중고등 수학에서 짚어야 할 주요 개념들 

②- 행렬-진위판정문제

중간고사가 거의 끝났다. 수학의 경우 고3은 원래부터 수능기출과 EBS 연계 출제이지만, 이번에는 고2조차도 수능연계가 확실했다. 작년 수능 문제를 손봐서 낸 학교가 있을 정도로 수능형 문제가 대거 출제되었다. 요즘은 교과서 익힘책이나 내신문제조차도 수능형 문제들이 많이 실려 있다. 이런 추세는 점점 강화될 것이다. 

짧은 지면이므로 수능과 내신에 공통적인 행렬진위판정문제 중 기본형만 소개해보겠다. 수능에 들어가는 첫 수학과목인 수1의 첫 장이 행렬이다. 학생들은 행렬을 매우 쉽게 생각한다. 주로 상용로그나 로그함수부터 어렵다고 생각한다. 그러나 막상 시험을 쳐보면 행렬진위판정문제의 오답률이 매우 높다. 행렬은 행과 열로 이루어진 수들의 묶음이다. 더하기는 실수의 연산과 큰 차이가 없지만 곱하기는 매우 다르게 정의된다. 그래서 교환법칙이 성립하지 않고 두 행렬의 곱이 0이라고 해서 둘 중 하나의 행렬이 0이라는 보장이 없다. 

그런데 많은 학생들은 이 사실을 알고 있어도 더 섬세하게 이해하지 못해서 틀리는 경우가 많다. 맞는 명제이든 틀린 명제이든 그 이유를 확실하게 짚고 넘어가야 하며, 기본성질 어디로부터 파생된 성질인지 확실하게 추적해야 한다. 다음은 기본형 일부다. 각 항목마다 제일 앞 문장만이 아니라 연관되는 몇 개의 명제를 하나의 세트로 이해해줘야 한다. 

  그런데 일 경우 교환법칙이 성립한다. 올해 교육청 모의고사 문제 중 일부다. 라는 조건이 주어지면 이다. 왜냐하면 가 성립하면 이기도 하기 때문이다. 

  (2) 이어도 A=0이거나 B=0인 것은 아니다. 그런데 가 존재하면 이다. 고3 중간고사 내신 문제를 보자. “이고 이어도 라는 보장은 없다. 가 존재해야 성립한다. 영인자인 반례도 있다.   

  (3) 실수에서 역수와 비슷한 역할을 하는 역행렬의 정의가 독특하다. 이다. 즉 이 존재하면, 와  모두 존재한다. 의 역행렬이 존재하면 의 역행렬도 존재한다. 하지만 의 역행렬이 존재하지 않는다고 의 역행렬이 존재하지 않는다는 단언은 할 수 없다. 반례가 있다.   

(4) 케일리 해밀턴 정리도 있다. 이면, 이 성립하고 이 명제의 역은 성립하지 않는다. 하지만 A가 꼴이 아니라면 역이 성립할 수 있다. 또, 가 존재하지 않는다면 이다. 그래서 이라면 반드시 이 된다.

단지 몇 개의 사례를 간단하게만 들었지만, 파생되는 연쇄고리를 같이 이해해줘야만 신유형이나 조금 비튼 문제들도 잘 풀 수 있을 것이다.

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