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• 노원구 지역 고교 고1 수학 서술형 분석 서울시교육청은 과정 중심 평가를 확대하기 위해 중·고교 중간·기말고사의 서·논술형 평가와 수행평가 합의 비율을 50% 이상으로 권고하고 있다. 중등과 고등의 수학 문제는 같은 서술형이라도 스타일이 완전히 다르다. 중등의 서술형은 많이 봐서 알고 있으면 풀 수 있지만 고등은 심화에 응용을 더한 경우로 스스로 문제를 해석하는 능력이 있어야 해결이 가능하다. 따라서 중3이라면 현재 자신의 실력을 객관적으로 가늠해보고 그에 따라 지망하는 고교의 내신 유형을 미리 살펴보는 전략적 접근이 필요한 때이다. 우리 지역 고교들의 고등 1학년 공통수학 서·논술형 비율과 출제경향을 파악해 보고 중학 때부터 서술형을 탄탄히 준비할 수 있는 공부법에 대해 알아보았다.도움말 : 수와식학원 김한주 원장, 이투스수학학원 중계캠퍼스 차민준 원장참고 : 학교알리미 사이트 ‘교과별(학년별) 평가계획에 관한 사항’(공시년월 : 2019년 4월)대진고, 불암고, 혜성여고 서술형 비율 50%로 최고우리 지역 고교들의 수학 서술형 비율을 살펴보면 최고 50%에서 0%까지 다양하다. 하지만 수행평가 비율과 합산하면 모든 고교가 50% 이상이고 상명고, 선덕고는 60%나 된다.(표1 참조) 말 그대로 이제는 답만 맞으면 되는 것이 아니라 답이 나오게 된 추론 과정을 평가받는 시대가 된 것이다.또한 서라벌고, 선덕고, 청원고, 청원여고, 혜성여고는 서술형 한 문제당 평균 배점이 10점이다.(표2 참조) 따라서 객관식을 다 맞혀도 서술형에서 점수를 내지 못하면 상위 등급은 요원한 일이 된다. 더군다나 선덕고, 청원고, 혜성여고는 선지를 통해 답을 고르지 못하도록 단답형을 20%씩 포함하고 있기 때문에 실제 서술형의 비율은 더 높다.‘수와식 학원’ 김한주 원장은 “최근 우리 지역 고교들의 내신 문제는 전체적으로 상향평준화되고 있는 추세입니다. 서술형 비중이 높아진 것뿐만 아니라 킬러 문항이 반드시 2~3문제씩 등장하고 계산이 복잡하도록 이중 삼중 꼬아 놓은 문제들이 출제되고 있습니다. 개념이 확실히 잡혀있더라도 속도가 빠르지 않으면 시간 내에 풀기가 쉽지 않습니다. 문제를 보자마자 어떻게 풀지 알아야 하고 식도 계산량을 줄이는 풀이법으로 충분히 연습이 된 경우라야 1등급이 가능합니다”라고 한다. 서술형을 감점 없이 맞췄다는 것은 개념이 완성되어 있다는 이야기다. 여기에 속도가 더해져야 안정적 1등급을 바라볼 수 있겠다.선덕고, 자운고, 재현고 수행평가 비율 50%로 최고객관식과 단답형으로만 지필을 치렀던 선덕고도 올해부터 서술형 2문항 배점 20점을 추가했다. 그리고 수업참여도 20%, 문제해결력평가 10%, 개인연구과제 20%로 50%를 수행으로 평가한다. 재현고는 서·논술형 비율이 0%이지만 지필고사 시 서·논술형 3문항을 객관식과 함께 시험보고 수행으로 포함시켜 평가한다.여기에 문제풀이 과제보고서 20%, 주제탐구보고서 10%까지 총 50%가 수행이다. 이처럼 내신 평가 방식이 빠르게 바뀌고 있는 것에 비해 아직까지 문제풀이식 선행학습을 최선으로 생각하는 경우가 많다. 이투스수학학원 중계캠퍼스 차민준 원장은 “우리 지역에서는 문제집을 몇 권 뗐다, 미적분을 몇 번 돌았다 등이 그 학생의 능력인 것처럼 회자되는데 중요한 것은 ‘얼마만큼 했나’가 아니라 ‘어디까지 풀 수 있나’입니다”라며 개념서를 독서하듯 읽는 습관을 가지라고 추천한다.개념은 대충 훑고 바로 문제로 넘어가 양으로만 승부하려고 하면 서·논술 문제에는 취약해질 수밖에 없기 때문이다. 김 원장도 마찬가지로 교과서 내용을 빠짐없이 수록하고 있는 기본 개념서를 잘 선택한 후 나온 공식을 증명하며 꼼꼼하게 서너 번 이상 반복해서 풀기를 권했다. 공식을 증명할 줄 알아야 문제풀이의 논리적 과정을 알 수 있게 되고 그 과정은 서술형 풀이와 일맥상통하기 때문이다.서·논술형 비율 서라벌고, 청원여고 등 21%가 가장 많아서·논술형 비율은 8개 학교 노원고, 누원고, 도봉고, 상계고, 서라벌고, 창동고, 청원여고, 한국삼육고가 모두 21%였다. 이럴 경우 ‘선택형’과 ‘서논술형+수행’의 비율이 5대 5로 나뉘어 균형을 이룬다. 이제 대세가 된 서·논술형, 중학 때부터 탄탄히 기초를 쌓는 방법에 대해 차 원장은 “천개의 문제를 풀기보다 한 개의 어려운 문제를 스스로 고민해서 풀어보라고 하고 싶습니다. 몇 시간이고 파고들어 혼자 해결한 문제는 완전히 자기 것이 됩니다. 문제가 안 풀린다고 바로바로 물어보면 많이는 풀 수 있지만 다음에 또 물어보게 됩니다. 