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실력에 따라 설계된 맞춤형 커리큘럼 갖춰
찬바람이 불면서 새 학기 대비 설명회가 여기저기서 열리고 대치동 학부모들의 발걸음도 분주하다. 특히 내년에 자녀가 중학교, 고등학교에 입학할 예정인 예비 중·고등 학부모들은 새로운 환경과 코앞으로 다가온 입시에 걱정이 많다. 지난 4월 오픈한 이래 체계적이고 물샐틈없이 촘촘한 커리큘럼과 뛰어난 성과로 대치동 학부모 사이에 핫이슈로 떠오른 ‘수학의 제국’ 김성선 원장을 만나 예비 중1, 예비 고1 학생들을 위한 수학 학습 조언을 들어보았다.기본과 실력 잇는 유형별 문제풀이학원을 찾는 예비 고1 학생들의 실력은 천차만별이다. 초등 때부터 유명 학원에서 선행을 몇 번한 학생부터 뒤늦게 시작해서 진도가 늦은 학생까지 다양하다. 그러나 어디까지 배웠다는 것보다는 현재 정확한 실력을 파악하는 것이 가장 중요하다. ‘수학의 제국’ 김성선 원장은 “현재 나의 실력을 정확하게 체크한 다음 잘 다져져 있으면 큰 그림을 그리면서 선행하면 됩니다. 단 수1, 수2에 구멍이 있는데 선행을 나가는 것은 의미가 없습니다. 이런 경우 겨울방학 때까지 수1, 수2의 완성도를 최대한 높이는 것이 필요합니다”라고 조언했다.기초를 탄탄히 하기 위해 ‘수학의 제국’에서는 <기본정석>을 마친 후 <실력정석>으로 넘어가기 전 단계로 브릿지 프로그램을 준비했다. 수1, 수2 각각 <기본정석> 후 유형별 문제풀이를 통해 단원별 완성과 공식의 활용도를 높임으로써 <실력정석>으로 넘어가는 연결고리 역할을 한다.‘수학의 제국’은 한 반 8명 정원의 담임제로, 5시부터 10시까지 담임이 철저하게 관리, 첨삭 지도한다. 그날 배운 개념은 그날 완전히 소화하고 유제, 예제, 보기 문제까지 다 풀도록 한다. 1차 오답까지 확인 후 귀가하기 때문에 과제가 거의 없다.또한 학생들이 작은 실수 하나라도 정확하게 짚고 넘어가도록 하기 위해 3차에 걸친 오답 시스템을 갖췄다. 수업 시간에 발생한 오답은 수업 후 1차 오답풀이를 통해 확실히 짚고 넘어간다. 그 다음 단원평가 후 개인별로 2차 오답 체크가 이루어진다. 2차 오답 체크에서도 해결되지 못한 오답들은 주말 클리닉을 통해 3차 오답 체크가 실시된다.김 원장은 “담임 강사들은 학생 한 명 한 명의 오답을 확인하고 개인별 오답들을 모아 한 권의 개인별 교재로 만듭니다. 학생들의 오답은 데이터로 기록되어 나중에 다시 출력, 체크할 수 있도록 관리되고 오답처리 결과는 학부모에게 문자로 발송하는 등 철저하게 피드백됩니다”라고 설명했다. 개인 맞춤 지그재그 커리큘럼그렇다면 예비 중1 학생들이 지금 이 시기에 가장 챙겨야할 것은 무엇일까. 김 원장은 “중등 과정의 큰 그림을 그려라”라고 말하면서 “선행으로 100% 다 알고 넘어갈 수는 없습니다. 개념이 되어 있는지 확인해야 하고 교재 한 권의 완성도가 중요합니다. 제대로 된 선행을 한 후 한 단계 심화된 선행에 들어가야 합니다”라고 조언했다. 또한 김 원장은 “특히 물올, 화올 등을 준비하는 학생들의 경우 수학이 안 되면 과학도 힘들다는 것을 기억하고 단순한 선행이 아니라 수학을 제대로 하는 것이 중요합니다”라고 말했다.‘수학의 제국’ 중등부는 하루 4시간 수업을 1교시와 2교시로 나누어 학생별로 맞춤 결합하는 지그재그 커리큘럼이 특징이다. 김 원장은 “모든 학생이 똑같은 시간표로 수업하는 게 아니고 1교시 정규 진도 강의 후 학생에 따라 2교시에 유형별 문제풀이를 할 수도 있고 잘하는 학생은 다른 반으로 이동해 다음 단계 수업을 받을 수 있습니다. 실력에 따라 수업을 2시간씩 지그재그로 활용할 수 있기 때문에 개인별 맞춤 프로그램이 가능하며 시간을 효율적으로 활용할 수 있습니다”라고 말했다.<기본정석>에서 <실력정석>으로 가기 전 브릿지 프로그램이나 3차 오답 관리, 개인별 지그재그 커리큘럼 등 ‘수학의 제국’의 시스템은 자녀를 학원에 보내면서도 과외의 장점이 아쉬웠던 대치동 학부모들의 가려운 곳을 긁어주는 요소이다. 학원의 체계적인 시스템과 세심한 맞춤형 관리가 가능한 것은 두 자녀를 모두 영재고에 보낸 김 원장의 경험과 노하우가 담긴 결과이다.문의 02-562-5166, blog.naver.com/empire2016
2016-11-05
- 현 中3 학생의 겨울방학 학습방향 현 中3학생을 둔 학부모들의 최대 궁금증은 ‘최상위권 대학을 목표로 이번 겨울방학에 어디까지 어떻게 학습해야 하는가?’일 것이다.우선 결론부터 말하면 문과지망 학생은 수Ⅰ, 수Ⅱ, 미적분Ⅰ까지 이과지망 학생은 수Ⅰ, 수Ⅱ, 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ까지만 잘 마무리해도 앞으로 내신뿐 아니라 수능준비를 하는데 충분하다.그러나 이러한 진도를 기초부터 차근차근 다지지 않은 상태에서 무리하게 진행하는 것은 얻는 것보다 잃는 것이 더 많다. 특히 이과의 경우 무리해서 미적분Ⅱ까지 하는 것보다 미적분Ⅰ까지 만이라도 이번 겨울방학 때 잘 끝내 놓으면 결코 늦지 않다.