수학 문제를 잘 풀고 싶어 하는 학생들과 이야기하면서 수학 문제는 포장지로 싸인 사탕과 같다는 이야기를 종종 하곤 한다. 사탕을 맛보기 위해서는 사탕의 맛을 구별하는 법도 알고 있어야 하지만 사탕의 포장지를 깔 수 있는 능력도 필요하다. 마찬가지로, 수학 문제를 풀기 위해서는 문제의 유형과 해법도 알고 있어야 하지만, 수학 문제를 둘러싸고 있는 여러 가지 정보와 장치들을 파악하고, 필요한 작업을 할 수 있어야 한다. 그렇다면 이러한 수학적 작업은 어떤 것들이 있을까?

수학 문제를 푸는 과정은 크게 네 단계로 나눌 수 있다. 가장 먼저 해야 할 일은 문제를 읽은 후, 문제에서 주어져 있는 정보를 파악하고 문제가 무엇을 요구하고 있는지를 바르게 파악하는 것이다. 두 번째 단계에서는 앞서 파악한 정보를 바탕으로 문제가 가진 여러 상황을 분석하고 문제를 해결하기 위한 과정을 설계해 낼 수 있어야 한다. 세 번째 단계에서는 여러 수학적 기법과 특징을 사용해서 (가능한 적은 계산으로) 문제가 요구하는 결과를 얻을 수 있어야 한다. 그리고 마지막 단계에서는 자신이 만들어낸 해법을 수학적인 문장으로 서술할 수 있어야 한다. 이러한 단계들은 서로 계층적으로 연결되어 있어서 마지막 단계에 이르기까지 모든 단계를 반드시 거쳐야 한다. 즉 어느 특정한 단계를 뛰어넘어 생략하는 것은 거의 불가능하다. 따라서 수학을 공부할 때는 모든 단계에 필요한 능력을 갖출 수 있도록 연습해야 한다.

많은 학생의 공통적인 수학 고민 중 하나는 ‘문제가 조금만 바뀌어도 잘 모르겠다’라는 것이다. 이러한 학생들의 공부 방법을 보면, 대부분 두 번째 단계와 세 번째 단계에 초점을 맞추어 가능한 여러 유형의 문제들을 풀어보고, 문제의 해법과 수학적 기법을 익히는데 많은 시간을 쏟고 있다. 하지만 ‘구슬이 서 말이어도 꿰어야 보배’라는 속담처럼, 이러한 연습은 두 번째 단계와 세 번째 단계에서 필요한 것이고, 첫 번째 단계에서는 유용하게 사용할 수 없는 경우가 많다. 즉, 첫 번째 단계를 통과하는 데 필요한 ‘문제를 이해하고, 무엇이 주어지고, 무엇을 해야 하는지’를 파악해야 하는 수학 문제 읽기가 바르게 되지 않기 때문에 많은 연습을 했음에도 결국 문제를 풀지 못하게 되는 것이다.

따라서 수학을 공부하는 학생들은 수학 문제의 해법과 기법을 익히는 것 이외에도 수학 문제를 바르게 읽을 수 있어야 한다. 수학 문제를 읽는다는 것은 수학적 논리를 이해하고, 가정이나 정의, 정리로 표현된 수학적 문장과 수식 기호의 역할과 사용법을 바르게 알고 있어야 한다. 예를 들어, ‘모든’과 ‘어떤’이 사용된 문장과 그렇지 않은 문장의 차이는 어디에서 비롯된 것인지, 명제와 조건의 연산은 어떤 것들이 있고, 그 의미를 정확히 알고 있어야 한다. 이런 연습이 선행되지 않는다면, 수학 문제에 포함된 정보를 판단하는 것이 무척 힘들어진다. ‘1+1=3이면 코끼리는 하늘을 날 수 있다’라는 문장의 참/거짓은 어떻게 판단해야 하는 것일까?

실제로 자신의 답에서 무엇이 잘못되었는지 모르겠다는 학생들의 질문을 듣고 있으면 논리적 오류가 그 원인인 경우가 많다. 예를 들어, ‘p이면 q이다’와 같은 형식을 가진 답변을 작성해야 하는 문제에서 ‘q이면 p이다’와 같은 형식의 답변을 작성하는 것이다. 이처럼 가정과 결론을 혼동해서 생긴 오답은 문제를 풀 때부터 가정과 결론의 인과성에 관해 확인을 해야 한다는 것을 인식하지 않은 경우가 대부분이다. 이렇듯 답안 전체의 논리 구조가 이상하거나 논리 전개 과정에서 생기는 오류는 애초부터 수학 문제의 구조를 제대로 이해하지 못하는 가장 큰 원인이다. 따라서 이러한 경우가 생기지 않도록 하기 위해서는 문제의 해법을 결정하기 전에 문제가 무엇을 요구하고 있는지 바르게 이해하고. 적절한 답을 찾을 수 있도록 연습해야 한다.

물론 ‘수학 읽기’가 수학 공부의 전체는 아니지만, 수학 읽기를 바르게 익혀 두면 수학 문제를 푸는 것뿐만 아니라 수학이란 학문을 이해하고 평소에 하는 수학 공부 전체에 큰 도움이 된다. 수학의 논리 구조를 이해하고, 바르게 사용하려는 연습을 꾸준히 하자.

김 민성 원장

격수당수학학원

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