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- 여름방학 기획 - 고1, 고2 여름방학 고등 수학 학습법 한국교육과정평가원(이하 평가원)이 주관한 ‘2024학년도 대학수학능력시험(수능) 6월 모의평가’ 수학 영역에서 미적분 선택 비율이 48.5%였고, 9월 모의평가에서는 51.3%, 11월 본 수능에서는 51.0%를 보이며 확률과 통계 선택 비율을 훌쩍 넘어섰다. 이처럼 미적분 선택이 증가하는 이유는 선택과목별 표준점수 차이 때문이다.실제로 지난해 수능에서 미적분 선택자의 표준점수 최고점은 148점이었고 기하는 142점, 확률과 통계는 137점이었다. 지난해 수능 수학을 기준으로 보면 동일한 원점수를 받았을 때 미적분의 표준점수가 더 유리한 것으로 나타났다. 그러나 미적분 선택이 무조건 유리한 것은 아니다. 미적분은 확률과 통계보다 시험의 난도가 높고 학습량이 많아서 오히려 미적분을 응시할 때 더 낮은 점수를 받을 수도 있기 때문이다. 그만큼 미적분 실력을 확실하게 다져야만 입시에서 유리하다고 할 수 있다. 그렇다면 고1, 고2 학생들은 여름방학 때 어떻게 공부해야 할까? 수학 강사가 알려주는 미적분 공부 방법에 귀를 기울여 보자. 도움말 감성수학 대치본원 수강쌤 부원장, 크레마수학학원(압구정) 조지흔 원장Q. 미적분을 공부하기 전에 수학(하), 수학, 수학Ⅱ에서 꼭 짚고 넘어가야 할 단원이나 개념이 있다면 말씀해주세요. 수강쌤 부원장 : 미적분 과목은 수학(하)의 함수 단원(함수, 유리함수, 무리함수 단원)과 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 전체 내용의 연장선에 있기 때문에 어느 단원을 꼭 짚고 넘어가야 한다기보다 모든 내용을 완벽하게 숙지하는 것이 중요합니다. 앞의 내용이 완벽하진 않아도 어떤 내용이 있는지 알기 때문에 학습을 계속 진행한다거나 남들이 진도를 나가니까 나도 그냥 넘어가야겠다는 식의 안일한 생각으로 공부하지 않길 바랍니다. 앞 내용의 학습이 완벽할수록 미적분 학습이 쉽고 정확하게 이해될 수 있습니다. 조지흔 원장 : 수학Ⅱ 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법은 특히 중요합니다. 미적분은 초월함수, 삼각함수의 미분과 적분이고, 수학Ⅱ는 다항함수의 미분과 적분이기 때문에 연관성이 매우 큽니다. 수학Ⅰ의 수열 단원도 미적분에서 매우 중요합니다.수열의 일반항과 수열의 합 공식을 알아야 미적분에 나오는 수열의 극한 개념을 이해할 수 있습니다. 미적분을 공부하기 전에 수학(하)의 함수, 수학Ⅰ의 수열 단원, 수학Ⅱ의 미분법과 적분법에 대한 이해가 필수로 필요합니다. Q. 미적분은 크게 ‘수열의 극한, 미분법, 적분법’으로 나뉘는데요. 각 단원의 개념을 다지려면 어떻게 공부해야 할까요?조지흔 원장 : 미적분은 ‘공식의 증명’ 과정을 이해하고 그 공식들을 암기하고 숙지해서 관련된 문제들을 푸는 힘을 키워야 하는 과목입니다. 중등 최상위권 학생이 미적분을 배우기 어려운 이유가 바로 여기에 있습니다. 공식들의 증명 과정을 잘 아는 것도 어렵지만, 계산 역시 매우 힘든 과목이기 때문입니다. 미적분 전체 단원별 개념을 잘 배우고 이와 관련한 ‘계산 문제’를 연습하는 것도 매우 중요합니다. 