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2023학년도 대학수학능력시험(이하 수능) 이후 주요 입시 기관들은 올해 수학의 변별력이 더 커질 것으로 전망했다. 문이과 통합수능 이후 수학의 중요성이 더욱더 대두되고 있는 만큼, 예비 고1(현 중3) 학생들은 고교 입학 전 겨울방학을 이용해 부족한 부분을 보완하고 고등수학의 기초부터 심화까지 심도 있게 공부해 나가야 한다. ‘예비 고1 고등수학 학습법’에 대해 궁금한 점을 강남서초지역 사교육 전문가와의 질의응답으로 알아봤다.
도움말 감성수학 대치본원 강기태 부원장, 수학에미친사람들(수미사) 대치관 손병길 고등부 대표강사


Q. 고등수학과 중등 수학의 차이점은 무엇일까요?

강기태 부원장 : “중등수학과 고등수학의 가장 큰 차이점으로 시험범위를 들 수 있습니다. 중학교 과정에서는 중3 2학기 기말고사를 제외하고 일반적으로 2단원 정도가 시험범위(단원이 많을 수 있으나 실질적인 단원은 고등학교에 비교해보면 2단원 정도)이지만 고등학교 과정에서의 시험범위는 4단원 정도로 볼 수 있습니다. 물론 그 안에서 다루는 내용의 난이도도 중등수학에 비해 올라갑니다. 즉, 수학에 투자해야 할 시간이 2배로 늘어나야 하고 방학 중 예비 학습을 통해 미리 개념을 탄탄하게 정리해두어야 학기 중에 더 많은 학습을 통해 문제풀이 양을 늘려갈 수 있습니다.”

손병길 대표강사 : “중등수학은 단원 간 연계가 강하지 않고, 학기 간 연계는 더욱 떨어집니다. 문제의 난이도 역시 일부 학교를 제외하면 시중 문제집과 빈출 문제들을 풀면 어느 정도 원하는 결과를 얻을 수 있죠. 즉, 해당 학기 시험을 잘 보기 위해 현재 배우고 있는 내용을 충실히 공부하면 됩니다. 반면 고등수학은 단원 간 연계뿐 아니라 학기 간 연계도 매우 강합니다. 또한, 고등학교의 진도 속도는 중학교에 비해 매우 빠르죠. 이러한 이유로 현재 배우는 내용을 쫓아가기도 급급한데, 거기에 필요한 이전에 배운 내용들까지 복습해야 하고 그것들이 다양하게 조합된 문제들을 풀어내야 하는 게 고등수학 공부의 어려운 점이라 할 수 있습니다.”


Q. 그렇다면 기본적으로 공부하는 방향부터 중학교 때와 달라져야겠네요?

손병길 대표강사 : “맞습니다. 중학교 때 문제집을 많이 푸는 방식으로 내신 대비를 한 학생의 경우, 고등학교에 올라와 문제집을 풀 때마다 나오는 다양한 유형과 매번 나오는 신유형에 당황하는 경우가 많은데요. 이런 학생의 경우 기본적인 개념(기본 공식 + 대표 유형)에 대한 이해를 바탕으로 다양한 문제를 해결하는 방향으로 학습 전략을 바꿔볼 것을 권합니다. 즉, 공식을 외우는 것에 그치는 것이 아니라 그 공식이 언제 어떻게 쓰이는지, 대표 유형들에 대한 가장 효율적인 풀이 방법은 무엇인지를 먼저 점검하고 문제를 풀어간다면 문제를 바라보는 관점이 확실히 달라질 것입니다.”

강기태 부원장 : “중등수학에서 수학의 기본을 공부했다면 고등수학에서는 이를 좀 더 심화하는 단원이 많아서 공부를 좀 더 깊이 있게 진행해야 합니다. 가령, 본인이 할 수 있는 것이 100이라고 했을 때 100만을 계속 연습하는 것이 아닌 120, 150을 목표로 어려운 문제를 계속 도전해 봐야 고등학교에서 원하는 목표를 이룰 수 있습니다.”