고1 여름방학 때 기하와 벡터(구 교육과정)를 하고 겨울방학 때 미적분Ⅰ(심화), 미적분Ⅱ, 확률과 통계를 마치면 수능 전 과정을 한번 마칠 수 있기 때문이다. 확률과 통계 또한 겨울방학 때 처음 학습해도 무리가 없다.또한 가장 중요한 것은 학생들의 학습의욕이다. 학생들의 공부하고자 하는 욕구는 강요해서 되는 것이 아니라 학습 분위기가 중요하다.함께 공부하는 학생들과 학습하는 장소의 면학 분위기가 그 학생으로 하여금 집중해서 열심히 공부하는 것을 자연스럽게 느끼면서 당연히 하는 것으로 인식되는 것이 중요하다.이와 함께 학생의 학습태도와 학습욕구가 같이 상승하는 것이다.또한 학생들이 공부하는 기계가 아니듯 이번 겨울방학이 중요하다고 해서, 자기 공부할 시간을 충분히 갖지 못한다면 그 또한 시간 낭비가 될 것이다.Maslow의 욕구 단계처럼 하위의 욕구가 채워지지 않았음에도 불구하고 상위의 욕구를 바랄 수 없듯이, 학생이 공부에 집중할 수 있도록 그 환경을 만들어 주는 것은 전적으로 부모들의 몫인 것 같다. 왜냐하면 학생들 본인이 그 누구보다 잘 하고 싶어 할 것이기 때문이다.곽효용원장수학사랑학원문의 02-515-5099 2016-11-05
- 수학, 융합 복합 공부를 하라! 지금 모든 학문의 대세는 융합이다. 수학도 그러하다. 어느 한 과정, 한 부분만 깊게 파고 들어가는 단원별 유형암기식의 전근대적 수학 공부로는 학업 성취도와 완성도를 높이기 힘들다. 단원별 문제풀이, 유형별 문제풀이, 단원별 기출풀이 등 단원별로 나누어 공부하는 방식은 융 복합 사고를 높이기 힘들다. 단원과 단원을 관통하고 넘나들며 횡으로 종으로 연결하며 문제를 해결하는 능력은 단원별 공부가 아닌 융종합 계통 연계식 접근으로 공부할 때 그 능력이 배가된다.미적분 문제인데 인수분해가 보이지 않으면 손댈 수가 없고, 확률 통계 문제인데 함수를 몰라서는 풀 수없는 그런 이종교배식 문제들을 잘 다루고 정복해내려면 단원별 유형별로 드릴처럼 좁고 깊게 파고들어가는 방법을 이젠 던져버리고 넓고 깊지 않게 그러나 각 단원의 개념과 원리는 완벽히 꿰고 나가는 종합형 연계형 수학수업으로 하루빨리 바꿔야 한다.수1의 첫번째 단원인 다항식의 연산을 그냥 책에 나온 그대로 판박이처럼 설명해주고 문제풀이를 시키기보다 수1의 다항식의 연산 기본 원리가 중2의 문자와 식 단원에서 태동하였고 어떻게 그 바탕에서 수1의 다항식의 연산으로 발전했는지 전후를 관통하여 이해시키도록 하는 융복합식 수학공부는 놀랍게도 아이들을 수학의 늪에서 구해내고 수학을 이길 수 있는 탄탄한 실력을 길러준다. 특히, 단원별로 공부하고 마지막에 잠깐 융복합 문제를 접하게 되는 대부분의 수학공부 방법보다는 처음 배울 때부터 융복합 연계방식으로 단원과 단원의 원리와 개념을 꿰어 내며 공부를 해야 비로소 융·복합 사고가 제대로 길러지게 되고 마침내 융복합 문제풀이에서 그 완성이 이루어지게 됨을 깨달아야 한다.단원별 끊어치기, 유형별 암기식의 죽은 수학 공부를 뒤로하고 융·종합 개념 원리 연계식의 살아있는 수학 공부로 수학의 자신감을 키우고 실력을 키워낼 수 있도록 아이들을 잘 이끌어야 한다. 뿔뿔이 흩어진 단원의 조각난 개념들과 진도 앞뒤전후로 서로 탄탄히 연계된 개념들 중 어느 것이 우리 아이들의 수학실력에 도움이 될지는 너무 자명하지 않은가! 이 한마디 명제로 칼럼을 마무리해야겠다.잡종은 순종보다 생명력이 강하다! 수학도 그러하다!김필립원장김필립수학전문학원문의 02-552-5504 2016-11-05
- 개별맞춤 학습프로그램 ‘WING’ #1.S고 1학년 A군, 1학기 기말고사에서 수학내신 4등급의 성적이었지만 2학기 중간고사에서 2등급 받다.#2.D고 1년 B군, 1학기 기말고사에서 40점의 성적으로 수학내신 5등급이었지만 2학기 중간고사에서 60점대의 성적으로 20점 이상의 성적향상 이루다.#3.C여고 3학년 이과반 C양, 평소 내신과 모의고사 모두 3~4등급을 받았지만 최근 2학기 중간고사와 9월 모의고사에서 모두 1등급 받다.은행사거리에 위치한 ‘더블유 수학학원’에서 이러한 성적향상은 심심찮게 목격된다. 얼마 전 치른 중간고사만 해도 고1 재원생의 90% 이상이 성적향상을 이뤘다. 이는 더블유 수학학원의 가장 큰 경쟁력이라 할 ‘WING수업’이 있었기에 가능한 결과다.WING수업, 티칭과 코칭의 완벽한 조화로 실력도 두 배, 성적도 두 배더블유 수학학원 조용태 원장은 “학생 개인의 약점과 특성에 맞춘 개별맞춤 학습프로그램인 WING수업을 4년 전부터 진행하고 있는데, 성적향상에 큰 역할을 하고 있다”며 “WING수업은 학생들을 한 교실에 몰아넣고 문제를 풀리면서 질문을 받는 코칭수업과는 질적으로 다르다. 한 반당 정원 10명 미만의 학생들을 담당 선생님들이 직접 개별 관리하며, 배우는 교재에서 한 문제라도 틀리는 문제가 없도록 완성도 평가를 실시한다”고 설명한다.WING수업은 강의식 수업과 관리식 수업의 결합을 통해 충분한 강의수업과 개인특성을 고려한 개별맞춤학습의 실현으로 기존 소수정원수업, 대형단과수업의 단점을 보완한다. 즉 진도는 강의수업으로, 개인별 취약점 및 질문과 평가는 1:1 과외식 수업으로 이뤄진다. 