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- 누구나 수학 1등급 해낼 수 있다 수학 1등급을 가로막는 것은?수학 1등급 학생들은 강의 시간에 적극적이다. 잘 모르는 부분은 그냥 넘어가지 않는다. 과제에 대한 집착도 남다르다. 잘 안 풀리는 문제는 집요하게 물고 늘어진다. 끝내 안 풀릴 때 비로소 질문을 한다. 이런 점에 볼 때 일방적 주입식 강의야말로 수학 1등급의 가장 큰 적이라고 할 수 있다. 기본 원리부터 시작해서 거기서 파생되는 공식들이 강사의 입에서 끊임없이 흘러 나온다. 그것을 적용하는 문제 풀이의 세세한 부분까지 모든 것을 강사가 가르쳐준다. 이 과정에서 학생들의 생각이 끼어들 여지는 없다. 그저 들은대로 암기할 뿐이다.학원과 강사에 대한 의존도는 점점 높아진다.기본 문제들은 암기한대로 풀 수도 있다. 하지만 문제가 조금만 변형되어도 대책이 없다. 생각이 쌓여야만 키울 수 있는 수학적 사고력은 제자리에 멈춰 있기 때문이다. 높은 단계의 응용 문제나 고난이도 심화 문제는 손도 댈 수 없다. 결국 해설집을 보거나 고민도 안해본 채 강사의 도움을 청하게 된다. 다시 강사가 일방적으로 설명하고 그것을 암기하여 반복하는 문제 풀이는 언제 끝날지 알 수가 없다. 이제 수학 1등급은 물 건너 간 것이다.수학 공부에 대한 고정 관념에서 벗어나야그동안 너무도 오랫동안 잘못된 수학 공부 방법이 유지되어 왔다. 부모님들도 그렇게 공부했고 선생님들도 마찬가지이다. 하지만 창의성의 시대에 맞게 자율성을 중시하는 학생들의 정서는 더 이상 낡은 공부 방식을 인내하지 않는다. 학습 의지가 강하고 능력이 뛰어난 극소수의 학생들은 잘못된 학습 환경에도 불구하고 스스로 수학 1등급의 길을 찾아나가기도 한다. 하지만 이들이 올바른 공부 방법을 만난다면 지금보다 훨씬 적은 시간과 노력으로 더 많은 성과를 올릴 수 있을 것이다.수학 공부의 새 컨텐츠 필요누구나 수학 1등급을 받을 수 있는 올바른 수학 공부 방법에는 세밀한 준비가 따라야만 한다. 먼저 학생들과 소통하는 새로운 수학 강의의 필요성에 공감하고 오랜 동안의 풍부한 경험을 통해 검증된 강사가 있어야 한다. 다음으로 학생들의 적극적인 참여를 유도할 수 있는 여러 가지 강의 교재와 강의 시스템이 정비되어 있어야 한다. 덧붙여서 학생들의 정서에 맞는 체계적인 학습 관리와 복합적인 평가 과정들이 준비되어야 한다. 마지막으로 각종 수학 시험에서 실질적인 성적 향상을 이끌어내는 빈틈없는 프로그램이 필요하다.수학 1등급 1단계 - 원리 이해 및 응용력 배양수학 공부는 기본 원리에 대한 이해에서 시작한다. 각 소단원의 핵심 내용은 기본 원리에 전부 담겨 있다. 이것을 강사가 일방적으로 설명해버리고 지나가면 수학 공부는 첫 출발부터 어긋날 수밖에 없다. 그 상태에서 문제 푸는 기술을 쌓아봐야 모래 위에 짓는 집과 같다. 조그마한 난관에 부딪쳐도 쉽게 무너질 수밖에 없다. 기본 원리에서 파생되는 주요한 법칙이나 공식은 반드시 스스로 증명해봐야 한다. 이것을 통해 수학자들이 밟았던 사고과정을 따라할 수 있다. 공식이 나오는 여러 단계중 한 곳을 비틀어놓은 것이 바로 응용 문제이다. 따라서 증명과정을 세심하게 되짚어보는 과정을 생략한 채 결과로서 나온 공식을 암기하여 문제 푸는 것을 되풀이해봐야 응용력은 생기지 않는다.수학 1등급 2단계 - 체계적 복습을 통한 장기 기억화독일 심리학자 헤르만 에빙하우스는, 새롭게 알게 된 것은 10분이 지난 후부터 잊기 시작하여 1일 후 절반 정도를 잊어버리고 2일이 지나면 10%의 기억밖에 남지 않는다고 한다. 그런데 그 날 복습한 것은 기억 지속 시간이 일주일간으로 늘어나고 일주일 후 복습한 것은 일개월로 연장되며 일개월 후 복습한 것은 6개월동안 기억된다고 한다. 이를 위해 이러닝(e-learning)을 적극 활용해야 한다. 학원에 오기 전 정해진 시간까지 답안 입력을 해야 하고, 그것이 끝나자마자 자동 채점이 되고, 틀린 문제에 대해서는 해설 강의를 무한정 반복해서 들을 수 있다. 학원에 오면 채점 및 해설 강의 없이 바로 오답 시험부터 실시할 수 있으므로 제한된 강의 시간의 효율성이 두 배 이상 늘어난다.수학 1등급 3단계 - 성적과 직결되는 실전 모의고사올바른 공부 방법에 의해 수학적 사고력을 키웠다고 해도 치밀한 시험 대비가 뒤따르지 않으면 최고의 성적을 얻을 수는 없다. 수학 시험 1등급 준비의 마지막 단계는 실전 모의고사이다. 그런데 몇몇 학생들은 실전 모의고사를 소홀히 한다. 시간 배분도 제대로 안하고 검산도 안 한다. 이래 가지고는 절대로 실력 발휘가 안된다. 현재 우리나라에서 시행되고 있는 수학 시험은, 짧은 시간에 다수의 문제를 실수없이 해결할 것을 요구한다. 따라서 알고 있다고 해서 당연히 제한된 시간 안에 풀 수 있는 것은 아니다. 안타깝지만 현실을 인정하고 그에 맞는 준비를 할 수밖에 없다. 또한 시험 시간 내내 긴장감을 유지하여 실수를 범하지 않는 것도 훈련이 되지 않으면 실제 시험에서 실현되지 않는다.악순환에서 선순환으로학생들은 능동적인 참여를 통해 스스로 생각하고 또 생각한다. 그에 따라 수학적 사고력과 문제 해결력이 향상된다. 결국 성적은 올라갈 수밖에 없다. 해보니까 된다는 자신감으로 더 노력하게 되어 수학 학습 능력은 비약적으로 성장한다. 드디어 수학 1등급이 눈앞에 보이기 시작한다.일산 후곡 수학전문 베리타스최재용 원장031-911-0796서울대 졸업28년간 대입수학 지도17년간 베리타스 원장 2020-10-23
