한국교육과정평가원(이하 평가원)이 주관한 ‘2024학년도 대학수학능력시험(수능) 6월 모의평가’ 수학 영역에서 미적분 선택 비율이 48.5%였고, 9월 모의평가에서는 51.3%, 11월 본 수능에서는 51.0%를 보이며 확률과 통계 선택 비율을 훌쩍 넘어섰다. 이처럼 미적분 선택이 증가하는 이유는 선택과목별 표준점수 차이 때문이다.
실제로 지난해 수능에서 미적분 선택자의 표준점수 최고점은 148점이었고 기하는 142점, 확률과 통계는 137점이었다. 지난해 수능 수학을 기준으로 보면 동일한 원점수를 받았을 때 미적분의 표준점수가 더 유리한 것으로 나타났다. 그러나 미적분 선택이 무조건 유리한 것은 아니다. 미적분은 확률과 통계보다 시험의 난도가 높고 학습량이 많아서 오히려 미적분을 응시할 때 더 낮은 점수를 받을 수도 있기 때문이다. 그만큼 미적분 실력을 확실하게 다져야만 입시에서 유리하다고 할 수 있다. 그렇다면 고1, 고2 학생들은 여름방학 때 어떻게 공부해야 할까? 수학 강사가 알려주는 미적분 공부 방법에 귀를 기울여 보자.  
도움말 감성수학 대치본원 수강쌤 부원장, 크레마수학학원(압구정) 조지흔 원장

Q. 미적분을 공부하기 전에 수학(하), 수학, 수학Ⅱ에서 꼭 짚고 넘어가야 할 단원이나 개념이 있다면 말씀해주세요.  

수강쌤 부원장 : 미적분 과목은 수학(하)의 함수 단원(함수, 유리함수, 무리함수 단원)과 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 전체 내용의 연장선에 있기 때문에 어느 단원을 꼭 짚고 넘어가야 한다기보다 모든 내용을 완벽하게 숙지하는 것이 중요합니다. 앞의 내용이 완벽하진 않아도 어떤 내용이 있는지 알기 때문에 학습을 계속 진행한다거나 남들이 진도를 나가니까 나도 그냥 넘어가야겠다는 식의 안일한 생각으로 공부하지 않길 바랍니다. 앞 내용의 학습이 완벽할수록 미적분 학습이 쉽고 정확하게 이해될 수 있습니다. 

조지흔 원장 : 수학Ⅱ 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법은 특히 중요합니다. 미적분은 초월함수, 삼각함수의 미분과 적분이고, 수학Ⅱ는 다항함수의 미분과 적분이기 때문에 연관성이 매우 큽니다. 수학Ⅰ의 수열 단원도 미적분에서 매우 중요합니다.
수열의 일반항과 수열의 합 공식을 알아야 미적분에 나오는 수열의 극한 개념을 이해할 수 있습니다. 미적분을 공부하기 전에 수학(하)의 함수, 수학Ⅰ의 수열 단원, 수학Ⅱ의 미분법과 적분법에 대한 이해가 필수로 필요합니다. 

Q. 미적분은 크게  ‘수열의 극한, 미분법, 적분법’으로 나뉘는데요. 각 단원의 개념을 다지려면 어떻게 공부해야 할까요?

조지흔 원장 : 미적분은 ‘공식의 증명’ 과정을 이해하고 그 공식들을 암기하고 숙지해서 관련된 문제들을 푸는 힘을 키워야 하는 과목입니다. 중등 최상위권 학생이 미적분을 배우기 어려운 이유가 바로 여기에 있습니다. 공식들의 증명 과정을 잘 아는 것도 어렵지만, 계산 역시 매우 힘든 과목이기 때문입니다. 미적분 전체 단원별 개념을 잘 배우고 이와 관련한 ‘계산 문제’를 연습하는 것도 매우 중요합니다. 3점 문항은 다 맞춘다는 목표로 미적분 학습을 해나가길 바랍니다. 