그리고 완료된 단원이나 교재에 대해서는 개인별로 틀린 문항만 모아 학생이 다 맞힐 때까지 완성도 평가를 실시한다. 다시 말해 선정된 교재에서 못 푸는 문제가 없도록 하고 있다. 이후에는 매쓰홀릭 시스템으로 개인별 약점을 분석하고, 이를 바탕으로 더 많은 유형학습과 반복을 통한 완전학습을 진행한다.최근 고1 재원생을 대상으로 진행한 WING 프로그램에 대한 만족도 설문조사에서 90%의 만족도를 표할 만큼 학생들의 반응이 뜨겁다.기초부터 고급 레벨까지 체계적인 성적상승 시스템으로 학습지도더블유 수학학원 고등부의 반 구성은 크게 All in one반, POP반, 각인반, WING반으로 이뤄진다,1~2등급 학생들을 대상으로 한 최상위권 도약 학습시스템인 All in one반은 다시 W플러스반, W반, SKY반으로 세분화된다. 내신강화를 기본으로 명문대 진학에 특화된 All in one반은 내신 심화교재로 주1회 3시간 강의수업을 진행하며, 개인별 커리큘럼에 맞춘 진도학습을 주1회 3시간 강의한다. 이외에도 매주 모의고사를 실시하고, 주1회 4시간 1:1 개별 코칭학습인 WING을 진행한다. WING에서는 개별 질문을 받고, 학생은 자신이 틀린 문제에 대해 왜 틀렸는지를 파악하고, 강사 또한 학생이 틀린 문제에 대해 분석이 가능하다. 그리고 매쓰홀릭 프로그램을 통해 틀린 문제를 맞힐 때까지 반복시켜 부족한 유형을 완전히 익히게 한다. 구멍 난 부분이 있으면 다른 날 다시 와서 추가학습을 진행한다.3등급 학생들을 대상으로 한 POP반은 내신에 포커스를 맞추고, 심화문제로 등급을 올린다. 개념 심화를 병행한 내신대비학습을 주2회 4시간, 한 학기 진도 기본학습을 주2회 4시간 진행한다. 진도학습 후 확인평가를 실시하고, WING에서 약점을 체크해 틀린 문제는 맞힐 때까지 반복시킨다.4~5등급 학생들을 대상으로 한 각인반은 내신수업만 한다. 각인 평가를 통해 과제 수행여부를 확인하고, 성적 미달자와 과제 미수행자는 개별클리닉을 실시한다. 수준별 개념수업을 2시간 하고, 각인수업을 통해 유형과제 점검을 바탕으로 이해가 어려운 개념이나 고난도 문제를 반복 학습시켜 배운 내용을 잊어버리지 않도록 각인시키는 학습을 진행한다.WING반에서는 학생 개인별 학습이력을 누적해 취약부분을 파악하고, 그 부분을 보완할 수 있는 솔루션을 제공한다. 진도위주가 아닌 심화훈련과 확인학습 그리고 집중관리 시스템으로 체계화된 수학의 로드맵을 제시한다. 학생부 종합 관리 프로그램인 ‘STORY U' 제공으로 효율적 대입 준비학생부종합전형 및 자기주도 학습전형에 대한 중요성은 강조되고 있지만, 어떻게 준비하면 좋을 것인가에 대한 해답을 찾기는 어렵다. 더블유 수학학원에서는 이러한 학생과 학부모들의 어려움을 덜어주고자 구체적인 입시정보를 제공하고, 그 정보에 따른 서비스를 제공한다.조용태 원장은 “전국의 데이터를 가지고 합격한 학생들을 사례별로 그 특징을 분석해, 멘토링을 통해 학생의 진로에 맞는 학교생활을 유도하며, 이것을 학생부에 잘 기록할 수 있도록 꾸준히 모니터링하고 있다”고 밝힌다. 한미정 리포터 doribangsil@hanmail.net 2016-11-03
- 고등학교에서 올바른 수학 학습법(2) - 고1 중학교를 졸업하고 어엿한 고등학생이 되었다는 기쁨도 잠시, 앞으로의 3년을 어떻게 보내야할지, 무엇을 시작해야할지 막막한 마음에 학원 문을 열고 상담을 하러 들어오는 학생들, 학부모님들을 자주 만난다.수능이 바뀐다고 하는데, 입시가 복잡해진다고 하는데, 수시와 정시 중에서 어떤 전략이 유리한지 등 여기저기서 들리는 이야기는 많지만 시원하고 깔끔하게 정리가 되지 않아 현재 고1이 되는 학생도 부모님도 답답한 마음이 커지는 것이 사실이다.고등학교 1학년을 어떻게 준비하면 도움이 될 수 있을지 알아보자.1. 수능은 3학년부터? 1학년이 중요하다!현재 가정에서 첫 아이가 고등학교 1학년에 진학한 경우가 아니라 그에 앞서 형이나 누나, 오빠나 언니가 있는 아이들인 경우의 부모님도 학생도, 과거 경험을 바탕으로 공부 방법이나 입시 방향을 잡았다가 혼란을 겪는 경우가 최근에 부쩍 늘었다. 교육 과정이 바뀐 지 얼마 되지 않아 경험이 많이 쌓이지 않아서 여러 가지 말들이 오가고 있기 때문이다. 먼저 고등학교를 졸업한 학생들이 배운 수학과 현재 고등학생의 수학은 전부 바뀌었다고 할 정도로 많은 부분에서 변화가 있다. 이 부분을 매우 꼼꼼하게 점검할 필요가 있다.우선 교육과정이 바뀌면서 수학 과목의 각 단원 편제가 재구성 되었는데, 각 학년의 수학 단원이 다음 학년의 단원으로 긴밀하게 연결되도록 편성이 되면서 어느 학년도 소홀히 지나갈 수 없다. 예를 들어 ‘수2-수열’ 단원이 ‘미적분1-수열의 극한’으로, ‘미적분1-미분법, 적분법’이 ‘확률과 통계-확률분포의 평균과 분산 계산’으로 연결이 된다. 이처럼 과거 단원간의 분리가 뚜렷했던 경향이 줄고, 연계된 단원들이 많아지고 통합적 사고를 더욱 요구하는 교육과정이 되었기 때문에 이에 빨리 적응하고 방법을 준비하는 것이 좋다. 