수학 한번 잘했으면 소원이 없겠다, 싶을 정도로 수능에서든 내신에서든 수학은 여전히 난공불락의 과목이다. 수능은 물론 각 학교별로 내신 변별력을 위해 문제의 난이도를 높이고 있어 수학 공부에 비상이 걸렸다. 특히 현재 중학교 1학년을 대상으로 절대평가로 바뀌고 집중이수제가 정착단계에 들어서면서 학교별 수학시험의 난이도에도 관심이 크다.
수원 영통에 있는 수학전문학원 매스피아의 박 현 원장은 “실제로 지난 중간고사 결과 2~3문제는 변별력을 높이기 위해 꽤 까다로운 문제가 출제됐다. 고입의 가장 기본이 되는 수학 내신을 제대로 준비하기 위해서는 이런 문제를 틀리지 않고 해결할 수 있어야 한다”며 “그러려면 평소 수학 공부를 체계적이고, 지속적으로 학습해야 한다”고 충고한다. 
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글 싣는 순서
Ⅰ 초등, 수학 재미있게 할 수 없을까?  
Ⅱ 중등, 내신 관리와 입시 수학 흐름을 잡아라(***진하게)
Ⅲ 기말고사 성적? 수학, 여름방학 때 확실하게!
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영통지역 중학교 1학기 중간고사 출제 경향 분석 
매스피아에서 영통지역 10개 학교의 학교별 학년별 중간고사 약 800문제를 분석한 결과, 학교별로 2~3문제 정도 변별력이 있는 문제를 출제해 학생간 편차를 둔 것으로 나타났다.  특히 영통지역 주요 6개 중학교(영통중, 태장중, 영덕중, 영일중, 청명중, 영동중)의 서술형 배점은 평균 100점 만점에 30점. 문제당 적게는 4점에서 많게는 8점 가까이 배정했다.
매스피아 박 현 원장은 “30% 정도이니 별 것 아니라고 할 수 있지만, 25문항 중 서술형에서 2문제만 틀려도 평균 80점대이기 때문에 내신에 있어서 절대적”이라며 “예전의 단답형 서술형이 아니라 정확한 풀이과정을 요구하고 있고 구술형 및 심화형도 늘고 있는 추세여서 수학공부를 체계적으로 해야 한다”고 강조했다.
여기서 잠깐, 영통지역 중학교의 중간고사 수학 시험 문제를 살펴보자.

1. 영일중학교 1학년 중간고사 수학 문제 중 서술형 8점 배점의 문항
한 변의 길이가 인 정육면체 모양의 물건 개를 직육면체 모양의 상자에 빈틈없이 포장하려고 한다. 상자의 겉넓이를 가장 작게 하려면 직육면체 상자의 가로와 세로의 길이, 높이는 각각 얼마로 해야 하는지 구하는 과정을 서술하시오.
(단, (가로의 길이)(세로의 길이)≥(높이))
☞문제 분석
장문의 문제를 읽고 문제가 요구하는 것이 무엇인지를 파악하기 힘든 유형의 문제다. 결국 풀이는 주어진 조건하에서((가로의 길이)(세로의 길이)≥(높이)) 소인수분해를 이용해서 여러 가지 경우 중 겉넓이의 최소값을 구하는 문제로 문제를 풀기위해서는 문제의 정확한 독해력과 수의 성질에 대한 기본적인 개념, 그리고 마지막으로 높은 수준의 사고력이 요구되는 문제다.

2. 영덕중학교 2학년 중간고사 수학시험 중 서술형 6점 배점의 문항
순환소수 을 분수로 나타내는 과정을 서술하시오. (단, 공식을 사용하지 않는다.) 
☞문제 분석
위의 문제는 매우 간단한 풀이로 5초안에 답을 낼 수 있는 문제다. 그런데, 왜 6점 배점 문항일까? 뒷부분에 공식을 사용하지 않고 유도해내는 과정을 정확하게 서술해야 하는 문제이기 때문이다. 문제만 푸는 데 익숙한 학생들은 곤란을 겪을 수밖에 없다. 단순한 공식 암기가 아니라 식의 유도를 근본적으로 이해하고 있는지를 확인하는 좋은 문제라고 할 수 있다. 위의 문제를 풀기 위해서는 수학의 개념을 공부할 때, 단순히 쉽게 공식암기를 통한 문제 풀이가 아닌 제대로 된 개념의 이해, 즉 공식의 유도과정을 학습해야 하고, 평소 자신의 의견을 일목요연하게 서술할 수 있는 연습도 돼 있어야 한다.

