하나. 논증기하를 꼭 공부해야만 하는가? - 중등

기하는 크게 두 가지로 분류해 볼 수 있다. ‘논증기하’와 좌표개념을 도입한 ‘해석기하학’이 확립하였고 미적분학이 발견됨에 따라 미분기하학으로 발전하였다. 사실 논증기하라는 말은 해석기하가 나오면서 그와 대비시키기 위해 ‘논증기하’라는 말이 생긴 것이다. 방정식이나 함수 같은 다른 개념들을 도입하지 않고 오직 점과 직선들의 관계로만 공리를 구성하고 정리를 만들어 가는 기하학을 말하는데 많은 학생들은 이런 논증기하를 불필요하다고 생각하거나 고등수학의 계륵(鷄肋)과 같은 존재로 여기는 듯하다. 고학년이 될수록 교육과정에서 직접적으로 배우지 않다보니 따로 공부를 할 시간적 여력도 없고 가끔 출제되는 기하 응용문제를 만나면 수험생들은 체감 난이도가 높았다고 생각하는 경향이 나타난다.

사실 논증기하가 수학의 계륵과 같은 존재가 아니다. 오히려 수학문제를 심화시키는데 반드시 알아야 하는 필수적인 과정이다. 도형을 보고 어떻게 보조선을 그을 것인가, 어떻게 회전을 시켜볼 것인가, 어떤 축을 중심으로 대칭을 시켜볼 곳인가의 다양한 아이디어가 문제를 해결하는 관건이라면 이러한 발상능력은 하루아침에 길러지는 것이 결코 아니다. 여러 개념이나 정리를 단순 암기하는 것이 아닌 반드시 증명의 과정을 집요하게 추적하고 스스로의 힘으로 발상하는 훈련을 해야 문제를 푸는 아이디어를 얻게 될 것이다.

이제 ‘논증기하를 꼭 해야 하나?’ 라는 고민은 그만하도록 하자. 시험의 부담이 적은 방학기간을 이용하여 도형을 보는 안목과 논리적인 사고를 키워본다면 막막했던 도형 문제에 한층 자신감이 생기게 될 것이다.

둘. 문제와 증명은 다르지 않다 - 고등

거의 모든 수업에서 근원적인 원리, 개념, 증명을 놓치지 않고 집요하게 설명하고 있으면 학생들의 반응은 크게 두 가지로 나뉜다. 한 부류는 ‘우와 신기하다.’ ‘아! 저게 저렇게 되어서 나타난 공식이구나.’의 반응과 ‘문제만 잘 풀면 되지 왜 굳이 힘들고 복잡하게 증명까지 다 해야 하나’의 서로 엇갈린 반응인데 대게 많은 학생들이 문제를 푸는 것에 비해서 증명이 어렵다고 말한다. 실제로, 문제 풀이를 보는 것보다 증명을 보는 건 확실히 어려운 것같이 느껴지고, 특히 그 의미를 알 수 없는 많은 미지수들이 머리를 복잡하게 하고, 더욱이 증명은 시험에 나오지도 않으니 수학 공부에서 배제 대상 첫 번째다.

하지만, 고등학교 이하에서 다루는 수학의 증명은 논리적 사고능력과 ‘이런 생각들이 정말 맞는 것일까?’의 시간을 투자해 책을 읽는 노력만 있으면 이해하는 데에는 큰 문제가 없다. 대개 교과서 / 참고서의 보기나 예제 문제를 살펴보면 증명에 ‘숫자만 대입’한 것임을 쉽게 알 수 있다. 그런데 수능이나 모의고사에서 다루는 상당수의 문제는 응용문제이기 때문에 증명문제가 직접적으로 출제되지 않는다고 생각할 수 있다. 그러나 증명 과정에서 사용된 많은 기법들이 응용문제에 그대로 녹아서 사용되고 있다. 예를 들어 직선의 방정식에서 여러 종류의 직선의 방정식을 배웠는데, 그 방정식들을 유도하는 과정에서 나온 여러 기법들은 실제 문제에서 등장하고 있다. 이런 예들을 수도 없이 많지만 많은 학생들이 문제를 풀 때 관심을 기울이지 않거나 해설지에 적혀 있는 풀이만을 단순히 외워서 풀기 때문에 그 안의 의미와 아이디어를 전혀 떠올리지 못한다. 따라서 증명을 확실히 이해하고 직접 증명할 수 있는 능력을 기르면 문제를 푸는 능력 향상을 기대할 수 있다.

셋. 수능에서 측정하고자 하는 수학적 사고력의 분류

1. 계산 능력
연산의 기본 법칙이나 성질을 적용하여 주어진 식을 간단히 하는 능력
수학의 기본적인 공식이나 계산법을 적용하는 능력
수학의 전형적인 풀이 절차를 적용하는 능력
2. 이해 능력
문제에 주어진 수학적 용어, 기호, 식, 그래프, 표의 의미와 관련 성질을 알고 적용하는 능력
주어진 문제와 관련된 수학적 개념을 파악하고 적용하는 능력
교과서에 나오는 기본 예제 문제나 정형화된 응용문제를 해결하는 능력
주어진 문제 상황을 수학적으로 표현하는 능력
수학적 표현(용어, 기호, 식, 그래프, 표 등)을 교환하여 표현하는 능력
3. 추론 능력
①발견적 추론 능력
나열하기, 세어보기, 관찰 등을 통해 문제 해결의 핵심 원리를 발견하는 능력
유추를 통해 문제 해결의 핵심 원리를 발견하는 능력
②연역적 추론 능력
수학의 개념 원리 법칙을 이용하여 참인 성질을 이끌어 내거나 주어진 명제의 참 거짓을 판별하는 능력
주어진 정의를 이해하고 참인 성질을 이끌어 내는 능력
반례를 들어 주어진 명제가 거짓임을 판단하는 능력
증명능력

4. 문제 해결 능력
①수학 내적 문제 해결 능력
두 가지 이상의 수학적 개념, 원리, 법칙의 관련성을 파악하고 종합하여 문제를 해결하는 능력
두 단계 이상의 사고 과정을 거쳐서 문제를 해결하는 능력
②수학 외적 문제 해결 능력
실생활 상황에서 관련된 수학적 개념 원리 법칙 등을 파악하고 이를 적용해서 문제를 해결하는 능력
타교과의 소재를 사용한 상황에서 관련된 수학적 개념 원리 법칙 등을 파악하고 이를 적용하여 문제를 해결하는 능력

글 : 그수학학원 원장

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