이러한 단원간의 연계는 고등학교 1학년 수학이 시작이다. 1학년 수학을 탄탄하게 정리하고 잊지 말아야 하는 중요한 이유 중 한가지이다.또한 교육과정이 바뀌기 전에는 문과/이과 모두 수능 출제 범위가 정규 교육과정 중 2학년 과정부터였기에 1학년 과정을 소홀히 여기는 경향이 있었다. 하지만 이제 바뀐 수능 출제 범위에서는 문과의 경우 1학년 과정인 수2부터 포함되기 때문에 1학년 과정을 무시했다가는 큰 낭패를 볼 수 있다. 3학년이 되어서 6개월 전 내용도 기억이 가물가물하여 복습을 할 때 어려움이 있는데, 2년 전에 배운 수2 내용을 3학년이 되어서 기억하려고 하면 여간 어려운 것이 아니다. 학년이 바뀌어도 꾸준히 복습해야 한다는 것을 기억하고 1학년 공부할 때부터 복습하는 습관을 가지는 것이 중요하다.이제 1학년인데 입시는 먼 이야기라고 생각했는가? 3학년이 되면서 이제 열심히 공부해야지라고 생각하면 늦는다. 준비는 지금부터 하는 것이다.2. 수업이 가장 중요? 복습이 생명이다.세상에서 가장 뛰어난 요리사가 내 앞에서 요리의 전 과정을 선보이고 진미를 맛볼 수 있는 기회가 있다고 생각해보자. 그 한 번의 경험으로 똑같은 진미를 내가 만들어 낼 수 있을 거라는 기대를 하는 사람은 거의 없을 것이다. 생활의 달인에서 나오는 달인들의 기술을 한 번 봤다고 해서 그들과 동일한 기술을 내가 쓸 수 있다는 생각을 하는 사람도 없다. 그런데 유독 학생들 중에는 수업 때 한 번 들은 설명, 몇 번 연습한 문제 풀이로 모든 문제를 풀 수 있을 것이라고 생각하는 사람들은 많다. 딱딱하고 어려운 수학 개념을 학생들이 이해하기 쉽게 설명을 할 수 있는 선생님인가를 판단하고, 그 유능한 선생님에게 좋은 수업을 듣도록 하는 것도 중요하지만 그보다 더 중요한 것은 학생이 스스로 그 내용을 곱씹어보면서 복습하고, 관련한 내용을 꾸준히 연습하는 것이다. 수업을 듣는 데에만 하루의 대부분의 시간을 투자하는 것보다 배웠던 내용을 꼼꼼하게 정리하고 관련 내용을 복습하여 다양한 문제들에 적용해보는 시간을 반드시 확보해야한다.1학년 때 이러한 복습의 습관이 만들어져 있어야 3학년까지 배우는 모든 과정들을 체계적으로 정리할 수 있다. 앞서 이야기 했던 연계 단원들에 대한 어려움이나, 수능을 준비하면서 2년 전 내용을 다시 정리해야하는 수고로움이 많은 부분 해소될 수 있기에 복습의 중요성은 더욱 커진다.지금의 교육과정이 선행보다는 깊이 있고 창의적인 “현행”을 지향한다는 말을 앞서 했다. 깊이 있고 창의적으로 내용을 접근하기 위해서는 자신의 것으로 녹여낼 수 있는 복습이 기본으로 요구되는 것이다. 현재 수업시간에 문제집이나 교과서에 밑줄 긋는 것이 공부의 전부인가? 문제풀이 과정을 옮겨 적고 그 이후에는 다시 보는 일이 없는가? 새로운 문제집, 새로운 유형서, 새로운 책만 찾으면서 똑같은 문제를 틀리고 있지는 않는가? 새로운 책으로 300문제를 푸는 것 보다 배웠던 문제를 세 번 더 보는 것이 효과적일 때가 많다.한 달 전에 공부했던 내용이 기억나는가? 지난 중간고사 시험범위의 내용이 지금 기억나지 않는다면 복습에 대한 계획을 다시 짜고 복습하는 시간을 확보하는 것이 어느 때보다 필요하다.매쓰플러스수학학원 고등부김창주 고1 담당 2016-11-03
- 노원구 고등학교 1학년 2학기 중간고사 수학 결과 분석 및 학습전략 얼마 전 노원구 관내 고등학교들의 중간고사가 모두 끝났다. 특히 고1의 경우는 입학 후 세 번째 치르는 시험으로, 이제 고등학교 수학시험이 중학교 때처럼 며칠간의 벼락치기로는 고득점은 커녕 평균도 따라가기 힘들다는 것을 뼈저리게 느낄 것이다.쉬워지는 수능으로 인해 내신에 대한 중요성은 갈수록 강조되고 있다. 본지에서는 수학에 미친 사람들(이하 수미사) 중계관 김재성 고등부 강사를 찾아 노원구 관내 고등학교들의 1학년 2학기 중간고사 출제경향 분석과 함께 다가오는 기말고사를 어떻게 준비할 것인지를 들어봤다.1. 서라벌고-객관식 13문항(55점)/서술형 5문항(45점)-18문항 출제출제범위가 다른 학교와 다르게 수1 부등식영역이 포함되었다. 어느 문제집에서나 볼 수 있을 정도로 대표적인 문제가 출제되었고, 비록 1문항이지만 서술형이라 배점이 9점이나 되기에 결코 무시할 수 없다. 작년에도 수1 부등식의 영역에서 서술형으로 1문항이 출제됐다.객관식 6번은 무리함수와 이차함수의 합성인데, 무리함수의 범위를 잡고 이차함수의 성질을 이용해 최솟값을 구하는 문제로 학생들이 풀기에 까다로웠다. 서술형 5번의 경우 이차함수의 역함수, 유리함수, 일대일 대응의 개념을 복합적으로 묻고 있다. 보통의 구간에 따라 나누어진 함수처럼 일대일 대응이 되기 위해 연속적인 함수로 만들면 풀지 못하는 문제였다. 점근선을 잡는 것을 생각하기가 상당히 까다로운 문제였다. 다른 대부분의 문제는 쎈, 일품, 블랙라벨 등의 문제집에서 쉽게 볼 수 있는 문제로 출제되었다.2. 대진고-객관식 14문항(60점)/서술형 5문항(40점)-19문항 출제기본적인 문제부터 심화유형의 문제까지 교과내용을 벗어나지 않게 골고루 출제되었다. 평소 여러 문제집을 다양하게 풀어 왔다면 당황하지 않고 문제를 시간 내에 해결했을 거라 생각된다.