- 도대체 수학을 왜 어려워하는 걸까? 학생들이 타 과목에 비해서 유달리 수학 과목을 어려워하는 이유가 무엇일까? 수학을 전공하고, 30년 넘게 사교육 현장에서 학생들을 지도했던 경험을 바탕으로 생각해 보건데, 거기에는 뿌리 깊은 인식의 감옥이 있을 수 있다고 생각된다.우리나라의 학생들은 수학과목을 공부함에 있어서 재미를 느끼기보다 의무적으로 한다, 이에 따라서 시간을 충분히 가지고 문제를 해결하고자 하는 깊은 사고의 경험이 없이, 빠른 시간 안에 문제를 척척척 풀어 나가기를 원하고 있는 모습이다.이는 어려서 처음 수학을 배울 때, 논리적인 사고력 보다는 단순 수리계산에 깊은 첫인상을 받았던 경험이 학생들의 인식 깊은 곳에 자리하고 있기 때문이라고 생각된다. 거기에 시중에 유통되는 많은 교재들이 비슷한 문제들을 반복적으로 풀어서 계산력을 숙달 시키는 환경을 제공하고 있다.개념서보다 문제집 선호지난 20-30년 사이에 수학교재 시장은 개념서 보다 문제집이 주가 되어버렸다. 요즘 학생들은 수학 개념서 보다는 문제가 유형별로 잘 정리되어 있어서 반복으로 풀다보면 익숙해지게 되는 문제집을 선호한다.이로 인해 학생들은 처음 풀어보는 문제를 잘 풀지 못하게 되어 버렸다. 딱히 문제집이 나쁘다기 보다 이런 교재를 사용하면서, 거기에 담겨있는 수학적 개념과 원리를 차근차근 이해하는 시간이 생략되고, 반복해서 비슷한 패턴의 문제를 풀면서 그 풀이과정이 거의 외워지게 되는 것이다.보물찾기 이론나는 학생들에게 보물찾기이론 이라는 것을 이야기 해주곤 한다. 어렸을 때 소풍을 가게 되면 빠지지 않는 이벤트가 보물찾기다. 보물을 찾아는 봤지만 대부분이 사람들은 보물을 숨겨본 경험은 없을 것이다. 만약 학생들에게 자기가 선생님이 되어서 보물을 숨겨 본다면 어디에 숨길 것인지 상상해 보라고 했다. 초등학교 1학년 담임선생이 높이 10미터의 소나무 꼭대기에 있는 독수리 둥지 안에 보물쪽지를 숨기려 하지는 않을 것이다.선생님은 약1미터 정도의 눈높이에서, 지나치게 노골적으로 쉬운 곳도 아니면서, 아이들이 조금만 주위를 둘러봐서 찾을 수 있는 곳에 보물을 숨기려고 할 것이기 때문이다.수학문제를 출제하는 선생님도 바로 이런 보물찾기이론 대로 문제를 출제한다. 우리는 수학문제가 마치 천재나 수제들만 척척 푸는 과목으로 오해하고 있다. 교과과정의 기본개념을 설명해서 이해하게 가르치고, 이를 바탕으로 조금만 집중해서 논리적인 추론과정을 거치면 풀어지게 문제를 만드는 것이다.경험에 의한 문제 풀이반면에, 학생들은 지나치게 문제풀이의 강박에 시달리고 있다. 그래서 수학공부의 즐거움을 경험한 학생이 적다. 또한 시간에 쫓기다 보니 사고력에 의한 논리적 과정보다 경험에 의한 문제풀이를 하고 있다. 거기에 점점 더 제시된 수학문제를 읽고 그 문장을 바르게 이해하는 능력이 부족해지는 모습이다. 이런 경험적 노련함은 학생들에게 비슷한 문제유형의 선입견을 각인 시킨다. 그래서 학생들은 제시된 문제의 문장을 사려 깊게 읽지 않게 되고 문제의 첫 문장만 보고도 풀이과정을 유추해서 빠르게 정답에 도달하게 되는 모습이다.이는 수학교육의 본래 목적인 사고력배양이 아니라 기계적인 수리계산만 키워줄 뿐이다. 따라서 고학년이 되면서 요구되는 고차원적 사고력이나 창의력 등에 있어서 수학이 어렵게 느껴지게 된 것이라고 본다.송수학학원 일산 본원 김명수 원장031-923-2113 2020-10-23
- 고2 - 대입을 결정하는 마지막 시간 고등학교 1학년 때는 모두가 열심히 수학 공부를 한다. 그리고 높은 등급을 기대한다. 하지만 시험을 치를수록 자신이 생각했던 것과 다른 결과를 얻게 된다. 많은 학생들의 목표는 상위권이지만, 안타깝게도 입시는 상대평가다. 따라서 절대 다수는 자신의 성적에 만족하지 못하게 된다. 문제는 고2때 시작된다. 이때부터 슬슬 정시와 수시 중 어느 것이 나을지 고민하게 된다. 1학년 때 내신 성적이 안 좋았다면 수능 쪽으로 눈을 돌리게 될 것이다. 내신이 좋은 편이라면 계속해서 내신에 올인 하는 게 좋다. 어느 쪽으로 입시 전략을 정하느냐에 따라 공부 방법도 달라진다. 고1과 고3을 연결해주며 가장 갈팡질팡할 수 있는 시기가 바로 고 2인 것이다.다행히도 수학은 그 고민의 폭이 좁다. 고2때 배우는 수학Ⅰ 및 수학 Ⅱ가 수능에서도 필요한 과목이기 때문이다. 수능과 내신을 한 번에 잡을 수 있는 시기가 바로 고2인 것이다. 그렇다면 고2때는 어떻게 공부를 해야 할까?우리 학교는 내신이 쉽게 나온다?학교마다 다르지만 대부분의 학교에서는 수학 시험을 쉬운 난이도로 출제한다. 또한 학생들이 다 같이 잘 하는 게 아니라서 90점대 후반의 점수라면 상위권이 될 수 있다. 아이들은 보통 자신의 학교 시험의 난이도에 맞춰서 공부하게 된다. 문제는 고2때부터 배우는 수학은 직접적인 수능 출제 범위라는 것이다. 즉, 수능 기출문제를 풀어봐야 한다. 고1때는 다양한 시중 내신 문제집을 풀어도 학교 시험을 잘 볼 수 있다. 하지만 고2때는 더 많이 더 다양한 문제를 풀어봐야 하는 것이다.나는 고2 수업을 할 때 수능 스타일의 어려운 문제들을 많이 풀린다. 일부 아이들은 '우리 학교 시험은 쉽게 나와요. 이렇게 어려운 문제까지 풀 필요가 없어요.’라고 말한다. 이는 굉장히 위험한 생각이다. 실제로 이러한 안일한 생각에 젖어 얕게 공부하다가 큰 코 다친 사람들을 많이 봤다. 고2 내신시험에서는 예전 수능 기출문제들이 그대로 나오기도 한다. 또는 고난도 문항이 등장하며 1학년 때와 다르게 시험이 어렵게 출제 되는 경우가 많다. 고2때부터 수능 문제를 많이 풀어보고 어려운 난이도까지 대비를 해야 한다. 그래야 당황하지 않고 시험을 잘 볼 수 있다.수학 시험은 지식만으로는 잘 볼 수 없다. 직접적인 계산을 통해 답을 내야 한다. 즉, 집중력이 중요한 시험이다. 집중력은 적절한 긴장이 있을 때 발휘된다. 수학 시험은 항상 어렵게 출제될 것이라는 마인드를 가져야 한다. 그래야 철두철미하게 시험을 준비할 수 있다.학생은 시험을 예측할 수 없다.앞서 말한 대로 학교 시험이 쉬울 것이라는 예측은 굉장히 위험하다. 두 번째로 위험한 것은 섣불리 문제를 거르는 행동이다. 물론 굉장히 어렵다거나, 내신스럽지 않은 문제들은 거르는 것이 낫다. 하지만 내용을 함부로 건너뛰면 안 된다.수학Ⅰ에서 수열 파트를 공부한다면 수학적 귀납법에 대해 배우게 된다. 실제로 제자 중 한 명이 수열 시험공부를 하던 중이었다. 그 학생은 ‘학교 선생님이 수학적 귀납법 부분을 매우 조금 수업하셨고 강조도 안하셨으니’시험에 안 나올 것이라고 말했다. 하지만 시험범위는 수열 전체였다. 나는 수학적 귀납법은 무조건 서술형에 나올 것이니 유형별로 대비해야 한다고 말했다. 그리고 당연히도 서술형으로 수학적 귀납법을 이용해 명제를 증명하는 문제가 출제되었다. 그 학생은 나와 준비한 덕분이 시험을 잘 볼 수 있었다.