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- 예비고1 때의 수학공부가 대학을 결정한다 이 글을 쓰는 지금, 똘망똘망한 눈망울로 ‘무엇을 얘기할까?’ 나를 주시하는 여러분의 얼굴이 떠오른다. 무슨 말을 해주어야 할까? 우선 공부에 관한 전반적인 얘기를 먼저 하고자 한다. 그런 연후에 수학 이야기를 시작해볼까 한다.거의 모든 학생들이 학원에 다니거나 개인 과외를 받으면서 입시를 준비하고 있는 것이 현실이다. 우리의 경쟁자가 대략 40만 명 정도라고 본다면 ‘내가 가고 싶은 대학’에 지원하려면 단순 수치로 전국 순위 2만 명 안쪽에 내가 있어야 한다. 그렇다면 대학에서 원하는 최적의 학생 모습을 갖추기 위해서 최우선으로 요구되는 것은 무엇일까? 여러 가지가 있을 수 있겠지만, 가장 우선되어야 할 것은 성적이다. 그중에서도 특히 수학 성적은 대학을 결정짓는 과목이라고 해도 과언이 아니다. 자연 계열의 대학을 지원하려면 수학, 과학이 필수적이고 인문사회 계열의 대학을 지원한다면 경쟁자와의 격차를 벌릴 수 있는 과목이 수학이기 때문이다. 수학 성적을 일정 위치 이상으로 올려놓아야 한다는 데는 이견이 있을 수 없다.고등학교 성적 절대학습량이 좌우이를 위해서는 우선 마음가짐과 자세의 변화가 필요하다. 중학교 때 수학점수가 90점 이상 받을 수 있는 비율은 대략 25~30%라고 한다. 그런데 고등학교에 진학하는 순간 그 비율은 4% 정도로 낮아진다. 30명 정도의 반에서 중학교 때는 8~9명이 90점 이상이었다면 고등학교에서는 한 반에 1명 정도가 90점 이상을 받는 셈이다. 첫 중간고사가 고교 3년 나의 위치를 결정짓는다는 말이 있을 정도로 첫시험은 매우 중요하다. ‘이제는 고1이다’라는 마음가짐이 필요하다. 중학교 때는 머리가 좋으면 적당히 공부해도 성적이 나왔다면 고등학교에서의 성적은 절대적인 학습량이 좌우한다. 이제부터 의식의 전환이 없다면 제대로 된 수험생활을 하기 어렵다. 누구나 성실함을 지니고 있다. 꺼내서 일상에 펼쳐야 한다. 이러한 성실함이 내가 전하고 싶은 수학 공부의 전제 조건이다.수학과 사랑에 빠져라영어, 국어와 달리 수학, 과학의 차이점은 무엇일까?영어와 국어는 중등과 고등에서의 학습이 본질적 차이점이라기보다는 기본과정에 심화와 난이도가 점차 확장되는 학습이다. 반면, ~학으로 끝나는 과목은 위계적이고 체계적인 학습이 필요하고, 전체의 일관된 과정에 일부 문제가 생기면 무너지는 나선형구조입니다. 그 중 수학이 대표적이다.수학을 잘하고 싶다면 먼저 수학근육(생각하는 힘)을 키우는 게 좋다. 생각하는 힘을 얻어야 다양한 응용력이 생긴다. 그래야만 수학 학습에서 가장 중요하지만 단기간에 키우기 힘든 ‘문제해결력’을 점진적으로 향상시킬 수 있다. 그러기 위해서는 수학에 관련된 다양한 서적 읽기를 추천한다. 잘 알아야 궁금해지고, 이해하게 되고, 그리고 사랑에 빠질 수 있기 때문이다.무조건 믿어라믿어야만 이룰 수 있다. 조급함을 버리고, 오늘 해야 할 것을 성실하게 모두 마치면 목표가 바로 앞에 있게 된다는 진리를 믿으라. 우선은 자신을 믿어야한다. 그 다음은 여러분을 반드시 성공으로 이끌고자 지금까지의 경험과 사례를 바탕으로 매일 매일 연구하고 노력하는 선생님을 믿어야 한다.일상에서의 성실함이 내 미래의 선택에 많은 도움을 준다는 평범한 진리가 이번 여름 수학을 공부하는 학생들에게 힘이 되었으면 좋겠다는 생각에 몇 자 적었다. 지금부터 자신이 가지고 있는 성실함을 삶의 좋은 도구로 다듬어 가길 바란다.일산 수학전문학원 수풀림학원 고등부 리아쌤문의 031-915-8200 2020-07-24
- 일산 이김수학학원 김보영 원장이 전하는 수학 공부 비결 학원에서 상담을 하다보면 다양한 질문을 받게 된다고 한다.학생들의 수학 성적을 기적처럼 치솟게 하는 방법은 특별한 것이 없을까? 지금부터 김보영 원장을 만나 학부모들이 궁금해 하는 다양한 질문들 중에서 수학공부 대한 도움이 될 몇가지 노하우를 알아보고자 한다.Q 공부를 잘하고 싶은데 성적이 안 오릅니다.A 공부는 누구나 잘하고 싶어 합니다. 그러나 공부를 하는 학생은 적습니다.성적이 오르고 싶으면 공부를 하세요. 공부를 하면 성적은 당연히 오릅니다.Q 공부를 해도 성적이 안 오릅니다.A 공부를 한다는 것은 책상에 앉아 있는 것이 아닙니다.공부 시작하기 전과 공부가 끝난 후 내가 알고 있는 것이 달라져 있는 것이 공부를 하는 것입니다. 책상에 앉아 있는 것을 공부를 하는 것이라고 착각하지 마세요. 공부를 시작하는 순간 성적은 움직입니다.Q 수학은 공식을 외워도 간단한 문제만 풀 수 있지 어려운 문제는 손도 못 대겠어요.A 공식을 외우는 것은 공부가 아닙니다. 