서술형 3번에서는 간단한 증명문제가 출제되었는데, 단순 공식만 외우지 않고 꾸준하게 수업노트를 필기했다면 쉽게 해결할 수 있었다. 서술형 4번은 산술기하 평균에 대한 심화유형인데 최댓값에 대한 조건의 이해가 필요하다. 이 문제를 맞힌 학생이 거의 없다고 한다. 서술형 5번은 코시-슈바르츠 부등식에 관한 문제인데, 식의 변형을 이용해서 문제의 조건을 식으로 만들어야 한다. 이 문제는 각종 문제집의 심화유형에서 비슷한 문제가 있었는데 쎈의 C단계, 블랙라벨의 step3 문제도 빼놓지 말고 수업을 들어야 한다.3. 대진여고-객관식14문항(60점)/서답형3문항(15점)/서술형5문항(25점)-22문항 출제타 학교와 다르게 등차 등비수열까지 출제되었다. 전체적인 난이도는 쉬운 편이었고, 조사결과 학생들의 체감난이도 또한 쉬웠다. 그러나 문제 수가 22문항이나 돼 상위권 학생들을 제외하고는 시간이 부족해서 생각보다 고득점을 받기는 힘들었다고 한다. 10번 문제인 합성함수 관련 1문항을 제외하고는 거의 평이한 문제들이었다. 하지만 서술형 문항이 8개로 많은 편이라 시간배분에 신경을 써야 했다. 평소 기출문제를 풀 때 시간을 정해 놓고 푸는 연습이 필요하다.중간고사가 쉽게 출제되어 기말고사는 이보다 어려울 것으로 예상되므로, 기말준비에는 좀 더 많은 심화문제를 다루어 대비하는 것이 필요하다.4. 재현고-객관식 25문항(80점)/서술형 2문항(20점)-27문항 출제문항 수가 너무 많아 검산할 시간이 거의 없지 않았나 생각된다. 작년 기출문제가 상당히 어려웠는데, 올해는 1학기 기말고사까지는 비교적 쉽게 출제가 되었다. 학교에서 이번 중간고사에 대한 공지나 문항 수가 많다는 코멘트가 따로 있었는지는 모르겠지만, 이렇게 출제된다면 평소 꼼꼼하게 심화유형을 풀던 학습방식과 다르게 빠르고 정확하게 계산을 하는 습관도 길러야 할 것 같다.5. 불암고-객관식 15문항(55점)/주관식 7문항(45점)-22문항 출제출제범위가 다른 학교와 다르게 수1 부등식영역이 포함되었다. 하지만 정작 부등식의 영역은 조건제시법으로 주어진 집합의 포함관계 정도로 어렵지 않게 출제되었다.전반적으로는 평이한 문제들로 출제되었지만, 시중 문제집에 있는 문제를 조금 더 어렵게 변형한 문제들도 몇몇 보인다. 객관식 15문항에 서술형 7문항이지만, 서술형 문항의 세부 문제가 많아 전체적 문항 수가 많아져 시간이 부족했을 것 같다. 서술형 6, 7번 문제는 블랙라벨 등 심화문제집을 공부한 학생만이 편하게 풀 수 있는 변별력 문제다.불암고의 시험 난이도가 점차 높아지고 있는 추세다. 교과서와 더불어 쎈수학, 일품, 블랙라벨 등의 문제집들을 꼼꼼하고 내실 있게 풀면서, 고난도 문제를 접했을 때 포기하지 말고 고민해보는 습관을 들이는 것이 필요하다.6. 선덕고-객관식 15문항(70점)/서술형 5문항(30점)-20문항 출제문항 수는 20개로 다소 많아 보이지만 대부분이 평이하게 출제되었고, 학생들이 느끼는 체감 난이도도 많이 쉬웠다. 상위권 학생들은 실수를 했느냐 하지 않았느냐가 1등급을 결정할 것으로 보인다. 1학기에도 중간고사가 많이 쉽게 출제되고, 기말고사가 좀 더 어렵게 출제된 만큼 2학기 또한 그와 비슷한 형태를 유지할 것으로 보인다. 기말고사 범위는 수열과 지수, 로그 파트로 중간고사 범위보다 학생들이 어려워하는 만큼 기말고사가 어렵게 출제된다는 가정 하에 교육청 모의고사 문제도 선별해 연습하고, 심화문제를 많이 풀어보아야 할 것으로 보인다.7. 상명고-객관식 16문항(40점)/주관식 5문항(20점)-21문항 출제대부분의 문제가 어느 문제집에나 있는 평이한 문제들로 출제, 심화문제라고 할 만한 고난이도의 문제는 없었다. 총 문항 수가 21개로 많긴 했지만, 기본 개념을 가지고 조금만 응용을 하면 풀리는 문제가 대부분이었기에 시간은 부족하지 않았을 것으로 보인다. 다만 서술형 3번에서 산술 기하 평균을 쓸 때 등호성립조건을 놓치거나, 객관식 8번의 빈칸 채우기 문제에서 다소 생소할 수 있는 문제로 당황한 학생이 제법 있을 것으로 보인다.내년에도 이렇게 출제가 된다면 너무 어려운 문제집을 푸는 것보다, 정확한 개념을 통해 쉬운 문제부터 점차 어려운 문제로 차근차근 문제해결력을 키워가는 것이 더 도움이 될 것이다.8. 용화여고-객관식 12문항(40점)/서술형 5문항(40점)-17문항 출제수1의 개념이 필요한 문제들이 보이는데, 수1은 고등수학의 기초가 되는 과목이니 절대 소홀히 해서는 안 된다.어렵게 출제된 문제는 객관식 11번으로 함수의 정의가 확실히 잡히지 않았다면 혼동을 줄 수 있는 문제이다. 서술형 1번의 경우 문제오류로 인해 수정되었다고 한다.전체적인 난이도는 중 정도의 수준이나 수1의 개념이 반드시 필요한 문제가 있고, 각 단원의 정의를 잘 알고 있지 않으면 혼동을 줄 수 있는 문제가 출제되어, 체감 난이도는 실제 난이도에 비해 조금 높았을 것이라 생각된다. 기초적인 문제도 출제되었기 때문에 기본개념과 정의부터 익히는 것이 중요하다.9. 영신여고-객관식 15문항(60점)/서술형 6문항(40점)-21문항 출제영신여고는 어려운 문제를 출제하기보다 기본적인 개념을 얼마나 잘 습득하고 있는가를 평가하는 것 같다. 