바둑, 장기, 화투, 포커, 전자오락, 축구, 농구, 야구의 공통점은 ?
정답은 게임
 
서로 다르게 보일지라도 게임은 진행 규칙이 있고, 이기기 위해서는 전략이 필요하고, 결과는 승, 패, 비김으로 나타나며, 결과가 상호간에 사용하는 전략에 의해 결정 된다는 공통점을 갖고 있다.
게임을 하는 사람들은 누구나 이기기 위한 전략을 사용한다. 다양한 게임 중 반드시 이길 수 있는 필승 전략이 있는 게임이 있다.
2회에 걸쳐서 반드시 이길 수 있는 전략이 있는 게임을 소개한다.

일요일 오후 예빈이에게 아빠가 직사각형 모양의 탁자 위에 크기가 100원짜리 동전을 교대로 하나씩 올리는데 더 이상 동전을 올릴 자리가 찾지 못하는 사람이 지는 게임을 하자고 제안 하였다(단 동전을 다른 동전 위에 올려놓거나 동전이 테이블 밖으로 나가서는 안 된다). 아빠의 게임 규칙 설명을 듣던 예빈이는 대뜸 “아빠! 나 이 게임에서 반드시 이길 수 있는 방법을 알아” 하고 말을 하였다. 예빈이가 말한 필승 전략은 무엇이었을까 ?
 
단순해 보이는 상황이라도 평소에 꼼꼼하게 분석해보는 습관을 갖는 것이 수학을 잘하는 비결이다. 문제 해결 방안이 잘 떠오르지 않는다면 상황을 아주 단순하게 해서 해결 방법을 찾아보자.
 
동전 1개만을 올려둘 수 있는 작은 탁자라면 게임이 성립하지 않는다. 왜냐하면 무조건 먼저 시작하는 사람이 이기기 때문이다. 그렇다면 동전 2개만을 올려놓을 수 있는 탁자라면 ? 이때는 무조건 나중에 하는 사람이 이긴다고 생각하는 사람들은 조금 더 생각해 주길 바란다.
동전을 한 개만 올려둘 수 있는 작은 탁자의 경우 먼저 시작한 사람이 이겼으므로 이 경우에도 먼저 시작한 사람이 이길 수 있는 전략이 존재한다고 생각하는 것이 문제해결의 첫 걸음이다.
동전 한 개만 올려둘 수 있는 탁자의 경우를 좀 더 깊게 생각해본다면 먼저 시작하는 사람이 탁자의 정 중앙에 동전을 놓는다면, 다음 사람은 동전을 놓아 둘 곳이 없다. 따라서 동전을 먼저 놓는 사람이 이긴다. 그러면 동전을 세 개 올릴 수 있는 탁자라면 ? 앞의 두 상황을 잘 이해했다면 당연히 게임을 먼저 시작하는 사람이 이기게 됨을 알 수 있다. 
 


이 게임에 반드시 이기기 위해서는 예빈이가 게임을 먼저 시작하면 된다. 이 때 예빈이는 동전을 탁자의 정중앙에 놓는다. 이어서 아빠도 자신이 생각하는 적당한 지점에 동전을 놓게 된다. 그러면 예빈이는 아빠가 동전을 올려둔 지점과 탁자의 중심에 대해  대칭인 점에 동전을 올려놓는다. 이와 같은 과정을 반복한다면 아빠가 동전을 올려놓을 수 있는 공간이 있으면, 반드시 예빈이가 동전을 올릴 수 있는 공간이 있다. 따라서 예빈이는 게임에서 반드시 이기게 된다.
 
● 한 걸음 더
아래와 같이 탁자의 모양이 바뀌어도 예빈이의 필승 전략이 성립하는가? 예빈이의 필승 전략이 적용되는 탁자는 어떤 모양이 되어야 하는가?

점이나 선분 또는 평면에서 양쪽에 있는 부분이 똑같은 모양으로 배치되어 있는 것을 대칭이라고 한다. 대칭은 수학에서 매우 중요하게 다루어지는 주제이다. 물론 대칭은 수학뿐만 아니라 예술 물리학 건축 등 다른 분야에서도 많은 흥미를 갖고 연구하는 분야이다.
주변에서 대칭을 이루고 있는 것들을 찾는 것은 어렵지 않다. 나비는 종류가 다양하지만 좌우의 모습이 대칭을 이루고 있으며, 다리는 안정감, 무게 균형, 아름다움을 위해서 대칭 구조로 건설된다. 우리의 선조들은 창문이나 담 장식의 문양에서 특정한 모양이나 선들을 대칭의 성질을 이용하여 디자인 했다.
조금 귀찮더라도 주변에서 대칭을 이루고 있는 것들이 무엇이 있는지 좀 더 찾아보자. 인터넷 검색을 하면 좀 더 풍부한 자료를 얻을 수 있다. 필자의 블로그에 고교생들이 만든 대칭의 미학이라는 UCC를 탑재하였다. 다운 받아서 감상해보길 권한다.
원이나 직사각형처럼 한 점을 중심으로 반 바퀴 돌렸을 때 처음의 도형과 완전히 겹쳐지는 도형을 점대칭 도형이라고 한다. 예빈의 필승 전략은 탁자가 점대칭 모양이어야만 적용이 가능하다. 그러나 제시된 탁자 모양이 점대칭이 아니므로 예빈의 필승 전략을 사용할 수 없다.

궁금한 점은 아래의 메일이나 블로그를 활용해 주세요.
 
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신인선 진광고등학교 교사

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