이처럼 학생들은 자신의 학교 시험에 무슨 문제가 나올지 예측하곤 한다. 나올 문제를 예측하는 것은 괜찮다. 하지만 나오지 않을 문제를 예측하는 것은 굉장히 위험하다. 학생들은 전문가가 아니기 때문이다. 시험 문제를 함부로 예측 하지 말고 범위 내의 모든 것들을 철저하게 준비해야 한다.개념은 고2때 완성해야 한다.고2 때 배우는 내용들은 수능에서도 나온다. 따라서 고3때 같은 내용을 반복하게 된다. 고3 때 어려운 문제를 위주로 문제풀이에 전념하고자 한다면 고2 때 개념을 완성시켜 놓아야 한다. 설령 수능에 더 치중해서 공부한다고 해도 내신 시험은 잘 준비해 보는 것이 좋다. 어차피 같은 범위이기 때문이다. 고2 내신 기간에 2학년 수학을 철저하게 기초부터 심화까지 다져 놓아야 한다. 그래야지 고3때 편하게 공부할 수 있다. 만약 고2때 공부를 게을리 한다면, 수능이 코앞인 시점에서 개념서를 계속 들여다 볼 수밖에 없는 자신을 발견하게 될 것이다. 과거의 부족함을 채우는 것도 중요하다. 고1 과정은 수능 시험의 직접적인 출제범위는 아니지만 사실상 시험에 나온다고 생각해야 한다. 고2, 고3 수학의 기초가 되는 부분이기 때문이다. 고1 수학이 중요하지 않다고 생각하는 건, 곱셈은 초등학교 때 배우니까 고등학교 때 필요가 없다고 말하는 것과 같은 수준이다. 고2부터는 고1 수학을 안다는 가정하게 내용이 전개된다. 고1 수학 개념이 부족해서 문제가 막힐 경우 반드시 돌아가서 공부해야 한다. 고3 때 이 과정을 진행하기엔 너무 늦다. 예를 들어‘방정식의 근의 분리’, ‘절댓값 함수의 그래프 그리기’들 고2, 고3 때 계속 필요한 내용들은 꼭 복습하고 넘어가는 것이 좋다.고2는 고1때와는 상황이 많이 다르다는 것을 빠르게 인지해야 한다. 그리고 그에 맞는 공부법대로 공부해야 한다. 시험에 대한 시행착오는 고1때 마무리해야 한다. 이미 학교 시험을 1년이나 경험한 상태이다. 과거의 경험을 토대로 영리하게 공부해야 한다.고2 시간을 잘못 보내면 고3 때 고생할 수밖에 없고 이는 재수로 이어진다. 고3때는 다 같이 열심히 공부하기 때문에 전세를 뒤집는 것이 쉽지 않다. 남들보다 더 열심히 치고 올라가기 위해선 2학년 때 기초를 탄탄히 다져 놓아야 한다. 수능과 내신은 한 뿌리라는 마인으로 내신 준비를 해보자. 절대로 방심하지 말자. 그렇다면 시험 기간 후에 웃는 자신을 발견하게 될 것이다.일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장031-919-8912 2020-10-23
- 수포자가 되는 학생들의 수학공부 유형 ② 문제를 제대로 읽지 않고 문제를 푸는 아이들수학을 들여다보면 기본적인 연산연습과 간단한 약속들이 있으며 이 두 가지의 활용이 엄청나게 어려운 문제를 만들어 내기도 한다. 이런 것들을 해결하기 위해서는 당연히 연산연습과 간단한 약속의 의미를 파악하고 이를 활용하기 위한 기본적인 적용 연습이 필요하다.허나 수학을 좀 한다는 많은 학생들은 어려운 문제풀기에 급급하여 연산연습은 지루하고 기본문제 풀이는 쉽다고 대충한다. (물론 이렇게 해도 되는 아이들도 있다.)쉬운 문제들을 원활하게 풀 수 없는데 어려운 문제를 어찌 잘 풀 수 있겠는가? 그렇다고 쉬운 문제를 잘 푸는 아이들이 어려운 단계의 문제를 잘 푸는 것은 아니다. 왜 이런 일이 벌어질까? 흔히들 출제자의 의도를 파악하라는 말들을 하지만 내가 누군가의 의도를 파악한다는 게 쉬운 일은 아니다. 의도를 파악한다는 것은 아마도 이런 말은 듯 하다, 주어진 문제에서 숨겨져 있는 조건을 찾아 그 의미를 알고 문제를 푸는 것 인데 사실 대부분의 아이들은 단지 수학문제를(심지어 한 장을 가득 메운 국어지문을 독해 할 수 있는 아이들이 길어봤자 다섯 줄 정도인 수학문제를) 제대로 읽지도 않고 문제를 푼다. 여기서 말하는 제대로 읽는다는 뜻은 당연히 수학문제에 나와 있는 조건을 보지 않는 것인데 실상은 그러한 조건을 찾고 의미를 파악하는 훈련이 부족하다고 볼 수 있다.수식과 글에 대한 독해력이 중요하다수학문제에서의 조건이란 무엇인가? 수식이다! 물론 난이도가 높아지면 수식과 수식을 연결하는 한글로 된 문장도 읽는 연습이 필요하다. 문제를 푼다는 행위가 제대로 된 결과를 나타내려면 이러한 수식과 글에 대한 독해력이 중요하다. 그러기에 아무리 쉬운 단원이라도 관련된 연산을 잘 하는지 확인해봐야 한다. 또 수학의 약속(지금 공부하는 단원의 내용 – 굉장히 많은 아이들이 자신이 공부 하는 단원의 제목도 모른다. 독서할 때 목차를 한 번 보는 것이 얼마나 도움이 되는지 모르는가?)을 제대로 이해하고 있는지 확인해봐야 한다. 이후에 다양한 문제를 풀게 하는 게 순서 일 것이다.그래서 어떤 선생님들은 아이가 스스로 파악 할 때까지 얼마나 시간이 걸리든 놔둔다고 하기도 하고 어떤 선생님들은 풀이를 보여주고 다시 풀게 하기도 한다. 당연히 이런 방법은 아이 들마다 다르게 적용되어야만 한다. 어떠한 방식이든 개개인의 관점에서는 다 좋은 방법일 것이다. 다들 읽기를 중요시 하고 의미를 파악하여 문제를 풀어야 한다는 것에는 동일하다. 단지 나는 어떠한 선택을 할 것이냐는 학생의 상태와 비용 대 효과의 문제라고 생각한다. 초등학교처럼 학습량이 많지 않은 경우라면 당연히 아이가 할 수 있는 만큼 시간을 주어도 된다. 하지만 학년이 올라 갈수록 학습량이 많아진다면 당연히 문제를 풀 때 한 없이 시간을 줄 수 없는 노릇이다. 다른 공부를 해야 하기 때문에... 이때는 선생님들의 지도가 필요하다. 틀리는 것을 싫어하는 아이들또 한가지의 문제점은 대부분의 아이들이 연습할 때 틀리는 것을 싫어한다는 점이다. 부끄러워하고 심지어 학원에서나 학교에서 틀린 것(학교 중간고사 기말고사 시험지나 모의고사 시험지를 제외하고)을 부모님이 체크하고 혼내기까지 한다. 시험이 아닌 공부를 하는데 틀린 것은 오히려 자신의 약점을 판단하는데 아주 좋은 기준이 되고 앞으로 틀릴 것을 알려주는 좋은 지표인데 말이다. 위대한 실패라는 말도 있지 않은가. 오답의 중요성은 말로 할 필요도 없다. 아이들이 서술형 풀이를 한 것을 보고 있으면 아이들의 현 상황을 잘 알게 된다.수학 학원을 다니는 대부분의 학생들은 수학 공부를 잘 하기를 원한다. 