주변을 의식하지 말고 자기에 맞게 하루 2~3 문제를 목표로 풀어나간다면 어느덧 서술형 대비가 되어있을 것입니다”라고 한다.‘9등급이던 1등급이던 모두 같은 문제집을 풀고 있는 것이 정상일까?’라는 질문을 던지며 차 원장은 먼저 자신의 실력을 객관화하라고 한다. 현 중3은 2019년 고1 3월 학력평가 기출문제를 풀어보면 자신의 등급을 알 수 있다. 그때 자기 성적을 그대로 인정하고 자신에 맞는 문제집을 선정해서 100% 소화할 때까지 풀어보는 것이 도움이 될 것이라고 했다.표1.노원구 도봉구 고교별 서·논술형 및 수행평가 비율지역고교명중간고사기말고사한 학기 평가 비율(%)수행평가 내용선택형서·논술형선택형서·논술형선택형서·논술형수행평가서·논술형+수행평가노원구대진고25.0025.0025.0025.0050.050.0050.0-불암고25.0025.0025.0025.0050.050.0050.0-혜성여고25.0025.0025.0025.0050.050.0050.0-영신여고24.7520.2524.7520.2549.540.51050.5형성평가염광고24.0016.0024.0016.0048.032.02052.0과제평가대진여고25.0015.0025.0015.0050.030.02050.0문제 해결 및 그 해결과정을 논리적인 수식으로 표현하기용화여고24.7013.3024.7013.3049.426.62450.6학습활동평가(12), 발표평가(12)월계고24.7013.3024.7013.3049.426.62450.6과제수행(14), 수업참여(10)노원고24.5010.5024.5010.5049.021.03051.0수학탐구보고서(10), 수업참여도(20)상계고24.5010.5024.5010.5049.021.03051.0과제(20), 수업참여도(10)서라벌고24.5010.5024.5010.5049.021.03051.0활동보고서(15), 독후감(15)청원여고24.5010.5024.5010.5049.021.03051.0개인과제물 제출한국삼육고24.5010.5024.5010.5049.021.03051.0형성평가 2회(10), 포트폴리오 2회(10), 독서논술(10)상명고20.0010.0020.0010.0040.020.04060.0과제평가 4회(30), 수업참여도(10)수락고24.006.0024.006.0048.012.04052.0독서(8), 형성평가(12), 과제(16), 수업참여도(4)청원고24.006.0024.006.0048.012.04052.0교과과정 내 연계문항 작성 및 발표재현고25.000.0025.000.0050.00.05050.0주제탐구보고서(10), 문제풀이과제보고서(20), 서술형 3문항(20)도봉구누원고24.5010.5024.5010.5049.021.030 2019-09-19
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• 고등학교에서 올바른 수학 학습법 (1) -예비고1, 고1 고등학교 진학 후 1학년 첫 중간고사를 본 후 내원 상담을 하시는 고1 엄마들의 전형적이 하소연이 있다. “중학생 일 때는 90점대 아래로 받아 본적이 없고, 고등부의 선행도 많이 시킨다고 시켰는데 첫 번째 중간고사에서 수학성적이 4등급을 받았다”는 것이다.  아마 상상도 못했을 것이다. 그리고 기대했던 기말고사도 똑같은 결과를 얻는다.2학기가 되면 새로운 고민이 생긴다. “우리 아이가 이과를 가야하나? 문과를 가야하나?” 대입에서 가장 중요한 과목이 수학인 것을 엄마들도 알기 때문에 수학 과목에 대한 해결법이 없어 고민만 쌓여가는 학부모가 점점 많아지고 있다. 이러한 고민이 생기는 원인을 분석해 보자.1. 중등수학 vs 고등수학; 너무나도 다른 공부 방법 일반적으로 중등부 수학학원의 수업은 문제집에 있는 ‘유형’의 문제를 계속 반복적으로 많이 풀린다. 거의 모든 학원이 그런다고 봐도 무방하다. 나중엔 이유도 모르고 답을 찾을 정도이다. 이 방법이 틀리다고만 할 수 없는 것이 학교에서 수학 시험을 보면 학원에서 공부했던 그 ‘유형’의 문제만 나오기 때문이다. (중학교의 문제는 깊이가 없기 때문이다.) 그러니 좋은 성적을 받는데 부족함이 없다.(잘 생각해 보면 90점대 아이들이 100점을 맞는 것은 쉽지 않다.) 좋은 결과를 얻다 보니 이러한 방법이 옳다고 학생과 엄마는 믿는다. 그리고 ‘고등학교에서도 좋은 결과를 얻을 것’ 이라는 확신을 가지고 진학을 하게 된다. 그러나 고등수학은 완전히 다르다. 교육부의 고등수학의 목표는 ‘수학적 창의력의 신장’이라고 기재되어 있다. 창의력을 강조하고 있다. 그런데 대부분의 예비 고1학생 혹은 현 고1학생들은 아직 중학교 학습법에서 벗어나지 못하고 있다. 