추론과 이해
중요한 내용의 맥락에서 추론하기와 이해하기에 초점을 두면 학생들은 수학적 절차를 정확하게 수행할 수 있고 그런 절차를 수행하는 이유를 알 수 있으며,그런 절차를 사용하는 방법과 그 결과를 해석하는 방법을 알 수 있게 된다. 이런 이해를 통해서 학생들은 생활을 위한 수학, 직업을 위한 수학, 과학기술 공동체를 위한 수학의 세 영역에서 수학적 관점, 개념, 도구를 융통성 있게 적용하는 능력을 신장하게 된다.
추론하기와 이해하기에 초점을 둔 고등학교 교육과정은 전문적, 직업적, 또한 기술적인 어떤
요구에 대해서도 학생을 준비시키면서 과학자, 공학자, 수학자에게 요하는 늘어난 조건을 충족시킬 수 있다. 최근의 연구 결과에 의하면 학생들은 평생 동안 직업을 여러 번 바꾸어야
하고 아직은 생기지도 않은 여러 직업을 미래에는 갖게 될 것이라고 한다. 수학은 재정, 광고, 변론, 스포츠저널 등 다양한 분야의 직업에서 점점 더 필수적이고 중요해지고 있다. 인터넷의 출현으로 거대한 양의 자료를 손쉽게 처리할 수 있도록 하는 수학, 통계학과 관련된 새로운 직업이 폭발적으로 생겨났다.

추론하기와 이해하기란?
보편적으로 추론하기란 증거 또는 정해진 가정에 기초하여 결론을 이끌어 내는 과정으로 생각
할 수 있다. 추론하기는 모든 교과의 중요한 부분이기는 하지만 수학에서 특별하고 중요한 역할을 한다. 수학에서 추론하기란 주로 가정과 정의로부터 논리적으로 결론을 연역해내는 형식적 추론, 즉 증명을 포함하는 것으로 생각한다. 그러나 수학에서 추론하기는 비형식적 설명이나 정당화에서부터 형식적인 연역뿐만 아니라 귀납적 관찰까지 다양한 형태로 나타날 수 있다. 추론하기는 종종 탐구, 다양한 수준에서 추측, 잘못된 출발, 결론에 도달하기 전의 부분적인 설명으로 시작된다.
이해하기는 상황의 이해, 맥락의 이해, 또는 그것을 기존의 지식과 연결한 개념의 이해가 발생하는 것으로 정의한다. 일반적으로 ‘이해하기’는 비형식적인 쪽에, ‘추론하기’는 특히 ‘증명’은 형식적인 쪽에 치우쳐 있다고 생각하지만 실제로는 추론하기와 이해하기는 비형식적 관찰에서부터 형식적 연역에 이르는 과정에서 서로 얽혀 있다.
형식적 추론은 많은 관찰에서 공통요소를 찾고 그 공통요소가 예전에 경험했던 상황들과 어떻게 연결되는지 깨닫는 이해에 바탕을 두고 있다. 반면 좋은 증명은 무엇이 증명되고 있는 지를 이해하도록 도와준다. 그런 증명은 참이라는 것뿐만 아니라 왜 참인지도 알게 해준다. 이해가 깊어짐에 따라 형식적인 요소와 점점 더 많이 결합되어 간다.

왜 추론하기와 이해하기인가?
수학의 과정-문제해결, 추론과 증명, 연결성, 의사소통, 표현-은 수학적 이해와 추론의 작용으로 명확해진다. 문제해결과 증명은 추론 없이는 불가능하고, 그 둘은 학생들이 수학적 추론 능력과 수학적 아이디어를 이해하는 감각을 기르는 통로이다. 학생들이 선택한 의사소통, 연결성, 표현은 반드시 추론과 이해를 지지하고, 그런 결정을 할 때는 추론이 사용되어야만 한다.

증명은 이해를 바탕으로 만들어진 형식적 추론의 의사소통으로 수학적 사고의 중요한
결과물이다. 증명은
①특별한 수학적 결과가 왜 참인지를 설명한다.
②자신의 추론과 다른 사람의 추론이 타당성을 평가하기 위해서 필요한 기술을 제공하므로 자발적인 학습을 개발한다.
③연결성을 밝혀주고 수학의 근본적인 구조에 대한 통찰력을 제공한다.
증명의 형식에 관계없이 학생들은 이전의 학습과 연결하고, 생각을 확장하며, 명확한 표현력을 기르고, 반성을 고무시키는데 형식적인 추론을 사용할 수 있다.

고등학교 수준에서 추론하기와 이해하기는 매우 중요한데도 불구하고 역사적으로 추론하기는 고등학교 교육과정의 몇몇 영역에서만 제한되어 왔고, 이해하기는 많은 경우에 전혀 없었다. 그러나 학생들에게 추론하기와 이해하기를 강조하면 수 감각, 대수적 유창성, 함수의 관계, 기하적 추론, 통계적 사고가 발달되는 방향으로 그들의 지식을 조직화 하는데 도움을 준다.
학생들은 새로운 정보가 단순히 독립된 절차의 목록처럼 표현되었을 때보다는 새로운 지식을
자기가 알고 있는 지식과 연결할 때 그 내용을 더 잘 이해하고 기억한다.
‘이전에 배운 개념이나 기술을 새로운 주제에 연결시킬 수 있는 네트워크가 없기 때문에 새로운 주제를 배우기는 점점 더 어려운 일이 된다.’에서 보듯이 이러한 개념적 이해가 없으면 그 과정을 학습하자마자 곧바로 잊어버릴 수 있음을 의미한다. 추론하기와 이해하기에 다시 초점을 맞추면 이해력을 높여주고 의미를 키워나갈 수 있다.

일산 국어수학전문 올가일학원
김상건 수학원장
문의 031-923-1218

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