‘수학 (상)’이라는 과목의 이름을 들으면 두 가지 생각이 떠오른다. 우선 수학 상은 고등학교 수학의 문을 여는 과목이다. 수학 상을 잘 하면 고등학교 첫 중간고사를 잘 볼 수 있다. 첫 시험을 잘 보면 자신감이 생기게 되고 공부에 대한 감을 잡을 수 있다.
둘째로 수학 상은 이후 배우는 내용의 기초가 된다. 특히 수학 Ⅱ를 배울 때 수학 상을 모르면 아무 것도 할 수가 없다. 인수분해를 할 줄 모르는데 미분을 할 수 있겠는가.
그렇다면 수학 상을 공부할 때, 어느 부분을 유념해야 할까? 최상위권이 되기 위해 꼭 알아야 하는 수학 상 핵심 내용들을 정리해 보았다.

1. 전개는 쉽다. 그러나 인수분해는 어렵다.
인수분해는 다항식 파트의 핵심 스킬이다. 식의 전개는 쉽지만 그 역과정인 인수분해는 어렵다. 미분은 쉽지만 적분은 어려운 것과 같은 이치다. 인수분해를 잘 하기 위해선 다양한 방법들을 알고 있어야 한다. 곱셈공식 암기, 치환, 인수정리, 상반식, 한 문자로 내림차순 등등 여러 가지 방법들을 상황에 맞게 쓸 줄 알아야 한다. 상위권이 되려면 더 나아가 대칭식, 교대식 등의 경시 개념까지도 알고 있어야 한다.
모든 인수가 3개 이상의 항을 갖는 경우(예를 들어 인수분해를 했더니 (a+b+c)(ab+b+c+1)과 같은 형태가 나오는 경우)는 난이도가 훨씬 올라간다. 따라서 이러한 부분까지도 공부하고 경험을 쌓아야 한다.

2. 복소수는 현실 밖의 수다.
허수 'i'는 제곱해서 -1이 되는 수다. 고등학교에서 처음 배우는 개념으로 그 쓰임이 무궁무진하다. 수 체계를 확장시키는 수이므로 철저한 공부가 필요하다. 복소수는 다항식과 연계해서 수학 상 전반부를 차지한다. 다양한 풀이 법들을 배워서 복소수 단원의 특징을 파악해야 한다.
최상위권이 되고 싶다면 복소평면에 관한 지식을 쌓는 게 도움이 된다. 복소수의 연산은 평면 위에서 점들의 연산과 대응된다. 복소수는 평면 위의 점에 대응시킬 수 있고, x축과의 각도 및 원점까지의 거리만으로 그 움직임을 관찰할 수 있다. 이를 이해하면 복소수 단원의 문제들이 매우 빠른 속도로 풀리게 된다. 문제를 내려다 볼 수 있게 되는 것이다. 어려운 내용이므로 기본기가 되어 있지 않다면 모르는 게 나을 수도 있다.

3. 근의 분리!
방정식 파트에서 가장 중요한 개념은 근의 분리다. 근의 분리란‘주어진 이차방정식이 서로 다른 두 양수 실근을 가질 조건은?’ 과 같은 문제를 일컫는다. 보통 ‘판축경’ 이라 부르는 방법부터 익혀야 한다. 판별식, 축, 경계를 관찰하자는 뜻이다. 근의 분리를 잘 하려면 정석적인 풀이 외에도 문제를 관찰하는 힘이 필요하다. ‘최고차항 계수가 양수인 이차식 f(x)에 대해, 방정식 f(x)= 0 의 한 근은 3보다 작고 다른 근은 3보다 클 조건을 구하여라.’ 라는 문제를 풀어보자. 굳이 ‘판축경’을 볼 필요 없이 f(3)<0 이라는 조건만 있으면 된다. 이는 이차함수의 개형과 사잇값 정리 때문에 자명하다. 상위권이 되려면 다양한 경우에 대한 근의 분리 기술을 익혀야 한다.  

4. 대수 vs 기하
마지막 단원인 도형의 방정식에선 점과 좌표, 직선, 원, 도형의 이동을 배운다. 중학교 때 배웠던 기하 내용들을 다시 다루게 된다. 순수 논증 기하가 아닌, 좌표와 함수를 이용한 ‘해석기하’를 배우는 단원이다. 그러다보니 모든 문제를 좌표를 이용해서 풀게 된다. 하지만 상위권으로 도약하려면 중학교 때 기하를 풀던 방식으로 풀 수 있어야 한다.
모든 문제를 풀 때, ‘좌표 및 함수를 최대한 사용하지 않고 순수 도형의 성질만 활용하는 풀이’ 와 ‘고1 교육과정에 충실한 좌표 및 함수 풀이’ 두 가지를 동시에 연습해야 한다. 이쪽 파트가 특히 약한 학생들의 경우, 중학교 기하를 복습하고 와야 한다. 중학교 때 배운 닮음, 합동, 원의 성질, 삼각비 등은 상식과도 같은 개념이기 때문이다.

수학 상은 ‘생각보다 어렵다.’ 고1 과정이고 처음이다 보니 많은 학생들이 무시하는 경향이 있다. 수학 상을 넘어서 수학 하, 수학 Ⅰ, 수학 Ⅱ 등 공부해야 할 것들이 많기 때문이다. 하지만 다양한 대수 능력이 요구되는 과목이며, 후반부로 가면 기하 실력까지 필요하다. 수학 Ⅱ의 경우에는 풀이 방법이 어느 정도 정해져있고 일관성이 있다. 그러나 수학 상에서 고난도 문제들은 풀이가 일관되지 않으며 다양하게 접근할 수 있다. 따라서 충분한 연습이 필요하다.
고등학교 입학 전 수학 상을 깊게 공부해보자. 첫 시작에서 좋은 점수를 받으면 이후 저절로 잘 될 수밖에 없다. 당장 인수분해 문제부터 풀어보자.

일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장
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