무조건 수학문제는 많이 풀고, 유형과 풀이를 암기하기 바쁘다. 심지어 어려운 심화문제는 무조건 외운다. 또한 특정 문제집을 선호하여 반복하여 암기한다. 창의력과는 방향이 완전히 다른 공부를 여전히 하고 있다. 성적이 안 나오는 것은 당연하지 않나? 우리 아이가 아직도 이러한지 신중히 생각을 해볼 시기이다. 대다수의 학교에서는 시중에 있는 유형별 문제집을 많이 풀어봤자 그 유형 외 문제가 4문항이상 출제된다. (심지어 부교재에서도 출제를 하지 않는다.) 여기서 학생들은 당황을 한다. “이건 못 본 문제인데!” 해결법을 찾아내지 못한다. 시간을 아끼기 위해 일단 넘기지만 돌아오지는 못한다. 특히 노원구 어머니들이 좋아하는 쎈, 일품, 블랙라벨에도 없었다. 시험을 못 본 후 “더 많은 문제를 풀어봐야겠다.”라고 잘못된 반성을 한다. ‘유형서’만 풀고는 점수를 기대하지 말아야 한다. 중학교 때 잘못된 버릇을 계속 반복하고 있다. 쎈을 5번 풀었나? 반성하라. “유형”은 스스로 정리하는 것이다.2. 시험대비; 평상시가 시험 기간 고등학교에 올라와 수학성적이 많이 떨어진 학생들을 상담해 보면 시험 준비 기간에 대한 오해가 크다. 중학교 때는 시험 3~4주 전부터 시작을 해도 충분하다. 그런데 더 깊고 많은 학습을 하게 되는 고등학교에서도 공부를 하는데 똑같은 시간을 투자한다. 즉 준비가 덜 된 상태에서 시험을 보게 된다. 고등학교는 3년 내내 시험기간이다. 학원만 다니면서 학원에만 의존하다가는 기대만큼의 성적이 나오지 않는다. 생각해 보라 학교 시험을 누가 출제하는지. 평상시에 학교 수업내용을 정리할 필요가 있다. 같은 수학 단원이라도 학교마다, 선생님마다 중요하게 생각하는게 다르다. 당연히 시험문제도 다르게 출제한다. 그러니 평상시에 선생님이 무엇을 중요하게 수업을 했는지 정리를 해야 할 필요가 있다. 여러분은 한 달 전의 수업이 기억이 나는가? “시험대비는 평상시에 정리하라”3. 무리한 선행; 거북이가 이긴다. “이미 중학교 때 고등학교 수학을 다 했어요” 라고 말하는 엄마들이 많다. 그것도 목에 힘을 주고 말이다. ‘선행을 많이 해놨으니 수학을 잘 하겠지’ 라는 생각을 한다. 선행은 필요하다 하지만 학생의 속도에 맞춰서 진행이 되어야만 한다. 선행을 많이 나간 학생들에게 얼마나 아는지를 물어보면 “선생님만 진도를 나갔어요.” 라고 대답한다. 적당한 선행에 실력도 같이 다지는 수업을 해야만 한다. 심지어 선행수업을 하는 아이들도 그렇게 진지하게 수업을 듣지를 않는다. 선행에 부담을 가진 현 중3이면 미적분1, 기하와벡터가 중요한게 아니라 수학1과 수학2가 더 중요한 시점이다. 예전과는 다른 수학세계에 있다는 것을 잊지 말아야 한다. 지금의 교육과정은 선행보다는 깊이 있고 창의적인 “현행”을 지향한다. 중3때 함수의 개념과 피타고라스, 원, 삼각비가 고등학교 때 왜 많이 쓰이는지를 알아야 한다.“현행이 무너지면 선행은 필요 없다”4. 명확한 개념; 시작은 개념부터“저는 유형서를 많이 풀었는데 시험을 못봤어요” 라고 말하는 학생들이 많다.앞에서 말했듯이 “유형”을 안다고 풀리는 수학은 그 문제집에서 뿐이다. 조금이라도 다르게 출제하면 학생들은 힘들어 하는데 그 이유는 “명확한 개념”이 없어서다. 창의력은 똑똑한 머리에서 나오는 것이 아니라 확실한 개념에서 나온다. 문제를 풀 때 유형을 외워서 푸는 학생과 개념을 이해해서 푸는 학생의 성과는 많은 차이가 난다. 내신보다 모의고사 성적이 떨어지는 학생들이 이러한 잘못된 방법으로 학습을 하고 있다. 특히 2학년 수학부터는 개념이 정말 중요하다. 개념을 확실히 잡은 아이들은 내신과 모의고사와 수리논술에서 모두 뛰어난 결과를 얻는다. “개념정리부터 다시 시작하라”중계동 매쓰플러스수학학원 고등부송광용 부원장 2016-10-27
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• 예비고1, 중·상위권 최적화된 수학공부로 시작 고난이도 원장 직강 수업, 학생 수준에 맞춘 1:1 과외식 개별학습, 학생별 치밀한 피드백 관리, 내신강화 수업을 통한 상위권 도약 전략 등 차별화된 고등수학 학습시스템으로 ‘고등부 명문 수학학원’으로 이름을 알려온 GLS수학전문학원. 상계 7단지 아파트 건너편에 위치한 이곳은 고등부 재원생의 60%가 중계동 은행사거리에서 등원하는 학생일 정도로 수학경쟁력을 자랑하고 있다. 노원지역에서만 17년째, 노원 중계지역 주요 고등학교 내신 기출을 완벽하게 분석하고 있는 GLS수학학원 정상보 원장의 ‘예비고1 고등수학 공부법’에 대한 궁금증을 풀어보았다.