형인 서준이와 동생인 하준이는 바둑돌 31개를 탁자 위에 놓고, 교대로 바둑돌을 1개에서 최대 3개까지를 집어가는 게임을 하고 있다. 이 게임에서는 맨 마지막 바둑돌을 집어가는 사람이 지게 된다. 그런데 형 서준이가 매번 게임을 이기는 것이었다. 어떻게 서준이는 이 게임에서 항상 이길 수 있었을까? 서준이의 필승 전략은 무엇이었을까?

2011년 모 방송국의 프로그램에 엄친아 가수 김정훈이 출연해 ‘31게임’ 필승 전략을 소개해 화제가 된 적이 있다. 김정훈이 대학교 1학년 때 술자리가 많아 선배들의 벌주를 피하고 선배들을 골탕 먹이겠다는 생각으로 31게임에서 이기기 위한 전략을 생각해 냈다고 말했다.
31게임이란‘ 숫자 1부터 31까지의 숫자를 1부터 차례대로 1개부터 최대 3개까지 불러 마지막 숫자 31을 외치는 사람이 지는 게임이다.
돌 줍기 게임이란 두 사람이 개수가 일정한 돌무더기(장기나 바둑알, 동전 등 돌의 종류에는 상관없다)에서 교대로 돌을 집어가면서 승패를 가리는 게임이다. 서준이와 하준이가 하고 있는 바둑돌 줍기 게임의 변형이 31게임이다.
돌 줍기 게임은 규칙이 단순한 게임이다. 단순한 놀이라도 되는대로 게임을 할 것이 아니라 규칙을 꼼꼼히 분석하면서 필승 전략을 생각해 보아야 한다. 그것이 승리의 가능성을 높이고 수학적 사고력을 키우는 데 도움이 된다.
31개의 바둑돌 대신에 바둑돌이 1개만 있는 단순한 경우부터 필승 전략를 생각해 보자. 바둑돌이 1개라면 무조건 게임을 먼저 시작한 사람이 진다. 바둑돌이 2개인 경우에는 먼저시작한 사람이 바둑돌을 1개만 집어가고 바둑돌 1개를 남기면 먼저 시작한 사람 이긴다. 바둑돌이 3개인 경우는 먼저 시작한 사람이 바둑돌을 2개, 바둑돌이 4개이면 바둑돌을 3개를 집어가 상대에게 바둑돌을 1개만 남겨 주면 이긴다.
그렇다면 바둑돌이 5개라면? 이때는 무조건 나중에 한 사람이 이긴다. 먼저 바둑돌을 집는 사람을 A, 나중에 바둑돌을 줍는 사람을 B라 하자. 먼저 A가 바둑돌을 1개 집는다면 B는 바둑돌이 4개일 때의 A의 전략을, A가 바둑돌을 2개 집는다면 B는 바둑돌이 3개일 때의 A의 전략을, A가 바둑돌을 3개 집는다면 B는 바둑돌이 2개일 때의 A의 전략을 사용하면 되므로 B가 이긴다, 바둑돌이 6개인 경우에는 A가 바둑돌을 1개 집으면 반드시 이긴다. 왜냐면 바둑돌이 5개일 때는 A가 먼저 바둑돌을 잡아서 B가 이겼지만 이제는 B가 먼저 바둑돌을 집는 위치에 놓이게 되어 A가 반드시 이기게 된다. 바둑돌이 7, 8개 인 경우에 A가 1개, 2개를 집는다면 반드시 이기게 된다. 바둑돌이 9개인 경우에는 A가 바둑돌을 어떻게 집더라도 B에게는 6, 7, 8개의 바둑돌이 남게 되어 B가 이기게 된다. 즉 바둑돌이 1, 5, 9, 13,... 인 경우에만 B가 이기고 나머지 경우에는 A가 승리하게 된다.
서준이와 하준이의 경우에 서준이가 먼저 바둑돌 2개를 집어간다. 그리고 서준이는 하준이가 집는 바둑돌과 자신이 집는 바둑돌의 합이 4개가 되게끔 바둑돌을 집어가면 된다. 그렇게 되면 남아있는 바둑돌은 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1로 감소되어 서준이가 반드시 이기게 된다.
 

● 한걸음 더
필승 전략이 좀 더 복잡한 돌 줍기 게임에서 이기기 위한 전략을 생각해 보자. 다음과 같은 규칙을 갖는 돌 줍기 게임이 있다.

첫째, 서준이부터 시작하여 서준이와 하준이가 교대로 쌓여 있는 바둑돌 무더기에서 바둑돌을 한 개 이상은 집어 와야 한다.둘째, 자신이 돌을 집어 올 때는 반드시 상대방이 바로 앞에서 집어 간 돌의 개수의 두 배 이하로 집어 와야 한다. 예를 들어 서준이가 바둑돌 두개를 집어갔다면, 하준이는 한 개부터 네 개의 범위에서 바둑돌을 집어 와야 한다. 이 때 하준이가 바둑돌 세개를 집어 갔다면, 다시 서준이는 한 개부터 여섯 개 범위의 바둑돌을 집어 가면 된다.셋째, 마지막 돌을 집어 간 사람이 승리하고, 맨 처음 시작하는 사람이 돌을 다 집어 갈 수 없다.
 
게임의 규칙의 앞의 경우보다 다소 복잡하지만 앞의 게임의 필승 전략을 참조하여 문제 해결을 시도해 보자. 문제 해결이 쉽지 않다면 바둑돌이나 동전을 한 웅큼 준비해서 직접 게임을 진행해 보는 것도 도움이 된다. 머리로만 생각하는 것 보다 구체적인 대상물을 사용하는 것이 문제 해결 전략에 대한 감을 찾기가 쉽고, 분석도 한결 수월하다. 그리고 오래 기억된다. 참고로 이 돌 줍기 게임에는 반드시 이기는 필승 전략이 있다는 것을 피보나치 수열을 중점적으로 다루는 수학 잡지인 The Fibonacci Quarterly의 1963년 12월호에 당시 고등학생이었던 마이클 위니한이 증명 논문을 게재하였다.

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진광고등학교 교사

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