주입식 단순 암기로는 저학년 수학 문제를 쉽게 풀 수 있지만 고난이도 심화문제는 절대 풀 수 없습니다. 사실 고난도 문제도 기초가 튼튼하면 쉽게 풀어낼 수 있는 문제입니다. 여러 가지 기본들이 모여서 고난도 문제가 새로 조립됩니다. 그래서 수학을 공부한다고 단순히 공식만 암기하는 것은 시간낭비라고 할 수 있습니다. 꾸준한 기본기를 쌓는 공부가 중요합니다.Q 이김 수학은 수학공식을 외우지 않나요?A 외우는 것도 있고 외우지 않는 것도 있습니다.Q 이김 수학은 특이한 풀이법이 있다는데 그 공부법은 원장님이 직접 고안해 내신 건가요?A 네 공부 방법이 특이하긴 합니다만 교과서에 나와 있는 방법 그대로입니다. 수학 공부를 잘하려면 교과서의 정의와 그 정의를 만들어주기 위한 기초 문제를 푸는 것을 소홀히 하면 안 됩니다. 때문에 이김 수학에서는 기초를 배울 때 가장 시간을 많이 들입니다.이김 수학의 대표적인 풀이법 두 가지를 보여드리죠.첫 번째 문제, <이차 방정식>이김 수학에서는 근의 공식을 외우지 않습니다. 그 대신 완전 제곱식, 제곱근의 원리, 그래프, 근과 계수의 관계, 등을 일일이 생각하면서 5가지 이상의 방법으로 풀어냅니다.두 번째 문제, 일 때, 의 값을 구하여라.이 문제의 풀이는 보통 해설지에서 반 페이지 넘게 쓰여 있습니다. 물론 풀이를 봐도 알쏭 달쏭합니다. 그러나 이김 수학 학원 훈련을 마친 학생은 풀이 없이 바로 답을 구할 수 있습니다. 수학은 기초를 충분히 공부한다면 어렵다고 말해지는 문제들이 쉬워지고 풀이가 간단해지게 됩니다.이김 수학의 공부 방법이 절대적인 수학 공부 방법은 아닙니다. 학생들의 성향에 따라 이김 수학의 방법이 잘 맞을 수도, 안 맞을 수도 있습니다. 수학을 공부하는 데에는 많은 방법들이 있습니다. 다만, 이김 수학에서 좋은 결과를 내려면 이김 수학에서 제시하는 방법을 잘 따라 주어야 합니다. 그렇기 때문에 처음 상담을 오는 학생들에게 반드시 수업을 듣게 합니다.또한 이김 수학은 공부 량이 많긴 하지만 강요하지도 혼내지도 않습니다. 이김 수학 학원은 느리지만 스스로가 몰랐던 것을 알아내는 것 자체를 즐기는 학생들에게 최적화된 학원입니다.눈부시게 오르는 성적은 덤이고요.위치 고양시 일산서구 후곡로 19 (일산동, 평화프라자 502호)문의 031-916-7647 2020-07-03
- 내신 수능 수학시험에서 실수를 하지 않는 방법 전국적으로 6월 초에 중간고사가 시행되었다. 학교 수업은 제대로 진행되지 못했다. 그러다보니 시험을 쉽게 출제했다는 분석이 우세하다. 시험이 쉬운 탓에 한 문제를 틀리면 2등급이 되는 학교들도 많다. 가르치는 학생들 중에도 잘 본 친구들이 있는 반면, 실수를 많이 한 친구들도 있다. 실수는 수학에서 고질병과 같은 것이다. 중요한 시험에서 수많은 수험생들의 발목을 잡는다. 특히 쉬운 시험에서는 더더욱 실수 하나하나가 타격이 크다. 어떻게 공부해야 실수를 줄일 수 있을까? 어떤 시험을 보더라도 ‘내 실력보다 점수가 안 좋게 나오는 상황’을 피할 수 있을까?사칙연산은 습관이다실수의 가장 큰 적은 단순한 계산실수이다. 사칙 연산에서 실수를 하는 것이다. 예를 들면 12+28=50 이라고 하는 것이다. 이렇게 문제를 틀리게 되면 엄청난 자괴감이 밀려오게 된다. 하지만 이후에도 잘 고쳐지지 않는다. 이유는 간단하다. 사칙연산은 학생들이 초등학생 때부터 10년 이상 해오던 ‘습관’이기 때문이다. 오랜 시간 정확한 계산연습을 해야 극복이 된다. 시험을 볼 때 말도 안 되는 계산실수를 하는 학생들은 사실 평소에도 계산 실수를 많이 한다. 단지 평소에 하는 실수는 크게 부각이 될 일이 없기 때문에 신경을 덜 쓴 것이다. ‘다음 시험 볼 때 더 집중하고 조심하면 되겠지’는 위험한 생각이다.그렇다면 대입이 얼마 남지 않은 고등학생에겐 해결책이 없는 것일까? 지금부터라도 계산을 정확하게 하는 연습을 해야 한다. 또한 자신이 자주 하는 실수 유형들을 분석해서 고쳐 나가야 한다.나도 수학문제를 풀 때 실수를 많이 했었다. 평소에 문제를 풀 때는 깔끔하게 풀이를 적고, 깔끔하게 답을 내곤 했다. 하지만 시험을 볼 때는 마음이 급해져서 휘갈기며 문제를 풀었다. 그러다보니 풀이 과정에서 나오는 수들을 혼동하여 답을 이상하게 내는 경우가 있었다. 그래서 케이스 분류로 인해 나온 값들에는 동그라미를, 최종 정답에는 네모표시를 해서 실수를 줄여나갔다. 또한 암산을 함부로 하지 않았다. 간단한 계산인 48+32를 구하고 싶을 때도, 객관식이 아닌 단답형이라면 세로 덧셈 형태로 써보고 답을 냈다. 특히 분수의 덧셈이 있을 때는 암산하지 않고 무조건 통분해서 계산했다. 