문항 수도 너무 적거나 많지 않게, 문제 출제도 단원별로 치우치지 않게 골고루, 문제 유형도 독특한 문제보다 꼭 알아야 하는 유형의 문제들이 출제되고 있다.너무 어려운 문제집을 푸는 것보다 정확한 개념을 통해 꼭 풀어봐야 하는 필수유형들의 문제들을 차근차근 정리하는 것이 많은 도움이 될 것이다.10. 신일고-객관식 15문항(65점)/서술형 6문제(35점)-21문항 출제객관식 문제들은 대체로 교과서 수준의 문제로, 각 단원에서 알아야 할 핵심적인 문제들로 구성됐다. 서술형 문제들은 1, 2번은 서술방식에 초점을 맞춘 문제로 판단된다. 3번은 좌표평면 위에 좌표를 표현하고 그래프를 그리는 습관이 잘 되어있다면 그리 어렵지 않았을 것이다. 4, 5번은 단 2016-11-03
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전공자들에게 영어로 직접 배우는 북미 수학
‘사고력 수학’, 혹은 ‘서술형 수학’의 비중이 커지면서 일찍부터 수학학원을 찾는 경우가 많다. 특히 학년이 올라갈수록 선행학습과 심화학습에 대한 심리적 부담감이 커지면서 아이들은 오히려 수학에 대한 흥미를 잃어버리거나 혹은 두려움을 갖기도 한다. 수학적 흥미가 없거나 두려움이 있다면 자신의 풀이 방법을 생각해야 하는 사고력 유형에는 더욱 약해진다. 또, 문제유형이나 공식 암기에만 매달리게 되고, 이것이 오히려 수학을 더 멀리하거나 일찍 포기하게 만드는 악순환을 만들게 된다. 아이에게 수학 악순환의 돌파구를 마련해주고 싶다면 단계별로 차근차근 수학적 정의를 이해시켜 수학적 사고력을 키워주는 북미 수학에 눈을 돌려보자. 캐나다나 미국의 수학 학습은 무엇보다 수학에 대한 흥미를 높여주고, 아울러 학습 성취도도 함께 높일 수 있다.굳이 영어로 수학을?“해야 할 것이 너무 많은데 굳이 수학 공부를 영어로 해야 할까요?” 반포 북미 수학 아카데미를 찾는 학부모들이 가장 많이 하는 질문이라고 한다. 많은 사람들이 수학은 유형이나 공식을 암기하거나, 연산을 잘 하면 되는 것, 익숙하고, 정확하게 연습하는 것이라고 여긴다.북미 수학은 한국식 수학 공부를 영어로 진행하는 것이 아니다. 철저하게 각 단계별로 수학적 정의와 개념을 이해하고 그 다음에 이해한 개념과 정의를 문제로 적용해 보는 과정을 거치는 것이다. 캐나다나 미국에서의 수학교육은 풀이과정, 문제에 대해 얼마나 자기 주도적으로 풀었는지 평가하는 주관식 서술형 문제가 대부분이라고 한다. 공식을 암기하거나 비슷한 유형의 문제를 푸는 기술보다는 수학적 정의에 대한 정확한 이해가 있어야만 풀 수 있는 문제들이다. 자신이 풀어봤거나 익숙한 유형의 문제는 금방 풀지만 새로운 유형의 문제를 만나면 당황하는 한국식 수학교육과는 확실하게 차별된다.북미 수학 전공자가 직접 가르쳐반포 북미 수학 아카데미에서는 모든 강사진이 미국이나 캐나다 대학에서 수학이나 이공계 전공을 한 전공자들이다. 박문규 선생님은 미국 퍼듀(Purdue) 대학 수학과 교수 출신으로 15년 동안 미국 대학에서 수학을 강의한 전공자이다.뿐만 아니라 장원태 원장은 캐나다 University of Manitoba에서 수학을 전공했고 캐나다 한인 과학자 협회(AKCSE) 주관 전국 수학경시대회 출제위원으로도 활동했었다. 또 다른 대표 강사 이원진 선생님 역시 워싱턴대학에서 응용 수학을 전공했다. 이원진 선생님은 “한국에서 배워야 할 수학 과정이나 북미에서 배워야 할 수학 과정은 그 내용이 같습니다. 어떻게 배우느냐에 따라 거부감 없이 쉽게 배우고, 또 이것을 학업 성취로 연결 지을 수 있는지가 결정됩니다. 한자어 일색인 수학 개념을 암기하기 보다는 수학적 정의(definition)에 대한 확실한 학습을 할 수 있고, 영어로 더 쉽게 받아들입니다”라고 말했다. 북미 수학 수강생은 주로 국제학교 재학생이나 유학 준비생이 대부분이지만 최근에는 일반 초·중생들이 많이 늘어나고 있다. 수학적 기초가 없거나 혹은 선행이나 심화에서 어려움을 느끼는 경우, 무턱대고 주입식이나 암기 위주의 수학 학습의 대안을 찾는 사람들이 많아지고 있다.경험자들의 진로 컨설팅도 가능해수학뿐만 아니라 AP, TOEFL SAT(Reading & Writing) 전 과정, Science 과정도 개설되어 있다.모든 과정은 외국 명문대 전공자들로 구성되어 있어 실제 해외 유학이나 이공계 진학에 필요한 진로 컨설팅과 현지 적응에 대한 현실적인 상담이 가능하다.모든 수업은 5명 내외의 소규모 수업으로 일방적 강의식 수업이 아니라 토론식(discussion) 수업으로 진행된다. 교재는 미국과 캐나다의 교과서와 교재를 사용한다. 수업 외에는 함께 스포츠를 즐기거나 천문관측 활동 등의 과외 활동도 함께 병행하고 있다.장원태 원장은 “수학은 혼자 할 수 있는 과목이 아니라 옆에서 관리가 필요한 과목이고, 또 주입식이나 기술적 공부가 아니라 이해를 기반으로 해야 하는 과목이다. 아이가 좀 더 쉽게, 어떤 문제 유형에도 흔들리지 않도록 할 수 있는 방법을 제시해 주어야 한다”라고 덧붙였다.
