에셔, 마그리트, 달리는 수학적 내용을 작품에 담아낸 화가들이다. 특히 에셔는 회전체, 무한공간 등 수학적 개념을 작품의 소재로 활용하여 미술애호가들보다는 수학자들이 유난히 더 좋아하는 네덜란드 출신의 화가이다.

아래 그림은 정승운의 ‘무제’라는 작품이다. 그림이 작아서 보기에 다소 불편하지만 꼼꼼히 살펴보면 어떤 규칙이 있다. 계속 읽기 전에 그림을 자세히 살펴보고 그 규칙이 무엇인지를 찾아보자. 대부분의 수학 문제는 끈기를 갖고 노력하며, 다른 사람들과 문제에 대해서 의견을 교환하다보면 해결되는 경우가 대부분이다.

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일정한 규칙에 따라 차례대로 수를 나열하는 것을 수열이라고 한다. 예를 들어 2,4,6,8, … 은 2을 앞의 숫자에다가 2를 더해서 만든 수열이고, 1,3,9,27,81, … 은 앞의 숫자에 3을 곱해서 만든 수열이다. 수열 중 일반인들에게도 잘 알려진 수열이 피보나치 수열이다. 피보나치 수열은 이탈리아의 수학자인 피보나치가 고안해 낸 수열로서 1,1,2,3,5,8,13,21,…와 같이 앞에 나오는 두 개의 숫자의 합이 다음 숫자가 되는 특이한 수열이다.

꽃잎의 수, 솔방울과 파인애플의 껍질, 해바라기의 씨의 나열에서도 피보나치 수열을 찾을 수 있다. 또한 피보나치 수열의 앞의 수와 뒤의 수의 비율은 1.1618에 수렴하는데 이 비를 황금비라고 한다. 황금비롤 이루어진 사각형은 안정된 구조를 이루게 되어 미술, 건축물, 조각 등에서 널리 활용되고 있다.
이 외에도 피보나치 수열의 신비로움은 무궁무진하다. 피보나치 수열의 아름다움을 찾아 웹 서핑에 한번 나서봄이 어떨지. (필자의 블로그에 에셔의 작품, 정승운의 ‘무제’와 피보나치 수열과 관련된 동영상과 그림들이 탑재되어 있다. 백문이 불여일견이라고 했다. 귀찮다 생각하지 말고 꼭 다운 받아서 보길 바란다.)
 
숲,집,숲,집,숲숲,집집,숲숲숲,집집집,숲숲숲숲숲,집집집집집,숲숲숲숲숲숲숲숲,집집집집집집집집 …
숲이라는 글자, 집이라는 글자, 숲,집이 한 묶음으로 배열된 글자의 수를 세어보면 1,1,2,3,5,8,13,21,…개가 됨을 알 수 있다. 즉 피보나치 수열을 나타내고 있다.

● 7회 문제 풀이
먼저 바둑돌을 집는 사람을 A. 나중에 바둑돌을 줍는 사람을 B라 하자. 바둑돌이 1개인 경우는 게임 자체가 성립하지 않으므로 바둑돌이 2개인 경우부터 생각해 보자. 바둑돌이 2개  3개이면 무조건 B가 이긴다. 바둑돌이 4개이면 A가 처음에 한 개를 집어가면 A가 이긴다. 바둑돌이 5개이면 B가 반드시 이긴다. 이유는 ?
바둑돌이 6개인 경우에는 A가 바둑돌을 1개만 집으면 반드시 이긴다. 왜냐면 바둑돌이 5개일 때는 A가 먼저 바둑돌을 집으므로 B가 이겼다. 이제는 5개의 바둑돌을 B가 먼저 집는 위치에 놓이게 되므로 A가 이기게 된다.
7개인 경우에는 A가 한 개를 집는다면 바둑돌 여섯 개가 남으므로 바로 위에서 보듯이 승자는 B이다. 그렇다고 세 개 이상을 집으면 당연히 지게 되므로 A는 바둑돌을 두개만 집어야 한다. 그러면 5개의 바둑돌을 B가 먼저 집는 위치에 놓이게 되므로 A가 이기게 되는 것이다. 
바둑돌이 8개인 경우에는  A가 3개 이상의 바둑돌을 집으면 무조건 진다. 그러므로 A는 1개나 2개의 바둑돌을 집어야만 한다. 여기에서 남아있는 바둑돌이 6, 7개일 때의 경우를 생각해보면 B가 이기게 됨을 알 수 있다.

여기서 잠깐!
처음 돌멩이의 개수가 2, 3, 5, 8 개인 경우 최선의 전략을 세우면 B가 이긴다는 것을 알 수 있다. 무언가 생각나는 것이 없는가?

나열되는 수들은 앞의 두 수를 더한 것이 다음의 수가 되는 특징을 갖고 있다. 즉 피보나치 수열에서 나타나는 숫자들이다. 그러므로 B가 이기기 위한 다음 돌멩이의 개수는 13, 21,34,…가 된다.

● 한걸음 더
이 바둑돌 줍기 게임에서 A가 반드시 이기기 위한 전략은 무엇인가 ? 읽기를 더 진행하기 전에 풀이를 독자들의 힘으로 생각해 보자.

돌멩이의 개수가 2, 3, 5, 8 개인 경우 최선의 전략을 세우면 B가 이기게 되므로, A는 무조건 B에게 피보나치 수에 해당되는 바둑돌을 넘겨주면 된다. 예를 들어 31개의 바둑돌을 가지고 게임을 시작했다고 하자. 그러면 31보다 작은 피보나치 수는 21이다, 따라서 A가 10개의 바둑돌을 집어가고 B에게 21개의 바둑돌을 남기면 A가 반드시 승리하게 된다. 

신인선 진광고등학교 교사

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