알록달록하다. 우리 첫째 아이의 1학년 수학 교과서를 처음 받고 펼쳐 본 느낌이다. 입체도형(구, 원뿔, 다면체 등등)들은 사진인지 컴퓨터 그래픽인지 구분이 안 갈 정도다. 쉽고 친절하며 상세한 건 덤이다. 아파서 일주일 결석해도(수업을 듣지 못해도) 집에서 아빠나 엄마, 혹은 형이나 누나한테 알려 달라고 하면 금방 채울 수 있을 만큼의 난이도이다. 그렇게 6년을 지내고 나면 수학의 자상함과 부드러움에 속기 마련이다.

중학교에 입학하면 수학의 거칠고 까다로운 본성이 그제야 드러난다. 원래 수학은 어렵고 만만하지 않으며, 쉽게 얼굴을 내밀지 않는다. 아직도 풀지 못한 난제가 10개가 넘고, 문제마다 10억 원 정도의 상금이 걸려 있다는 걸 보면 만만치 않아 보인다. 노벨상에 버금가는 필즈상도 수상 자체가 어렵거니와, 수상자의 나이 제한이 없는 노벨상과 다르게 필즈상은 40세 이하로 제한을 둔 점도 “심심한데 수학 문제나 풀어볼까?”라는 쉬운 도전을 금기시하고 있다. 여기까지 읽어 보면 수학이 난공불락의 요새처럼 느껴질 것이다. 하지만 너무 걱정할 필요는 없다. 우리는 수학자가 아닌, 수학 문제를 잘, 제대로, 빠르게 풀어야 하는 학생이기 때문이다.

초등학교 졸업 후 갑자기 변해버린 외모만큼, 갑자기 난도가 높아진 수학이라는 과목에 대비하기 위해서는 무엇을 해야 할까?

첫째, 연산 연습을 꾸준히 하는 것이 중요하다.

계산 실수로 틀린 것을 대수롭지 않게 여기는 경향이 있다. “문제의 핵심만 맞으면 되지, 계산 실수는 금방 극복할 거야.”라는 그릇된 자기 암시 때문에 점수가 오르지 않는다. 어떤 면에서 보면 연산은 수학의 맞춤법이다. 문장을 틀리게 써도 전체 내용은 파악되지만, 틀린 것은 틀린 것이다. 수학에서도 문제 풀이를 보면 무슨 의도를 가지고 풀이하려는지 분명히 보인다고 할지라도 계산이 틀리면 올바른 답을 낼 수 없는 것과 마찬가지다. 연산이 유독 약한 사람들은 학년을 불문하고 시간을 따로 내서 하루에 30분씩 꼭 연습하길 바란다.

둘째, 도형이나 그래프 문제가 나오면 문제집에 그려져 있는 도형이나 그래프 위에서 풀지 말고, 풀이 노트(연습장, 이면지)에 스스로 그려 가면서 푸는 습관을 들이자.

연습장에 그려 가면서 풀게 되면 그냥 풀 때는 보이지 않던 보조선의 위치라든가, 동위각 또는 엇각, 이등변삼각형 등을 발견할 수 있게 된다. 각 학년 2학기 수학 교과서 내용은 거의 도형이다. 특히 중학교 2학년 2학기 때 배우는 ‘도형의 닮음’은 중학교 3년이라는 기간 중 가장 높은 난도를 자랑한다. 특히 도형의 기본이 되는 삼각형은 중요도가 상당하다. 다각형은 결국 삼각형이 모여서 만들어진 것이고, 삼각형의 내각의 총합인 180도가 모여서 다각형의 내각의 총합이 결정되며, 정다각형의 넓이를 구할 때도 중심에서 각 꼭짓점에 보조선을 긋게 되면 다각형의 변 개수만큼 이등변삼각형이 나오게 된다. 이등변삼각형의 넓이를 구한 뒤 개수만큼 곱하면 정다각형의 넓이도 구할 수 있다. 이렇듯 가장 기본이 되는 삼각형 단원은 직접 그려 가면서 이리저리 생각하고 고민하면서 푸는 것이야말로 도형 문제에 대한 안목을 키우는 좋은 방법이다.

셋째, 자기만의 노트를 만들자.

이차함수의 중요성은 이루 말할 수 없을 정도다. 그런데 문제는 이차함수 자체의 중요성보다는, 문제의 내용에 따라 이차함수를 능수능란하게 변형할 줄 알아야 한다는 점이다. 예를 들어, 이차함수를 인수분해할 수도 있고, 완전제곱식으로 바꿀 수도 있지만, 어떤 경우에 인수분해가 필요하고, 어떤 문제에서 완전제곱식으로 변형해야 하는지 구분할 줄 모른다면, 힘들게 공부하면서 외웠던 인수분해, 완전제곱식으로의 변형은 실체만 있고 잡히지 않는, 그야말로 주머니 속의 모래다.

또, 판별식을 예로 들어보자. 이차함수와 판별식은 그 중요도가 거의 비슷하다. 그런데 판별식 자체는 외우면서도, 언제 사용하는지, 이차함수와 축의 위치에 따라 판별식의 부호가 어떻게 되는지 많은 학생들이 헷갈려한다. 다음 문제를 보자. 아래로 볼록한 이차함수를 f(x)라 하자. 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0이기 위한 조건으로 맞는 것은? 이라는 질문에 많은 학생들이 D > 0이라는 어이없는 답을 내놓는다. 이유를 물어보면 f(x)가 0보다 크니까 D도 0보다 커야 하지 않느냐고 반문한다. 정답은 D < 0이라고 설명해 주면 그제야 고개를 끄덕인다. 이렇듯, 개념은 알아도 문제의 속뜻을 몰라서 오답을 체크하는 경우가 아주 많다. 이러한 내용을 자기만의 노트에 담아 틈나는 대로 보는 것이다. 혹시 이런 내용이 책에 있더라도 손으로 직접 쓰는 것을 추천한다. 쓰면서 보게 되고 생각하게 되기 때문이다.

위에 제시했던 세 가지 필수 노력인 연산 연습, 직접 그리면서 문제 풀기, 자기만의 노트 만들기를 꾸준히 실천해서, 2025년에는 열정까지 덤으로 얻는 한 해가 되기를 바란다.

목동 앞단지 수학학원

김학준수학학원

김학준 원장

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