중학교 수학에서 1학기에는 대수, 2학기에는 대체로 기하를 배운다. 학원에서 선행 할 때 2학기보다는 1학기 부분에 더 비중을 두고 진행하는 경우가 많다. 하지만 도형의 대부분은 중학교에서 배우는 것이 전부고 고등학교에서는 중학교 내용을 모두 안다는 전제 하에 문제를 출제하기 때문에 제대로 해놓지 않으면 고등 가서 어려움을 겪는다.

중학교 수학에서 기하가 중요한 이유
중 고등학교 수학은 크게 대수, 정수, 기하, 조합으로 나눌 수 있다. kmo와 같은 수학 경시대회 시험을 볼 때 이렇게 4개의 과목으로 나누어 공부한다. 대수란 수를 대신한다는 것으로,  x,y 같이 문자가 들어간 식을 다룬다. 대표적인 단원명으로는 방정식, 함수, 인수분해 등등이 있다. 사실상 중 고등학교 수학의 대부분은 ‘대수’ 라고 봐도 된다. 조합이란 확률과 통계를 의미한다. 즉, 경우의 수와 확률 등을 잘 계산하는 과목이다. 기하는 아시다시피 그림을 그려서 문제를 푸는 과목이다. 정수는 약수와 배수, 소수의 성질 등을 배우는 과목으로 그 비중이 가장 적다고 할 수 있다.
대수는 그 특성상 중 고등학교에서 계속 나오기 때문에 저절로 훈련이 많이 된다. 또한 연계성이 매우 높다. 앞의 내용을 모르면 제대로 풀기 어렵다. 고2때 방정식 문제를 풀려면 고1 지식이 필요하고, 고1 문제를 풀려면 중등 지식이 필요하다. 중학교 때부터 착실히 공부한다면 저절로 반복 훈련이이 되는 단원이다.
반면 기하는 중학교 2학년, 3학년 때 잠깐 나오고, 이후 고등과정에서 간간히 등장한다. 대수에 비해 비중이 적다보니 상대적으로 공부를 덜하게 된다. 수학 상에서는 마지막에 등장하는 도형의 방정식 파트, 미적분에서 ‘극한과 도형’ 문제, 그리고 ‘기하’ 라는 과목에서 배우게 된다. 중등 기하는 필수적으로 알고 있어야 한다. 기하를 제대로 못하면 고등학교 내신 시험에서 주기적으로 좌절을 맛보게 된다. 또한 수능 및 논술에서 절대로 고득점을 받을 수 없다. 고등 기하는 중등 기하를 기초로 진행되기 때문에 중등 기하의 중요성은 높다고 할 수 있다.

학생들이 기하를 어려워하는 이유
기하가 중요하지만 학생들을 이를 어려워한다. 그 이유는 사실 간단한다. 기하 센스가 부족하기 때문이다. 선천적으로 공간 지각 능력이 부족하고 기하 센스가 없는 사람들이 있다. 반대로 기하는 유독 잘하지만 조합을 잘 못하는 친구들도 있다. 대수 파트는 노력에 비례해서 실력이 상승하지만, 기하와 조합의 경우에는 타고난 머리가 사실 많이 중요하다. 그렇다고 좌절할 필요는 없다. 기하만의 특색을 파악하고 연습하면 분명히 실력이 늘기 때문이다. 문제는 기하만의 특색이 기하를 공부할 때만 경험할 수 있다는 것이다. 다른 과목과의 연계성이 적다.
기하는 크게 ‘논증 기하’와 ‘해석 기하’로 나눌 수 있다. 논증기하는 중학교 때 배우는 기하로서, 좌표를 사용하지 않고 순수한 기하의 성질만을 이용해 문제를 푼다. 반면 해석기하에서는 좌료와 함수를 도입하여 문제를 푼다. 고등학교에서 배우는 기하는 해석기하다. 예를 들어 정사각형이 등장한다면 네 꼭짓점의 좌표를 (0.0), (0,1), (1,0), (1,1)로 두고서 좌표평면을 생각한 뒤 문제를 푸는 것이다.
해석기하는 따라 하기 쉽지만 순수 기하는 배우는 데 시간이 오래 걸린다. 대부분의 학생들은 중학교 때 공부를 안 하기 때문에 순수기하를 제대로 연습하지 못한 경우가 많다. 그리고 고등학교에 진학하면 좌표를 사용하여 기하를 푸는 연습만 하게 된다. 그렇게 되면 반쪽짜리 기하 공부를 하게 되는 것이고 어려운 문제에서 고비를 마실 수밖에 없게 된다.

기하공부 어떻게 해야 할까
기하문제는 크게 그림이 주어지는 경우와 주어지지 않는 경우로 나눌 수 있다. 그림이 주어지더라도 문제 상황과 같은 상황이 주어지는 경우가 있고, 예시로서 참고하라는 취지로 주어지는 경우도 있다. 따라서 학생은 언제든 그림을 자기가 해석 가능하게끔 다시 그릴 준비가 되어 있어야 한다. 그러기 위해선 평소에 많이 그려봐야한다. 연습장을 아까워하지 말고 그림을 많이 그려보고 관찰해야 한다.
그림을 그리다 보면 정확하게 그림을 그리기 쉽지 않다는 것을 깨닫게 된다. 주요 포인트를 짚어가며 논리적으로 그림을 그려야 한다. 예를 들어 원을 그리고 지름의 양끝 점을 A, B라고 하자. 그리고 원 위에서 A,B와는 다른 임의의 점 C를 고른다. 그러면 각 ACB는 반드시 90도가 된다. 하지만 그림을 그리다보면 90도처럼 안 보일 수 있다. 그럴 때는 90도가 되게끔 다시 그리면서 ‘미리 알고 있던 논리’에 내 그림을 맞출 줄 알아야 한다.
결국 기하를 잘하려면 그림을 잘 그려야 하는데, 그러려면 많은 논리와 ‘정리’들을 알고 있어야 한다. 자연스럽게 수학자들이 증명해 놓은 다양한 정리들을 배울 수밖에 없다. 기하에서 주로 쓰이는 다양한 정리들을 배우고 습득해서 적재적소에 사용할 줄 알아야 한다. 이러한 과정을 인내심을 가지고 반복하면 기하 실력이 늘게 될 것이다.  

일산 후곡 아이디수학학원

전인덕 원장

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