춘천시매쓰와 함께 하는 재미있는 수학이야기

왜 음료수 캔은 윈기둥 모양일까?

음료수 진열장을 들여다보면 음료수 캔은 대부분 원기둥 모양을 하고 있는 것을 볼 수 있습니다. 삼각기둥이나 사각기둥 모양 등 여러 가지 형태로 만들 수도 있을 텐데 하나같이 원기둥 모양인 이유는 무엇일까요?

우리 주변의 음료 제품들은 그 안에 들어가는 액체를 생산하기 위해 들어가는 비용보다 그 용기를 제작하는 데에 약 3배 정도의 비용이 든다고 합니다. 따라서 회사에서는 적은 재료를 이용하여 많은 용기를 만들어 이윤을 얻으려고 합니다.

같은 부피를 갖는 입체도형 중 겉넓이가 가장 작은 것은 구이지만 안정적으로 세우기 어렵기 때문에 불편하다고 합니다. 안정적으로 세우기 위해 음료수 캔을 각기둥 모양으로 만든다면 캔을 잡았을 때 감촉도 좋지 않고 뾰족한 꼭짓점과 모서리가 쉽게 상하여 상품 가치를 떨어뜨리게 됩니다. 따라서 유통이 용이하여 모서리 손상을 최소화 할 수 있는 모양인 원기둥이 캔으로 가장 적합합니다.

원기둥 모양의 캔 안에는 더욱더 신비한 원리들이 숨어 있습니다. 캔의 밑바닥을 보면 아치형을 이루고 있습니다. 하지만 참치 통조림의 경우 밑바닥이 평평합니다. 이는 캔 안에 기체를 포함하는 가에 문제와 관련되어 있습니다. 특히 탄산음료의 경우 이산화탄소의 창으로 인한 폭발을 막기 위해 캔의 밑바닥을 아치형으로 만들어야 합니다.

또한 삼각지둥이나 사각기둥으로 만들었을 때보다 원기둥 모양의 캔이 재료가 적게 들어갑니다. 만약 밑넓이가 100㎠로 모두 같고 밑면이 정사각형, 정삼각형, 원 모양인 음료수 캔이 있다고 한다면 부피는 밑면의 넓이와 높이를 곱한 것이므로 밑면의 넓이와 높이가 같으면 세 가지 기둥에 담긴 내용물의 부피는 같습니다. 기둥의 옆면의 넓이는 밑면의 둘레와 높이의 곱이므로 밑면의 둘레가 가장 작은 도형이 옆면의 넓이가 가장 작아져서 쓰인 재료의 양이 가장 적어집니다. 그럼 각각의 밑면의 둘레를 구해 볼까요?

➊ 정사각형의 한 변의 길이를 □cm라 하면 □×□=100(㎠)이므로 □=10, 10cm입니다. 따라서 둘레는 10×4=40(cm)입니다.

➋ 정삼각형의 한 변의 길이를 △cm라 하면 △×△×1.732÷4=100(㎠)이므로 △는 약 15.2cm입니다. 따라서 둘레의 길이는 15.2×3=45.6, 약 45.6cm입니다.

➌ 원의 반지름 길이를 ○cm라 하면 ○×○×3.14=100(㎠)이므로 ○는 약 5.64cm입니다. 따라서 둘레의 길이는 5.64×2×3.14=35.42, 약 35.42cm입니다.

앞에 말했듯이 밑면의 둘레가 가장 작으면 옆면의 넓이도 가장 작아지므로 원기둥일 때 옆면의 넓이가 가장 작습니다. 즉 같은 넓이일 때 용기의 재료를 가장 적게 사용하기 위해서는 밑면을 원모양으로 만들어야 합니다.

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