2016-10-31
- 대치동의 새로운 강자, 수학의 제국 예비고1 설명회 최근 대치동 학부모님들 사이에서 가장 핫한 학원으로 인정받고 있는 수학의 제국이 예비고1 설명회를 개최합니다. 개강 전 마지막 설명회, 절대 놓치지 마세요.-수1, 수2 브릿지 프로그램-예비고1 7주 + 8주 특별프로그램-고등 최고 TOP 내신대비 메타시너지 문풀반-마지막 기회!! 수1, 수2 집중완성반-고등 첫 내신의 성공을 위한 프로젝트-강남 주요학교 2016 내신 기출분석-예비고1 최고 강사진 소개- 연사: 김성선 원장- 대상: 예비고1(현 중3) 학부모님- 일시: 1차 11월 3일(목) 1시 2차 11월 4일(금) 1시 3차 11월 5일(토) 3시- 장소: 수학의 제국 대강의실(은마사거리 다이소건물 6층)- 설명회 예약: 02.562.5166수학의제국http://blog.naver.com/empire2016 2016-10-31
- 고등학교에서 올바른 수학 학습법 (1) -예비고1, 고1 고등학교 진학 후 1학년 첫 중간고사를 본 후 내원 상담을 하시는 고1 엄마들의 전형적이 하소연이 있다. “중학생 일 때는 90점대 아래로 받아 본적이 없고, 고등부의 선행도 많이 시킨다고 시켰는데 첫 번째 중간고사에서 수학성적이 4등급을 받았다”는 것이다. 아마 상상도 못했을 것이다. 그리고 기대했던 기말고사도 똑같은 결과를 얻는다.2학기가 되면 새로운 고민이 생긴다. “우리 아이가 이과를 가야하나? 문과를 가야하나?” 대입에서 가장 중요한 과목이 수학인 것을 엄마들도 알기 때문에 수학 과목에 대한 해결법이 없어 고민만 쌓여가는 학부모가 점점 많아지고 있다. 이러한 고민이 생기는 원인을 분석해 보자.1. 중등수학 vs 고등수학; 너무나도 다른 공부 방법 일반적으로 중등부 수학학원의 수업은 문제집에 있는 ‘유형’의 문제를 계속 반복적으로 많이 풀린다. 거의 모든 학원이 그런다고 봐도 무방하다. 나중엔 이유도 모르고 답을 찾을 정도이다. 이 방법이 틀리다고만 할 수 없는 것이 학교에서 수학 시험을 보면 학원에서 공부했던 그 ‘유형’의 문제만 나오기 때문이다. (중학교의 문제는 깊이가 없기 때문이다.) 그러니 좋은 성적을 받는데 부족함이 없다.(잘 생각해 보면 90점대 아이들이 100점을 맞는 것은 쉽지 않다.) 좋은 결과를 얻다 보니 이러한 방법이 옳다고 학생과 엄마는 믿는다. 그리고 ‘고등학교에서도 좋은 결과를 얻을 것’ 이라는 확신을 가지고 진학을 하게 된다. 그러나 고등수학은 완전히 다르다. 교육부의 고등수학의 목표는 ‘수학적 창의력의 신장’이라고 기재되어 있다. 창의력을 강조하고 있다. 그런데 대부분의 예비 고1학생 혹은 현 고1학생들은 아직 중학교 학습법에서 벗어나지 못하고 있다. 무조건 수학문제는 많이 풀고, 유형과 풀이를 암기하기 바쁘다. 심지어 어려운 심화문제는 무조건 외운다. 또한 특정 문제집을 선호하여 반복하여 암기한다. 창의력과는 방향이 완전히 다른 공부를 여전히 하고 있다. 성적이 안 나오는 것은 당연하지 않나? 우리 아이가 아직도 이러한지 신중히 생각을 해볼 시기이다. 대다수의 학교에서는 시중에 있는 유형별 문제집을 많이 풀어봤자 그 유형 외 문제가 4문항이상 출제된다. (심지어 부교재에서도 출제를 하지 않는다.) 여기서 학생들은 당황을 한다. “이건 못 본 문제인데!” 해결법을 찾아내지 못한다. 시간을 아끼기 위해 일단 넘기지만 돌아오지는 못한다. 특히 노원구 어머니들이 좋아하는 쎈, 일품, 블랙라벨에도 없었다. 시험을 못 본 후 “더 많은 문제를 풀어봐야겠다.”라고 잘못된 반성을 한다. ‘유형서’만 풀고는 점수를 기대하지 말아야 한다. 중학교 때 잘못된 버릇을 계속 반복하고 있다. 쎈을 5번 풀었나? 반성하라. “유형”은 스스로 정리하는 것이다.2. 시험대비; 평상시가 시험 기간 고등학교에 올라와 수학성적이 많이 떨어진 학생들을 상담해 보면 시험 준비 기간에 대한 오해가 크다. 중학교 때는 시험 3~4주 전부터 시작을 해도 충분하다. 그런데 더 깊고 많은 학습을 하게 되는 고등학교에서도 공부를 하는데 똑같은 시간을 투자한다. 즉 준비가 덜 된 상태에서 시험을 보게 된다. 고등학교는 3년 내내 시험기간이다. 학원만 다니면서 학원에만 의존하다가는 기대만큼의 성적이 나오지 않는다. 생각해 보라 학교 시험을 누가 출제하는지. 평상시에 학교 수업내용을 정리할 필요가 있다. 같은 수학 단원이라도 학교마다, 선생님마다 중요하게 생각하는게 다르다. 당연히 시험문제도 다르게 출제한다. 그러니 평상시에 선생님이 무엇을 중요하게 수업을 했는지 정리를 해야 할 필요가 있다. 여러분은 한 달 전의 수업이 기억이 나는가? “시험대비는 평상시에 정리하라”3. 무리한 선행; 거북이가 이긴다. “이미 중학교 때 고등학교 수학을 다 했어요” 라고 말하는 엄마들이 많다. 그것도 목에 힘을 주고 말이다. ‘선행을 많이 해놨으니 수학을 잘 하겠지’ 라는 생각을 한다. 선행은 필요하다 하지만 학생의 속도에 맞춰서 진행이 되어야만 한다. 선행을 많이 나간 학생들에게 얼마나 아는지를 물어보면 “선생님만 진도를 나갔어요.” 라고 대답한다. 적당한 선행에 실력도 같이 다지는 수업을 해야만 한다. 심지어 선행수업을 하는 아이들도 그렇게 진지하게 수업을 듣지를 않는다. 