수강쌤 부원장 : 수열의 극한은 수학Ⅰ의 수열, 수학Ⅱ의 극한 단원과 거의 똑같다고 할 수 있습니다. 예전에는 함수의 극한보다 수열의 극한을 먼저 배우던 적도 있기 때문에 함수의 극한을 잘 이해하는 학생이라면 미적분도 쉽게 받아들일 수 있습니다. 미분법과 적분법의 경우 새로운 함수의 미분법과 적분법을 익숙하게 만드는 것이 매우 중요합니다.
그러나 한 가지 방법만 있는 것이 아니라 다양한 방법 중 조금 더 효과적인 방법도 존재하므로, 처음으로 미적분을 학습하는 학생이라면 충분히 많은 시간을 투자해 ‘계산 연습’에 집중해야 합니다. 우선 새로운 계산에 익숙해져야 하고, 앞서 배운 수학Ⅱ의 내용을 함께 적용해 심화 문항에 도전하는 것도 좋습니다. 

Q. 말씀하신 대로 미적분 개념이 어느 정도 완성되었다면 ‘심화’ 공부는 어떻게 해야 할까요?

수강쌤 부원장 : 미적분 개념이 어느 정도 완성됐다는 의미는 ‘개념서 + 기본 유형 문제 풀이집’을 꼼꼼하게 완료했다는 정도로 볼 수 있지만, 그렇다고 바로 심화 문제를 풀 수 있다는 것은 아닙니다. 실제로 미적분 심화 문항은 기본 문제와의 난이도 차이가 매우 심해서 접근 방법부터 떠오르지 않는 문제가 많습니다. 이는 문제의 표현 방식이 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 심화 문항에서 자주 보던 표현 방식이기 때문에 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 심화 문항을 해결하지 못하는 상황이라면 절대 미적분 심화 문항을 해결하기 어려울 것으로 판단됩니다. 즉, 미적분 심화 문항을 풀기 전에 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 심화 문항을 먼저 익혀야 합니다. 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 심화 문항을 풀 정도의 실력이 다져졌다면 그다음 미적분 심화 문항에 도전하는 것이 바람직합니다. 

조지흔 원장 : 미적분은 수학Ⅰ, 수학Ⅱ처럼 공통 과목이 아닌 선택과목이므로 미적분과 관련된 모의고사 4점 문항들을 풀어보는 것이 심화 학습에 필수입니다. 미적분 개념이 완성됐다면 수학Ⅱ 수능 공통 과정과 관련된 모의고사 4점 문항들을 풀어보길 바랍니다. 수학Ⅱ와 미적분은 긴밀한 연관성이 있습니다. 수학Ⅱ는 다항함수의 미분, 적분법을 다루고 미적분은 초월함수, 삼각함수와 같은 특이함수의 미분, 적분법을 다루기 때문에 ‘개념 내용’ 측면에서는 거의 차이가 없습니다.
방학 때 미적분을 학습하는 것 자체는 고3 때 있을 미적분 내신 과정과 수능 미적분보다 ‘고2 때 배우는 수학Ⅱ 내용과 수능 공통과목 수학Ⅱ’에 더 도움이 됩니다. 

Q. 최상위권·상위권, 중위권 등 ‘성적대별’로 공부 방법이 다를 텐데, 꼭 짚고 넘어가야 할 부분이 있다면 무엇인가요?

조지흔 원장 : 여름방학 때 최상위권은 미적분 모의고사 4점 문항의 기출 문제들과 적중 모의고사 문제들을 풀어보며 학습 내용을 반드시 자신의 것으로 만들어야 합니다. 특히 의대를 지망하는 최상위권이라면 미적분에서 절대 틀려서는 안 됩니다. 상위권이라면 공통 과목인 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 중에서 최대한 점수를 ‘높게’ 받도록 노력해야 하며, ‘미적분을 공부하는 것 자체가 수학Ⅱ 과목의 심화 공부에 도움이 된다’라는 생각으로 공부하길 바랍니다. 중위권이라면 개념을 공부 하면서 미적분에서 3점 문항을 다 맞춘다는 목표로 공부해야 합니다. 고2는 내신 시험도 중요하지만 수능 시험도 매우 중요한 학년이기 때문입니다. 

