--->지난 호에 이어서

파스칼의 삼각형의 각 행을 자세히 관찰해보면 다음과 같은 특징이 나타난다.
⒜ 각 행은 1로 시작해서 1로 끝난다.
⒝ 파스칼의 삼각형은 삼각형의 중심을 기준으로 좌우대칭을 이룬다.
⒞ 윗줄에 이웃하는 두 숫자의 합이 아래 줄의 숫자가 된다.
그런데 이 세 개가 전부가 아니다. 집중력을 발휘해서 꼼꼼히 관찰해보면 수많은 성질을 찾을 수 있다. 이번 회에도 파스칼의 삼각형에 대해서 집중 탐구하는 여행을 떠나보자.
(그림이 작아 불편한 독자들은 필자의 블로그에 탑재된 연습지를 활용하자. 머리로만 생각하지 말고 다소 귀찮더라도 연필을 들고 직접 풀이를 시도해 보자.)

1) 두 개의 항을 거듭제곱한 식을 전개하면 다음과 같다. 이 전개식과 파스칼의 삼각형의 관련성을 찾아보자.

2) 다음과 같은 방법을 통해 만들어진 삼각형을 시어핀스키 삼각형(Sierpi?ski triangle)이라 부른다.
①한 개의 정삼각형에서 시작한다.
②정삼각형의 세 변의 중점을 연결하면 원래의 정삼각형 안에 또 다른 작은 정삼각형이 만들어지는데 이 작은 정삼각형을 제거한다.
③남은 정삼각형들에 대해서도 ②의 과정을 실행한다.
④③의 과정을 무한히 반복한다.

파스칼의 삼각형에 나타난 숫자들 중 홀수만 삼각형 형태로 묶은 다음 색칠을 해보자. 또 3의 배수에 해당 되는 숫자들도 같은 방법으로 묶어서 표시해 보자. 어떤 그림들이 나타나는가?

3) 필승 게임에서 소개하였듯이 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...와 같이 숫자를 나열하는 수열을 피보나치 수열이라고 하였다. 파스칼의 삼각형에서 피보나치수열을 찾아보자.

4) 삼각형 형태로 물건을 배열할 때 필요한 물건의 총 개수가 1, 3, 6, 10, 15, 21...에 해당되는 수를 삼각수라고 한다. 파스칼의 삼각형에서 삼각수는 어떻게 찾을 수 있는가?
또, 사각형 형태로 물건을 배열할 때 필요한 물건의 총 개수가 1, 4, 9, 16, 25, 36...에 해당되는 수를 사각수라고 하는데 파스칼의 삼각형에서 사각수를 찾는 방법은 무엇인가?

이 외에도 파스칼의 삼각형에서는 오각수, 하키스틱의 원리 등 다양한 성질이 숨겨져 있으므로 호기심이 가는 독자들은 지적 탐구 여행을 떠나 보시길

●풀이
1) 두 개의 항을 거듭제곱한 전개식에서 계수만을 따로 뽑아 배열하면 파스칼의 삼각형이 나타난다.
2) 시어핀스키 삼각형 모양이 나타난다.
3) 아래의 그림 참조
4) 파스칼의 삼각형에서 세 번째 대각선 방향으로 나열된 수들이 삼각수에 해당된다. 아래 그림의 파란색 선이 삼각수를 나타낸다. 삼각수에서 이웃한 두 수를 더하면 사각수가 된다.

궁금한 점은 아래의 블로그를 활용해 주세요.

Blog:http://blog.daum.net/istiger

진광고등학교 신인선 교사

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