꼭 나와 같이 계산할 필요는 없다. 중요한 것은 자신이 자주 틀리는 계산 유형을 분석해서 고칠 생각을 해야 한다는 것이다. 그렇게 습관을 들인 나는 수학 시험에서 ‘계산 실수’는 한 번도 하지 않았다.많이 풀어보면 답이 보인다.상위권 아이들의 공통점 중 하나는 답을 내고 의심을 한다는 것이다. 이러한 일은 경우의 수 문제에서 자주 발생한다. 만약 답을 열심히 구했는데 973이라는 수가 나왔다고 해보자. 수능 기준으로는 단답형의 답이 1000 미만의 수 이므로 문제는 되지 않는다. 하지만 수가 깔끔하지 않으면 자신의 풀이를 의심해 보게 된다. 973이라는 수는 경우의 수 문제의 정답으로 자주 등장하는 수는 아니기 때문이다. 다른 문제를 다 풀고 시간이 남으면 다시 이 문제로 돌아와서 문제를 보고, 틀린 점이 있었다면 고칠 수도 있는 것이다.많은 경험은 간단한 계산에서도 도움이 된다. 나는 , ,, 등의 결과를 모두 외우고 있다. 자주 나오는 계산이기 때문에 저절로 외워진 것이다. 학생들에게는 암기를 강요하지 않는다. 실전에서는 를 정석적인 방법으로 계산한 뒤 암기한 결과로 검산을 하는 게 낫다. 사소해 보여도 정확도를 많이 높여주는 방법이다.계산이 가장 많은 과목은 미적분이다. 특히 적분 쪽에서는 마무리 계산을 잘 해야 정답을 얻을 수 있다. 예를 들어, 부분적분을 여러 번 하면 ‘마이너스’ 부호가 붙었다가 사라졌다가를 반복하는 일이 생긴다. 지저분한 적분 계산을 많이 해보고 많이 틀려본 사람이 더 조심하게 된다. 그러면 천천히 꼼꼼히 계산할 수 있게 되고 정답률이 올라간다. 공부를 열심히 하면 틀린 답이 보이게 되는 것이다.마음이 편안해야 실수도 덜 한다.모의고사를 보면 점수가 좋게 나오지만 이상하게 시험을 보면 만족스럽지 못한 결과를 얻는 아이들이 많다. 이러한 학생들은 대체로 마음이 여리고 예민한 편이다. 시험을 못 보면 큰 일이 난다는 생각 때문에 긴장이 되는 것이다. 수학은 생각하는 과목이다. 아는 유형의 문제가 나오면 기계처럼 풀면 되지만, 처음 보는 문제가 나오면 그 자리에서 생각해서 풀어야 한다. 초조해지면 풀 수 있는 문제를 못 풀게 되며, 나아가 계산실수까지 하게 된다. 그래서 시험장에서의 ‘멘탈관리’가 중요하다.방법은 간단하다. 평소에 모의고사를 실전처럼 보는 것이다. 모의고사를 시험과 똑같다고 생각하고 똑같은 환경에서 실시해야 한다. 혹 모의고사가 아니더라도 문제를 풀 때 ‘지금 이 문제를 내가 시험장에서 만나면 어떻게 접근할까?’를 생각해 보는 것이 좋다. 그리고 실전에서는 ‘긴장해봐야 결과는 달라지지 않는다. 평소 열심히 공부했던 나를 믿고 차분하게 임하자. 너무 어려운 문제는 버릴 수도 있다.’ 라는 마인드를 갖는 게 좋다.일산 고등수학과학 전문학원아르스학원 전인덕 강사고양시 일산서구 일산로 558(후앙베이커리 2층) 031-911-6855서울대 수학과를 졸업「사교육없이 서울대 가는 수학 공부법」의 저자 2020-06-26
- “그냥 개별 맞춤 학습지도가 아닙니다. 세밀하고 철저한 맞춤식 개별 지도죠” 후곡학원가에 자리한 ‘황진이본수학’은 20년 넘게 학생들에게 수학을 가르쳐온 황진이 원장이 지난해 개원한 초중고 과정 수학전문 학원이다. 서울 및 일산의 대형 학원에서 수학과 팀장 등으로 일했던 경력을 바탕으로 자신이 가지고 있는 강의 및 학생관리 노하우를 제대로 실현하고자 문을 연 학원은, 단 한 명의 재원생도 소홀히 넘어가지 않고 한 명 한 명 맞춤 지도 및 관리를 해나가면서 학부모와 학생들로부터 잔잔하지만 꾸준하게 좋은 반응을 얻고 있다.세밀하고 철저한 개인 맞춤 학습지도, “타학원과 다르다고 자부해”요즘 대부분의 학원은 ‘소수정예 맞춤식 개별지도’를 내세운다. 황진이본수학학원은 이에 있어 어떻게 다를까?황 원장은 “세밀하고 철저하게 학생별 맞춤 지도를 하려면 사실 굉장한 노하우가 필요하다”라며 “한 반에 4~5명이 있더라도 이해도나 학습속도가 개별 학생마다 다 다르다. 그렇기에 같은 반이라도 학생마다 교재를 달리해 지도하고 진도 또한 다르게 나간다. 한 반의 메인 교재가 같다 하더라도 개별적으로 제공하는 학습지와 테스트 난도를 달리한다. 매일 보는 ‘일일 테스트’도 학생마다 시험지가 다르게 나간다. 상위권 학생은 그에 맞춰 고난도 문제, 최상위 레벨의 시험지가 주어져야 한다”고 말했다. 초등반의 경우는 같은 반이라도 교재가 다른 경우도 있다. 초등학교는 내신시험이 없기 때문에 잘 하는 학생들은 그에 맞춰 진도를 빼주는 게 맞기 때문. 황 원장은 “내신이 없는 초등 시기도 학습 발달에 있어 매우 중요한 시기이므로 철저한 맞춤 학습 지도를 하고 있다”고 설명했다.