수강쌤 부원장 : 중·하위권이라면 미적분 학습 시 계산 연습에 집중하길 바랍니다. 미적분은 여러 가지 방법을 연습해야 하는 과목이라서 한 단원이 마무리되고 다음 단원을 진행했을 때 일정 시간이 지나면 앞 단원의 내용을 잊어버리는 학생이 매우 많습니다. 그래서 다시 복습해야 하거나 미적분 학습이 마무리되었어도 머릿속에 남은 건 마지막 단원뿐인 경우가 많습니다.
이를 극복하기 위해서는 복습이 매우 중요합니다. 2단원을 진행하면서 1단원의 문제를 조금씩 함께 풀고, 3단원을 진행하면서 1, 2단원의 문제를 조금씩 함께 풀면서 학습한 내용의 감각을 계속해서 유지하는 방법으로 미적분 학습을 완료해야만 전체적인 내용을 자기 것으로 만들 수 있습니다. 최상위권과 상위권이라면 이미 수학Ⅰ, 수학Ⅱ의 심화 과정을 자유롭게 연습하는 단계라서, 단원별 유형 연습을 마치고 난 뒤 평가원이나 교육청 모의고사 기출 문제를 활용해 심화학습을 진행하는 것이 좋습니다.
그 외 심화 문항들은 대부분 평가원이나 교육청 모의고사 기반의 변형 문제입니다. 따라서 소위 ‘원석’이라고 할 수 있는 문제를 먼저 풀어보고, 그다음 다양한 사설 기관의 문제 풀이를 통해 심화 학습을 해나가면 미적분 실력을 다지는 데 도움이 될 것입니다. 

Q. 마지막으로 ‘여름방학 수학 공부’를 위한 조언 부탁드립니다.

수강쌤 부원장 : 여름 방학만 놓고 보면 3주 정도 되는 시간이지만 기말고사가 끝난 직후부터 생각하면 상당히 긴 시간 동안 학습할 좋은 기회가 바로 여름방학입니다. 학생마다 1학기 과정에 대한 반성과 2학기를 위한 학습 계획을 세우게 되는데 보통 1학기 과정을 복습하는 것은 효율적이지 못한 것이 사실이기에, 2학기 과정에 대한 예비 학습을 진행하는 것이 대부분입니다. 간혹 ‘남들은 중학교 때부터 이미 미적분 학습을 진행했는데, 나는 이번이 처음이라 이미 뒤처졌다’라고 생각하는 학생도 있는데 크게 걱정하지 않아도 됩니다.
생각보다 많은 학생이 중학교 때 예비 학습을 했더라도 크게 도움이 되지 않을 정도로 학습 내용을 잊어버렸기 때문에, 동일 선상에서 시작한다고 생각하며 포기하지 말고 2학기 과정을 도전해야 합니다. 앞서 말한 것처럼 기말고사 이후 바로 준비하지 않으면 그야말로 뒤처지는 결과가 생길 것이기 때문에 빨리 학습 계획을 세워 실전하길 바랍니다. 2주 정도 조금 빠르게 개념 정리와 유형 학습을 진행하고 남은 2주는 학습한 개념을 문제에 적용하는 문제 풀이 연습에 집중하는 것이 좋습니다. 개학과 동시에 중간고사를 본다는 마음가짐으로 남보다 먼저 시험 준비를 한다면 학습 동기 부여에 큰 도움이 될 것입니다.  

조지흔 원장 : 여름방학은 정말 짧지만, 고3 학생들은 11월 수능 전에 밀린 공부를 할 수 있는 매우 중요한 시기입니다. 고2 학생들은 2학년 2학기 내신 시험에 대비해 자신이 부족한 면을 잘 채울 수 있는 중요한 시기입니다. 따라서 여름방학은 많은 것을 하려고 하지 말고 ‘선택과 집중’을 잘 해야 하는 시기입니다. 그만큼 학습 계획을 철저히 세워 실천하길 바랍니다. 

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