올해 1학기 중간고사의 학교별 학년별 특이점을 살펴보면, △1학년의 경우 영일중학교의 시험이 가장 난이도가 높게 출제됐다. 영통중은 난이도가 높지는 않지만 풀이과정에 시간을 많이 할애해야 하는 문제가 나왔다. △2학년의 경우는 비교적 학교별로 비슷한 수준으로 출제됐는데, 영덕중의 경우 심화형 문제가 다수 출제됐고, 푸는 데 시간이 많이 걸려서 고득점을 받기에 까다로웠다. △3학년의 경우 영통중이 심화문제를 다수 출제해 학생들의 성적이 낮게 형성되었다.
매스피아 박 현 원장의 중간고사 분석을 들어보자. “10년간의 문제를 분석해 보면 서울경기 전체 지역 중 영통 주변의 학교의 시험 기출문제는 상급수준의 문제라고 할 수 있다. 학교별로 차이는 있지만 대다수의 학교가 지난 중간고사에서 서술형 출제 문항 비중을 높였다. 일부 학교에서 약간의 선행을 응용함으로써 쉽게 접근할 수 있는 문제를 출제하긴 했으나, 내신에서 고득점을 획득하기 위해서는 정확한 서술(식정리), 다양한 문제를 통한 사고력 배양, 마지막으로 시간을 줄이고 실수를 줄일 수 있는 다양한 유형의 문제에 대한 풀이가 가장 중요하다.”

수학 포기해서는 원하는 대학 갈 수 없어
수학 교육과정은 초등학교 1학년 과정인 ‘1-가’부터 고등학교 1학년 과정인 ‘10-나’까지 일관성을 가지고 구성되어 있다. 초등 수학에서는 수와 연산, 확률과 통계, 도형, 측정, 규칙성과 문제해결 등 5개 영역을, 중등 수학에서는 수와 연산, 문자와 식, 함수, 확률과 통계, 기하 등 5개 영역을 단계적으로 학습하게 된다.
위 문제에서도 살펴보았듯, 중등 수학은 초등 수학에 비해 난이도가 급상승하기 때문에 눈으로 보고 바로 답을 구하는 형태로 공부해서는 문제를 해결하기가 어렵다. 그래서 갑자기 높아진 난이도에 적응을 못해 일명 ‘수포자’라고 부르는 수학 포기 학생들이 예전에는 고등학교에만 존재했으나 최근에는 중학교부터 나타난다.
박 현 원장은 “초등 수학은 체계적인 수학적 지식이나 논리적인 능력이 없어도 문제를 해결할 수 있었지만 중등 수학은 논리적인 사고가 많이 요구되고, 이론 학습도 강조된다. 따라서 초등, 중등의 각 단계들 중에서 배운 부분이지만 이해가 부족하다면 그 부분에 대한 복습이 먼저 이루어져야 한다”며 “수학은 노력한 만큼 성적이 오르는 과목이니 포기하지 말고 긴 안목으로 공부해야 한다”고 강조한다.

