경우의 수 킬러문제를 대하는 자세!

 내년부터는 새 교과과정에 의해서 교육과정이 바뀐다. 문과학생의 경우 수2, 미적분1, 확률과 통계를 배우고, 이과학생의 경우 미적분2, 기하와 벡터, 확률과 통계를 배우게 된다. 문제가 되는 것은 확률 통계 단원의 문제가 지금에 비해 두배가 늘어난 10문제가 출제된다는 것이다.

과거 7차 교육과정을 겪어본 학생이나 학부모의 경우 확률 통계 단원의 난해함을 잘 알 것이다. 기본적으로 세는 단원이기 때문에 한 번만 잘 못 세도 틀리는 단원이다. 그 때문에 수능수학에서 종종 킬러 문제가 등장했던 단원이고 내년부터 수능 수학이 어려워짐은 명확관화하다. 즉, 이 단원을 어떻게 처리하냐에 따라 수능 등급이 결정된다. 어떻게 대처할지 경우의 수 단원부터 자세히 살펴 보겠다.

 첫째, 곱사건이 까다롭다. 즉, 언제 곱하는지를 잘 판단하여야 한다.

합사건의 경우 일반적으로 사건의 행위가 완결되면 더하기 때문에 학생들이 크게 어려워하지 않는다. 문제가 되는 것은 곱사건이다. 언제 곱하는지 햇갈릴때가 많다. 곱사건의 경우 크게 세가지 관점에서 판단하면 되겠다.

  1. 어떤 사건이나 행위가 진행중이면 곱한다. 즉, 선행사건이 완결되고 후행사건이 발생하는데 후행사건이 전체를 이루는데 필수불가결하고, 행위가 진행중이면 곱하면 된다.

 2. 수형도의 상황이면 곱한다. 선행사건 각각마다 똑같은 후행사건이 발생하면 곱한다. 특히 수형도는 처음보는 형태의 문제이거나 경우의 수를 빠짐없이 셀 때 유용한 도구가 된다.어려운 수능 평가원 문제일수록 수형도를 이용하여 풀리는 경우가 많았기 때문에 수형도 사용에 익숙해져야 한다.

 3. 순서부여의 곱셈인지 서로 다른 세계 연결곱셈인지 판단하여야 한다. 가령 서로 다른 빵 4개중 2개, 서로 다른 우유 3개중 2개를 사는 경우, 빵과 우유는 서로 다른 세계이므로 빵과 우유를 사는 행위는 두 세계를 연결시키는 역할을 하므로 순서가 부여되지 않는다. 하지만 4개의 빵중 2개를 사는 경우 순서가 부여되는 곱셈이다. 이 때 중복되는 것은 나눗셈으로 삭제하면 된다.

 둘째, 언제 어떤 공식을 사용할지 잘 판단하여야 한다. (이것이 특히나 어렵다)

보통 경우의 수의 경우 학생들이 공부할 때 참고서에 단원 이름이 나오기때문에 공식적용을 햇갈려하지 않는다. 문제는 수능 평가원 시험에서는 단원전체가 뒤섞여 나오기 때문에 공식적용에서 어려움을 겪는다. 특히 순열과 조합, 중복순열과 중복조합을 적용하는데 어려움을 겪는다.

 1. 순열과 조합

순열과 조합의 차이점은 서로 다른 것에서 몇개를 선택한 것을 배열하는가 아닌가의 문제이다. 즉 순서 여부에 있다. 순서를 자리와 대응의 관점에서 설명하겠다. 순서를 자리로 판단하는 경우-가령 서로 다른 4명 중 3명을 택하여 의자에 앉히는 경우는 자리라는 것이 순서의 의미가 있으므로 자리의 개념을 사용하는 것이 좋다. 하지만 자리의 개념만으로 판단하기 힘든 경우 대응의 개념으로 판단하는 것이 좋다. 예를 들어 서로 다른 4개의 도시 중 왕복 기차권을 사는 경우 출발지와 도착지가 다르면 전혀 다른 경우이므로 대응의 개념으로 순서를 판단하는 것이 좋다. 즉, 자리와 대응의 개념이 있으면 순열으로 아니면 조합을 사용한다.

 2. 중복순열과 중복조합

경우의 수에서 가장 판단하기 어려운 단원이 무엇이 중복순열이고 무엇이 중복조합인지이다.

중복순열의 경우, 서로 구별이 가는 대상을 서로 구별이 되는 것에 분배할 때 사용하면 된다.

중복조합의 경우, 서로 구별이 가지 않는 대상을 서로 구별이 되는 것에 분배할 때 사용하면 된다.

하지만 중복순열과 중복조합의 어려움은 여기서 끝나지 않는다. 중복순열과 중복조합은 서로 다른 n개에서 중복을 허락하여 서로 다른 r개를 택하는 것이기 때문에 무엇을 n으로 무엇을 r로 할지 까다롭다. 일반적으로 중복순열의 경우 받는 것을 n으로 주는 것을 r로 하면 된다. 중복조합의 경우엔 부르는 대상을 n으로 부르는 횟수를 r로 치환하여 판단하면 쉬울 것이다.

  다음 회에는 확률을 살펴 보겠다.

  극한수학 원장 황인철

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