3점 문항은 다 맞춘다는 목표로 미적분 학습을 해나가길 바랍니다. 수강쌤 부원장 : 수열의 극한은 수학Ⅰ의 수열, 수학Ⅱ의 극한 단원과 거의 똑같다고 할 수 있습니다. 예전에는 함수의 극한보다 수열의 극한을 먼저 배우던 적도 있기 때문에 함수의 극한을 잘 이해하는 학생이라면 미적분도 쉽게 받아들일 수 있습니다. 미분법과 적분법의 경우 새로운 함수의 미분법과 적분법을 익숙하게 만드는 것이 매우 중요합니다.그러나 한 가지 방법만 있는 것이 아니라 다양한 방법 중 조금 더 효과적인 방법도 존재하므로, 처음으로 미적분을 학습하는 학생이라면 충분히 많은 시간을 투자해 ‘계산 연습’에 집중해야 합니다. 우선 새로운 계산에 익숙해져야 하고, 앞서 배운 수학Ⅱ의 내용을 함께 적용해 심화 문항에 도전하는 것도 좋습니다. Q. 말씀하신 대로 미적분 개념이 어느 정도 완성되었다면 ‘심화’ 공부는 어떻게 해야 할까요?수강쌤 부원장 : 미적분 개념이 어느 정도 완성됐다는 의미는 ‘개념서 + 기본 유형 문제 풀이집’을 꼼꼼하게 완료했다는 정도로 볼 수 있지만, 그렇다고 바로 심화 문제를 풀 수 있다는 것은 아닙니다. 실제로 미적분 심화 문항은 기본 문제와의 난이도 차이가 매우 심해서 접근 방법부터 떠오르지 않는 문제가 많습니다. 이는 문제의 표현 방식이 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 심화 문항에서 자주 보던 표현 방식이기 때문에 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 심화 문항을 해결하지 못하는 상황이라면 절대 미적분 심화 문항을 해결하기 어려울 것으로 판단됩니다. 즉, 미적분 심화 문항을 풀기 전에 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 심화 문항을 먼저 익혀야 합니다. 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 심화 문항을 풀 정도의 실력이 다져졌다면 그다음 미적분 심화 문항에 도전하는 것이 바람직합니다. 조지흔 원장 : 미적분은 수학Ⅰ, 수학Ⅱ처럼 공통 과목이 아닌 선택과목이므로 미적분과 관련된 모의고사 4점 문항들을 풀어보는 것이 심화 학습에 필수입니다. 미적분 개념이 완성됐다면 수학Ⅱ 수능 공통 과정과 관련된 모의고사 4점 문항들을 풀어보길 바랍니다. 수학Ⅱ와 미적분은 긴밀한 연관성이 있습니다. 수학Ⅱ는 다항함수의 미분, 적분법을 다루고 미적분은 초월함수, 삼각함수와 같은 특이함수의 미분, 적분법을 다루기 때문에 ‘개념 내용’ 측면에서는 거의 차이가 없습니다.방학 때 미적분을 학습하는 것 자체는 고3 때 있을 미적분 내신 과정과 수능 미적분보다 ‘고2 때 배우는 수학Ⅱ 내용과 수능 공통과목 수학Ⅱ’에 더 도움이 됩니다. Q. 최상위권·상위권, 중위권 등 ‘성적대별’로 공부 방법이 다를 텐데, 꼭 짚고 넘어가야 할 부분이 있다면 무엇인가요?조지흔 원장 : 여름방학 때 최상위권은 미적분 모의고사 4점 문항의 기출 문제들과 적중 모의고사 문제들을 풀어보며 학습 내용을 반드시 자신의 것으로 만들어야 합니다. 특히 의대를 지망하는 최상위권이라면 미적분에서 절대 틀려서는 안 됩니다. 