Q. 고1 수학 교과서에서 중요하다고 생각되는 단원은 어디이고, 어떻게 공부해야 할까요?

강기태 부원장 : “첫 시작이 매우 중요한 것은 당연한 일이기 때문에 첫 단원 다항식의 연산을 정확하게 연습하고 넘어가야 합니다. 첫 단원을 꼼꼼하게 연습하고 기존의 방법대로 문제가 풀린다 하더라도 새로운 공식과 방법을 알게 된다면 그 방법을 충분히 연습하고 넘어가야 이어지는 단원들 역시 다항식을 연산하는 것을 기본으로 하는 단원들이 많아서 유리할 수 있습니다.
또한, 이차방정식과 이차함수 단원에서 중등수학에서 배운 내용을 그대로 활용하고 함수로 해석하는 것을 추가로 배우게 되는데, 함수로 해석할 때 그래프를 그리지 않고 식으로만 해결하려는 학생들이 많습니다. 이 또한 함수의 그래프를 활용하는 것을 새롭게 배우는 단원이므로 이것에 대해 연습하고 기존의 방법만을 고수하여 기본문제 정도만 해결하려는 습관을 버려야 합니다. 고등수학 중에서 중등수학에서 배우지 않았던 독립적인 내용은 크게 없는데 ‘항등식과 나머지 정리’, ‘복소수’, ‘집합과 명제’ ‘유리함수와 무리함수’ 정도가 완전 새로운 단원이라 생각되며 이 단원을 제외하면 중등수학의 연장선 상에 있기 때문에 중등 과정에 대한 복습도 매우 중요합니다.”

손병길 대표강사 : “고1 수학에서 가장 중요한 단원을 꼽으라면 함수라 할 수 있습니다. 예비 고1 학생이라면 두 가지에 초점을 두고 공부할 것을 권합니다. 첫 번째는 그래프와 친숙해지는 것입니다. 그래프를 이용하면 장황한 식을 통한 풀이보다 한눈에 문제에서 원하는 상황을 파악할 수 있습니다. 방정식이 주어졌을 때 식으로 풀 수도 있지만, 두 그래프의 교점의 관점에서 바라보는 연습을 해보는 것도 필요합니다. 대표적으로 수학(상)에서 이차방정식과 이차함수 단원이 여기에 해당합니다. 두 번째는 일 대 일함수, 일 대 일대응, 합성함수, 역함수 등 수학적 용어에 대한 정의를 정확히 이해하고 암기하는 것입니다. 이러한 내용들은 고2부터 배우는 단원에서 함수의 종류만 바꿔 그대로 적용되므로, 수학(하) 함수 단원에서 다루는 내용들의 논리구조를 정확히 이해해두는 것이 좋습니다.”


Q. 수학 문제를 풀면 항상 실수합니다. 실수를 줄이려면 어떻게 해야 할까요?

<Case ①> 계산 실수가 잦아요

손병길 대표강사 : “이런 학생의 경우 구체적으로 어떤 유형에서 실수가 자주 발생하는지 스스로 통계를 내보길 바랍니다. 예를 들어, 오답을 분석해 ‘두 자릿수 x 두 자릿수’를 계산할 때 실수가 잦다는 것을 파악했다면 다른 문제를 풀다가 해당 계산이 나왔을 때, 조금 더 집중하여 계산하려고 노력해보세요. 자신이 자주 틀리는 것을 인지하는 것만으로도 실수를 줄일 수 있습니다. 또한, 검토할 때에도 그러한 부분들을 먼저 살펴보며 혹시 실수가 발생한 부분이 없는지 확인해보기 바랍니다.”