#CASE 김수용 학생 (가명, C고 졸업, 고려대 입학)심각하게 사춘기를 겪으면서 중등수학 50점을 간신히 넘겨왔던 김수용 학생. 고등학교 진학을 앞두고 GLS수학전문 학원을 찾은 수용이의 수학성적은 첫 내신 성적은 6등급. 정규수업에 들어가기 전 무제한 제공되는 1:1 개별학습을 주 5회씩 받은 후 정규수업에 참여했다. 겨우 중위권 수업에 참여한 지 3년여 시간, 꾸준히 공부한 결과 난이도가 높아진 내신수학을 대비한 고난이도 심화수업까지 참여하면서 결국 내신 2등급과 수능 1등급이라는 좋은 성적으로 고려대 입학에 성공했다.예습 - 원장직강 - 복습, 모든 과정을 학원에서 완성!GLS 고등부 모든 수업은 개인별 예습- 정규수업 -수업 후 1:1 과외식 개별학습 (복습)으로 완성되며 학원의 전문 강의와 학생별 과외식 치밀한 관리를 결합하여 학생 수준별 수학 성적 향상에 초점을 맞추고 있다. 수업방식은 수업 전, 보조강사에게 개념 설명을 듣는 예습 과정에서 별도 교재를 사용하며 원장 강의에서 다른 교재를 이용해 같은 개념의 고난이도 문제풀이를 통해 수학적 개념을 반복 학습하게 된다. 수업 후에는 빠져있는 기본 개념 문제 풀이를 하면서 학생별 약점을 클리닉강사와 함께 과외식 보완학습을 진행한다.특히 이곳에서는 등원과 동시에 상담을 통해 3등급 이상과 4등급이하 학생으로 구분해 3등급 이상의 학생들은 정규수업에 바로 참여시키는 반면, 4등급 이하 학생들은 정규수업 이전에 1:1 개인별 과외식 수업을 통해 ‘개념과 원리’를 사전에 충분히 숙지한 후 정규수업에 참여토록 하고 있다.알 때까지 계속되는 1:1 과외식 개별 클리닉 수업GLS의 1:1 과외식 개별수업은 정규수업 참여 학생들이 언제나 시간제한 없이 개인별 수학공부를 학원에서 할 수 있는 보완학습이다. SKY 출신의 전문 강사가 교실에 배치되어 학원에 상주하면서 수업 전 후로 학생과 1:1로 개별 맞춤학습을 지원한다. 이 때 정규수업에 필요한 예습, 당일 수업에서 진행된 개념과 문제 풀이에 대한 복습, 학습 진도에 맞춘 선행 보완학습, 오답에 대한 체계화된 클리닉 수업까지 무한대로 지도받을 수 있다.정 원장은 “고등학교 진학 후에는 공부 량이 늘어나는 반면 학원 수업시간은 한계가 있는 만큼 학생의 학습능력에 따라 숙제와 클리닉, 피드백 수업을 달리하여 수학공부 습관을 잡는 데 주력하고 있다. 중위권 학생은 수준별로 6개월~1년 예습을 원칙으로 하며 학습 성과가 뛰어난 학생들은 원장과의 고난이도 심화수업에 참여하게 된다. 특히 당일 오답 관리 - 1달 후 반복학습 - 시험 직전 관리 3단계로 치밀한 오답관리도 지원한다.”고 강조한다.노원 중계지역 내신 철저 분석, 고1부터 내신강화 수업과 개인별 약점 관리로 성적 올려노원 중계지역의 고교 내신수학 난이도가 높아지면서 ‘내신 고득점’으로 수능 변별력 문제를 잡아 상위권대학 진학에 필요한 최저기준 및 정시?경쟁력까지 잡는 공부도 진행 중이다.  학교별, 유형별 고난이도 내신 문제를 대비할 수 있는 주 1회 내신 기출문제 풀이와 내신시험 3~4주 전 학생별로 단원별, 유형별로 틀린 문제에?대한 개별 질의응답으로?약점을 잡아 실력을 향상시키는 내신 강화 수업을 진행하고 있다.고2 부터는 이과학생을 대상으로 수능형 내신문제 (자이스토리, 최상위, 일품 등)를 집중 지도하고 시중 판매되는 고난이도 문제집, 평가원 기출문제 등 6~7 권의 문제집을 반복시키고 있다. 반면 문과생은 교과서, 프린트, 기본서 2권, 최다빈출, 기출문제 유형 등을 꼼꼼히 챙겨 반복학습을?통해 내신 고득점을 얻어내고 있다. 정 원장은 “고등부 내신은 입시를 좌우하는 중요한 경쟁력이다. 학교마다 출제경향이 다른 만큼 문제집의 개념, 예제, 문제 유형, 연습문제, 심화문제까지 꼼꼼히 챙겨 출제자가 요구하는 풀이와 답을 이끌어내고 있다.  고난이도 내신수업과 치밀한 학생별 1:1 관리가 내신만점 전략”이라고 덧붙였다.문의 : GLS수학전문학원 2016-10-27
