요즈음 프랑스 소설가 기욤 뮈소가 인기다. 그래도 우리나라 사람들에게 가장 인기 있는 프랑스 소설가는 베르나르 베르베르라고 생각한다. 그의 작품들은 출간될 때마다 마니아층을 형성하면서 베스트셀러가 되었다. 그의 작품으로 처음 소개되었던 소설 ‘개미’에는 다음과 같이 숫자를 배열할 때 9번째 줄에는 어떻게 숫자가 나열해야 하는지를 묻는 문제가 제시되어 있다.

‘개미’ 책이 워낙 많이 팔리면서 이 문제는 ‘개미 수열’로 알려지게 되었고, 지금은 인터넷에서도 쉽게 검색이 될 정도로 유명해졌다. 삼각형 모양의 숫자 배열은 1로 시작하여 11은 1이 1개, 12는 1이 2개, 1121는 1이 1개, 2가 1개, 이런 방법으로 앞 단계의 숫자를 세어서 각 단계에 숫자를 배열해서 만든다. 정답은?
 
개미 수열의 원조는 파스칼의 삼각형이다. 아래와 같은 그림을 파스칼의 삼각형이라 부른다. 14세기 초에 중국에서 이미 연구되고 있었으나, 이 삼각형에 대한 체계적인 이론을 만들고 다양한 수학적 성질을 찾아낸 프랑스 수학자 파스칼(1623~1662)의 이름을 따서 파스칼의 삼각형으로 불린다. 오늘은 파스칼의 삼각형에 숨겨진 다양한 규칙들을 찾아보는 여행을 떠나자.

① 위의 그림에서 숫자들을 배열하는 규칙은 무엇인가?
② 동전을 1번 던지면 (앞), (뒤)의 2가지 경우가, 동전을 2번 던지면 모두 앞면이 나오는 경우가 1번, 서로 다른 면인 경우가 2번, 모두 뒷면인 경우가 1번 나온다. 즉, (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)의 4가지 경우가 생기게 된다.  동전을 3번, 4번, 5번 ... 던질 때 생기는 경우의 수는 몇 가지인가? 이 경우의 수와 파스칼의 삼각형과는 어떤 관계가 성립 하는가?
③ 각 행의 합은 얼마인가? 각 행의 합과 그 합으로 그 행의 숫자들을 나눈 값과 ②번의 동전 던지기와는 어떤 관계가 있는가? 예를 들어 3행의 합은 1+3+3+1=8이고 8로 3행의 숫자들을 나누면 1/8, 3/8, 3/8, 1/8이다.
④아래 그림과 같이 정사각형 모양으로 이루어진 도로망이 있다. A지점에서 B지점까지 최단 거리로 움직이는 방법은 모두 몇 가지인가? (단, 파스칼의 삼각형을 응용해서 해결할 것)

●풀이
① 파스칼의 삼각형은 각 행의 맨 처음과 끝은 항상 1이고 그 사이의 수들은 바로 위의 행의 왼쪽과 오른쪽에 있는 두 수의 합을 적어 넣어서 만든다,
② 2행은 동전 한 번 던졌을 때 일어나는 경우의 수를, 3행은 동전을 2번 던졌을 때 일어나는 경우의 수를, 4행은 동전을 3번 던졌을 때 일어나는 경우의 수를 나타낸다. 동전을 3번 던지면 모두 앞면인 경우가 1번, 앞면이 2번 뒷면이 1번 나오는 경우가 3번, 앞면이 1번 뒷면이 2번 나오는 경우가 3번 나오고, 모두 뒷면이 나오는 경우는 1번 있게 된다. 즉 동전을 던졌을 때 일어나는 경우의 수와 파스칼의 삼각형에 나오는 숫자가 정확하게 일치한다.
③ 각 행의 합은 2의 거듭제곱 형태다. 2행은 2x2=2, 3행은 2x2x2=8, 4행은 2x2x2x2=16...이 된다. 행의 합으로 각 행의 숫자들을 나누면 동전을 던졌을 때 일어나는 확률이 된다. 5행을 예로 들어보자. 5행의 합은 2의 4제곱 즉 16이다. 동전을 4번 던지면 모두 16가지의 경우가 생긴다. 모두 앞면이 경우가 1번이고 일어날 확률은 1/16, 앞면이 3번 뒷면이 1번 나오는 경우가 4번이며 일어날 확률은 4/16, 앞면이 2번 뒷면이 2번 나오는 경우가 6번이고 확률은 6/16, 앞면이 1번 뒷면이 3번 나오는 경우가 4번이고 일어날 확률은 4/16, 모두 뒷면이 나오는 경우가 1번이 생기며 확률은 1/16이 된다.

다음 회에 계속

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