강기태 부원장 : “고등수학 공부를 처음 하는 학생이라면 무리한 선행학습을 진행하는 것보다 고등수학(상/하)에 모든 힘을 쏟길 바랍니다. 고등수학이 잘 안 된다면 그 이후 과정에 대한 학습은 효과적이지 못합니다. 만약 선행학습이 어느 정도 잘 되어 있어서 고등수학(상/하)이 튼튼한 학생이라면 수Ⅰ, 수Ⅱ 학습을 더 진행해서 수학 실력을 높이는 데 집중하는 것이 매우 효과적일 것입니다. 이렇게 학습 플랜을 정하고도 매번 계산 실수를 하거나 시간이 부족한 학생들이 있습니다. 물론 이런 경우는 전자에 해당하는 아직 학습량이 많지 않았던 학생일 것입니다. 지금 이런 학생에게 시간 부족 현상은 해결할 대상이 아닙니다.
가령 시간이 부족하니 문제를 풀 때 시간 안에 풀어야 하는 계획을 세우게 되면 정확히 풀기보다 답을 내는 것에 급급해 정말 중요한 것들을 놓치고 넘어가게 돼 계속 실수할 수밖에 없습니다. 스스로 찾고 고치는 연습을 진행할 때 눈으로 풀이과정을 검산하지 말고 다시 새롭게 푸는 방식으로 계산 실수를 잡아가야 하겠습니다. 만일 계산에 집중했고 도무지 나아지지 않는다면 문제를 풀고 답이 나온 계산의 3단계 정도 위의 과정부터 다시 한번 검산해서 되새김질해주는 방법을 적용해보면 계산 실수를 많이 줄일 수 있습니다.”

<Case ②> 시간이 부족해요

강기태 부원장 : “앞서 설명한 계산 실수와 시간 부족 문제는 연계되어 나타나는 경우가 흔합니다, 시간 부족 현상은 실력이 뒷받침되는 상태에서 극복해야 할 과제입니다. 내신시험 또는 모의고사를 준비하는 기간에 집중적으로 학습해야지, 새로운 개념을 받아들이고 연습하는 단계에서는 절대 하지 말아야 할 것입니다”

손병길 대표강사 : “시험 시간이 부족하다는 것을 흔히 모의시험 연습이 부족하다고 생각해 무작정 문제풀이 양을 늘리는 경우가 많습니다. 하지만 분석해보면 기본 개념이나 문제유형에 대한 숙지가 완벽하지 않은 경우가 대부분입니다. 다양한 시행착오를 겪으며 우연히 답을 내거나 결국 답을 못 내고 다음 문제로 넘어가는 문제가 많을수록 자연스럽게 시험 시간은 부족할 수밖에 없습니다. 기본 개념을 점검하고 자주 나오는 문제라면 자신만의 풀이 전략을 평소에 준비해 고난도 문항을 풀 충분한 시간을 확보하는 것이 좋습니다.”

<Case ③> 서술형, 심화/응용문제가 어려워요

손병길 대표강사 : “서술형 문제가 취약하다면 평소에 문제를 풀 때, 최단거리로 답을 내는 연습을 해왔기 때문일 것입니다. 풀이를 꼼꼼히 쓸 기회가 없었던 것이죠. 다행히 강남서초지역 대다수 학교는 소위 ‘킬러문항’들은 객관식이나 단답형으로 출제되는 경우가 많습니다. 그러므로 각 단원에서 선생님들이 강조하는 문제들은 스스로 어떠한 개념을 통해 다음 과정으로 전개되는지를 논리적으로, 최대한 구체적으로, 올바른 수학적 기호를 통해 적는 연습을 해보기 바랍니다.
또, 선생님께 본인이 작성한 풀이를 가져가 확인을 받는 것도 좋은 방법이 될 것입니다. 심화/응용문제를 해결하기 위한 첫 번째 단계는 각 문제를 구성하는 ‘단일 개념들에 대한 쓰임’을 정확히 알고 있어야 하며, 두 번째 단계에서 그것들을 적절히 잘 조합할 수 있는 ‘전략 수립’이 필요합니다. 어려운 문제를 선생님이 풀어줬을 때 이해가 되는 수준을 넘어 스스로 문제를 해결하기 위해서는 단일 개념의 부족한 부분을 보완해가며, 스스로 그것들을 어떠한 순서로 전개해나갈지를 끊임없이 고민해야 합니다.”