내신준비, 학생에 따라 기간은 물론 시험지 난도와 문제도 달리해황진이수학학원에서는 이와 같은 차별화된 개별 맞춤 학습을 중고등 내신기간에도 철저히 유지한다는 것을 특히 강조한다. 학생마다 내신준비 기간도 달리할 뿐 아니라 학습지와 시험지 난도도 달리해 내신학습의 완성도를 높인다. 반복학습이 필요한 학생의 경우에는 같은 난도라도 문제를 달리해서 다시 풀리고, 상위권은 만점을 받는 것을 목표로 고난도 서술형 문제에 대한 해결력을 키운다. “이렇게 준비하면 내신은 절대 실패하지 않아요. 20~30점 받던 학생들도 80~90점으로 올라 진보상을 받아오죠. 내신 지도는 우리학원처럼 해주는 데가 없다고 자부합니다.”개념을 철저히 익혀야 고난도 문제 및 낯선 서술형 문제도 풀어낼 수 있어황 원장은 학생들의 수학학습에 있어 무엇보다 ‘개념을 철저히 익히는 것’에 중점을 둔다. 기본 개념이 정확하고 확실하게 되어 있지 않은 상태에서 진도만 빼거나 문제 풀이를 계속하는 것은 모래 위에 성을 쌓는 것이나 마찬가지. 그는 “학생이 문제를 접했을 때 어떤 개념을 활용해 해결하면 된다는 것을 알아차리고 생각하면서 문제를 풀어야 한다. 그러지 않고 기계적인 문제풀이 훈련으로는 수학적 사고력을 기르지 못해, 확고한 실력을 쌓지 못한다”라며 “서술형 문제를 틀리면 만점을 받기 힘든데, 서술형 문제는 사실 어려운 문제가 아니라 문제의 원리와 개념을 잘 알고 있어야 풀 수 있는 문제들이다. 따라서 개념이 완벽히 정립돼 있는 학생들은 낯선 서술형 문제가 나와도 스스로 사고력을 발동해 문제를 풀어나간다. 상위 개념이 필요한 고난도 문제 역시 기본 개념이 잘 돼 있는 학생들은 잘 풀어낸다. 그리고 무엇보다 개념을 철저히 익힌 학생은 학습에 자신감을 얻고 공부에 재미를 붙여 학습에 탄력이 붙는다”라며 개념학습의 중요성을 강조했다.모든 강의 원장 직강, “단 한 명의 학생도 놓치지 않고 철저하게 케어”황 원장은 강사로 일하던 시절 “간혹 학원에 가방만 메고 왔다갔다”하는 학생들이 보이는 게 너무도 안타까웠다고 한다. “단 한 명의 학생도 놓치지 않고 케어하려면 시간과 에너지가 많이 들긴 하지만, 부족한 부분이나 잘못된 학습 습관, 공부 방법 등을 제 때 교정받지 못하면 상급 학교에 진학했을 때 무척 힘들어질 수 있기 때문에 최선을 다하고 있다”고 말한다.황진이본수학은 초등부터 고등반까지 모든 반을 원장이 담임을 맡으며 부담임과 함께 지도한다. 황 원장이 직접 모든 수업에 들어가 강의할 뿐만 아니라 학생 개별 관리까지 맡고 있다. 그만큼 한 명의 학생도 소홀히 하지 않겠다는 뜻. “그런 노력이 통해 동생들까지 저희 학원에 맡겨주시는 부모님들이 많습니다. 주변에 소개도 많이 해주시고요. 그래서 힘들지만 힘을 얻죠.”위치 일산서구 일산로 557 3층문의 031-923-1244 2020-06-26
- 수학성적도 자기주도 학습 능력만큼 성장한다! 이번 기고에서는 자기주도학습 습관을 기르는 방법에 대해 알아보겠습니다. 학생이 주체가 되어 학습 과정을 이끌어 가기 위해서는 먼저 스스로를 잘 알아야 합니다. 우선, 자신의 공부 습관을 돌아보며 학습 능력을 정확히 파악해야 하는데요. 공부가 잘되는 시간은 언제인지, 한 번에 집중할 수 있는 시간은 어느 정도인지, 취약한 과목은 무엇인지 등 구체적으로 살펴봐야 합니다. 이를 통해, 뚜렷한 목표를 세우고 실천 가능한 계획을 작성할 수 있기 때문입니다.목표는 사람을 움직이는 힘이자 공부하게 만드는 원동력입니다. 목표는 장래 직업과 같이 장기적인 목표에서부터 오늘 하루의 목표처럼 단기적인 목표까지 세워야 합니다. 학생이 스스로 장기 목표를 세우고 장기 목표를 달성하기 위한 단기 목표를 하나하나 세워야 합니다. 장기 목표의 중요성뿐 아니라, 단기 목표의 중요성을 잊지 말고, 꾸준히 노력하길 바랍니다.계획은 실천할 때 그 의미가 있습니다. 그러므로 현실적으로 실천 가능한 계획을 세우는 것이 중요합니다. 특히, 성공적인 공부는 시간을 얼마나 효율적으로 사용하는가에 달려있습니다. 그러므로 계획을 세우기 전, 스스로 그동안 내가 시간을 어떻게 사용하고 있었는지 꼼꼼하게 점검해야 합니다.요일별 고정 스케줄을 고려하여 실제 공부에 활용할 수 있는 가용 시간이 얼마나 되는지 파악하고, 그동안 내가 무의미하게 버린 시간은 얼마나 되며 그 원인은 무엇인지 생각해봅시다. 그 원인을 추려 버려지는 시간을 점차 공부에 투자할 수 있도록 한다면 효과적인 시간 활용이 가능해집니다.여기에 각 실전 시험에서의 시간 안배 계획 또한 무척 중요합니다. 학생들의 자기주도학습 향상의 최대 목표가 바로 시험성적 향상이라고 해도 과언은 아닐 것입니다. 특히 수학은 자기 주도 학습 향상의 척도가 된다고 해도 과언이 아닐 것입니다. 평소 수학을 도움 없이 풀어보려는 의지를 키움과 동시에 전체 문제를 얼마의 속도로 몇 분 이내에 풀 수 있는지 철저한 관리가 필요합니다. 모의고사의 난이도 또한 자신의 능력에 맞춰서 초급을 40분네 풀어보기, 중급이상의 난이도 문제를 40분 내에 풀고 고난도 문제 해결 시간 벌기 등 세세한 대비를 할 수 있을 때 왕도가 보이기 시작할겁니다.일산 RX국영수학원 박재순 원장문의 031-924-3005 2020-05-29