그렇다면 수학 학원을 다니는 학생들은 현재 나오는 자신의 성적에 만족할까? 부모님은 만족할까? 당연히 아니다. 그렇기에 학생은 더 많은 시간을 학원에서 보내야 하고, 학원에서는 더 많은 시간을 아이들 잡아두기도 한다. 그리고 부모님들은 많은 시간을 학원에서 보내는 것에 대하여 너무도 당연하게 여기고 있다. 물론 이러한 방법이 틀린 방법이라는 건 아니다. 강사 생활을 하면서 수 많은 학생들을 보면서 느낀 점은 공부에는 이렇게 해야 한다는 정답이 없다는 것이다. 학생들의 경우의 수가 너무 많아 각각의 특성을 파악하고 거기에 맞는 커리큘럼을 만들어 주는데에도 시간이 걸린다. 우리의 아이가 어떤 상태인가 하는 것을 판단하는 것은 굉장히 어렵고 중요한 일이다. 수학 공부는 잘하긴 어려워도 못하긴 참 쉽다.앞서 말한 다섯가지에 내가 어디에 해당하는지 생각해 보고 자신의 상태를 주위에 선생님들에게 빨리 찾아가 말하고 필요한 처방을 받는 게 중요하다. 환자가 자신이 아픈 걸 굳이 숨길 필요는 없다.그래도 한가지 꼭 알아두셔야 할 부분은 아이가 어떤 상태인지 개의치 않고 무조건 많이 풀고 오래동안 남겨서 시키는 그런 곳을 보내는 것은 다시 고려해 볼 필요가 있다. 숨돌릴 틈도 없이 만들면 수포자가 될 확률이 높다는 것이다.일산 후곡 수박 수학학원 박형록 원장031-922-0979 2020-10-23
- 수포자가 되는 학생들의 수학공부 유형 대학입시에서 수학의 중요성이야 설명할 필요가 없을 것이다. 초등학교때부터 시간과 돈을 엄청나게 투자 하지만 결과에 만족하는 경우는 사실 많지 않다고 볼 수 있다. 오랫동안 수학을 지도한 경험자로서 본다면 수학에서 좋은 성과를 얻지 못하는 유형의 학생들이 있다.첫 번째- 연산연습을 하지 않는 것!수학 공부를 하는데 있어서 가장 중요한 첫 번째 능력이 연산 능력이다. 운동을 할 때도 기초체력이 중요한 것처럼 수학도 기초 체력이 중요한데 그것이 바로 연산 능력이다. 그런데 그 연산 능력을 기르는 작업이 너무 힘들고 지루하다. 반복된 계산을 하여야 하니 더 그렇다. 하지만 꼭 필요한 준비 중에 하나이다.두 번째- 해설지를 자주 보는 습관!문제풀이를 할 때 어려운 부분, 막히는 부분이 나오면 바로 설명을 듣거나 해답을 보는 것이다. 항상 바쁜 아이들이 있다. 대부분은 지금 이걸 빨리 풀고 쉬고 싶다는 마음이겠지만...세 번째- 문제를 꼼꼼하게 읽지 않는다!두 번째의 습관 덕분에 문제를 잘 읽지 않는다. 이런 습관은 학년이 올라 갈수록 난이도 높은 문제에 대한 이해도가 떨어지는 결과를 초래한다. 흔히들 이런 상태의 아이들이 하는 말이 있다. “전 응용문제가 어려워요!” 학원에서 꽤나 많은 숙제를 주어도 다하는 아이들 중에서 혹시 학원서는 잘하는데 시험 보면 영 아니라는 생각이 들면 한 번 쯤 아이가 습관적인 문제풀이를 하는 것은 아닌지 볼 필요가 있다.네 번째- 틀린 문제를 다시 보지 않는다!당연히 틀린 문제를 다시 풀어봐야 하지만 선생님의 설명만 듣고 다시는 보지 않는 학생이 꽤 많다. 공부에서 복습은 굉장히 중요한 요소 인데도, 자신이 틀리거나 자신의 약점을 그대로 나둬 버린다. 사실 이건 공부 시스템의 문제일 가능성도 있다. 학원에서는 끊임없이 과제를 주고 그걸 풀어야 하는데 문제를 다시 볼 시간이 얼마나 있을까? 과제를 안주니 공부를 안 한다는 말도 일리는 있다. 학생들 중 공부를 재미있어 하는 아이들이 도대체 몇이나 있을까? 결국 이는 학원이나 학교에서 어떻게 학생에 대한 계획을 세워 주는가의 문제일 뿐이다.다섯 번째- 과도한 선행 학습!선행이야 많이 할수록 좋겠지만 학생마다 각각의 선행 소화량은 개개인의 능력이나 상황에 따라 어느 정도는 정해져 있다. 한 번쯤은 현재 자신의 수학 실력을 생각해보고 그것이 선행을 하지 않아서 인지 아님 지금 현재에 충실하지 않아서인지 생각해볼 필요가 있다. 사실 중학교에서 해야 할 양이 많지 않아 조금만 노력하면 진도를 끝내는 것은 일도 아니다. 그러다 보니 아이들의 선행 학습이 그 결과인데 몇 명에 맞춰진 선행은 결국 공부에 대한 아이들의 피로도로 나타나는 듯하다.(드디어 고등학교 1학기 중간고사 이후에 수포자들이 우후죽순처럼 나타난다.) 고등학교에서 수학 못 하는 학생들이 하는 공통된 말이 하나 있다. “ 샘 그래도 저 중학교 때는 수학 좀 했어요”작은 양의 진도와 징글징글 할 정도로 수학 문제만 풀게 되면 비슷한 문제가 시험에 나오는 건 당연한 것이고 그러니 생각 안하고 문제만 풀어도 답이 나온다. 수학을 잘 한 게 아니라 암기를 잘 한 거다.일산 후곡 秀박수학 박형록 원장031-915-0979 2020-10-16
- 이러닝 활용한 100% 학습 관리 강의 시간에는 문제를 잘 풀어개념 설명을 하고 관련된 문제를 풀어주고 나서 비슷한 유형의 예제를 제시하면 대부분의 학생들이 잘 풉니다. 중간에 막히더라도 간단한 도움을 주면 금방 정답에 도달합니다. 그런데 며칠이 지나 학원에 다시 오면 상당수의 내용을 잊어먹은 상태입니다. 토일반 학생들의 경우에는 5일이 지나 학원에 다시 오기 때문에 망각의 정도가 더 심합니다.에빙하우스의 망각곡선독일 학자 헤르만 에빙하우스의 연구에 따르면 새로 알게된 내용은 몇 시간이 지나면 잊기 시작해서 하루가 지나면 절반밖에 남아있지 않는다고 합니다. 며칠이 지난 후 기억이 안나는 것은 머리가 나쁘기 때문이 아니라는 겁니다. 따라서 5일이 지난 후 학원에 와서 그 전 주에 배운 것을 그대로 풀 수 있다는 것은 불가능한 일이겠지요.망각 주기 안에 “복습”이 필수한번 풀었던 문제를 다음에 또 풀 수 있으려면 잊기 전에 복습을 해야 합니다. 그러면 기억 주기가 길어집니다. 길어진 기억 주기 안에 재차 복습을 하는 식으로 반복합니다. 결국 한 달 이상의 장기 기억이 가능해 집니다. 이렇게 되면 두 달 간격으로 치러지는 학교 내신 시험에서 좋은 성적을 얻을 수 있습니다. 이러한 과정을 좀더 강화하면 수능 시험을 잘 볼 수 있는 준영구적인 기억이 가능해집니다.학원에 남아서 과제를 끝내고 갈 수 있다면강의가 끝난 후 그 날 배운 것은 과제를 통한 복습을 완료한 후 귀가하는 것이 좋습니다. 또 틀린 것은 오답노트까지 완료하고요. 하지만 현실은 만만치 않습니다. 