상위권이라면 공통 과목인 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 중에서 최대한 점수를 ‘높게’ 받도록 노력해야 하며, ‘미적분을 공부하는 것 자체가 수학Ⅱ 과목의 심화 공부에 도움이 된다’라는 생각으로 공부하길 바랍니다. 중위권이라면 개념을 공부 하면서 미적분에서 3점 문항을 다 맞춘다는 목표로 공부해야 합니다. 고2는 내신 시험도 중요하지만 수능 시험도 매우 중요한 학년이기 때문입니다. 수강쌤 부원장 : 중·하위권이라면 미적분 학습 시 계산 연습에 집중하길 바랍니다. 미적분은 여러 가지 방법을 연습해야 하는 과목이라서 한 단원이 마무리되고 다음 단원을 진행했을 때 일정 시간이 지나면 앞 단원의 내용을 잊어버리는 학생이 매우 많습니다. 그래서 다시 복습해야 하거나 미적분 학습이 마무리되었어도 머릿속에 남은 건 마지막 단원뿐인 경우가 많습니다.이를 극복하기 위해서는 복습이 매우 중요합니다. 2단원을 진행하면서 1단원의 문제를 조금씩 함께 풀고, 3단원을 진행하면서 1, 2단원의 문제를 조금씩 함께 풀면서 학습한 내용의 감각을 계속해서 유지하는 방법으로 미적분 학습을 완료해야만 전체적인 내용을 자기 것으로 만들 수 있습니다. 최상위권과 상위권이라면 이미 수학Ⅰ, 수학Ⅱ의 심화 과정을 자유롭게 연습하는 단계라서, 단원별 유형 연습을 마치고 난 뒤 평가원이나 교육청 모의고사 기출 문제를 활용해 심화학습을 진행하는 것이 좋습니다.그 외 심화 문항들은 대부분 평가원이나 교육청 모의고사 2024-06-27
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대치동 이과 최상위권이 주목하는 ‘고정민 기벡과 미적분Ⅱ’
‘고정민 기하와 벡터(기벡), 미적분II’는 대치동 이과 최상위권 학생들이 손꼽는 강의다. 11월 28일(수) 오후 1시 새움학원에서 내년 고3을 대상으로 설명회를 앞둔 고정민 강사를 만나, 수능 수학 만점을 위한 차별화된 수업 방식과 연간 커리큘럼에 대해 들어봤다.고정민의 기하와 벡터, 무엇이 다를까?학생들이 직접 체화하고 적용하는 강의내년 고3 겨울방학은 수능 준비에 총력을 기울이는 시기인 만큼, 개념학습의 기틀을 잡을 수 있는 최적의 시기이다. 이에 대해 고정민 강사는 “무턱대고 달려들어 기출문항이나 문제집을 푸는 양치기식 학습은 버려야 한다. 기벡과 미적분II 모두 각 과목의 특성에 맞는 탄탄한 개념 학습이 필요하다”고 강조했다.특히 “학생들이 능동적으로 문제를 풀 수 없는 기벡 강의는 과목의 본질과 멀어진 것이다. 기하와 벡터의 핵심은 일관된 도구 적용으로 정답을 찾아내는 것인데, 많은 강사들이 문제마다 다르게 풀어주기 때문에 학생들이 학습 방향을 잃는 경우가 많다. 기벡은 강사의 역할이 중요한 과목이기 때문에 강의 선택 시 더 신중해야 한다”고 조언했다.미적분 핵심은 빠른 문제 반응속도나열식 강의로 중요한 시기 시간낭비 NO미적분Ⅱ는 문제풀이보다 빠른 문제 반응속도로 답을 찾아내는 실력을 갖춰야 하는 과목이다. 고정민 강사는 “수많은 식을 정리하는데 급급한 나열식 강의, 수능 본질을 외면한 문제풀이와 기출문제 양치기식 공부는 학생들의 소중한 시간을 뺏고 있다”고 꼬집었다.