까칠한 재벌2세 남자와 평범한 여자의 사랑을 담은 ‘파리의 연인’이라는 드라마에서 박신양(한기주 역)이 김정은(강태영 역)에게 돼지저금통을 선물하는 장면이 있었다. 100만원 어치 동전을 바꿔서 돼지 밥을 준다는 박신양의 대사가 여자 시청자들의 마음을 울렸는지, 그 장면이 방영된 후 돼지저금통이 불티나게 팔려나갔다고 한다. 

돼지저금통이 드라마에서는 사랑하는 사람의 마음을 얻는 매개체로 사용되었지만, 많은 가정에서는 마땅히 사용할 곳이 없는 동전들을 모아두는 역할을 한다. 처음에는 “저 큰 돼지저금통이 언제쯤이면 다 찰까?”하는 생각을 한다. 그렇지만 별다른 생각 없이 동전이 생길 때마다 하나 둘 돼지저금통에 넣다보면 어느 날 더 이상 동전이 들어가지 않을 때가 생긴다. 저금통을 채우는 일이 아득하게 먼 훗날이라고 여기고 있다가 생각보다 빨리 채워져서 놀라고, 저금통을 뜯어서 나오는 금액을 보고 또 한 번 놀라게 된다. 이때 하는 말이 “정말 티끌모아 태산이 되는구나”가 아닐까 싶다.

아무리 작은 대상이라도 무한히 모으면 나중에 큰 덩어리가 됨을 비유적으로 일컬을 때 사용되는 속담이 ‘티끌 모아 태산’이다. 위 문장 중 ‘무한히 모으면’을 수학 용어로 바꾸면 무한급수가 적절한 단어라고 생각한다. 

일정한 규칙에 따라 숫자를 차례대로 나열하는 것을 수열이라고 하고, 나열되는 숫자를 한없이 더하는 것을 무한급수라고 한다. 예를 들어 1, 2, 3, 4, … 은 자연수들을 차례대로 나열한 수열이고 1+2+3+4+…은 자연수들을 한없이 더하는 무한급수이다.
다음은 자연수들의 역수를 한없이 더하는 무한급수이다.

이 무한급수에서는 뒤로 가면 갈수록 십억 분의 일, 백억 분의 일과 같이 티끌처럼 매우 작은 수들이 더해지게 된다. 이런 숫자들을 무한히 더해가는 이 무한급수의 합은 얼마나 될까? 더 읽기 전에 합이 얼마쯤 될지를 생각해보자. 수학적으로 생각하는 힘은 읽기만 해서는 길러지지 않는다. 풀이를 고민해보고 과정을 노트에 직접 쓰는 일을 귀찮아하지 말아야한다.  

아래의 식은 이 무한급수의 합이 한없이 커지고 있음을 나타내고 있다. 즉, 티끌을 모으면 태산이 된다는 속담이 수학적으로 참이라는 사실을 보여준다.

그러면 무한히 더하면 항상 위와 같이 티끌모아 태산이 되는 결과가 나올까?
아래의 그림을 살펴보자. 풀이를 보기 전에 어떤 숫자들의 합인지, 계산 결과는 어떻게 되는지를 생각해 보자.

위 그림에서 빨간색 직사각형의 넓이는 ½, 노란색 직사각형의 넓이는 ¼, 파란색 직사각형의 넓이는 ⅛. 이와 같은 방법으로 색깔이 칠해진 직사각형의 넓이를 차례대로 무한히 더해 가면, 커다란 정사각형의 넓이와 같아지게 된다. 이 과정을 식으로 나타내면 ½+¼+⅛+…=1이 된다.
한없이 더했지만 이 경우에는 그 합이 1을 넘지 못한다는 사실을 보여주고 있다. 티끌도 티끌 나름이다.

●12월의 문제
제시되는 문제의 풀이 과정과 정답을 보내 준 독자들을 대상으로, 추첨을 통하여 2명에게 필기용품 전문회사인 ㈜모나미(www.facebook.com/monami1963)에서 마련한 필기도구세트를 가정으로 배송해 준다.

아래 그림은 한 변의 길이가 1인 정사각형이다. 노란색으로 칠해진 도형이 나타내는 식은 무엇인지, 결과는 어떻게 되는지를 구하여라.

●11월의 문제 당첨자
김*빈, 강원도 원주시 태장동
조*희, 인천시 계양구 효성동

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진광고등학교 신인선 교사

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