강기태 부원장 : “서술형을 잘 쓰지 못해서(풀이가 이곳저곳 뒤죽박죽이고 조건을 빼먹고 서술해서 감점당하는 학생) 고민인 학생들은 글씨를 조금 크게 써보고 중요한 조건에 동그라미를 쳐서 서술형 답안을 빼먹지 않도록 하며 풀이 과정을 줄 맞춤하여 적는 연습도 매우 중요합니다. 학습량도 많고 실력이 뛰어나야 함에도 응용문제 및 심화 문제에서 항상 아쉬운 모습을 보이는 학생이라면 방학 동안 고난도 문항에 대해 충분히 시간을 투자하고 고민해보는 시간을 많이 갖도록 해야 합니다.
또, 한 문제를 30분가량 붙잡고 있으면 시간이 허비되고 할당량을 채우지 못해 본인의 계획이 무너진다고 생각하는 학생이라면 결코 킬러 문항을 극복해 낼 수 없을 것입니다. 이런 도전이 실력을 향상하고 실제 시험에서 문제를 해결할 힘이 만들어지기 때문에 공부하는 시간에는 효율성을 결코 따져서는 안 됩니다.”


Q. 어떻게 해야 수학 공부를 잘 할 수 있을까요?

손병길 대표강사 : “하루에 문제를 10문제 풀었다면 그 10문제를 통해 얻어낸 것을 스스로 정리해보는 습관을 들이도록 하세요. 무엇보다 가장 중요한 것은 오답정리입니다. 단순히 문제를 다시 푸는 것이 아니라 오답이 발생한 부분을 스스로 또는 선생님의 도움을 받아 정확히 찾아내야 합니다. 그것들을 간단히 메모로 남겨놓는 습관도 들이세요. 수첩이나 작은 노트에 간단한 메모로 틀린 이유와 그것을 분석한 내용을 적는 것으로도 충분합니다.
예를 들어, 어떠한 조건이 나왔을 때, 그것이 어떤 의미인지 해석해내지 못했다면 그 조건과 해석을 함께 적어둡니다. 공식만 알고 있었는데 그 공식을 문제에 적용하지 못했다면, 그 공식에 대한 쓰임을 정리하면 됩니다. 그렇게 정리한 후 오답이 발생한 문제들이 기억나지 않을 때쯤 다시 정리한 내용을 바탕으로 스스로의 힘으로 풀 수 있는지 확인해보세요. 문제를 외운다기보다 내가 부족한 부분이 채워졌는지를 문제를 통해 확인하는 과정으로 생각하기 바랍니다. 그래야만 그 개념이 다른 내용과도 조합돼 출제되더라도 이 논리를 떠올릴 수 있을 것입니다.”

강기태 부원장 : “예비 고1 학생들에게 가장 필요한 것은 무리하게 예비 학습을 진행하기보다 고등수학을 완벽하게 이해하고 심화 문제에도 많은 시간을 투자해서(조금은 지루할 수도 있겠지만) 겨울방학을 준비하는 것이 가장 현명한 학습법입니다. 그렇다고 다음 과정(수Ⅰ, 수Ⅱ)을 진행하지 말라는 것은 아닙니다. 고등수학에서 충분한 심화 과정을 진행한 학생들이라면 수1, 수2 학습도 함께 진행해도 좋습니다. 단, 수Ⅰ, 수Ⅱ 내용은 가볍게 진행하고 고등수학에 더 많이 집중해야 하겠습니다. 방학 중 기본적인 개념 숙지와 유형별 학습을 최대한 진행하고 학기 중에는 심화 문제에 도전하면서 학습하는 것이 좋기 때문에, 방학 중 최소 1~2개의 개념서와 유형서를 완료하는 것을 목표로 학습 계획을 세우기 바랍니다.”

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