박승주 학생(연세대 치의예과 18학번)은 “고정민 강사의 미적분 강의는 신선한 충격이었다. 문제를 어떻게 하면 쉽게 풀어낼 수 있는지 잘 알려주시고 강조하신 것들만 잘 익히고 있다면 킬러문항들도 수월하게 풀리는 경험을 할 수 있다”고 밝혔다. 이렇듯 ‘속도가 풀이를 추월한다’는 고정민 강사의 수업은 ‘빠른 문제 반응속도로 정답을 찾아내는 강의’로 대치동 최상위권 이과 학생들에게 두터운 신뢰를 얻고 있다.2020학년도 수능 대비 연간 커리큘럼수능 만점 향한 ‘고정민 풀 커리(4단계)’ 고정민 강사의 강의는 난이도 편차나 문제유형에 상관없이 수능 수학 만점에 대비하는 커리큘럼으로 짜여있다.내년 고3 겨울방학에는 ‘수학경(수능에 필요한 심화개념+유형 정리)’으로 기하와 벡터·미적분II에서 주제별 꼭 알아야 할 개념을 다루고 기본 유형을 충분히 연습시킨다. 주간 과제물 ‘루틴(기본 문항부터 킬러문항, 자체문항까지 다양하게 담은 과제)’으로 데일리 학습 습관도 다잡는다.내년 2~6월까지는 ‘수학단(고난도 문항 접근법+해결법)’으로 핵심 출제 키워드를 분석해 접근법과 풀이법을 제시한다. 또, ‘고고익선(고난도 필수 유형 집중 정리)’으로 고난도 기출 문제를 집중적으로 선별해, 변형 문항을 통해 문제 해결 능력을 끌어올린다.내년 여름방학부터 파이널까지 ‘실전력 모의고사(높은 난이도로 실전 감각 훈련)’로 가장 평가원다운 문항을 집중적으로 공략해 수능을 미리 경험하고 예측할 수 있는 콘텐츠로 진행한다. 특히 수업 전 30분 테스트(5문제: 전 범위, 5문제: 이전 강의 내용) → 3시간 강의(이론 30%, 문제풀이 70%) → 1:1 질의응답(강의, 과제 질의응답·전문 강사의 1:1 지도 시스템) → 교재 1권의 과제(매주 별도 워크북 제공·선별된 기출, 자작문항 구성)가 원스톱으로 이루어진다.수강생 관리도 철저하다. 모든 테스트 결과 문자 전송, 복습이 필요한 학생에게 현장 강의 영상 제공, 스피드 테스트(2·3점 17문항 모의고사) 등으로 실력 향상을 끌어낸다.고정민 강사는 오는 11월 28일 새움학원 설명회에서 ‘학생이 어떻게 공부할 수 있게 만들지, 어떻게 성적을 올릴지를 반영한 콘텐츠(예: 고정민 준킬러 모의고사)’ 등을 공개할 예정이다.
2018-11-22
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대치동 관리형 학원 ‘감성수학’ 원장 수신샘의 ‘여름방학 수학학습 전략’
고교 진학을 앞둔 중3부터 수시 비중이 확대돼 내신 영향력이 더욱 커진 고교생들은 수학의 중요성을 익히 알고 있지만 학습시간 대비 성적향상이 낮은 수학 과목의 특성상 고민이 많다. 그 동안의 학습 결과에 실망했던 학생이라면 대치동 관리형 수학학원 ‘감성수학’ 원장 수신샘의 학습 전략을 주목할 필요가 있다.틀린 문제와 맞은 문제까지 철저히 확인수학 실력 향상의 지름길은 본인의 수학 실력을 객관적으로 분석하는 것에서 시작된다. 단순히 몇 점을 받았느냐가 아니라 취약점을 제대로 파악해야 한다는 것이다.“대부분의 학원들은 학생이 틀린 문제만 설명해 주고, 맞은 문제들은 넘어간다. 이래선 학생의 실력은 절대 늘지 않는다. 틀린 원인을 파악하고, 맞은 문제라도 시간이 오래 걸렸거나 기발한 아이디어가 떠올라서 푼 문제들은 유의해야 한다. 