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• 획일적인 칠판강의 지양, 개인별 1:1 맞춤형 책임 수업이 강점 학원과 독서실을 오가며 수많은 시간을 투자했지만 꿈쩍도 하지 않는 수학 점수로 인해 고민 많은 중·고등학부모가 주목할 만한 희소식이 있다. 내 아이에게 딱 맞춘 학습처방과 새로운 수업방식으로 상위권 학부모들의 관심을 집중되고 있는 케이튜터수학학원.케이튜터수학학원은 이미 교육특구 대치관을 비롯해 12개 직영관이 운영되고 있으며, 은행사거리 삼부프라자 5층에 자리한 중계관은 개원한 지 불과 1년여, 학생별 개념진단을 통한 1:1 맞춤 수업, 학생별 정확한 학습이력을 토대로 한 철저한 약점 및 오답 관리시스템, 첨삭 지도하는 방식으로 학생의 수준별 도약에 최적화된 수학학원으로 인기를 끌고 있다. 케이튜터 대치고등관 원장을 거쳐 중계관에 입성한 이성규 원장을 만나 중고등 수학성적을 확 끌어올리는 케이튜터 학습시스템의 비결을 알아보았다.담임책임제 & 1:1 개인능력을 고려한 과외식 집중 수업 제공케이튜터의 수업방식은 기존 강의식 칠판수업과는 확연히 다르다. 강의식 칠판수업의 단점으로는 학생들의 실력 편차를 반영하지 않은 획일적인 개념강의, 청강 위주의 수동적인 수업방식, 학생의 학습능력과 성향, 학습의지, 취약점 등이 고려되지 않는 관리, 일방적인 유형 풀이, 똑같은 교재 수업, 학생의 약점 채워주는 후행수업 불가능 등을 꼽을 수 있다. 결국 교육 수요자인 학생들은 전혀 배려 받지 못한 채 암기식 수학공부에 내몰리게 된다.이를 극복하기 위해 시도된 케이튜터수업은 4시간 30분 동안 담임강사 책임 하에 단원별 개념에 관한 설명 본 제공 - 단원별 개념에 대한 학생의 예습(개념서 정독) - 개념에 대한 강사와의 1:1 토론 (오 개념 교정 및 개념 확인 학습) - 학생이 먼저 개념이 적용된 문제풀이 - 틀린 문제에 대한 강사와의 1:1 교정 수업 (정의적용 여부, 개념 이해부족, 문제풀이 실마리 찾기, 연산 실수 등 오답의 원인 분석 및 교정) 순으로 학생별로 단원별 치밀한 반복 확인학습이 진행된다. 이때 학생의 학습능력, 태도, 수학 실력, 자세, 상황, 부족한 역량 등 학생별 철저한 분석을 토대로 1:1 맞춤 수업 플랜을 짜고 학생마다 학습 플랜, 교재, 학습 진도, 난이도, 숙제, 지도방식까지 모두 다르게 최적화시켜 지도하고 있다.상위권 대학진학이 목표, 학생별로 설계된 효율적인 수업 지향케이튜터의 학습목표는 수능만점, 내신만점을 통한 최상위권 대학진학이다. 이를 위해 1등급 도약이 필요한 상위권 학생, 수학적 개념이 약한 학생, 문제풀이에 약한 학생, 공부 방법을 모르는 하위권 학생, 내신 고득점이 목표인 학생, 최고난이도 문제에 대한 완벽 이해가 필요한 중위권 학생에 이르기까지 다양한 학생들 누구나 맞춤식 수학공부를 받을 수 있다. 또한 학생이 원하는 요일과 시간에 맞춰 강의경력이 풍부한 담임강사에게 배정된다.이 원장은 “우리 시스템의 강점은 실력 있는 고등부 전문 강사와 1:1로 공부한다는 점이다. 자기 주도형 개념 정복 수업- 강사와의 개념 정의 확인 수업- 자기 주도형 문제풀이- 질의응답을 통한 오답 및 약점 관리로 공부의 본질에 충실한 수업이다. 이때 학습의지가 약하거나 성적이 오르지 않는 이유를 분석, 학습태도 교정이 필요한 학생들까지 1:1로 교정이 가능한 시스템” 이라고 강조한다. 실제로 4~5등급 중위권 학생들이 6개월 만에 2~3 등급 성적을 내면서 상위권 도약에 최적화된 학원으로도 이름이 알려졌다. 또한 학생별로 수업, 문제풀이 방식, 학습량, 취약 단원, 풀이 약점, 학습 진도 등 총체적인 학습과정이 꼼꼼히 데이터화되어 내신 및 모의고사 평가 직전에도 약점을 집중 관리하는 효율적인 수업을 진행한다.예비 중1, 예비고1 입시 중심의 수학공부에 몰입해야 할 최적기! 케이튜터 학습법은 학생 개인별 수학실력 편차를 고려한 효율적인 수업, 스스로 능동적으로 푸는 자기주도형 문제풀이, 개인별 치밀한 오답 및 약점 관리, 학생별로 후행학습으로 부족한 단원 복습 등이 가능해지는 방식이다. 또한 수학 커리큘럼 역시 과정별 정규과정, 내신대비과정, 수능과정, 진단평가, 고3 과정 (수능기출, 수능특강 등) 학년별 평가별 단원별 난이도별 체계적으로 데이터베이스화 되어 있다.외부학생들은 케이튜터에 등원 후 3개월이 지나면 학습태도가 달라지고 4시간 30분 자신에게 설계된 맞춤 수업에 완벽 적응하게 된다. 특히 수학공부 량도 늘고 피드백 및 과제 수행에도 능동적으로 변화된다. 이 원장은 “열심히 공부하는 데 성적이 오르지 않는다면 잘못된 학습방식부터 바꾸어야 한다. 예비 중1은 학습습관과 성실성을 배우는 중요한 시기이고, 예비고1 역시 이 시기를 놓치면 고득점을 얻는 데 한계를 경험하게 된다. 가장 중요한 시기, 학생별로 딱 맞는 학습 처방을 찾아 반드시 수학성적 향상을 이끌어낼 자신이 있다.”고 확신했다.문의: 케이튜터수학학원 중계관 2016-10-27