- 고3 중간고사 수학, 어떻게 준비할까? 그야말로 고3을 시작하는 학생들에게는 엄청난 카오스가 아닐 수 없다. 교과과정부터 시작해 개학일정, 모의고사 일정, 수능 일정까지 어느 것 하나 확정적인 것이 없다.올해는 고3 학생들이 문이과를 통합하여 수능을 치르는 원년이 되는 해이다. 정확히는 변곡점에 서게 된 어중간한 학년이다. 게다가 실제 문이과는 통합이 한 말이 무색할 만큼 뚜렷이 구분되어 있는 데다 문과는 미분만큼 어렵다는 삼각함수와 지수함수, 로그함수가 추가되어 수학의 난이도를 높이고 있어서 문과생들에게 더한 부담이 되고 있다.따라서 올해 입시를 준비하는 수험생들은 딱 올 한 해만을 위한 맞춤식 학습준비에 집중해야 한다. 고3 학생들의 첫 중간고사가 우여곡절 끝에 치르는 쪽으로 결정되었다.이과 학생들은 올해 수능에서 기벡을 치르지 않는다. 그래서 대부분 학교에서는 미적과 확통에 초점을 두고 출제하며, 문과는 수 2 일부와 확통을 중점 하여 중간고사를 준비하게 된다. 그래서 시험 범위 또한 학교 재량에 의해 결정된다. 하지만 중간고사 또한 수능 준비의 일부 이므로 EBS 교재를 중심으로 준비해야 한다.일단 대략의 시험 범위가 나오면 수능특강의 해당 범위 문제를 풀어보고 분석해야 한다. 예를 들어 수열의 극한을 통한 미분의 해석을 요하는 문제는 정의대로 풀이하는 것도 서술형 준비를 위해 많은 연습을 해야 하지만, 객관식에서는 약식 해법으로 빠르게 풀어야 소중한 시간을 벌 수 있다. 또한 많은 학생들이 3단계 문제를 포기하고 1,2단계 문제만 기계적으로 풀고 넘어가는데 3단계 문제도 하나씩 여유를 두고 틈틈이 인내심을 갖고 풀어 보자! 내신은 수능보다 적은 범위와 짧은 시간 동안 학생들의 이해도를 측정하기 위한 목적을 갖고 있으므로 어려운 문제를 해결하고자 하는 의지와 과정만이 시험에서 좋은 결과를 담보할 수 있으며, 수능의 그 날에 엄청난 기적도 이루어질 수 있게 하는 원동력이 될 것이다.일산 RX국영수학원 박재순 원장문의 031-924-3005 2020-04-30
- 수학 문제 풀이의 핵심‘문제접근성’ 15년간 학원에서 수학을 지도하면서 올바른 학습법과 효과적인 시스템을 늘 고민하게 되고, 또 많은 부분을 적용시켜 학생들의 지속적인 발전을 경험하게 된다. 대체로 초,중등부 학생의 성장은 눈에 띄게 나타나는 반면 고등부는 더디게 향상되는 것을 종종 보게 된다. 그 이유는 고등부에는 수학의 포괄적 사고방식이 중등부에 비해 3~4배 더 요구되기 때문이다.대다수의 학생들과 학부모들은 중등부 학습에서 장차 올 고등부 학습의 어려움을 인식하지 못하고 있다. 정작 고1 1학기 중간고사나 기말고사를 경험하고 나서야 ‘장난이 아니구나’라고 생각하게 된다. 그런데 변화를 주기도 쉽지 않고, 설사 변화를 준다고 해도 학생 스스로의 획기적인 노력이 뒤따르지 않고서는 효과적인 성과가 나오기 참으로 어려운 일이다.수학 성적이 좋아지려면 문제접근성 훈련 되어야무엇인가 변화가 필요하고 가장 효과적이며 지속적이고 성장 가능성을 담보해 낼 수 있는 수학 학습이 필요하다. 나는 이것을 문제 접근성 학습 방식이라 말하고 싶고, 수학 문제를 해결하기 위해 접근해 들어가는 모든 과정이라 지칭하고 싶다.그것이 정의든, 개념이든, 출제자의 의도파악이든, 공식이든, 어떠한 부분을 가지고서라도 풀이과정을 하기 전에 문제를 해석할 수 있는 힘을 통해 변별력과 추론적 능력, 포괄적 사고 인지 능력을 기르자는 것이다. 특히 수학을 복습할 때 이 문제접근성은 엄청난 능력을 발휘하게 되는데, 나는 학생들에게 책을 보듯이 눈으로 읽어가며 복습을 하라고 강조한다. 복습을 할 때 문제접근성을 기르는 훈련을 하라는 이야기다. 시간단축 뿐만 아니라 수학 문제를 풀 때 가장 중요한 부분은 당연히 문제를 어떻게 해석해 들어갈지에 대한 사고 능력이다. 전체적인 과정이 파노라마처럼 형성되어질 수만 있다면 당연히 놀라운 수학성과를 담보해 낼 수 있다. 수학문제를 꼭 노트에 풀어 보아야 한다는 잘못된 생각에서 벗어나야 한다.필자는 입학TEST에서 문제접근성점수, 풀이점수, 정답점수를 모두 책정한다. 