사자와 당나귀와 여우가 힘을 합쳐 사냥을 하기로 했다. 어느 날, 큰 사슴을 발견한 세 짐승이 서로 협력하여 사냥에 성공했다.
사자가 당나귀에게 말했다. "먹이를 나눠야지· 배가 많이 고프군." 당나귀는 사슴을 똑같이 삼등분했다. 이 모습을 본 사자는 갑자기 화를 내며 으르렁거리더니 당나귀를 죽여 버리고 말았다.
사자는 다시 여우를 보며 말했다. "이제 자네 차례군. 사슴을 나눠야지·" 처참하게 짓이겨진 당나귀의 시체를 힐끔 쳐다본 여우는 자기 몫은 한 입만 남기고 나머지 전부를 백수의 왕  사자에게 바쳤다.
사자가 고개를 끄덕거리며 말했다. "분배를 꽤 잘하는군. 누구에게서 배웠나·"
그러자 여우는 다시 죽은 당나귀를 슬쩍 쳐다보며 대답했다. "개념 없는 제 친구에게서 조금 전에 중요한 걸 배웠습니다."
-이솝 우화에서-

솔로몬 왕은 신하들을 시켜 칼을 가져오게 했습니다. 신하들이 칼을 가져오자 왕이 말했습니다, “살아 있는 아이를 둘로 나누어라. 그래서 두 여자에게 반 쪽 씩 나누어 주어라.”
-성경 열왕기에서-

인간의 욕심은 끝이 없다고 한다. 그러다보니 한정된 자원을 나누어 가질 때는 늘 다툼이 뒤따른다. 얼마 전 국내 굴지의 재벌가 자손들이 서로 얼굴을 붉히며 선친의 유산을 더 탐하는 일이 벌어졌다. 그렇다면 서로가 만족할 만한 공정한 분배는 없는 것일까·
폴란드 수학자 슈타인하우스는 공정한 분배의 개념을 체계화하고 연구하였다. 슈타인하우스는 공정한 분배를 N명이 있을 때 N명 각자가 자신이 생각한 전체 가치의 적어도 1/N을 차지하는 것으로 정의하였다. 단, 공정한 분배는 상대방의 생각을 알지 못하는 상태에서 이루어진다는 것이 매우 중요하다.
''서로의 생각을 알지 못하는데 어떻게 공정한 분배가 이루어 질 수 있을까·'' 하는 의문을 가질 수도 있다. 물론 서로가 사이가 좋아 서로를 잘 이해한다면 모두가 만족할 수 있는 최상의 분배가 이루어 질 수 있을 것이다. 늘 이런 식으로 분배가 이루어진다면 공정한 분배라는 단어가 생겨나지 않았을 것이다.
서로가 서로의 생각을 읽는다면 상대방을 배려하여 서로에게 이익이 되는 행동을 할 수도 있다. 그러나 그것을 이용하여 자신의 이익을 더 많이 챙길 수도 있다, 그렇기 때문에 수학에서 말하는 공정분배에서는 상대방의 생각을 알지 못한다는 가정에서 출발하는 것이다.

3회에 걸쳐 공정한 분배를 실현하는 방법을 소개하고자 한다.

● 예시 문제
서현이와 준호는 주말에 피자를 시켜먹기로 하였다. 그런데 피자가 조각나지 않은 상태로 배달됐다. 각자 잘라서 먹다간 먹는 속도가 느린 사람이 손해를 보게 되므로 애초에 피자를 반으로 나누어 각자의 몫을 미리 정하고 먹자는 합의가 이루어졌다. 어떻게 피자를 나누어야 서로가 만족하게 피자를 나눌 수 있을까· 

공정한 분배는 분배 대상이 분할이 가능한지의 여부에 따라 2가지로 나뉜다. 피자나 케이크와 같이 조각으로 나누는 것이 가능한 경우는 ‘분할선택법’, ‘고독한 분할자 방법’, ‘마지막 감축자 방법’의 세 가지 방법을 사용한다. 그리고  자동차나 아파트와 같이 조각으로 나누면 원래 가치가 사라지는 경우에는 ‘봉인된 입찰법’을 사용한다.

분할선택법
분할선택법이란 한 사람이 나누고(분할자) 다른 사람이 선택을(선택자) 하는 방법이다. 나누는 사람은 자신이 생각하기에 가장 공정하다고 생각하는 대로 피자를 두 조각으로 나눌 것이다. 그러면 선택자는 나누어진 두 조각 중 자신에게 가장 마음에 드는 한 조각을 차지할 것이다. 선택자가 차지한 나머지는 당연히 분할자의 몫이 된다. 분할자는 처음에 피자를 나눌 때 어떤 조각이 자신의 것이 되는지 만족하게끔 조각을 나누기 때문에 어떤 조각을 차지하더라도 불만이 없다. 두 사람 다 만족하는 공정한 분배가 이루어진 것이다.

한 걸음 더
위 문제에서 피자를 시킨 사람이 세 명이라면 어떻게 피자를 분배해야 모두가 만족할 수 있을까 ·
 
많은 학생들이 수학을 싫어함에도 학교에서 수학을 가르치는 가장 큰 이유는 논리적 사고력을 기르는데 있다. 논리적 사고력은 문제를 정확하게 이해하고 깊게 생각하는데서 길러진다. 한 번 읽는 것으로 끝내지 말고 잠깐이라도 풀이를 시도해 주길 바란다. 가랑비에 옷이 젖는 법이다.

궁금한 점은 아래의 메일이나 블로그를 활용해 주기 바란다.
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진광고등학교 교사 신인선

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