보다 철저하게 보완하는 방향으로 진행한다.김 원장은 “프리미엄 개별지도반의 목표는 공부하는 방법과 패턴을 알도록 지도하는데 있다”며 “강사들의 힘과 노력은 훨씬 많이 들지만, 학생들이 실력 향상과 함께 ‘나도 하면 되는구나’하는 자신감과 ‘나에게 관심을 갖고 세심하게 지도해주는구나’하는 정서적 안정감까지 느끼는 것을 보고 많은 학생들에게 도움을 주고 싶다는 생각을 했다”고 전했다. 김장현 수학만의 차별화된 개별맞춤교육 노하우가 바탕에프리미엄 개별 지도반이 학생들의 높은 만족감과 좋은 결과로 이어지는 데에는 김장현수학학원의 차별화된 개별맞춤교육 노하우가 바탕이 됐기 때문이다. 특히 무리한 선행을 배제하고 현재 학년의 진도와 수준의 내용을 확실하게 자기 것으로 다지는 학습법은 단연 으뜸. 자기 것으로 만들고 난 후에는 현 학년 심화를 집중적으로 학습해 실력의 깊이가 더해지도록 가르친다. 실제 이 학원 학생들은 무리한 선행에서 오는 스트레스가 없다보니 수학에 대한 흥미가 높은 편이다. 수학 공부에 집중하는 힘이 강한 것은 물론 수학적으로 사고하며 복잡한 심화문제를 풀어내는 과정도 재미있다고 입을 모은다.김 원장은 “자기 수준에 맞는 학습을 하다보면 할 수 있다는 자신감이 생기고 이는 다시 수학에 대한 흥미로 이어져 복잡하고 어려운 문제, 많은 학습량이 주어져도 ‘한번 해 보자’하는 마음으로 도전하게 된다”고 말했다. 2016-10-05
- 예비고1, 대입수학의 기본을 완성하는 중요한 시기! 수학은 중등과정에서 고등과정으로 넘어갈 때 가장 난이도 상승률이 가파른 과목이다. 그렇다 보니 이 시기에 수학을 포기하는 학생들이 상당히 많다. 문제는 이 시기가 수학 공부에 있어서 가장 중요한 시기라는 사실이다. 길과진리수학학원 김동주 원장은 “미분, 적분문제를 풀기위해서는 기본 함수에 대한 이해가 필요한 것처럼, 고1 교과내용은 수능에서 문제를 이해하고 풀기 위한 기본요건으로 그 비중이 약 70~80%에 달하기 때문에 절대로 소홀히 해서는 안된다”고 말한다. 또한 “고1 과정은 중3의 심화과정이기 때문에 중3 과정을 완벽하게 숙지하는 것 역시 중요하다”고 덧붙였다.학생별 로드맵 제시와 맞춤 수업으로 수학 자신감 키워줘중등 수학에서 80~85점 이상을 받아본 경험이 없는 친구들은 수학에 대한 자신감이 낮고 두려움은 크다. 당연히 고등학교에 진학한다면 더 위축될 수밖에 없다. 과연 해결책은 없는 걸까? 김 원장은 “학생별로 개인 로드맵을 제시해 맞춤 커리큘럼으로 수업을 진행한다면 중하위권 학생들도 수학에 대한 자신감을 가질 수 있다”고 말했다.길과 진리의 예비고1 수업은 고등학교 첫 중간고사를 목표로 11월부터 내년 4월까지 6개월간 진행된다. 먼저 시기별로 어떤 공부를 해야 하고, 어느 정도 수준에 도달해야 하는지를 알려주기 위해 진도계획표, 학생성향별 맞춤 교재 그리고 교재별 완성도 등으로 구성된 개인 로드맵이 전달된다. 수업은 학생별 맞춤관리가 가능하도록 최소 1명에서 최대 3명의 소수정예로 이루어진다. 대치동에서 오랜 강의 경력을 가진 원장들이 뭉쳐 학원의 시스템과 과외의 장점을 접목하면서 3인 이내의 소수 맞춤학습을 만들게 되었다는 김동주 원장은 “중하위권 학생들은 모른다는 사실이 부끄러워 선생님에게 질문 한번 해보지 못한 경우가 많다”며 “소수정예로 반이 구성되기 때문에 학생들이 편하게 질문할 수 있고 강사진 역시 학생들에게 충분한 설명이 가능하다”고 말했다.수업은 3단계 과정으로 진행된다. 우선 식에 대한 연산훈련을 통해 기본을 다진 후 단원별 기본개념을 익힌다. 이후 학습한 기본 개념들이 수능형 문제들과 어떻게 연결되는지 ‘연계성 훈련’이 실시된다. 김 원장은 “수능의 방향성을 예측할 수 있는 올해 9월 모의고사에서 고1 교과과정이 강조 되었고, 지역과 학교마다 차이가 있지만 고등학교 1,2학년의 내신비중이 예전보다 높아지고 있다”며 “고1부터 체계적인 수학 학습이 더욱더 필요하다”고 당부했다.상위권 학생들은 수능 1등급을 위한 수업이 진행된다. 김 원장은 “수학은 연속성이 있기 때문에 상위권 학생일 지라도 어느 한 부분을 놓치면 취약한 영역이 생기기 마련”이라며 “학생의 부족한 부분을 진단해 해결책을 마련해 주고, 학생들이 필요로 하는 커리큘럼을 제공해 무결점 수학실력을 완성시킬 수 있다”고 말했다. 예비중1, 대수통합과정으로 수학의 기초 명확히 다져줘길과진리의 예비중1은 정확한 연산실력을 기반으로 고등과정을 위한 기초를 준비하는 수업이 진행된다. 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 등 초등연산이 부족한 학생들은 한 번 더 짚어주는 수업이 선행된다. 본격적인 중등과정은 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 방정식 등 1학년 1학기, 2학년 1학기, 3학년 1학기 각 학년별로 나누어져 있는 교과과정을 ‘대수통합과정’으로 통합해 다루고, 도형과 기하는 별도 과정으로 추후 진행한다.김 원장은 “대수통합과정은 고등학교 과정과 연계되는 부분으로 정확하게 이해하고 넘어가야 한다”고 강조하면서 “매 학년마다 조금씩 나누어 학습하다보면 중간에 6개월 이상의 공백이 생겨 기존 학습내용을 기억하지 못함은 물론 향후 학습할 내용과도 연결이 매끄럽지 못해 불필요한 반복학습이 생길 수 있지만, 통합과정으로 진행하면 이러한 문제점을 극복할 수 있고 수업이 연속성 있게 진행되기 때문에 학생들이 짧은 시간 동안 해당 개념을 정확히 익히고 훈련하는 것이 가능하다”고 말했다. 2016-10-05
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