기말고사 수학 준비는 이렇게!
기말고사에는 학생들이 가장 어려워하는 방정식과 함수가 포함되는 만큼 학교에서는 어떤 형태로든 난이도를 조정한다. 까다로운 1~2문제도 틀리지 않기 위해서 평소 수학공부를 할 때 주의할 점은 뭘까?
매스피아 박 현 원장은 “기말고사는 학생들이 중간고사에서 학습했던 수의 계산을 가지고, 방정식과 함수를 평가하게 된다. 방정식과 함수는 수학에 있어서 매우 중요한 파트이자 어려운 부분이라 할 수 있다. 하지만, 기본 개념에 충실히 한 후 실생활과 응용된 활용문제에 집중 한다면 고득점을 충분히 맞을 수 있다. 단, 방정식과 함수단원에 서술형 활용문제가 상당수 포함되어 있으므로 문제 독해 능력(언어적 능력)을 길러야 한다”고 강조했다.
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매스피아 박 현 원장이 들려주는 ‘중등수학 공부는 이렇게 하라’ 

영통지역 중학교 중간고사 수학 문제를 통해 보았듯 이제는 단순하게 공식암기를 통해서 문제를 푸는 형태는 점점 사라지고 있고, 설사 그런 문제가 나온다 하더라도 누구나 맞출 수 있는 문제다. 따라서, 수학에서 변별력을 높이기 위해서는 다음과 같이 학습해야 한다.
첫째, 개념의 정확한 이해와 함께 공식을 유도하라.
수학 학습의 목적은 사고력과 창의력의 배양이다. 단순하게 문제를 푸는 건 계산기나 컴퓨터가 할 수 있다. 앞으로의 수학 문제는 ‘수학의 개념이 어떻게 나왔는지?’ ‘실생활에서는 어떻게 응용되고 활용되고 있는지’ 등 복잡한 사고를 요구하는 형태로 출제되고, 이것은 내신 뿐만 아니라 고입, 대입의 구술에서도 중요하게 다루는 내용이다. 
둘째, 수학 정의는 반드시 이해하고, 암기해서 자신의 것으로 만들어라.
수학 문제 중에는 정의만 정확히 알고 있어도 풀 수 있는 것들이 상당수 있다. 그럼에도 학생들은 용어의 정의를 소홀히 하는 경우가 있다. 일례로 모 대학 구술면접 시험장에서 ‘유리수의 정의를 정확하게 표현하라’고 했더니 정확하게 답변하지 못하는 학생이 많았다고 한다. 특히, 방정식과 함수의 개념은 가장 기본으로 반드시 충분히 이해하고, 숙지해야 한다.
셋째, 모든 풀이는 풀이과정을 일목요연하게 정리하는 습관을 가져라.
대다수의 학생들은 수학을 눈으로 보고, 눈으로 푸는 연습을 해오고 있다. ‘답만 맞으면 OK!’ 하는 습관은 초등이나 중학교 저학년까지는 학생들의 개개인의 능력에 따라 크게 표시가 나지 않을 수 있으나, 중학교 상급과정 더 나아가 고등과정으로 올라가면 모든 풀이 과정을 일목요연하게 정리하는 습관을 가진 학생과 현격한 차이를 보인다. 잘못된 수학학습법 때문에 많은 고등학생들이 내용이 어렵고 난해하며 양이 많다는 이유로 수학을 포기하기에 이르는 것이다. 
마지막으로 다양한 유형의 문제를 많이 풀어봐야 한다.
학생들이 수학 시험을 치르고 나서 한결같이 하는 말이 있다. ‘시간이 부족했어요’ ‘시간이 조금만 더 있었으면 더 좋은 점수를 획득할 수 있었는데…’ 맞다, 틀린 말이 아니다. 많은 시간을 주고 문제를 풀면 중상위권의 학생은 매우 높은 점수를 일관되게 유지할 수 있다. 하지만 문제를 풀 수 있는 시간은 45분이다. 따라서, 짧은 시간에 수학 시험을 잘 보기위해서는 어색한 문제가 없어야 하고, 연산 속도 또한 매우 빨라야 한다. 그래서 매스피아에서는 시험기간이 임박하면 45분 시간을 주고 25문제를 실전처럼 풀게 하는 것이다. 단, 문제 푸는 시간을 30분 정도로 제한하고, 나머지 시간을 검토를 할 수 있도록 유도하고 있는데, 이러한 방법은 실제 시험에서 10점 정도는 점수를 높이는 효과를 가져온다. 

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