1. 개념에 대한 이해가 떨어져서..

 수학은 개념을 알아야 하는 과목이라고 하는데, 사실 개념이 없는 과목과 학문이 어디 있겠는가? 

개념은 지식과 학문이라는 나무의 가지와 같다. 

개념이 없으면 꽃도, 잎도, 열매도 없다. 그리고 개념은 다소 높은 수준에 올라가야 제대로 알게 된다. 

그리고 현재 고등학교 수학 교과서에 나오는 수학적 개념의 많은 부분은 많은 시간동안 그 시대의 천재들이 공을 들여 다듬어낸 것들이다. 

그 만큼 어려운 것이고 보통의 학생들이 개념을 제대로 이해한다는 건 무리다. 

많은 선생님들의 대부분의 노력은 어려운 개념을 최대한 친숙하고 익숙하게 하는 것이고, 시험에 최적화된 것으로 보는 것이 맞다.   

2. 개념을 아는데 적용을 못해서..

 지식에는 두 가지 종류가 있다고 한다. 

첫 번째는 내가 알고 있다는 느낌은 있는데 설명할 수는 없는 지식이고 두 번째는 내가 알고 있다는 느낌뿐만 아니라 남들에게 설명할 수도 있는 지식이다. 

두 번째 지식만 진짜 지식이며 내가 쓸 수 있는 지식이다. 중요한 말이 아닐 수 없다. 

첫 번째 지식은 왜 지식이 아닐까? 실제로 우리가 알고 있는 것이 아니기 때문이다. 다만 자주 경험해서 친숙하기 때문에 내가 잘 알고 있다고 착각하고 있을 가능성이 높은 상황인 것이다. 

3. 계산 실수

 “우리아이는 계산 실수가 잦아요...”라고 하시는 어머니들을 자주 본다. 

시험지를 보면 확실히 계산 실수로 틀린 것이다. 하지만 분명 인정해야 하는 것은 실수도 실력이라는 것! 사자가 사냥하는 중에 가장 집중해야 하는 때는 마지막 순간, 앞발로 채거나 달려들어 허벅지나 옆구리를 무는 때이다. 

그 때 마음속으로 ‘이제 다 잡은 거나 마찬가지야, 적당히 하면 되지 뭐...’ 집중력이 흩어지면 온 힘을 다해 쫓아 간 노력이 허사가 된다. 

도구적 이해와 관계적 이해를 통한 문제 해결력 향상

중학교까지는 수학을 잘 했는데 고등학교에 와서는 성적이 떨어진다는 고민을 많이 듣는다. 여러 가지 이유가 있겠지만, 가장 큰 이유는 단순 암기식과 문제풀이 위주의 학습방식 때문이라고 생각한다. 대표적인 예로 문제의 설명을 듣고는 ‘무조건 이렇게 하면 되나요?’ 라고 반문 하는 학생들이 있다.

 
 인간의 뇌에서 일어나는 논리적 생각의 과정들을 통틀어서 스키마라고 한다. 간단히 말하자면, 스키마는 생각의 틀이라고 보면 된다. 스키마 학습법이란, 단순히 사실 하나 하나를 암기하는 학습법이 아니다. 사실과 사실, 지식과 지식을 연결시키면서 생각의 틀을 키워나가는 학습법이다. 

예를 들면...
근의 공식을 그냥 외우는 것은 도구적 이해구요,
근의 공식 유도과정을 모두 이해하고, 혼자서 유도할 수 있는 상태에서 공식을 알고 적용하면 관계적 이해에 해당합니다.

2차방정식의 근의 개수를 판별할 때
판별식이 0보다 크면 실근이 2개이고,
판별식이 0이면 중근,
판별식이 0보다 작으면 실근이 없는 이유를
이해하지 못한 채 그냥 적용하면 도구적 이해이고,
왜 저렇게 되는지 그 이유를 아는 상태에서 문제해결을 하면 관계적 이해이다.

 
 저학년때는 수학을 잘하는데 고학년이 될수록 수학 성적이 떨어지는 이유도 여기에 있다. 학년이 높아질수록 외워야하는 절대 정보량이 많아진다. 아무런 연결고리 없이 무조건 외울 수 있는 개인의 한계에 부딪히는 순간, 수학 성적은 수직 하락하게 된다. 일반적으로 그 한계점이 고등학교 1학년 2학기 함수가 시작되는 때부터다.

도구적 이해가 필요한 때도 많다. 하나의 주제에 대하여 내용을 배우고 충분히 이해가 되었다면 다양한 문제를 통해 연습을 해야 한다. 그리고 문제의 유형은 중복됨 없이 분류하여 암기하는 단계까지 공부를 해야 시험에서 고득점을 할 수 있다. 특히 학교시험에서는 더욱 그렇다. 즉, 내용의 정리와 암기로 시험공부가 마무리 되는 것이다.

 이해가 되었다고 연습을 게을리 하고 정리와 유형암기가 안되면 시험에서는 시간이 부족하게 되거나 공부했던 것도 틀리게 된다. 서브노트를 만들거나 오답노트를 만드는 것은 공부의 마무리 단계를 준비하는 과정이다. 직접 정리한 내용을 자주 보면서 틀린 부분을 상기하고 중요 유형과 세부사항을 외우고 하는 것이다. 이 과정은 계산 실수를 줄이는 방법 중 가장 중요한 과정이다.

 마지막으로 꼭 잊지 말아야 하는 것이 있다. 스키마식 학습법이나 암기식 공부법이나 원하는 성적을 얻기 위해서는 절대적인 시간이 필요하다는 것이다. 중학교보다는 고등학교에서 좋은 성적을 얻으려면 많은 시간동안 공부해야 한다. 내용도 많을 뿐 더러 어렵기도 하다. 선생님이 이끌어 주신다고 해도 혼자서 책상에 앉아 복습하고 틀린 부분을 생각해보고 다시 풀어보고 하는 노력이 있어야 한다.

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