학교나 다른 학원에서 수업을 하고 와서 2,3시간 강의를 수강하고 나면 대부분의 학생들은 파김치가 됩니다. 더군다나 토일반 학생들은 빈틈없이 짜여진 학원 일정들 때문에 학원에 남아 자습할 시간이 없습니다.학원에 오기 직전에야 과제를 풀어그 날 배운 건 그날 복습하는 습관이 들지 않았으므로 며칠이 지나 다시 학원에 오기 직전에야 비로소 과제를 시작합니다. 이미 거의 다 잊은 상태이니 제대로 복습이 될 리가 없지요. 학원에 열심히 다니는데도 불구하고 성적이 안 나오는 이유가 바로 이것입니다. 이 점을 고치려고 하지 않고, 수학 머리가 없다느니 문과 체질이라느니 선행이 부족하다느니 하면서 엉뚱한 데서 원인을 찾아 헤매고 있는 겁니다.학원에 오기 전에 숙제 검사 끝내수학 이러닝(e-Learning)을 활용하면 해결책을 찾을 수 있습니다. 학생들은 정해진 시간까지 과제를 완료하여 답을 입력해야 합니다. 답안 입력 시간은 1,2분이면 충분하므로 전혀 번거롭지 않습니다. 직접 대면하지 않고도 원격으로 학습 여부를 관리할 수 있는 것입니다. 토일반의 경우 화요일까지 숙제, 목요일까지 숙제 등으로 세분화된 과제 부여가 가능합니다.틀린 문제에 대한 상세한 동영상 강의학생 한 명씩 옆에 앉혀 놓고 과제를 꼼꼼이 채점하여 틀린 것을 일일이 설명해주는 것이 가장 좋을 것입니다. 하지만 개인 과외가 아닌 이상 현실적인 제약이 따를 수밖에 없습니다. 그런데 이러닝 시스템을 도입하면 이것도 가능해집니다. 과제를 입력하면 자동채점이 됩니다. 강사는 학생별로 각각 틀린 문제들이 무언지 알 수 있습니다. 학생은 본인이 틀린 문제에 대해 상세한 동영상 해설을 들을 수 있습니다.무한정 자동 생성되는 오답노트한 번 틀린 것은 또 틀립니다. 그래서 학습 관리에서 가장 중요한 부분이 오답노트 작성입니다. 그런데 문제를 일일이 베껴 쓰거나 복사해서 오려 붙이는 등의 작업은 많은 시간과 노력을 필요로 합니다. 따라서 처음엔 의욕적으로 시작했다가 점차 흐지부지 되고 맙니다. 그런데 이러닝 시스템에서는 한 번의 버튼 조작으로 오답노트를 작성할 수 있습니다. 그날 그날의 오답노트는 물론이고, 일주일이나 한 달 동안 누적된 오답노트 작성이 가능하므로 100% 완벽한 학습 관리를 할 수 있습니다.대면강의와 이러닝의 환상적 조화대면강의와 이러닝의 환상적 조화를 위한 기술적 조건은 이미 충분합니다. 넘쳐나는 동영상 강의와 자료, 정보들을 취합하여 학생에게 꼭 맞는 효율적인 방법을 제시해줄 수 있으면 됩니다. 이를 위해서는 경험많은 노련한 코치가 꼭 필요합니다.일산 후곡 수학전문학원 베리타스최재용 원장031-911-0796서울대 졸업28년간 대입수학 지도17년간 베리타스 원장 2020-10-08
- 코로나 세대 학력저하, 철저한 학습 관리로 극복해야 현 중2 학업 공백 생길 수 있어전 세계적인 코로나 바이러스로 인해, 사회적 거리두기가 실시 된지 1년이 가까워지고 있다. 이에 따라 예상치 못한 학력저하 세대가 생겨나고 있어서 대책을 고민해야 할 시점에 와 있다.가장 취약해진 학년은 현 중2학생들이다. 알다시피 초등학교를 졸업하고 중학교에 진학하여 1년간 내신 시험과정이 없었다. 보편적으로 중2학년에 치르는 중간고사에서 매우 저조한 성적들이 나오고 있었다. 이는 학교시험과 학업성취도와의 상관성을 말해주고 있는 또 다른 증거이기도 하다.따라서 학원가에서는 중2학년으로 진급하게 되는 학년에 대해서 학기가 시작하기 전에 중1과정에서 중2 과정까지를 같이 준비시키고 있는 실정이다. 그런데 여기에 코로나로 인해서 1년 가까운 시기를 정상적인 학교수업이 이루어지고 있지 않아 현 중2 학생들의 수준은 예년에 비해 상당히 떨어져 있다. 많은 전문가들은 이 학생들이 중등, 고등시기를 통틀어서 2년 과정의 학업 공백이 생길 수도 있다는 우려를 제기하고 있다.중상위권 학생들의 학력저하한편, 올해의 고3학년들은 1년간 진행된 비대면 수업으로 인해서 정시모집에 있어, 재수생들에게 상대적으로 불리해진 측면이 있다. 아마도 올해 수능이 치러지고 나면 각종 매체들에서는, 코로나 여파로 인한 이런 학력저하에 따른 대비를 주제로 여러 기사들이 올라올 것이다. 한 마디로 올해 정시는 재수생 강세라고 단언 할 수 있다.또한 각 학년 간 공통적인 문제로는, 중상위권 학생들의 학력저하가 있다. 보통 한 반에 30명 가량의 학교 수업에서 이루어지는 강의는 중간층에 맞춰서 진행 하게 된다. 이때 최상위권 학생들은 학교진도에서 얻는 것 보다 스스로 심화문제를 공부하며 실력을 키우는 경향이 있다. 따라서 이번 비대면 수업이 오히려 혼자 필요한 부분을 공부하기에 더 유익했을 것이다. 그러나 중상위권의 학생들의 상당수는 오히려 중위권 이하의 학생들과 비슷한 실력으로 떨어졌을 것으로 예상이 되어, 중위권과 중하위권으로 하향 평준화가 진행되는 모습을 보게 된다.더하여, 지역간 학력 편차도 더 심해졌을 것으로 예상된다. 강남 학군의 학생들은 이번 비대면 학교 수업을 이용해 고액의 1대1 학원수업이나 과외수업으로, 코로나 전보다 오히려 더 학업량이 늘어났다고 한다. 이에 반해서, 일산의 중,고등 학생들은 상대적으로 공부량이 적은 것이 현실이다. 이런 지역간 학력편차는 강남과 비강남, 수도권과 지방으로 구분되며 부모의 경제적 수준이 학생들의 학업성적과 대학진학 등에 많은 영향을 끼치고 있다.비대면 수업이렇게 코로나로 인한 사회적 거리두기와 비대면수업으로 학력저하와 현상이 발생하는 것은 교수법에서 차이가 나기 때문이다. 강사는 같은 내용을 가르치더라도, 피교육자인 학생이 달라지면 그에 따라 개념과 문제를 설명하고 이해시키는 관점과 방법이 달라진다. 또한 학생과 교감 하면서 서로 의견을 주고받아야 정확히 현재 학생의 상태를 알 수 있어 그에 걸맞는 수업진행이 될 수 있다. 이런 사항은 암기과목 보다, 이해가 선행되어야 하는 탐구과목, 즉 수학교육에 있어서 매우 중요한 교수 포인트다. 이는 언어가 가지는 한계 때문인데, 인간은 의사소통을 할 때 언어 뿐 만 아니라, 시각적인 모든 부분과 후각 그리고 정서적인 부분의 영역까지 사용해 이해하기 때문이다. 비대면수업은 내용전달도 중요하지만 가르치는 사람과 학생들간의 정서적 소통과 관리가 더 중요함을 깨닫는 계기가 됐다.