학생의 평가를 단순히 맞고 틀리다로 할 수 있는 것이 아니기 때문이다. 예를 들어 어떤 문제를 풀 수 있는 문제접근성이 올바르게 이루어졌지만 중간 풀이과정이 실수로 틀려서 답이 틀렸다면 이 학생은 점수는 0점이라고 해야 할까? 적어도 50점은 되지 않을까? 문제접근성에서 그 학생은 이미 많은 가능성이 내포되어 있기 때문이다. 심화나 고난도 문제에서는 첫 발자국을 디디는 노력이 상당히 중요한데, 이것이 문제접근성의 출발이라 볼 수 있다.문제를 잘 풀려면 출제자의 의도 잘 파악해야문제를 잘 풀려면 무엇을 알아야 할까. 바로 출제자의 의도를 정확히 파악해야 한다.문제접근성을 훈련하는 이유는 하나도 빠짐없이 문제의 의미를 파악하고 정리하자는 것이다. 문제를 급하게 풀지 말고 한 템포 여유를 갖자는 것이다.수업시간에 공식 유도를 통해 개념을 정리했다면, 문제접근에 공식을 다시한번 쓰고 문제를 풀어 저절로 공식을 암기하는데 이용할 수도 있다. 문제 속에 개념을 다시한번 정리하고, 어떤 어려운 문제라도 해결할 수 있는 열쇠를 찾자는 것이다.진도를 몇 번을 나갔거나 문제를 반복하여 많이 풀더라도 창의력으로 분석할 수 있는 수학적 능력이 배제된 학습 방법은 모래위에 지은 집과 마찬가지로 순식간에 무너지게 된다. 또한 시간이 지나면 자연스럽게 잊어버리게 되기 마련이다.어쩌면 문제접근성, 풀이, 정답으로 나누는 수학 학습의 체계가 귀찮고 때론 어려운 일일지도 모른다. 수학 풀이에 앞서 수업 방식이 바뀌어야 하는 힘든 일이 될 수도 있다. 하지만 보다 지혜롭고 효과적인 학습이 노력의 결과를 배 이상으로 담보해 낼 수만 있다면 이제부터라도 문제접근성을 생각하는 학습방식으로 고민해야 하지 않을까.THE맞춤수학학원 원장 박영근문의 031-905-9820 2020-04-03
- 겨울방학, 고등부 전문 수학학원 일산 ‘태솔수학’과 함께하세요 태솔수학은 2004년부터 일산에서 수학 강의를 해온 강태솔 원장이 2012년 개원한 고등부 수학전문학원이다. 외고 자사고 국제고 및 일반고 최상위권 학생들 대상 강의를 주로 하면서 성장을 거듭해온 이곳은 ‘개념 통달’을 기치로 완벽한 개념설명으로 모의고사 킬러문제까지 쉬운풀이가 가능하여 내신,수능 고득점이라는 우수한 성과와 명성을 얻고 있다. 태솔학원 강태솔 원장에게 수학학습에서 개념 이해의 중요성과 강의 노하우, 그리고 새 학년·학기 대비 수학공부는 어떻게 해야 하는지에 대해 들어보았다난도 높고 학습량 많은 고등 수학, 개념학습 중요성 더욱 커태솔수학이 일산지역에서 고등부 전문 수학학원으로 탄탄한 입지를 이어갈 수 있는 원동력은 무엇보다 수학 실력의 뿌리가 되는 개념을 철저히 이해하도록 학생들을 지도한 데 있다. 첫 진도수업의 많은 시간을 개념 강의로 할애할 만큼 개념 위주의 강의를 진행한다. 많은 사람들이 오해하는 것이 개념강의는 수학을 못하는 학생이 하는 수업이라고 생각하는데 오히려 최상위권에 도달하기 위해서는 더욱더 확실한 개념강의가 필요하다고 한다.강태솔 원장은 “학습량이 많고 난도가 높은 고등 수학에서는 개념을 활용해 스스로 문제를 풀 수 있는 실력을 키우지 못하면 문제마다 풀이 방식을 익혀야 하므로 풀어야 할 문제의 양이 너무 많아진다. 또한 모의고사나 수능시험에서 새로운 유형이 나올 때 개념 적용을 하지 못하는 문제가 생긴다. 그런데 모의고사나 수능 문제는 교육과정 내에서 다룬 내용들을 활용해 풀도록 되어 있다. 때문에 개념을 탄탄히 다지고 있다면 어려운 수능 문제도 얼마든지 응용력을 발휘해 풀어낼 수 있게 된다”라며 고등 수학에서 개념 학습이 특히 중요한 이유를 설명했다.‘샌드위치 지역’인 일산 학생들의 경쟁력 키우기 위한 수학 공부강 원장이 수학 개념 공부를 강조하는 이유는 일산지역 학생들의 잘못된 학습 방향을 바로잡아 주기 위함에도 있다.“일산지역에서만 15년간 학생들을 지도하면서 느끼는 것이 있다. 학생들이 고교 입학 후 자신의 현 수준을 정확히 파악하지 못하는 경우가 많다는 것과 너무 내신에 치우친 공부를 하고 있다는 것이다. 학생과 학부모들에게 ‘일산지역은 샌드위치 지역이다’라고 자주 말하는데, 이는 일산이 지방의 고등학교 학생들에게는 내신 등급이 밀리고 서울 지역의 학생들에게는 수능 등급이 밀리는 지역이라는 뜻이다. 결론적으로 ‘어중간한 내신등급과 애매한 수능등급’을 맞는 지금의 공부 방향으로는 입시의 실패확률이 굉장히 높다.”그렇다면 학생들의 공부 방향은 어떻게 바꿔야 하는가. 강 원장은 “ 반복적 문제풀이 위주가 아닌 ‘개념 위주의 공부’를 바탕으로 다양한 문제해결 능력을 키워 내야한다. 중학 수학은 많은 양의 문제 풀이 연습을 한 학생들은 충분히 고득점이 가능한 난도와 학습량을 지녔다. 