선행에 부담을 가진 현 중3이면 미적분1, 기하와벡터가 중요한게 아니라 수학1과 수학2가 더 중요한 시점이다. 예전과는 다른 수학세계에 있다는 것을 잊지 말아야 한다. 지금의 교육과정은 선행보다는 깊이 있고 창의적인 “현행”을 지향한다. 중3때 함수의 개념과 피타고라스, 원, 삼각비가 고등학교 때 왜 많이 쓰이는지를 알아야 한다.“현행이 무너지면 선행은 필요 없다”4. 명확한 개념; 시작은 개념부터“저는 유형서를 많이 풀었는데 시험을 못봤어요” 라고 말하는 학생들이 많다.앞에서 말했듯이 “유형”을 안다고 풀리는 수학은 그 문제집에서 뿐이다. 조금이라도 다르게 출제하면 학생들은 힘들어 하는데 그 이유는 “명확한 개념”이 없어서다. 창의력은 똑똑한 머리에서 나오는 것이 아니라 확실한 개념에서 나온다. 문제를 풀 때 유형을 외워서 푸는 학생과 개념을 이해해서 푸는 학생의 성과는 많은 차이가 난다. 내신보다 모의고사 성적이 떨어지는 학생들이 이러한 잘못된 방법으로 학습을 하고 있다. 특히 2학년 수학부터는 개념이 정말 중요하다. 개념을 확실히 잡은 아이들은 내신과 모의고사와 수리논술에서 모두 뛰어난 결과를 얻는다. “개념정리부터 다시 시작하라”중계동 매쓰플러스수학학원 고등부송광용 부원장 2016-10-27
- 이정환 원장의 고1 수학공부 방법 우리 현실에서 고등학생이 된다는 것은 대학입학이라는 과제에 직접적으로 맞닥뜨리는 것을 뜻한다. 특히 대학입학 전형에서 수시모집의 비율이 매우 높으며 수능 상위권에서 N수생 비율이 높은 것을 고려하면 고1 시기부터 대학입학이라는 입시전쟁에 놓이게 되는 셈이다. 그렇다면 고1이 되는 학생이 입시에서 특히 중요한 비중을 차지하는 수학공부를 어떻게 하는 것이 효과적일까?우선 매 분기별로 학교에서 시행하는 내신시험 준비를 적당히 하지 말아야 한다. 학교에 따라 차이는 있지만 일반적으로 학교 시험의 경향과 수능 시험의 경향이 차이가 나는 것이 사실이다. 수능 시험의 난이도가 전반적으로 높은 편은 아니지만 상위권이 되기 위하여 해결해야 하는 고난이도 문항은 고3이 되어서 단기간의 집중 학습으로 대비하기가 쉽지 않은 것도 사실이다. 게다가 사람은 당장 해결해야 할 과제를 훗날의 과제를 핑계로 미루는 경향이 있는 것도 사실이다. 이런 이유로 학교 시험을 등한시하고, 수시가 어려우면 정시 전형으로 대학을 진학하면 된다는 식으로 자기위안을 삼은 경우가 많아진다. 그런데 이런 생각은 여러 가지 면에서 완전히 잘못된 생각이다.첫 번째로 학교 시험의 경향과 수능 시험의 경향이 차이가 난다고 하지만 두 시험의 교집합의 범위가 훨씬 크다. 한 마디로 학교 시험 결과가 좋지 않은 학생이 수능 성적을 잘 받을 가능성은 매우 적으며 수학의 경우 주로 상위권 대학에서 실시하는 수리논술 시험에서도 마찬가지이다.두 번째로 학교 시험이든 수능이나 논술 시험이든 시험에서 좋은 점수를 받기 위해서 필요한 요소가 있다. 평소에는 어려운 문제를 잘 해결하다가 막상 시험이라는 조건에서는 쉬운 문제도 이른바 실수로 틀리는 경우도 매우 많다. 시험이라는 관점에서는 단순하게 문제를 해결할 수 있다는 것에 그치는 것이 아니라, 주어진 시간에 정확하게 문제를 풀어야 한다. 보통 수능을 앞두고 실전 훈련을 한다고 이런 저런 모의고사를 풀어보는 경우가 많다. 이것은 그 자체로 반드시 필요한 훈련이긴 하지만 고1 시기부터 정기적으로 학교 시험을 충실히 대비하는 것이야 말로 가장 좋은 수능, 논술에서의 실전훈련인 것이다.세 번째로 수능은 잡다하게 많은 것을 아는 것보다는 교과서의 기본개념을 깊이 이해하고, 기본적인 공식이나 계산법도 매우 자유롭게 쓸 수 있는 것이 더 중요하다.그렇다면 도대체 어떻게 학습해야 옳은 것일까?우선 학교 수업의 진도를 기준으로 하여 장기적인 수능학습의 플랜을 만든다. 물론 고1 때부터 배우는 수학에는 수능 시험범위에 포함되지 않는 부분이 있다. 하지만 문과의 경우 수학Ⅰ, 이과의 경우 수학Ⅰ, 수학Ⅱ를 제대로 학습하지 않으면 수능 시험범위의 단원들을 깊게 이해하는 것은 불가능하다. 뿐만 아니라 최근 수능의 경향은 시험범위에 포함되지 않은 부분에서도 교과서 수준의 개념과 문항은 사실상 직적 시험범위라고 해도 과언이 아닐 정도로 출제된다.이렇게 장기적인 학습계획을 만들고 평소에는 수능을 대비한다는 관점에서 차근 차근 기본개념을 깊게 익히는 것을 중심으로 학습하는 것이 좋으며, 많은 문제를 푸는 것보다 기본적이고 핵심적인 개념과 유형을 익힐 수 있는 선택된 문제에 집중하는 것이 좋다. 정리하면, 평소에는 수능을 대비하는 학습을 개념위주로 시험기간에는 내신을 대비하는 학습을 문제의 양을 늘리는 식으로 학습을 한다면 내신과 수능, 논술이라는 두 마리의 토끼를 잡을 수 있는 가장 효과적인 학습방법이라고 할 수 있다.이정스터디 이정환 원장이정스터디 수학원장대치 메가스터디 러셀 수학대표강사이강학원 수학 대표강사연세대학교 대학원 수학과연세대학교 영재원 실장수능/내신수학의 New Leader수능수학 대한민국 대표강사민사고, 하나고, 상산고 전타임 마감강사전 오르비 옵티무스 인터넷강의전국모의고사 출제 및 출판 2016-10-27
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