강의도 중요하지만 학생 관리가 더 중요비대면 수업 초기 학교와 학원에서는 온라인 시스템 부분만을 먼저 걱정하고 대책을 수립하기에 급급한 면이 있었다. 또한 모든 강사들이 오직 강의에 대한 질적인 부분만을 신경 쓰면서 어떻게 하면 화려하게 미디어 매체에 강의를 올려 전달할 것인가를 걱정했었다. 그러나 정작 중요한 것은 강의 보다 관리에 있다.전통적인 수업 방법론에서는 이런 관리적 책임을 학생들에게 거의 전가하고 있었는데, 그것이 바로 초등학교 1학년때 부터 교실에서 제일 먼저 가르치는 ‘바른자세’라는 것이다. 이는 교육자와 피교육자 사이에 생기는 이해의 괴리를 오직 피교육자의 전적인 집중과 노력으로 해결하고자 하는 교수방법이다. 그러나 비대면 수업이 되면 이런 학생들에 대한 강제규범은 무너지게 되고 확인 할 길이 없어졌다.검증의 시간이 필요하다따라서 모든 수학교육은 가르친 내용을 확인하고 수정해주는 검증의 시간이 꼭 필요하다. 우리는 이런 것을 통틀어 관리라고 한다. 대면이든 비대면 이든, 모든 수업에 있어서 학생이 이해 할 수 있는 방법의 정확한 개념 설명과 후속 조치가 수준 높게 진행되어야 한다. 그래야 실질적인 교육효과를 볼 수 있다. 이때 강사가 학생의 이해와 괸리를 위해 다방면으로 노력한다면 학생과의 좋은 유대는 물론 학생들의 동기 부여와 학습효과에도 기여하게 된다. 바로 이를 실행하는 교사와 학원이 좋은 교사이고, 좋은 학원인 것이다.송수학학원 일산 본원 김명수 원장031-923-2113 2020-10-08
- 고2 수학공부법 - 수학Ⅱ로 최상위권이 되어보자 고등학교 수학에서 가장 중요한 과목이 미적분이라는 데에는 아무도 이의를 제기할 수 없다. 워낙 공부해야 할 게 많다보니 고등 교육과정에서는 미적분학을 둘로 쪼개놓았다. 다항함수의 미적분만을 다루는 ‘수학Ⅱ'와 초월함수의 미적분까지 다루는 ’미적분‘으로 나뉘어져 있다.미적분을 배우기 전엔 지레 겁부터 먹게 된다. ‘미분’과 ‘적분’ 이라는 이름만 들어도 무시무시하기 때문이다. 하지만 조금만 공부해보면 생각보다는 할 만 하다라는 느낌이 들게 된다. 고등학교 땐 미적분의 공식을 외워서 계산만 잘해도 많은 문제를 풀 수 있기 때문이다. 입실론을 이용한 엄밀한 정의와 증명은 대학교 때 배우니 한시름 놓아도 된다. 하지만 계산 문제도 충분히 연습하지 않으면 어려울 수 있다. 또한 시험은 상대평가이므로 우열을 가리기 위한 킬러문제들이 도사리고 있다.미적분 공부의 시작은 고 2때 배우는 ‘수학Ⅱ’ 과목이다. 추석이 끝나고 중간고사가 코앞인 고등학교 2학년 학생들은 지금 한창 미분을 하고 있다. 수학Ⅱ는 내년 수능에도 나오는 과목인 만큼 지금 첫 단추를 잘 꿰어야 한다. 2학년 학생들이 수학Ⅱ 시험을 잘 보려면 어떻게 공부해야 할까?개념은 누적되는 것이다수학Ⅱ 과목의 가장 큰 특징 중 하나는 개념이 누적된다는 것이다. 첫 단원인 ‘함수의 극한’을 알아야 다음 단원인 ‘함수의 연속’을 이해할 수 있다. 극한과 연속을 알아야 미분을 정의할 수 있다. 미분이 뭔지 알아야 적분을 할 수 있다. 게다가 수학Ⅱ는 함수를 다루는 과목이므로 고1 과정인 수학 상, 하를 정확히 알고 있어야 한다. 특히 ‘수학 하’에서 함수의 정의 및 그래프 그리기 능력을 기르지 않았다면 아무 것도 할 수가 없다. 안타깝지만 고1과정과 병행해서 공부해야 한다.고1과정이 잘 되어 있다면 본격적으로 수학Ⅱ 내용을 공부할 수 있다. 중간고사 범위에서 제일 중요한 것은 ‘미분가능성’이다. 미분가능을 판단할 땐 정의를 이용하거나 몇 가지 기술을 사용한다. 서술형까지 대비하는 차원에서 정의를 이용하는 방법을 정확히 쓸 줄 알아야 한다. 그 외에도 중간값 정리, 평균값 정리의 정확한 내용을 알고 자유자재로 다룰 줄 알아야 한다. 각 정리들의 조건을 정확히 숙지하자. 그리고 왜 그러한 정리가 필요한지 고민해보자.개념은 문제를 풀 때 완성된다미분을 처음 배울 때는 ox문제를 정확히 풀 줄 알아야 한다. 간단한 문제인 ‘함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 연속인가?’ 라는 물음부터 답할 줄 알아야 한다. (정답은 당연이 ‘참’이다.) 이러한 기초적인 질문에 답을 할 수 있더라도 방심해선 안 된다. 조금만 꼬아서 명제를 만들면 여지없이 틀리게 된다. 문제를 하나 내보겠다.‘정의역이 실수집합인 함수 f(x)에 대하여, x가 0으로 갈 때, f(x)/x 의 값이 존재한다면 f'(0)이 존재한다.’정답은 ‘아니다’ 이다. x=0 에서는 1의 값을 갖고 그 외의 x에 대해서는 x를 함숫값으로 갖는 함수를 생각하면 된다.개념서를 백날 읽어도 개념을 제대로 적용하기란 쉽지 않다. 어느 정도 개념이 잡혔다는 생각이 들면 다양하고 많은 문제들을 풀어봐야 한다. 그리고 시행착오를 겪어야 한다. 특히 합성함수가 등장하는 극한 및 연속, 그리고 미분가능성과 관련해서는 나올 수 있는 모든 ox문제들을 꿰고 있어야 한다. ‘내가 모르면 남들도 모르고, 남이 몰라도 나는 모든 명제 및 증명법, 반례들까지 알고 있자’ 라는 마인드로 임해야 한다. 개념은 문제를 풀 때 완성이 됨을 명심해라.미분 근육을 단련시켜라시험은 보통 55분 내외로 시행된다. 그 안에 20문제 정도를 풀어야 한다. 평균적으론 한 문제당 3분을 넘기면 안 되는 것이다. 좋은 점수를 얻으려면 문제를 많이 풀어봐야 한다. 미분을 할 줄 알아도 빠른 시간 안에 계산하려면 숙달된 계산 연습이 필요하다. 머리가 좋지만 연습을 많이 안 해서 시험을 망친 아이들을 정말 많이 보아 왔다. 많은 문제를 풀어보는 것은 분명이 시험결과에 영향을 준다. 1시간이 안 되는 시간 안에 주어진 문제를 잘 풀려면 쉬운 문제들에서 시간을 절약해야 한다. 그래야 어려운 문제에서 충분히 고민하고 풀어낼 수 있게 된다. 난이도 중하의 문제들을 많이 풀어서 문제 푸는 폼을 길러야 함을 명심하자.수학Ⅱ의 정점에 올라서자앞에서 언급하지 않았지만, 가장 중요한 공부법은 당연히 ‘고민하기’이다. 미분의 정의를 곱씹으면서 문제마다 출제자의 의도를 파악해야 한다. 그리고 교육과정을 벗어나더라도 문제를 쉽게 푸는 방법이 더 있을지 고민해 보는 것이 좋다. 문제를 내려다보는 연습을 하는 것이다. 안타깝게도 혼자만의 노력으론 한계가 있다. 요즘은 수학Ⅱ 문제풀이에 관한 기상천외한 스킬들이 많이 개발되어 있다. 빼기함수, 삼차함수의 비율관계, 변곡점과 대칭성 등은 전 국민이 다 아는 상식이 되어 버렸다. 따라서 주변의 고수들에게 적절한 도움을 받으며 다양한 풀이 기술을 배우는 것이 분명 도움이 된다.수학Ⅱ 시험이 얼마 남지 않았다. 체계적으로 계획을 세워서 할 수 있는 것들은 다 해보자. 지금 잘 공부하면 2학기 내신 및 수능까지 한 방에 잡을 수 있음을 기억하자. 남은 시간 파이팅 하길 바란다.일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장031-919-8912 2020-10-08