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• 세상을 움직이는 비밀, 수와 기하 ‘문명과 수학’ (1) 여러 수상이력이 있는 동명의 EBS 다큐시리즈를 도서화한 ‘문명과수학’은 수학역사에 관한 내용이다. 교과서적인 역사책이 아니기 때문에 빠진 문명(바빌로니아,중국문명)들도 있지만, 수학사의 전반적인 주인공격인 이집트문명, 그리스문명, 인도-아랍문명에서 발생한 수학의 기원과 미적분을 비롯한 근현대 수학의 발전상을 꽤 흥미진진하게 풀어나간다. 그리고 교육적인 측면을 위해서 역사적인 내용속에 수학적으로 구현될 수 있는 요소들을 꽤나 포함시켰고, 또한 부록을 통해서 각 장에서 언급하는 수학적인 내용들을 한번 더 보충해가기도 한다. 이 책에서 수학은 인류가 자연현상을 이해하고 표현하는 언어의 역할을 한다고 말한다.1부에서는 먼저 수의 개념은 이집트 문명에서 시작된다. 생존의 필요에 의한 막연한 셈의 단계를 넘어선 수를 의미한다. 왕의 무덤에서 발견된 파피루스는 왕국 경영에 필요한 지식이 수학이었음을 보여준다. 기원전 1650년경 이집트의 서기 아메스는 견습생을 위한 기하, 산술문제집을 파피루스에 필사했다. 이는 왕국의 모든 문제를 해결할 수 있는 2000년 전부터 내려온 것들이 적혀있다. 바로 수학으로 각종 다각형과 원 등 도형의 넓이와 부피를 구하는 법 그리고 단위분수의 계산과 일차방정식 풀이 등을 포함해 모두 84개의 문제가 담겨있다. 당시 수학은 고위 관리자들의 전유물이었다. 고대 이집트의 신들 중 나일강의 여신 히피는 인간에게 수학을 하도록 만든 신이다. 그녀는  비가 거의 오지 않는 이집트에 홍수를 일으키는 신이다. 상류의 퇴적물을 하류로 옮기기에 땅이 비옥해지지만, 그 경계는 다 허물어진다. 파라오에겐 백성들한테 그들의 땅을 다시 찾아주어야 하는 책임이 있다. 경계를 다시 짓는 건 수학의 문제인데 그중 원의 넓이를 구해야 하는 일이 종종 발생한다. 이집트인들이 원의 넓이를 구하는 방법은 지름을 9등분하여 그중 1을 버리고 남은 8을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 원의넓이로 구했다. 이는 작은 돌멩이 64개로 정사각형을 만들과 다시 배열하여 원의 넓이를 만들었을 때 지름을 이루는 돌멩이의 수가 9가 되는 식으로 실증했다. 다양한 도형의 넓이를 구하기 위해서 곱셈을 만들었고, 피라미드를 건설한 노동자들에게는 월급이 지급됐는데 화폐는 아직 없어서 빵이나 보리 등 곡식으로 지급됐다. 이를 분배하기 위해서 나눗셈을 만들었다. (물론 현대적 방식의 곱셈과 나눗셈은 아니다.)이들에게 중요한 것은 원리와 치밀한 증명이 아닌 현실문제의 해결이었다. 이는 이집트수학이 오랜 역사를 거치면서도 거의 답보상태로 놓인 원인이기도 하다. 다각형들을 이용해 곡선의 면적을 구하는 착출법(소진법)이 나온 건 그 이후 17세기 미적분학의 탄생에 영향을 미쳤다. 2부는 고대 그리스 문명으로 넘어간다. 피타고라스와 플라톤이 산술과 기하를 논했고, 2000년동안 기하학의 핵심이었던 유클리드 기하학이 만들어진 건 모두 고대 그리스였다.  고대의 경험적이고 실용적인 차원의 수학을 흡수한 그리스인들은 이집트와 바빌로니아 서기들이 사용한 원리들을 명증한 언어로 끌어냈다.(증명 또는 연역) 주어진 해법에 따라 문제를 푸는 것과 그 안에 내재된 보편적 원리를 규명하려는 태도사이에는 커다란 차이가 존재한다. 유클리드의 원론은 그리스적 사유체계를 예증하는 상징이다. 원론은 당시 왕이 배웠던 수학책이다. 피타고라스는 예언자이며 신비론자로 탈레스의 제자였다. 그는 대장간의 망치소리에서 길이가 2/3를 이루는 쇠막대에서 화음을 이룬다는 것을 발견하고 이 세상은 정수의 비로 이루어졌다고 생각했다. 피타고라스 정리의 숫자들은 그 이전 바빌론과 이집트사람들도 알고 있었지만, 피타고라스가 증명을 통해 법칙을 만들었기에 그의 이름이 붙은 것이다. 하지만, 이후 그의 제자 히파수스가 무리수를 발견함으로써 피타고라스의 정수체계가 무너졌다. 그가 보이지 않는 무리수를 발견한 것도 증명의 힘이었다. ‘이세상은 무엇으로 이뤄졌을까?’ 에 대한 답으로 그리스인들은 자기들만의 이야기 방식을 만들어냈는데 이것이 바로 증명이다.기하는 쪼갤 수 없는 점에서 출발한다고 유클리드는 원론에서 시작한다. 이렇게 시작해서 23가지 정의를 나열하고 다음으로는 증명이 필요없는 자명한 명제인 공리가 나온다. 원론은 초등수학 입문용으로 만들어진 교재인데 한편으로는 체계적인 이론서이자 이후세대의 학술서와 선언문의 구성방식을 제시한 본보기이기도하다. 자명한 공리에서 출발해 부정할 수 없는 결론에 이르는 방식이다. 미국의 독립선언서, 뉴턴의 프린키피아, 스피노자의 윤리학등 많은 책이 이러한 형식을 따르고 있다.이집트문명과 그리스 문명의 대조는 수학의 양면성을 명쾌하게 보여준다. 