수학 공부는 기초개념 습득, 여러 유형 연습, 고난도 문제 도전 등의 순서로 이루어진다. 여기서 유형 공부란 ‘센수학’과 같은 문제집을 푸는 것을 의미한다. 고난도 문제는 ‘블랙라벨’ 또는 모의고사 고난이도 기출문제 등을 통해 경험할 수 있다. 각 단계별로 내가 겪었던 시행착오들을 알려주겠다.

기초개념과 공식은 비판적으로!

기초개념을 공부할 때 어쩔 수 없이 마주하게 되는 것이 공식이다. 나는 성격이 급했기 때문에 내가 알아야 할 공식이 무엇인지부터 봤다. 그리고 아무 생각 없이 외웠다. 비판의식 없이 정보를 받아들인 것이다. 그렇게 공부하다 보니 공식을 변형해서 적용해야 하는 문제가 있으면 풀지 못하게 되었다.

가령 등비수열이라는 단원을 처음 배우면 다음 등비수열의 합 공식을 보게 된다.

(a) * (r^n-1)/(r-1)  

하지만 생각 없이 공식을 외우다 보니 2^2 + 2^3+ ..... + 2^n 과 같은 계산에서 막히게 되었다. 공식에 등장하는 n의 의미가 정확히 무엇인지 몰랐기 때문이다. 나는 결국 등비수열 합 공식의 유도과정을 읽어보게 되었고 마침내 n이 ‘더해지는 항의 총 개수’ 라는 것을 알았다.

2^2 + 2^3+ ..... + 2^n 는 항의 개수가 n-1개 이므로 공식에서 n 대신 n-1을 대입했어야 하는 것이다.

이후 나는 모든 공식을 직접 증명해본 뒤 암기했다. 교육과정을 넘어서는 것들을 제외하곤 모든 개념을 철저히 분석했다. 꼼꼼하게 원리를 파악하자 누구보다 개념에 자신감을 가지게 되었다.

유형 문제를 풀 때는 반드시 힌트를 가려라!

개념 습득이 이루어졌으면 문제를 풀어보아야 한다. 센수학 같은 문제집을 풀면 문제들이 친절하게 여러 유형으로 나누어져 있다. 그리고 각 유형마다 이름과 푸는 방법이 소개되어있다. 나는 우선 그 유형을 푸는 방법을 읽어봤다. 그러면 문제가 매우 잘 풀렸다. 내가 수학을 잘해졌다는 착각에 들게 되었다. 하지만 나중에 다시 비슷한 문제를 보면 풀지 못했다. 원인은 유형 암기에 있었다.

유형의 소개는 문제에 대한 힌트다. 힌트를 보고 문제를 푸니까 실력이 정체되는 게 당연하다. 마치 헬스장에서 역기를 드는데, 누가 옆에서 같이 들어준 꼴이다.

고2 때부터 나는 유형 문제를 풀 때, 유형을 가리고 풀었다. 그렇게 공부를 시작하자 센수학 B단계 문제를 푸는 데도 너무나 오랜 시간이 걸렸다. 보통 아이들은 여기서 ‘시간이 너무 올래 걸리니까 잘못된 방법일 것이야’ 라고 생각한다. 하지만 공부에 왕도는 없다. 나는 내 방식이 옳다고 믿었고 많은 시간을 투자했다. 끙끙 앓으며 문제에 도전하니 점점 속도가 붙기 시작했고, 2회 독을 할 때는 모든 문제를 손쉽게 풀 수 있었다.

고난도 문제는 투쟁이다!

수학을 잘했던 사람들에게 물어보면 공통적으로 가지고 있는 한 가지 경험이 있다. 바로 한 문제를 몇 날 며칠 고민하고 풀어낸 적이 있다는 것이다. 상위권이 되려면 문제와 씨름하고 투쟁하는 자세를 가져야 한다. 문제의 해답을 보는 순간 그 문제를 못 푼 것과 똑같기 때문이다.

대부분의 학생들은 어려운 문제가 조금만 안 풀리면 답지를 본다. 나 또한 그런 습관이 있었다. 그러나 실력이 늘지 않는다는 느낌이 든 이후로는 모든 문제를 붙잡고 늘어지는 연습을 했다. 하지만 수학만 할 수는 없지 않은가? 다른 과목도 공부해야 한다. 따라서 문제당 짧게는 10분, 길게는 한 시간씩 매달렸다. 한 시간을 쪼개서 십분 씩 여섯 번 투자한 적도 있다. 다양한 방법으로 끝없이 투쟁하니 못 풀 것 같던 문제들이 하나둘씩 풀리기 시작했다. 처음엔 그 양이 매우 적었지만 점차 눈덩이처럼 불어났다. 마침내 수학을 잘 푸는 사람이 되었다.

무엇보다도 ‘나도 어려운 문제를 풀 수 있는 사람이구나’ 라는 자신감을 얻은 것이 가장 소중한 결과라 할 수 있다.

열심히 달려도 이상한 길로 가면 아무 소용이 없다. 올바른 길로 가야만 한다. 방향 설정이 잘못되면 시간 투자는 무의미하다. 독서실에서 5시간 동안 수학 문제를 풀어도, 학원을 열심히 다녀도 만년 제자리일 수 있는 것이다. 어떻게 공부하느냐가 매우 중요하다.

생각 없이 시간을 버리면 안 된다. 어떤 방식으로 문제를 풀어야 머리가 좋아지고 실력이 느는지 끝없이 고민하고 연구해야 한다.

수학 공부에 왕도가 없다는 것을 깨닫는 순간 역설적이게도 지름길이 보일 것이다. 그 길이 보일 때까지 투쟁해보자!

일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장

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