숫자를 단순히 숫자로만 받아들이지 않고 어떤 의미를 부여하여 특정 숫자를 좋아하거나 싫어하는 사람들이 많다. 심지어 국민 대다수가 특정 숫자에 대하여 공통적인 이미지를 가진 국가도 많다. 예를 들어 한국인은 숫자 4가 죽음과 관련된다며 싫어하고, 중국인들은 숫자 8이 행운을 가져다준다고 해서 유난히 좋아한다.

고대 그리스의 철학자이자 수학자인 피타고라스는 세상의 모든 것은 수와 연관되어 있으므로 만물의 근원은 수라고 주장하였다. 그는 각각의 숫자들에 의미를 부여하면서 인간의 감정을 표현하는 수단으로도 활용하였다. 이 중 몇 가지만 살펴보면 다음과 같다.

0 : 만물의 기원

1 : 모든 수의 신성한 창조자이므로 신을 의미한다.

2 : 첫 번째 짝수로서 음을 상징하므로 여성을 의미한다.

3 : 첫 번째 홀수로서 양을 상징하므로 남성을 의미한다.

5 : 2+3=5가 성립하므로 남성과 여성의 결합을 상징하는 결혼을 의미한다.



오늘은 수학자들이 특별한 의미를 부여했던 수에 대해서 알아보자.

? 우애수

자기 자신을 제외한 약수의 합이 서로가 되는 한 쌍의 숫자를 우애수(친화수, 형제수)라 한다. 220의 약수 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110로 모두 더하면 284가 되고, 반대로 284의 약수 1, 2, 4, 71, 142를 모두 더하면 220이 된다. 따라서 220과 284는 우애수이다. 피타고라스가 처음으로 (220, 284)를 발견했고, 이후 페르마가 (17296, 18416), 데카르트가 (9363584, 9437056)를 발견했다.

? 부부수

1과 자기 자신을 제외한 약수의 합이 서로가 되는 한 쌍의 숫자를 ''부부수''라고 하는데, 우애수와 비슷하지만 다른 점이 있다. (48, 75) , (140, 195), (1575, 1648), (1050, 1925), (2024, 2295)… 독자들은 다른 점이 무엇인지를 찾았는가? 더 읽기 전에 직접 찾아보길. 짝수는 홀수하고 홀수는 짝수하고 짝을 이루고, 약수의 합을 구할 때 1을 제외한다는 점에서 부부수와 우애수와 다르다. 짝수는 여성, 홀수는 남성이라는 피타고라스의 생각이 스며들어 우애수는 동성, 부부수는 이성과 짝을 이룬다.

? 사교수

사교수는 우애수가 발전된 개념으로, 서로 다른 3개 이상의 수에 대하여 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 처음 수로 다시 되돌아오는 수들을 사교수라고 한다. 어떤 수 A의 약수의 합이 B가 되고, B의 약수 합이 C가 된다. 이 과정을 반복하여 처음의 수 A로 돌아오는 수들을 사교수라 한다. 예를 들어 12496의 약수의 합은 14288이며, 14288 약수의 합은 15472이다. 그리고 15472 약수의 합은 14536이 되고 14536 약수의 합은 14264이다. 14264 약수의 합은 12496이므로 (12496,14288,15472,14536,14264)는 사교수가 된다.

? 완전수

자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신이 되는 수를 완전수라고 한다. 즉 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+3+…+30+ 31이므로 6,28,496,8192…등은 완전수이다. 또 6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 496=1+2+3+… +30+31와 같이 완전수는 연속되는 자연수의 합으로 나타낼 수 있다는 또 다른 특성을 가진다.

? 우박수

다음은 1937년 독일의 수학자 로타르 콜라츠(Lothar Collatz, 1910~1990)가 제시한 문제로, 그의 이름을 따서 콜라츠의 추측이라고도 불린다.

자연수를 하나 고른다. 이 수가 짝수면 2로 나누고, 홀수면 3을 곱한 다음 1을 더한다. 다시 그 수가 짝수면 2로 나누고, 홀수면 3을 곱한 다음 1을 더한다. 이 과정을 반복하면 그 수가 항상 1이 될까?

이 추측은 3을 곱하고 1을 더하는 과정 때문에 ‘3n+1 문제’로 불리기도 한다. 처음에 고른 수가 5이면, 5는 홀수이므로 다음 수는 3×5+1=16이고, 16은 짝수이므로 다음 수는 4이다. 이 과정을 반복하면 다음과 같다.

5→16→8→4→2→1

수가 커지는 경우도 있지만, 짝수가 될 때마다 절반씩 줄어들므로 계산이 금방 끝날 것 같다는 예상이 가능하며, 이 예상이 당연하다는 생각이 들기도 한다. 정말 그럴까? 이번에는 7에서 시작해 보자. 더 읽기 전에 1이 되기 위해서는 몇 번의 계산을 해야 되는지를 추측한 후에 공책에 직접 계산을 해서 자신이 추측과 비교해 보자.

계산 과정은 다음과 같다.

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

생각보다 긴 16단계를 거쳐야 겨우 1이 된다. 이처럼 수가 커졌다 작아졌다를 반복하다가 어느 순간부터는 계속 작아져 1이 되는 모습이 마치 우박이 구름 속에서 오르내리며 자라다가 지상으로 떨어지는 것과 비슷하다는 뜻에서 이 수들을 ‘우박수’라 부르기도 한다.



한걸음 더

이밖에도 부족수, 과잉수, 삼각수, 사각수, 오각수, 카프리카의 수, 쌍둥이 소수와 같은 다양한 수들의 이름이 존재한다. 이 수들은 어떤 특징을 가지고 있는지 조사해보자.



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