즉 현실세계의 필요에 답하는 유용성의 측면과 우주질서에 대한 추상적이고 사변적인 질문에 답하는 철학적 측면이다. 두 문명의 수학이 이리도 다른 이유는 전자는 측량이나 상업거래와 같은 구체적인 것이었고, 후자는 우주에 대해 이해하고자 한 갈망이다. 3부는 신을 사랑하고 영원을 믿었던 나라, 인도문명이다. 그들이 만든 숫자 하나가 인류의 역사를 바꿨다. 존재와 부재를 넘나드는 기묘한 숫자, 0은 수학을 무한의 세계로 뻗어 나가게 만들었고, 과학에게 우주를 상상할 수 있는 힘을 주었다. 종교의 나라 인도에서 인류 최고의 발명품 0이 탄생한 내력을 추적한다. 인도는 건물에 0층이 존재하는 나라 0의 고향이다. 인도수학은 천문학적 지식이 발전하면서 엄청난 진전을 보였는데 천문학에 필요한 큰 자릿수 계산 때문에 수의 계산방법이 발달했다.계산법뿐만 아니라 산술삼각법, 대수학, 기수법등으로 확대된다. 그중 삼각법이 가장 중요한 업적이다. 삼각법은 직접 잴 수 없는 길이를 잴때 편리하다. 삼각법의 기본개념은 고대 그리스에서 시작되었지만 그들은 몇 개의 특정한 각만 알고있었다. 하지만 인도인들은 훨씬 더 많이 알고 있었다.인도인들이 만든 수가 얼마나 위대한지를 알려면 다른 문명에서 사용되던 숫자를 살펴보면 된다. 이집트, 그리스, 로마 모두 수가 커짐에 따라서 문자를 계속 만들어 사용했다. 그리스는 계산술을 천시하여 큰수에 연연해하지 않았다. 중국은 두자리마다 새로운 수를 만들었다. 바빌로니아는 두 개의 쐐기문자만 사용해서 60진법을 사용하였다. 60이 넘어가면 문자 사이를 띄어서 표기했지만, 이 역시 불완전했다. 약 1200년 전 인도에서 0이 발명되었는데 이것이 현대적 위치기수법을 만들어진 순간이 된 것이다. 우선 인도는 1부터 9까지 다른 수를 쓰고 새로 숫자를 만들지 않고 수하나를 덧붙였다. 이는 아라비아를 거쳐 유럽으로 가서 아라비아숫자라는 이름이 붙었다.7세기 브라마굽타는 인도 천문학의 중심지 우자인에서 천문관장을 했다. 당시 인도천문학은 서양을 훨씬 앞서 있었는데, 그들은 이미 지구가 둥글다는 것을 알았고 지구둘레를 실제와거의 비슷하게 계산했다. 수학은 당시 천문학의 보조수단이었는데 브라마굽타는 수학자체에 고민을 시작했다. 그가 쓴 ‘브라마스푸타시단타’에는 음수와 양수,0에 대한 사칙연산, 거듭제곱, 제곱근 구하기가 담겨있다. 대수학의 도약이다. 0이 최초로 수학에 쓰였고 0이 독립적으로 쓰인 것은 계산속에 포함되면서이다.* 다음호에 이어집니다.크림슨수학이진혁 원장 2016-10-13
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• 한 학생을인터뷰_더블유TRC 수학학원 고등부 김태형 원장 노원구 중계동에 위치한 ‘더블유 TRC 수학학원’의 중등부 조숙경 원장과의 인터뷰에 이어 이번 주에는 고등부 김태형 원장과의 인터뷰를 진행하였다. 지난 주 인터뷰가 ‘초 밀착형 관리시스템’에 대한 내용이 주된 내용이었다면 이번에는 더블유 TRC 수학학원이 지향하는 ‘교차 학습관리 시스템’이란 무엇인지에 대해서 알아보았다.Q. TRC 시스템에 대한 간단한 소개를 부탁드립니다.A. TRC는 T(Teaching), R(Review), C(Coaching)의 3단계로 이루어진 관리형 시스템입니다. 기존의 수업을 맡고 있는 선생님들이 한 학생을 일원적으로 관리하던 방식보다 조금 더 진보한 것으로 한 학생을 여러 선생님들이 같이 그물망처럼 점검하여 관리하는 시스템입니다.전문적인 역량을 갖춘 티칭선생님과 학생에 대한 애정을 가지고 세밀하게 관리하시는 리뷰선생님, 그리고 전체적인 학습상황을 총괄하여 아이들의 목표를 실현하기 위한 계획을 세우고 구현하는 코칭선생님으로 구분하였고 학생들은 이 모든 선생님들께 전체적으로 관리를 받는다고 보시면 되겠습니다.Q. 각자 선생님들이 맡은 역할에 대해서 좀 더 자세한 설명을 부탁드립니다.A. 티칭선생님은 가르치는 것에 중점을 둡니다. 시기별로 진도계획이나 교재연구 및 효율적인 지도방법을 연구하고 주요 학교들의 기출문제등을 분석하여 학생들의 성적향상을 위해 다양한 방법을 모색합니다.확인리뷰 선생님은 학생이 배운 내용을 제대로 이해하고 있는지를 점검하게 됩니다. 수업 전후 테스트를 통하여 오답유형에 대한 피드백도 진행하게 됩니다. 학생들이 해결하지 못한 유형의 문제가 있다면 이력을 남기고 부족한 부분을 집중 케어하는 역할을 맡고 있습니다. 단순한 조교의 역할을 넘어 학생의 현 수준을 파악하고 목표를 부여해주는 역할을 하게 됩니다.상담리뷰선생님은 티칭과 리뷰선생님들이 관리하면서 점검된 사항들을 중심으로 오전부터 상담을 진행하게 됩니다. 