용수학 김용신 원장
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 영국의 수학교육학자인 리처드 스켐프는 수학의 이해를 크게 관계적 이해와 도구적 이해로 구분하고 관계적 이해를 통한 지적학습 이론을 전개한다. 여기에서 제시한 학습법은 현재 수학공부에 흥미를 잃고 지쳐있는 많은 학생들과 좀처럼 최상위권으로 진입하기 어려운 학생들에게 많은 도움이 될수있다고 생각하여 이 이론을 소개하기로 한다. 아울러 전문적인 용어를 가급적 쉽게 풀어쓰고 우리나라 입시수학에 적용할 수 있는 방안을 모색해보기로 한다.

관계적이해와 도구적이해를 간단히 설명하자면 이렇다.
 관계적이해 : 원리를 탐구하여 공식이나 규칙을 유도할 수 있고 왜 그러한 공식이 만들어 지게 됐는지 이해 할 수 있고 여러 가지 개념을 서로 유기적으로 연결하여 그물망처럼 촘촘한 자신의 지식체계를 구축 할 수 있는 상태
도구적이해: 개념과 원리에 대한 이해 없이 공식이나 문제해결절차(알고리즘)를 외워서 답을 계산해 내기는 하지만 문제가 변형되면 풀지 못하는 불완전한 수준의 이해
 예를 들어 중3 과정에 나오는 이차방정식문제를 푸는 과정을 비교해보자 A학생은 이차방정식의 근의 공식의 유도과정에 대한 이해 없이 근의 공식을 외워서 문제를 푼다고 하자 아무리 계수가 복잡해도 답을 계산해 내고 또한 짧은 시간 안에 많은 문제를 척척 풀어낸다고 해도 이 학생은 도구적 이해를 하고 있다고 볼 수 있다. B학생은 처음부터 근의 공식은 모르지만 이차방정식을 완전제곱형태로 변형시켜가며 푸는 과정에서 근의 공식에 대한 아이디어를 이해하고 유도 할 수 있으며 너 나아가 이차함수와의 관계를 통해 실근의 의미, 판별식의 의미, 근과 계수와의 관계 등으로 개념을 연결 지을 수 있다면 관계적 이해를 했다고 볼 수 있다. 이외에도 관계적 이해와 도구적 이해의 예는 수학공부 전반에 걸쳐 많은 예를 찾을수 는 있지만 지면관계상 줄이고 선행학습과 관련하여 잠시 후술하기로 한다. 

관계적으로 이해된 수학은 다음과 같은 장점이 있다.
1. 보통 신유형 이라 불리는 새로운 문제에도 당황하지 않고 적응이 빠르다.
 수능을 예로 든다면 보통 4점짜리 문제는 관계적 이해를 요구한다고 볼 수 있겠다.
 어느 문제집에서도 보지 못한 문제일 것이다.(여기에 한 가지 첨언하자면 요즘 수능문제가 EBS교재에서 출제된다고 하는데 수학은 연계성이 많이 떨어지고 특히 4점짜리 문제는 전혀 해당되지 않음을 명  심해야 한다.) 이 문제들을 어떻게 공략하느냐에 따라 최상위권으로의 진입여부가 결정된다. 
2. 학습된 내용이 기억하기 쉽고 더 오래간다.
  유기적으로 연결된 지식체계는 쉽게 잊혀 지지 않으며 설령 공식을 잊었다 해도 바로 유도 할 수 있으므로 자신의 수학적 능력에 대한 자신감으로 이어진다.
3. 수학공부의 근본적인 목적에 부합하는 공부방법이다.
 수학공부의 근본적인 목적은 단순히 지식을 모으는 것이 아니라 모은 지식을 적절히 활용하여 자연현상과 사회현상을 수학적인 안목으로 바라 볼 수 있는 힘을 기르고 논리적인 사고를 갖게 하는데 있다.   이러한 목적은 출제원리에도 그대로 반영된다.
4. 비효율적인 공부 방법으로 보이지만 수학 공부량이 늘어나면 대단히 효율적인 학습법이 된다.
 수학을 도구적으로 이해하게 되면 수학을 공부하면 할수록 어려워지는 증상이 나타난다. 원리를 모르고 문제해결절차만을 익히게 되어 유형별로 암기해야할 풀이법이 계속 늘어나는 것이다. 고학년이 되   면서 수학을 포기하는 학생들이 늘어나는 이유이기도 하다. 그러나 관계적으로 이해된 수학은 공부를 하면 할수록 서로 별개로 알고 있었던  지식이 서로 통합되면서 간단명료해지는 특징을 가지고 있다. 
 더 많은 장점이 있지만 여기까지 살펴보기로 한다. 물론 도구적으로 이해되는 수학을 완전히 부정 할 수는 없다. 

도구적으로 이해된 수학은 다음과 같은 장점이 있다. 
1. 공식을 이해하지 않고 단순 암기하고 문제에 바로 적용하는 방법을 배우기 때문에 정답을 빨리 찾아 낼 수 있다. 원리를 이해해야 한다는 심리적인 부담이 적으므로 가르치는 사람이나 배우는 학생 모두 그 순간은 행복(?)하다.   
2. 적은 지식으로 소위 기본은 할 수 있으므로 하위권 학생들에게 수학에 대한 자신감을 심어 줄 수 있다. 
 위의 장점을 단순 비교해 봐도 관계적인 이해를 추구하는 학습법이 바람직하다고 보여 지며 가르치는 입장에서는 관계적으로 이해하도록 해야 함은 자명해 보인다. 그러나 사교육과 공교육을 막론하고 대부분은 학생들을 도구적으로 이해되도록 가르친다. 이글을 읽는 학부모님들이 학창시절 받아왔던 수학교육은 지금도 진행 중이며 근래에는 사교육에 의존한 선행학습을 통하여 이런 현상은 더욱 고착화 되고 있는 실정이다. 

다음 기고에는 도구적이해가 주류를 형성하게 된 원인을 짚어보고 수학성적의 향상을 위하여  도구적이해의 장점을 흡수하면서 관계적이해로의 전환을 위한 현실적인방안을 제시하고자 한다.

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