하지만 고등 수학은 난도와 학습량에서 중학 수학과 비교가 안 된다. 따라서 보다 기본과 개념에 충실해야 하며 정확한 원리와 과정을 이해한 다음 문제 풀이 연습을 통해 더욱더 개념을 확실히 다질 필요가 있다”라며 “하나의 개념으로 수십 가지 문제를 풀 수 있는 ‘진짜 수학 실력’을 키워야 고등 내신 및 수능에서 경쟁력을 확보할 수 있다”고 강조했다.한 문제에 담긴 모든 개념과 원리 철저히 익혀 어떤 문제가 나와도 스스로 적용 가능하도록태솔수학의 수업은 하나의 문제를 풀 때 그 안에 어떤 개념이 담겨있는지, 또 식들이 도출되는 각각의 배경들이나, 풀이가 어떻게 유도되는지 상세히 설명해주는 방식으로 진행된다. 문제가 품고 있는 모든 개념과 원리를 익힘으로써 학생들이 이를 활용해 자연스럽게 풀이가 가능할 수 있도록 지도하는 것이다. 그러면서 그 시간에 다루는 문제가 고3 모의고사 또는 수능에서 어떻게 활용되는 지까지 설명하는 것으로 학생들에게 수학 공부의 전체적인 흐름을 보여준다. 강 원장은 “이런 방식으로 꾸준히 수업 받은 학생들은 처음엔 힘들더라도 고3이 되면 오히려 공부하기가 쉬워진다. 이것이 바로 태솔수학의 강의 노하우이자 강점”이라고 말한다.이러한 수업이 가능하려면 강사의 능력과 풍부한 강의 경험이 필수적으로 요구된다. 강 원장은 “사실 일산에서 고3 이과 상위권 학생들을 대상으로 수업이 개설된 학원이 그리 많지 않다. 보통 수학학원의 경우 고3 학생 수가 가장 적은 게 일반적인데, 그에 반해 태솔수학은 고3 재원생 비율이 가장 높다”고 전했다. 이는 태솔수학이 고등부 수학학원으로서 높은 강의력과 지도력을 그만큼 인정받고 있다는 뜻일 터이다.예비 고1,2 무리한 선행보다는 자신의 수준에 맞는 학습필요예비 고2 수학Ⅰ에 집중 예비고3 성적반등의 마지막 기회겨울방학은 예비 고1은 고등 과정 학습에 대한 준비를, 고 2·3학년은 부족한 부분을 보완하고 실력을 끌어올릴 수 있는 기간이다. 그 어느 때보다 값진 이 기간을 어떻게 보내야 할까.강태솔 원장은 ”예비 고1은 누구나 고등수학을 공부하는 시간이다. 남들이 한다고 자기의 수학능력에 맞지 않는 무리한 진도빼기 수업은 중요한 겨울방학을 헛되게 보낼 수 있다. 반드시 학생수준에 맞게 커리큘럼을 작성해야한다.예비고2 학생도 마찬가지로 학생수준에 맞는 선행공부가 필요하다 수학Ⅰ을 위주로 공부하되 상위권 이과학생들은 학교진도에 따라 기벡,확통,수학Ⅱ을 대비한다.예비고3 학생들은 이번이 성적반등의 마지막 기회라고 볼 수 있다. 학생의 모든 것을 쏟아부어야만 원하는 것을 얻을 수 있다는 것을 명심하길“이라고 전했다.위치 일산서구 일산로 548 4층문의 031-921-7911 2019-12-27
- 예비고1 수학, 이것만 알고 시작하자! 수학은 누구에게나 어렵고 힘든 과목이지만 같은 노력을 들이고도 결과물은 천양지차다. 중학교 때까지 바닥권의 점수를 받다가 고등학교에 이르러 전국 상위1%의 성적을 거둔 학생도 있었고, 고1 겨울방학부터 수학을 시작했던 이과학생이 이듬해 첫 고2 중간고사에 1등급을 받았는데 이 학생의 전학기까지의 성적이 8등급이었다. 또한 중3때 최상위권 성적을 유지하던 학생이 일반고등학교 진학 후 꾸준히 열심히 했으나 한 학기 내내 40점 내외의 저조한 성적을 내다 자신의 약점을 보완 후 결국 전교 1등으로 졸업한 학생도 있다. 이 학생들의 공통점을 들어 수학 점수 향상의 척도로 삼기로 하자.첫째, 이들은 자신이 수학에 자신 없어하는 것은 다른 수포자들과 같았으나 그렇기에 남들보다 더 많이 풀고 생각해야 한다고 느꼈고 그래서 방학 때 수학에 할애하는 시간이 절대적으로 많았다. 그중 전국 1%성적을 거둔 학생은 고2때까지 거의 수학에 올인했다. 적어도 수학을 잘하고 싶다면 최소 방학만이라도 이 정도의 투자가 필요하지 않을까?둘째, 질문을 하고 내 풀이에서 힌트를 얻고 듣는데 치중하지 않고 반드시 마무리는 스스로 끝내고 정리했다. 열심히 공부하는데 수학 점수가 오르지 않는 절대 다수는 질문을 몰아서 하고 풀이를 다 듣고 한꺼번에 풀이를 외운다. 정말 생각이란 걸 안한다. 이런 지적을 해도 고쳐지지 않는다.셋째, 교과서와 학교에서 나눠준 프린트물도 꼼꼼히 정리하면서 내가 선생님이라면 어떤 문제를 낼 것인지 스스로 만들어 보자. 창의적 사고는 응용을 통한 무한 반복의 연속선상에서 더 단단하게 짜여진다.넷째, 시험을 본 뒤 시험지는 반드시 다시 풀어보고 분석해 보자. 가령 시험문제가 객관식 위주의 수능 유사문제가 많이 출제되면 다음 시험 준비를 그저 풀기 좋고 쉬운 100문제를 푸는 것보다 수능 문제를 낑낑거리며 풀어내려고 노력하다보면 문제는 많이 풀지 못했어도 오히려 성적은 더 잘나오는 기현상을 보게 될 것이다.끝으로, 학교나 학원의 선생님의 강의는 절대 학생들의 수학 성적을 올려주지 못한다. 선생님의 역할은 학생이 수학을 풀면서 같이 고민하고 표준의 풀이방법을 제시받아 주체인 학생이 자신만의 방법으로 해결해 나갈 때 진정한 실력자가 될 것이다. 학생 스스로가 탐정이라 생각하고 각본 없이 수학문제를 해결해 간다면 명탐정이 됨과 동시에 수학의 달인이 될 수 있을것이다.일산 RX국영수학원박재순원장문의 031-924-3005 2019-12-20
