수학을 숫자에 관한 학문으로 생각하는 사람들은 숫자에는 인격적 면이 없으므로 수학은 인간미가 전혀 없는 아주 딱딱하고 차가운 학문이라고 생각한다. 수학은 필요해서 배우는 과목이 아니라 입시 때문에 어쩔 수 없이 배우므로 학교만 졸업하면 쓸모없는 학문이라고 여기는 사람들도 많다. 일반인들이 이렇게 수학에 대한 부정적 이미지를 가지게 된 이유 학교에서 성적과 입시를 중심으로 수학을 가르쳤기 때문이다. 

그러나 조금만 관심을 기울이면 주변에서 수학에 관한 흥미를 불러일으키는 대상을 어렵지 않게 찾을 수 있다. 복잡해 보이는 현상들도 간단한 수학적 상식을 이용하면 쉽게 이해되는 경우도 많다. 생각보다 수학은 실생활 구석구석에서 유용하게 쓰이고 있다. 

복사기, 프린터기 사용이 보편화 되면서 학교나 회사에서 사용하는 종이는 주로 A4 규격의 용지를 사용한다. 주변에서 가장 많이 사용되고 있는 종이가 A4 용지라고 보아도 틀린 말은 아니다. 그런데 이 A4 용지에도 수학이 담겨져 있다. A4 용지의 규격은 가로×세로의 길이가 210mm×297mm이다. 200mm×300mm와 같이 가로와 세로의 비를 2:3이나 3:4와 같이 간단한 정수비가 되도록 정하지 않고, 복잡해 보이는 수치를 사용하는 이유는 뭘까?

종이는 제지 공장에서 만든 큰 규격인 전지의 낭비를 줄이기 위해서 절반으로 자르고, 또다시 절반으로 자르는 과정을 반복하면서 만든다. A4 용지의 전지를 A0라고 하는데, A0를 절반으로 접어서 자른 종이의 규격을 A1, A1을 절반으로 접어서 자른 종이의 규격을 A2라고 한다. A4용지는 A3를 절반으로 접어서 자른 크기이면서, A0 전지를 네 번 접어서 자른 크기이다. 

종이를 절반으로 자르는 과정에서 가로, 세로의 비가 변하는 문제가 발생한다. 예를 들어 200mm×300mm와 같이 가로 세로의 비가 2:3인 종이를 절반으로 자르면, 가로 세로가 150mm×200mm(비는 3:4) 크기의 종이가 만들어진다. 이렇게 만들어진 종이는 처음의 종이보다 다소 뭉툭해 보여, 일부를 더 잘라내어야 보기 좋은 형태로 만들어진다. 그렇게 되면 아까운 종이와 펄프를 낭비하게 된다. 그리고 가로 세로의 비가 2:3처럼 정수가 되면 축소와 확대가 쉽지 않다. 축소와 확대를 할 때 가로와 세로의 길이가 남지 않게 하려면 가로와 세로의 비가 변하지 않아야 한다. 즉 두 종이가 닮은꼴이 되어야 한다.

원래 것을 반으로 잘라서 닮은꼴이 되어야 한다는 조건을 이용하여 수식을 세워 보자. 자르기 전의 종이의 가로:세로를 1:x라고 하면, 이것을 절반으로 자른 종이의 가로 세로의 비는 x/2:1이 된다. 두 종이의 모양이 서로 닮은꼴이므로 비례식 1:x=x/2:1가 성립하므로 x²=2가 된다. 따라서 x=√2이다. 즉 종이의 가로와 세로의 비가 1:√2가 된다면, 종이를 절반으로 자르더라도 모양이 변하지 않는다(√2의 값은 약 1.414이다).

참고로 A0 전지의 크기는 독일공업규격위원회에서 정한 841mm×1189mm다. 이 A0 용지의 넓이는 999949mm²로, 1000000mm²=1m²의 근삿값이다. 즉 A0전지는 가로, 세로의 비가 1:1.414가 되고 넓이가 1m²인 규격의 종이이다. 

제시되는 문제의 풀이 과정과 정답을 보내 준 독자들을 대상으로, 추첨을 통하여 2명에게 필기용품 전문회사인 ㈜모나미(www.facebook.com/monami1963)에서 마련한 세트를 가정으로 배송해 준다.

●8월의 문제
A4용지 외에 많이 사용되는 종이가 B4, B5 용지다. 이 종이를 만드는 기본 원리는 A4 용지와 같다. 전지 B0의 규격이 1030mm×1456mm 이므로 가로 세로의 비가 1:1.414이고, 넓이는 1.5m²가 된다. 이를 절반으로 자르는 과정에서 B1, B2, B3… 등이 만들어진다.
A1, A2, A3… 과 B1, B2, B3… 의 모든 용지는 서로 닮은꼴(닮음비는 얼마?)이므로, 적당한 비율로 확대하거나 축소하면 다른 용지에 인쇄나 복사도 가능하다.

다음 문제를 풀어 보자. 
1. A4용지는 B4용지보다 작지만 B5용지보다 크다. 
① A4 용지의 면적은 B5 용지의 몇 배일까?
② 몇 배를 확대하면 A4 용지에 작성된 문서를 B4 용지에 인쇄할 수 있겠는가?

2. 독자들이 지금 읽고 있는 내일 신문을 완전히 펼친 크기를 4절, 많이 쓰는 스케치북의 크기는 8절, 일반적인 공책의 크기는 16절이라고 부른다. 이 종이의 규격들은 어떤 방법으로 만들어졌는가?

9월 21일까지 반드시 풀이과정이 포함된 정답을 메일로 보내면(상품을 받을 분의 연락처와 주소도 함께), 9월 26일자 신문에 당첨자를 발표하고 상품은 10월 10일경에 발송 예정이다.

●7월의 문제 당첨자
유*민, 강원도 원주시 명륜2동
안*현, 서울시 송파구 문정동

궁금한 점은 아래의 블로그를 활용해 주세요.
 
Blog:http://blog.daum.net/istiger

진광고등학교 신인선 교사

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