이전 칼럼에서 제시했던 고난도의 서술형, 응용형 도형관련 문제의 풀이단계 첫 번째 두 번째를 요약하면 다음과 같습니다. 

첫째, 문제를 읽고 어떤 내용을 이용해 문제를 해결할 지, 출제자가 학생들에게 묻고자 하는 수학의 내용이 무엇인지 생각해보면서 조건을 정리하며 미지수를 문자로 도입합니다.

 둘째, 조건들 사이의 방정식 부등식 등의 관계식을 만듭니다. 

셋째, 두 번째 단계에서 만들어낸 관계식을 풀고 조건에 맞는 답만 취하는 단계입니다. 
예를 들어 방정식이 만들어졌다면, 방정식을 풀어내는 과정은 다음과 같습니다. 일반적으로 문자의 개수만큼 방정식이 만들어 지게 됩니다. 그러면 우선 먼저 문자의 개수를 줄여야 합니다. 가감법 등을 통하여 문자를 하나로 만들고, 그다음에는 인수분해, 근의 공식 등 식의 변형과정을 통하여 일차식으로 만들어야 합니다. 문자가 하나인 일차식이 만들어지면 해를 구한 것입니다. 물론 미지수의 값이 원하는 해를 구하기 위한 과정이라면 이를 이용해서 마무리 계산을 해주면 되겠지요.
만약 문자의 개수보다 식이 부족한 부정방정식의 경우에는 일반적인 방정식의 풀이로는 해를 구할 수 없습니다. 이런 문제는 일반적으로 자연수 혹은 정수 등 강력한 조건이 주어져 있는 경우가 대부분이며, 자유로운 추론 과정(educated guess, conjecture)을 통하여 정답을 도출해 내면 됩니다. 

특별한 부정방정식의 경우에는 비율을 이용하여 답을 추론하는 문제들도 있습니다. 이는 묻고자 하는 결과가, 같은 차수의 비율 문제인가를 보고 유추해야 하며, 이 경우에는 문자 하나에 풀리기 쉬한 숫자 값을 임의로 대입하여 계산하면 편리합니다. 
대부분의 해설집은 1을 대입하게 되지만, 잘 생각해보면 분수식을 만들기 때문에 더 어려워집니다. 차라리 계수들의 공배수 정도가 문자에 대입하여 풀기에 나은 경우가 많습니다. 학생들이 잘 생각해보면 어떤 문제인지 짐작이 가리라고 생각됩니다.  
아울러 답이 구해졌더라도 무연근인지를 꼭 확인해 보아야 합니다. 처음에 주어진 조건에서 양수만 된다던가 하는 조건이 있는지(도형의 길이 등), 아니면 논리적으로 타당하지 못한 답인지 유의해야 합니다. 즉, 분모를 0으로 만들거나 실수조건에서 제곱근호 안을 음수로 만드는 수 등은 반드시 제외해야겠지요. 

풀이과정은 떠올리는 것이 아니라 찾아가는 것입니다. 쉬운 100문제보다 어렵지만 좋은 한 문제를 자신감을 갖고 20분 정도 투자하여 공략하면 수학실력 향상에 많은 도움이 됩니다.

미르아카데미학원 조형진 원장

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