- 뇌를 모르는 엄마가 수학 공부를 망친다 최근 뇌과학이 엄청난 속도로 발전하였다. AI(인공지능)에 대해 들어보지 않은 사람은 없을 것이다. 따라서 뇌에 대한 최신 연구 성과들을 아이들 교육에도 적용해야 한다. 주먹구구식 과거 경험에 얽매여 아이들을 힘들게 하면 안된다. 뇌의 작동 원리와 정반대되는 공부 방법을 고집하여 아이들의 수학 공부를 망치는 일은 피해야 한다.첫째, 수학 잘하는 튼튼한 뇌뉴런-축삭돌기-시냅스정보 전달은 뉴런들의 연결로 가능하다. 뉴런의 끝에 달린 다수의 축삭돌기들끼리 접합하는 부위를 시냅스라고 한다. 전국의 크고 작은 고속도로를 통해 사람들과 물건들이 서로 연결되는 것을 떠올리면 된다. 간단한 문제는 가까운 곳에 위치한 소수의 신경 전달체계로 해결되지만 어려운 수학 문제는 멀리 떨어진 다수의 체계를 동시에 연결해야만 해결할 수 있다. 단순 암기식, 주입식 강의는 버려야열심히 하는데도 불구하고 수학 성적이 안 나오는 이유가 무엇일까. 일방적 주입식 강의로 배운 문제 풀이 방법을 단순히 반복하고만 있기 때문이다. 이런 방식으로는 생각하는 힘을 키울 수 없으므로 문제가 조금만 변형되어도 대응하지 못한다. 즉 넓은 범위에서 뇌의 구조들이 활성화되는 훈련이 이루어지지 않기 때문이다. 매력적인 몸매를 가꾸려면 헬스장에서 땀을 흘려야 하듯이 수학 잘 하는 튼튼한 뇌 구조도 저절로 얻어지는 것이 아니다.고등수학의 딥 러닝(Deep Learning)학습에서 ‘학’과 ‘습’은 최소한 1대 2는 되어야 합니다. ‘습’의 비중을 계속 높여 나갈수록 생각하는 뇌는 더욱 튼튼해진다. 빈틈없이 짜여진 시간표에 따라 퍼부어지는 강의 폭탄들은 도움이 되기는커녕 학생들의 뇌를 망가뜨린다. 이리 저리 궁리해보고 앞서 공부한 비슷한 문제를 찾아보며 고민해봐야 한다. 그런 과정에서 뇌의 가장 깊숙한 곳에 저장되어 있던 수학의 원리들이 서로 연결되어 재구성되는 황홀한 일들이 일어난다. 이것이 바로 고등수학의 딥 러닝(Deep Learning)이다.둘째, 장기 기억은 충분한 수면으로부터렘수면, 비렘수면잠자는 동안 뇌의 각 부분의 전기 신호들을 분석해서 렘(rapid eye movement)수면과 비렘수면 상태가 반복되는 것을 밝혀냈다. 약 6-70분 정도의 비렘수면에 2-30분의 렘수면이 이어지는 것이 다섯 번 반복된다고 한다. 약 8시간정도에 해당된다. 깨어있을 때 단기 기억 장치에 기록된 정보들은 렘수면 상태에서 편집 가공되어 장기 기억 장치로 보내진다. 즉 몸이 잠자는 동안 뇌는 불필요한 정보들을 삭제하고 중요한 정보들을 갈무리하는 작업을 수행한다. 학습의 결과를 성적으로 연결시킬 수 있는 결정적인 장기 기억 작업이 잠자는 동안 벌어지는 것이다. 4당 5락이라는 말도 안되는 소리4시간 자면 합격하고 5시간 자면 떨어진다는 말도 안되는 소리는 이제 그만해야 한다. 장기 기억을 하는 렘수면 상태는 잠의 끝자락으로 갈수록 비중이 커진다고 한다. 대략 90분씩 반복되는 다섯 번의 씨이클중 첫 번째보다 두 번째, 두 번째보다 세 번째, 이런 식으로 해서 마지막 다섯 번째 사이클의 렘수면 시간이 가장 길다는 이야기다. 따라서 너무 일찍 깨면 장기 기억 작업은 이루어지기 힘들다.8시간 수면, 충분한 휴식90분씩 다섯 번이면 7시간 반이다. 특히 마지막 다섯 번째 사이클의 렘수면 시간을 충분히 확보해야 한다. 밤 잠 줄여서 졸린 눈을 비벼가며 강의를 듣고 문제를 풀어봐야 머리에 남아있는 것은 별로 없다. 밑 빠진 독에 물 붓기인 것이다. 잠이 부족하여 과부하 걸린 두뇌에다 휴식 시간도 없이 새로운 정보를 계속 집어 넣어봐야 아무 소용없다. 오히려 정보를 처리하는 뇌의 능력은 더욱 약해지는 것이다. 부모 자식 관계의 악화까지 감수하며 쉴 새 없이 다그치고 독려하는 것이 공부하는 뇌를 망치는 길이라면 당장이라도 그만두어야 하지 않을까031-911-0796일산 수학전문학원 베리타스최재용 원장서울대 졸업27년간 대입수학 지도 2019-12-13
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