과제이행상태에 대한 점검뿐만이 아니라 아이들의 현재 상황 및 부족한 부분을 파악하여 효율적인 학습방향을 제시하고 정리된 모든 사항들이 회의시간에 모든 선생님들이 공유하여 대안을 마련하게 됩니다.코칭선생님은 결정된 사항과 대안을 중심으로 개개인의 학생에게 맞는 방법으로 학습습관을 체계화 시킵니다. 특히 코칭은 시간적인 제한을 두지 않고 있으며 약점이 해결될 때까지 지속적으로 집중, 반복학습을 진행합니다. 선생님들과 함께 자신의 약점이 해결될 때까지 꾸준히 반복하다 보면 자연스럽게 자기주도 학습능력이 키워지며 이와 함께 성적도 향상 됩니다.Q. TRC 시스템을 ‘교차형 학습관리 시스템’이라고 부르시던데 어떤 의미가 담겨 있나요?A. 학원은 학생들 모두 뒤처지지 않게 세심하고 꼼꼼하게 챙겨줘야 한다고 생각합니다. 수업만 하고 피드백이 없는, 혹은 아이들이 받아들이지 못하는 상황에서의 무조건적인 수업은 의미가 없다고 봅니다. 아이들의 수준과 성향에 맞는 관리가 필요하고 그에 맞는 시스템의 학원이 필요하다고 생각했습니다. 그것이 더블유 TRC 수학학원을 만든 이유입니다.한 명의 선생님이 여러 명의 학생들을 관리하는 것 보다 여러 명의 선생님들이 한 명의 학생을 관리하는 것이 훨씬 더 종합적이며 체계적일 수밖에 없습니다. 이것이 ‘교차형 학습관리 시스템’입니다. 저희는 한 학생에 대하여 티칭, 확인리뷰, 상담리뷰, 코칭 선생님들이 다면적인 상담과 분석을 진행하고 이를  통해 수준에 맞는 목표를 설정, 나타나는 문제점을 점검하며 그에 대한 해결책을 제시해 줍니다. 학생들이 나아가야할 방향성을 정확하게 짚어내고 지속적인 관리가 되는 학원이 되기 위해 만든 시스템이죠.특히 고등부의 경우에는 대입이라는 큰 관문이 존재합니다. 현재의 대입은 말로는 간소화를 표방하지만 사실 그 내부를 들여다보면 전혀 간소하지 않습니다. 학교마다, 전공마다, 그리고 전체 몇 가지인지 셀 수도 없는 다양한 전형별로 반영되는 과목별, 학년별 내신 비율도 다 다릅니다.게다가 일반 학교에서는 학생부종합전형이나 논술에 대비한 교육이 부족합니다. 선생님들이 챙겨주고 싶지만 그 많은 아이들을 모두 케어한다는 것은 물리적으로 불가능하죠.그러니까 당연히 상위권 몇 명의 학생들만 챙겨주게 되고 중상위권 이하 아이들은 입시에 대한 이해와 지식이 있건 없건 본인 스스로 알아서 학교와 전공을 선택하여 원서를 작성하게 되는 경우가 비일비재 합니다. 더블유 TRC 수학학원은 이러한 상황에 대처하고 복잡해지는 입시정책에 맞춰 학생들의 진로를 같이 고민하기 위해 입시전략 연구소 ‘자강’을 설립하여 성공적인 대학입시를 위한 다양한 수시 지원 시스템과 학업 성향별 대입 루트 연구 등을 진행하고 있습니다.Q. 마지막으로 더블유 TRC 수학학원의 장점은 무엇인가요?A. 시스템에 맞추어진 것이기도 하지만 다방면으로 학생들을 관리할 수 있다는 점을 꼽을 수 있습니다. 타 학원과는 차별화 된 부분이기도 하겠지만요. 시스템에 맞는 프로그램도 역시 강점이라면 강점이라 할 수 있겠지요. Mathcure 프로그램은 기본적으로 분리되기 전 학원이었던 더블유수학학원에서부터 시행해온 프로그램으로 Infinite Loop Lesson을 기본으로 만든 프로그램이니 만큼 끊임없는 관리가 가능하다는 부분도 특화된 부분이라고 생각되네요.몇 번을 반복해도 계속 알아야 할 것이 생기는 것이 고등과정의 수학이라고 생각합니다. 끊임없이 자신의 약점을 체크해 가며 피드백을 통한 약점 극복이 반복 된다면 성적향상은 자연스레 이루어 질 것이라고 믿습니다. 하지만 이러한 부분들은 학생들 스스로 혼자 해결할 수 없는 것이니 최대한 학생들 곁에서 도움을 주려고 합니다.단기간의 벼락치기 성적향상이 아닌 학생의 수준에 맞는 목표설정과 지속적인 관리가 가능한 학원이 TRC학원이라고 생각합니다.Q. 인터뷰 감사합니다. 좋은 하루 되세요.A. 네, 감사합니다.더블유 TRC 수학학원2010년 개원한 더블유 수학학원에서 진행되었던 관리형 프로그램 Infinite Loop Lesson을 특화시켜 분리한 학원으로 6개월 동안의 준비기간을 거쳐 2016년 7월 중계아카데미빌딩 10층에 자리 잡은 학원이다. 중학교 1학년부터 고등학교 3학년까지 학습프로그램을 운용하고 있으며 관리 인원에 제한을 두는 정원제 학원이다. 특히 고등학교 3학년의 경우 기수제로 운영되며 국어 독해 논술 ‘생각의 좌표’ 학원과 함께 입시전략연구소 ‘자강’을 설립하여 운영하고 있다. 2016-09-01
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