특목고 첫 수학 시험에서 맛보는 좌절감
상위권 학생들은 중학 수학 시험에서 두 개 이상만 틀려도 실망한다. 그런데 외고나 국제고 첫 수학 시험에서 5,60점대 성적을 받고는 망연자실해 하는 학생들이 많다. 그래도 이것은 나은 경우이다. 수학 성적 평균이 40점대에 불과한 경우 한 반 40명중 15명은 30점 이하, 10명은 4,50점을 맞는다. 마음을 다잡고 두 달동안 열심히 해보지만 다음 시험에서도 제자리걸음이다. 2학기 중간고사도 그렇고 기말고사도 마찬가지다. 이제 더는 어찌해볼 수 없는 지경이 되어 허우적댄다. 

한 두 문제 차이로 등급이 갈리는 일반고 수학 내신
일반고에 진학했다고 방심할 수 있는 것은 아니다. 최고난이도 문제가 2,3문항씩 출제되고 전체적인 난이도가 중학교에 비해 대폭 향상되므로 대다수 학생들이 정해진 시간 안에 문제 풀이를 완료하지 못한다. 한 두 문제 차이로 1,2,3등급이 갈린다. 게다가 일년에 두 번 치르는 수능 모의고사는 더 높은 응용력이 필요하므로 도저히 감당할 수 없다. 그러기에 70%의 학생들이 수포자가 되어 버리는 것이다.

 
문제 풀이 테크닉에만 매달리는 수학 공부 습관
열심히 하는데도 불구하고 수학 성적이 안 나오는 이유가 무엇인가? 일방적 주입식 강의로 배운 문제 풀이 방법을 단순히 반복하고만 있기 때문이다. 이런 방식으로는 생각하는 힘을 키울 수 없으므로 문제가 조금만 변형되어도 대응하지 못한다. 잘 안 풀린다고 곧 포기하여 해답을 보거나 선생님께 질문하거나 하는 식으로는 절대로 응용력을 키울 수 없다. 수업 시간에 학생들의 질문에 대해 문제를 다시 세심하게 읽어보라고만 시켜도 풀이 방법을 바로 떠올리는 경우를 많이 본다. 한 두 개 힌트를 주면 어렵지 않게 정답에 이르기도 한다. 

유형별 풀이법 암기하는 식으로는 끝이 없어
단원별 기본 원리는 많아야 4,5개씩이니 이과생의 경우도 고3까지 많아야 300개 이하만 알면 된다. 그런데 기본 원리는 제쳐두고 거기서 파생되는 문제 유형별 풀이 방법을 하나씩 따로 따로 외우는 식으로 하다 보면 원리 한 개당 5개씩만 잡아도 1500개가 된다. 여기서 끝나는 것이 아니다. 문제가 조금만 변형되어도 새로운 해법이 또 하나 추가되어 외워야 할 것이 늘어난다. 따라서 금방 2000개가 되고, 3000개, 4000개,… 한없이 늘어난다. 더구나 내신 수학에서 끝나는 것이 아니다. 수능 수학, 수리 논술 식으로 끝도 없이 새로운 유형의 수학 문제를 외워야 한다. 

한 개의 원리로 100문제를 해결하는 방식  
결국 내신, 수능, 수리 논술을 꿰뚫을 수 있는 원리와 이론 중심의 공부만이 유일한 해법이라 할 수 있다. 100문제에 100개의 풀이 방법을 따로 암기하는 것이 아니고, 한 개의 원리와 이론으로 100문제를 해결하는 공부 방법이 필요한 것이다. 무엇을 해결하기 위해 해당 원리가 나오게 된 것인지 곰곰이 생각해보고, 그 원리에서 파생되는 주요한 법칙이나 공식은 반드시 스스로 증명해봐야 한다. 이것을 통해 수학자들이 밟았던 사고과정을 따라할 수 있다. 이러한 과정을 생략한 채, 결과로서 나온 공식을 암기하여 문제 푸는 것을 아무리 되풀이해도 절대로 응용력은 생기지 않는다.

한 문제를 10분, 20분 곰곰이 생각해봐야
일방적 주입식 강의로 알게 된 것은 금새 잊어 버린다. 더욱 근본적인 문제는 이런 방식으로는 생각하는 힘을 키울 수 없다는 점이다. 이리 저리 궁리해보고 앞서 공부한 비슷한 문제를 찾아보며 10분, 20분, …, 고민해봐야 한다. 그래도 안되면 잠시 쉬었다가 생각을 더 밀고 나간다. 그러다가 결국 도달하는 곳이 수학의 원리이다. 대부분의 응용문제는 단순 공식 적용이나 기존에 풀어봤던 문제를 약간 변형해놓은 것이 아니다. 가장 밑바닥에 있는 수학의 원리로 내려가서 재구성해야 풀리게끔 되어 있다. 이것이 바로 고등수학의 딥 러닝(Deep Learning)이다. 내신 수학, 수능 수학, 수리 논술 정복은 이러한 사고과정이 쌓여서 얻어지는 것이다.

일산 고등부 수학전문학원 베리타스룩스메
최재용 원장

서울대 졸업
24년간 대입수학 지도

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