- 모래 위에서 공부하지 말자. 천천히, 그리고 올바르게 공부하자‘모래 위에 집을 짓지 말아요. 해변 가까운 곳에도. 비록 보긴 좋지만 이내 무너지고 말아 또 다시 지어야만해. 반석 위에 우리 집 지어요 ... ’어릴 때 교회를 다니면서 불렀던 찬양의 첫 구절이다. 푸른 바다가 보이는 백사장에 집을 짓는다고 생각해보자. 보기엔 아름다워도 부실할 것이다. 집은 튼튼한 곳에 지어야 한다. 화려함 보다는 본질을 쫓으라는 이야기다.그냥 생각 없이 따라 불렀던 노래가, 요즘 더욱 생각나는 데는 이유가 있다. 바로 수학을 조급하게 공부하는 아이들 때문이다. 몇몇 학생들은 문제를 빠르게, 그리고 화려하게 푸는 데만 관심이 많다. 수학 성적은 기초를 쌓아야지만 오른다. 또한 오르는 데 시간이 필요하다. 원래부터 머리가 좋은 게 아니라면 최소 몇 달은 걸린다. 그 과정을 인내하며 충실하게 공부하지 않는다면 점수는 오르지 않는다.방법 또한 중요하다. 잘못된 습관으로 공부하면 시간과 돈, 노력을 쏟아 붓고도 허무한 결과를 얻을 수 있다. 조급해 하지 않고 묵묵하게 학원을 다니며 공부하지만 성적이 그대로인 아이들이 있다. 분명 공부 방법에 문제가 있는 것이다. 한 살이라도 어릴 때 올바른 습관을 형성해야 한다. 수학 공부법을 공부해야 하는 것이다.유형암기는 양날의 검이다수학공부를 시작하면 처음엔 개념을 공부하고 이후 유형별로 문제를 풀게 된다. 이는 반드시 필요한 과정이다. 다양한 유형을 접해서 수학과 친해질 수 있기 때문이다. 센 수학 B단계 같은 것들을 생각하면 좋다.유형 문제집을 풀 때 중요한 점이 있다. 특정 유형의 첫 문제를 풀 때 절대로 해설을 쉽게 보면 안 된다는 것이다. 예를 들어 인수분해 문제에서 식의 차수가 3차 이상이고 매우 복잡하다고 하자. 그리고 치환 혹은 인수정리 등으로 쉽게 풀리는 유형이었다고 하자. 많은 학생들은 조금만 고민하다가 포기를 하고 답지를 본다. 그리고 풀이의 아이디어를 알아버리게 된다. 그러면 그 유형의 나머지 3~4문제들은 그냥 풀 수 있게 된다. 답지를 보는 것만으로 단숨에 다섯 문제를 푸는 것이다.이런 식으로 공부하면 책 한권을 금방 끝낼 수 있다. 그리고 비슷한 방법으로 다른 책들도 끝낸다. 그리고 실력이 많이 늘었을 것이라고 착각을 하게 된다. 하지만 유형을 암기하게 된 것이니 수학적 사고력은 크게 늘지 않는다. 새로운 유형의 문제가 나오면 당황하고 손도 못 대게 된다. 시험이 쉽게 나오면 잘 풀 수 있겠지만, 조금만 난이도가 올라가면 점수가 크게 하락할 것이다. 따라서 각 유형의 첫 문제를 풀 때 충분히 고민해보고 풀어보는 습관을 들여야 한다.이상한 질문을 하지 말자수학은 앞서 말했든 인내심이 필요한 과목이다. 문제를 풀어나가는 해결력, 복잡한 식을 풀어내는 계산력 등은 운동과도 같아서 오랫동안 꾸준히 해야 늘기 때문이다. 이 과정은 따분하고 힘이 들 수 있다. 그러다보니 자꾸 지름길을 찾고 왕도가 없는지 고민하게 된다.‘지금부터 공부하면 1등급 나올 수 있나요?’ 이는 가장 답하기 어려운 질문이다. 나는 반대로 묻고 싶다. 내가 가능/불가능을 대답해 주면 그에 따라 다르게 공부할 것인지 말이다. 위와 같은 질문을 하는 이유는 간단하다. 불안하기 때문에 희망을 얻고 싶은 것이다. 그렇다면 나는 ‘가능하다.’ 라고 답해야 한다. 답이 정해져 있는 질문을 왜 하는가? 조급한 마음은 이해하지만 당장 숙제부터 어떻게 하면 다할 수 있을지 고민하는 것이 낫다. 사실 이러한 질문을 하는 아이들은 대체로 숙제를 다 해오지 않는다. 그리고 복습도 안한다. 수학 공부는 사실 별게 없다. 나누어준 숙제 잘하고, 수업 때 배운 내용 복습 잘하면 된다.‘하루에 몇 시간씩 자야 하나요?’, ‘수학은 몇 시간 씩 해야 하나요?’, ‘문제집을 몇 번 돌려야 1등급이 나오나요?’ 모두 정답이 없는 질문들이다. 공부를 잘했던 선배들에게 경험담을 들을 수는 있다. 그리고 참고할 수 있다. 하지만 개개인마다 필요한 양은 다 다르다. 자신의 실력을 빠르게 파악한 뒤 그에 걸 맞는 공부 양을 설정해야 한다. 그리고 그것을 채워나가면 된다.잘못된 공부법은 독이다수학 실력이 오르는 방법은 간단하다. 정확한 공부 습관을 잡은 뒤, 충분한 시간 투자를 하면 된다. 하지만 많은 학생들은 공부 습관이 잡혀있지 않다. 또한 빨리 빨리 성과를 내고 싶어 한다. 그렇게 공부하면 언제 무너질지 모른다. 누구나 공부법에 관한 시행착오를 겪을 수 있다. 그래서 빨리 시작할수록 좋다. 늦을수록 결과들이 뼈아프게 기록된다.잘못된 공부법은 독이다. 모래 위에서 공부하면 무너진다는 것을 깨닫자. 그리고 하루 빨리 반석을 찾아서 공부해보자. 그러면 튼튼하고 근사한 결과를 얻게 될 것이다.일산 후곡 아이디수학학원전인덕 원장031-919-8912서울대수학과 졸업영재고 과학학생 대상 수업[사교육 없이 서울대 가는 수학 공부법 저자] 2020-09-18
