어느덧 개학이 코앞으로 다가왔다. 고등학교 공부에서 가장 중요하다는 겨울방학이 거의 끝나가고 있다. 누구보다 열심히 공부해서 실력이 월등히 좋아진 친구들이 있을 것이다. 반면 의지가 부족해서 하는 둥 마는 둥 지낸 친구들도 있을 것이다. 전자에겐 박수를, 후자에겐 비판과 격려를 하고 싶다. 방학을 성공적으로 보낸 학생들의 공통점은 좋은 마인드의 자세를 가졌다는 것이다. 반면 열정이 없는 친구들은 학원에서 허송세월만 보냈을 것이다. 내신 시험까지는 아직 시간이 남았다. 구체적으로 수학 공부에 있어서 어떤 마인드와 자세를 가져야 하는지 이야기해 보도록 하겠다.

문제를 얼마나 엄밀하게 풀어야 하나요?

수학 공부를 하다보면 직관적으로 답을 내는 경우가 많다. 직관적이라 함은 엄밀한 증명이나 논리 없이 왠지 그럴 것 같다는 느낌으로 문제를 푸는 것을 말한다. 가령 원에 내접하는 사각형의 넓이가 최대일 때, 사각형은 무슨 사각형인지 구하는 문제를 푼다고 해보자. 대부분의 학생들이 ‘답은 특수한 케이스인 정사각형이 아닐까?’ 라고 생각한다. 하지만 왜 그런지 이야기해보라고 하면 아무 말도 못하는 경우가 많다. 재미있게도 답은 정사각형이 맞다. 산술기하부등식 혹은 약간의 계산을 통해 이를 증명할 수 있다. 그렇다면 직관에 의존해서 문제를 푸는 것은 좋은 행동일까? 답은 No다. 직관을 너무 남발하는 것은 큰 독이 될 수 있기 때문이다. 어려운 문제를 조금만 풀어 봐도 우리의 직관이 얼마나 위험한지 알게 된다.

문제집에는 직관에 반하는 낚시 문제가 매우 많다. 직관을 배제하고 엄밀하게만 문제를 푼다면 어떨까? 이렇게 공부하면 난이도 중하의 많은 문제들을 풀어낼 수 있지만 아이디어가 필요한 창의적인 문제는 전혀 풀 수 없게 된다. 따라서 직관과 엄밀함의 균형을 유지하며 공부해야 한다.

실제로 수학의 역사도 직관에 의해 발전했다. 허수 ⅰ는 처음부터 잘 존재했던 수가 아니다. 복소수가 있으면 좋다고 생각한 뒤 이후 여러 가지 성질들이 발견된 것이다. 수학Ⅱ에서 배우는 극한의 개념도 처음부터 엄밀하지 않았다. 극한을 엄밀하게 정의하는 입실론 델타 논법은 극한보다 더 나중에 생겼기 때문이다. 반대로 페르마의 마지막 정리 와 같은 내용은 직관적으로 참이어 보이지만 엄밀하게 증명하기가 쉽지 않다. 그래서 오랫동안 풀리지 않았던 것이다.

수학 공부를 할 때는 항상 직관적으로 답을 내는 것, 그리고 엄밀하게 차근차근 푸는 것을 모두 연습하기 바란다.

내신 수학 시험은 어느 정도로 대비해야 하나요?

학기가 시작하면 가장 중요한 것은 내신 시험이다. 내신 수학 시험이 어떻게 나오는지 감이 전혀 오지 않을 수 있다. 그럴 때는 기출문제를 풀어보면 된다. 기출문제는 인터넷 사이트나 학원에서 구할 수 있다. 때때로 일부 학교는 과거 기출문제를 홈페이지에 게시하거나 학생들에게 나눠준다. 그러지 않은 경우라도 선생님에게 잘 부탁하면 기출문제를 얻게 되는 경우도 있다. 결국 부지런하게 움직인다면 어떻게든 구할 수 있다는 소리다.

내신 시험을 준비할 때 가장 중요한 것은 ‘시험이 어려울 것이라고 생각하는 것’이다. 학교는 다양한 실력대의 학생들이 수업을 듣는 곳이다. 따라서 수업 내용이 어렵지 않다. 평균적인 학생들에 맞춰져서 평이하게 진행된다. 시험은 학교 선생님이 출제하신다. 따라서 아이들은 ‘출제자가 어려운 내용은 수업 때 다루지 않았으니 시험도 쉬울 거야.’ 라는 착각을 하게 된다. 안타깝게도 시험은 상대평가이고 변별력이 필요하다. 그래서 시험문제는 아이들의 생각을 넘어서 언제든지 어려워 질 수 있다. 또한 수업 때 배우지 않은 내용이 당연히 나올 수 있다! 이에 관하여 이의제기를 해선 안 된다. 모든 어려운 문제는 ‘심화’ 혹은 ‘응용’이라는 명목으로 출제할 수 있기 때문이다. 그래서 학교 수업시간에 배우지 않았더라도 시험 범위 안에 있는 모든 문제와 유형들을 마스터해야 한다.

마인드의 관점에서도 시험을 어렵다고 생각하는 것이 좋다. 사람이란 참 간사해서 자기에게 필요한 만큼만 공부하게 된다. 시험이 쉬울 것이라고 생각해버리면 적당히 공부하게 된다. 반면 시험이 어려울 거란 생각을 하면, 미리 긴장을 하게 되면서 더 열심히 공부하게 되는 것이다. 항상 시험은 어렵게 나올 것이라고 생각하고 철저하게 준비해야 한다. 130점 맞을 실력을 갖춰야 100점이 나온다는 사실을 기억하자.

공부할 수 있는 학원은 넘쳐난다. 문제집도 좋은 것들이 너무나 많다. 하지만 가장 중요한 것은 본인의 마인드와 자세이다. 주어진 컨텐츠들을 어떻게 활용하느냐에 따라 결과는 전혀 달라진다. 수학 공부에 있어서 직관과 엄밀함을 동시에 연습해보자. 또한 항상 130점 150점 맞을 각오로 공부해보자. 작은 마인드의 변화가 커다란 성적 변화를 가져온다는 것을 기억해라!

일산 후곡 아이디수학학원  전인덕 원장

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