시험시간은 유한하고, 다음번에 그 아이디어가 또 떠오를 리 만무하다. 학생이 어느 부분에서 틀렸는지, 모르는 것이 무엇인지, 맞았어도 대략적으로 맞춘 것인지 등을 정확하게 분류해야 학생의 약점을 알게 되고, 이 부분을 집중적으로 채우는 것이 중요하다. 문제를 많이 푸는 것보다 단 한 권이라도 언제든지 완벽하게 풀 수 있도록 익히는 것이 수학을 정복할 수 있는 지름길”이라고 수신샘은 조언했다.이처럼 수학은 자신의 취약점을 확실히 다지는 것이 중요하기 때문에 감성수학 원장 수신샘이 구축한 ‘개인별 8단계 체크시스템’이 주목받고 있는 이유이다.모든 문제를 빅데이터로 집중 관리한 번 틀린 문제는 다시 틀리지 않도록 훈련수학 성적이 불안한 대치동 학생들의 공통점은 어릴 때부터 선행학습에 집중한 나머지, 자기 학년 수학을 소홀히 하고 ‘진도 나가기’에 급급해서 수박 겉핥기식으로 공부한 경우가 많다는 점이다.수신샘은 “의대 진학을 목표했던 한 학생에게 쎈수학 대표유형을 테스트했더니 단 한 문제도 못풀었다”며, 이에 대한 해결책으로 개별적인 수학 약점 분석 솔루션인 ‘8단계 체크시스템’을 설명했다.“감성수학은 시중 문제집 3~4권 정도를 기본 베이스로 강남 주요 고교 수학 내신을 대비시키고 있다. 어차피 내신시험에는 학생이 한 번도 접하지 못한 문제들이 킬러문항으로 등장하기 때문에 그러한 킬러 문항들을 미리 풀어보는 것은 불가능하다. 요지는 킬러 문항을 풀 수 있는 실력을 기르는 것이다. 감성수학에서는 학생들의 모든 오답을 주기적으로 5번 테스트한다. 그 과정에서 2번 이상 틀린 문제들은 다시 3번 체크해 총 8번 확인한다. 모든 과정에서 학생의 풀이 과정을 일일이 확인하기 때문에 학생들의 풀이가 점점 정교해진다”고 덧붙였다.또, 수신샘은 “쎈수학이나 일품수학의 어떤 페이지를 펼치더라도 그 자리에서 풀 수 있는 학생이라면 이미 강사 수준의 실력이지 않겠는가? 3~4등급 수준에서 감성수학 8단계 시스템을 시작한 학생이 2개월 만에 전교권으로 성적 향상을 이뤄낸 것이 그 반증”이라며 철저한 관리의 중요성을 역설했다.오답노트 성패는 원인 분석온·오프라인 수업 병행으로 집중 관리 오답노트는 단순히 작성에 그치는 것이 아니라 철저한 원인 분석이 필수다. 감성수학은 개인별 오답문제를 ‘GAME(G 계산 실수, A 질문한 문제, M 맞았어도 자신 없는 문항, E 개념 착각 문제)’등으로 분류하고 있다. ‘계산 실수가 잦은 학생이라면 G표시가 된 문항들만 반복해서 풀어도 확연히 계산 실수가 줄어든다’고 수신샘은 전한다.무엇보다 감성수학은 모든 오프라인 강의를 태블릿PC로 무한 반복해 들을 수 있도록 온라인 시스템을 구축해 놓았으며, 이투스 강사 역임 및 강남구청 인터넷 방송 교재를 집필한 수신샘의 강의력과 감성수학만의 8단계 체크 시스템은 개인 블로그에서 확인할 수 있다.한편, 감성수학은 여름방학 동안 아침 10시부터 밤 10시까지 수학을 제대로 공부하는 ‘텐투텐’ 프로그램을 진행한다고 한다. 감성수학의 개인별 맞춤 관리 시스템을 적용시키는 만큼 제대로 된 수학 학습의 결과를 기대할 수 있다.문의 02-538-0907
2017-07-21
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