- 습관을 바꾸면, 수학 1등급 가능하다! 첫 번째 사례 : 선행 학습이 전혀 없었던 PP는 중학교 입학 직전까지 선행 학습을 전혀 하지 않았습니다. ‘얘는 초등학교 들어가지 전부터 뭐든지 자기가 하고 싶어야 하는 아이였어요. ...책은 늘 옆에 끼고 살았고요...’라는 어머님 말씀을 듣고 A반에 배치했습니다. 이미 중3 과정까지 다 배웠다는 학생들이 대부분이라 담당 선생님은 걱정이 많았습니다. 그런데 중1 수업을 시작하자마자 가장 앞서가는 것은 P였습니다. 수업 시간에 발표하는 것은 물론이고, 과제 평점, 오답테스트 등 모든 면에서 단연 두각을 나타냈습니다. 이것은 그대로 학교 성적에도 연결되어 3년내내 수학 성적은 항상 100점이거나 어쩌다 서술형에서 부분점수가 조금 깎이는 정도였습니다. 결국 전교 2등 졸업을 하게 되었습니다. 그럼 P가 다른 학생들과 달랐던 결정적인 공부 습관은 무엇일까요?과제를 풀다가 막힐 때 절대로 해답을 보지 않았습니다. 어려운 문제에 맞닥뜨렸을 때 ‘선생님께 질문해야지’하며 쉽게 포기하지도 않았습니다. 학원에서 배웠던 기본 문제를 다시 찾아봤습니다. 그래도 안 풀리면 관련된 기본 원리를 다시 뒤져 보며 곰곰이 생각해봤습니다. 바로 이 점이 2,3년씩 앞서가는 선행 학습을 이겨낸 비결이었습니다.두 번째 사례 : 암기수학의 덫에 빠지지 않은 Y중학생 시절의 대부분을 외국에서 생활하고 3학년 2학기가 되어 귀국한 Y는 수학 때문에 걱정이 많았습니다. 그런데 1학년 1학기 기말고사에서 그 어렵다는 특목고 수학시험에서 100점을 맞았습니다.1년 선행은 기본이고 2년 이상의 선행을 통해 고2 과정 특강까지 들었다는 학생들도 70점 넘기기 힘든 시험에서 만점을 받은 이유는 무엇일까요. 남들이 안 한 것을 했기 때문이 아닙니다. 할 필요가 없었던 것을 안했기 때문입니다. 필요성도 느끼지 못하는 것을 누군가의 강요에 의해서 억지로 수강한 것도 아니고, 이해가 잘 되지 않는 고난이도 문제에 대한 설명을 일방적으로 들은 것도 아닙니다. 과도한 학습 노동에 의해 지치지 않았던 것이지요.입학을 앞두고 스스로 필요가 느껴지자 생생한 뇌가 능동적으로 작동하기 시작합니다. 좋은 성적을 얻는 데는 불과 6개월의 시간밖에 걸리지 않았습니다. 특목고를 지망하는 대부분의 중학생들이 빠지는 암기수학의 덫을 피한 덕분에 남에게 의지하지 않고 스스로 생각하는 수학공부를 하게 된 겁니다. 그래서 좋은 결과가 나오게 된 것이고요. 너무나 당연하게도.세 번째 사례 : 방학 한 번 지나고 바로 수학 96점일반고 2학년생인 K는 1학년내내 수학성적이 60점대에 머물렀습니다. 중학교 때처럼 관성대로 시험보기 한 달 전이 되어서야 시험에 나올만한 유형을 반복해서 풀어보는 식으로 했습니다. 결국 중학교 수학 성적보다 20점 이상 떨어졌습니다. 시간이 갈수록 자신감은 줄어들었지요. 학생회 간부를 하는 등 친구 사이에 신망이 높았고 자부심도 강했기 때문에 수학 성적이 안 좋은 현실을 받아들이기 힘들었습니다.겨울방학이 되어 더 이상은 안되겠다는 생각을 하게 되었습니다. 독한 마음을 먹고 기본기부터 다시 시작하는 것을 받아들였습니다. 취약한 부분은 중학교 수학책의 해당 부분을 복사해서 공부하기 시작했습니다. 자존심이 상해 그만두고 싶은 생각이 들었습니다. 수학 공부든 학원 생활이든 친한 친구들과 어울려 편안하게 지내고 싶은 유혹이 들었지만 끝내 참아냈습니다.결과는 놀라왔습니다. 고2 첫시험에 96점, 기말고사도 96점이 나왔습니다.네 번째 사례 : 수업 시간에 남달리 말이 많았던 BB는 가장 우수한 학생들이 들어간다는 특목고에 합격한 직후 학원을 찾아왔습니다. 그 학교를 준비하는 학생들은 극성스럽게도 초등학생 시절부터 고등수학을 시작한 학생들이 많았습니다. 하지만 B는 그렇지 않았습니다. 남다른 점은 학교를 대표하여 다른 학교 학생들과 시합을 할 정도로 축구를 좋아하는 학생이었다는 사실입니다.B는 첫 시간부터 다른 학생들과 달랐습니다. 조금이라도 이해가 안되는 점이 있으면 그냥 넘어가지 않았습니다. 질문하고 대답하고, 다시 질문하고 대답하고. 제가 20년 넘게 강의하면서 한 번도 생각해보지 않았던 것을 질문하기도 했습니다. 순식간에 강의실은 진지한 토론이 이루어지는 연구실이 되버리는 것이었지요. 덕분에 같은 반 학생들은 생각도 못해봤던 고급진 생각에 동참할 수 있었고요. 결국 난이도가 높기로 유명한 그 학교의 첫 수학 시험에서 전교 2등을 했습니다.일방적으로 전달받은 지식은 그만큼 빨리 사라져 버리게 되어 있습니다. B처럼 자꾸 의심해보는 공부를 해야 합니다. 질문꺼리가 많을수록 수학 실력은 향상됩니다. 그렇게 해서 알게 된 것은 절대로 잊지 않습니다.수학 1등급을 가로막는 것은?수학 1등급의 가장 큰 적은 일방적인 주입식 강의입니다. 강사가 일사천리로 설명을 하고 학생은 빽빽한 칠판의 내용을 그대로 노트에 옮겨 적으면 한 순간 뿌듯할 겁니다. 그런데 그걸로 끝입니다. 스스로 고민해서 얻은 것이 아니면 금새 잊어버립니다. 결국 반복해서 설명을 들어야 하고 시험 때가 되면 백지상태에서 처음부터 또다시 반복해야 합니다. 결국은 더욱 많은 시간이 소요됩니다. 더군다나 이렇게 많은 시간을 들이고도 수학적 사고력은 전혀 커지지 않고 제자리에 머물러 있으니 시간만 낭비하고 만 것이지요.이처럼 머리에 남는 것은 하나도 없는 채로 진도만 나가는 것이 무슨 의미가 있겠습니까? 의문을 가지고 곰곰이 생각해보면서 공부하는 과정에서 학생의 수학적 사고 능력은 비약적으로 성장하게 됩니다. 그에 비례하여 학습 진도도 점차 빨라져서 나중에는 엄청난 속도로 발전합니다. 마치 배타고 13시간 걸려 가던 제주도를 비행기 타고 1시간만에 가게 되는 것과 같아지는 것이지요.악순환에서 벗어나 선순환으로그동안 너무도 오랫동안 잘못된 수학 공부 방법이 유지되어 왔습니다. 부모님들도 그렇게 공부했고 선생님들도 마찬가지입니다.재능이 뛰어나거나 학습 능력이 탁월한 학생들은 잘못된 교육 방식도 이겨낼 수 있을지 모릅니다. 물론 이들이 올바른 공부 방법을 만난다면 훨씬 적은 시간과 노력이 들겠지요. 그런데 재능이 부족하거나 의지가 약한 학생이야말로 올바른 공부 방법과 효율적인 학습법이 꼭 필요합니다.학생들은 적극적인 참여를 통해 스스로 생각하고 또 생각합니다. 그에 따라 수학적 사고력과 문제 해결력이 향상됩니다. 결국 성적은 올라갈 수밖에 없습니다. 해보니까 된다는 자신감으로 스스로 더 노력하게 되어 수학 학습 능력은 비약적으로 성장합니다. 드디어 수학 1등급이 눈앞에 보이게 되는 것이지요.수학전문 베리타스최재용 원장031-911-0796서울대 졸업28년간 대입수학 지도17년간 베리타스 원장 2020-09-18
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