지난 11월 18일 시행된 2022학년도 대학수학능력시험(이하 수능)에 대해, 주요 입시 기관들은 올해 수학 영역 가채점 예상 등급 커트라인이 지난해보다 크게 낮아질 것으로 전망했다. ‘문이과 첫 통합 수능’으로 치러진 만큼 선택과목 유불리도 존재하고, 공통과목의 난이도도 높아져, 대입에서 수학의 영향력은 더욱더 커졌다.입시에 첫발을 내디딜 예비 고1(현 중3) 학생들은 고등학교 입학 전 겨울방학 때 어떻게 수학 공부를 해야 할까? 강남서초지역 사교육 전문가의 조언으로 ‘예비 고1 겨울방학 수학 학습 방법’을 담았다.
도움말 감성수학 대치본원 강기태 부원장, 수학에미친사람들(수미사) 대치관 박세희 부원장

중등 수학과 고등 수학의 차이점
중등 수학과 고등 수학은 근본적인 차이가 있다. 이 차이점을 바로 알아야 고등 수학의 학습 방향을 제대로 설정할 수 있다.
수학에미친사람들(수미사) 대치관 박세희 부원장은 “중등 수학보다 ‘복잡한 연산과 사용하는 공식 및 공부할 범위가 넓다’ 정도로 단순하게 생각하는 경우가 많은데, 좀 더 근본적인 차이점은 ‘관점과 논리적 사고’이다. 중등 수학은 특정 개념에 대한 정확한 정의를 통해 접근하기보다는 하나의 법칙을 이용해 반복적인 연산 과정을 거치면 대부분 해결가능한 문제가 다수이다. 활용되는 영역 또한 고등보다 넓지 않아 자주 접할 수 있는 빈출 유형을 위주로 반복연습하면 좋은 결과를 얻을 수 있지만, 고등 수학은 그렇게 간단하지 않다. 개념에 대한 이해도와 방향성 모두 명확하게 잡아야 하고 그 과정 역시 많은 시간이 소요된다”고 차이점을 설명한다.
이러한 차이점 외에도 수학 교과의 특성인 ‘연속성’에 주목해야 한다.
감성수학 대치본원 강기태 부원장은 “중등 수학을 연장해서 고등 수학을 공부하는 개념이기 때문에 중등 수학에서 했던 것들을 이어서, 좀 더 새로운 것들을 배워나가는 과정이고 중학교 개념만으로는 할 수 없던 것들을 추가로 배워나가는 것이 바로 고등 수학이다. 또한, 강남지역 고등학교들은 고등 수학의 시험 난이도가 매우 높고 학생들의 평균 수준이 높은데, 상대평가이다 보니 변별력을 주기 위해 고난도 문제를 많이 출제한다. 시험 문제까지 매우 어려워졌기 때문에 고등 수학은 중학교 때보다 더 많은 공부량이 필요하다”고 설명했다.

고1 때 만나는 수학 교과서 엿보기
고등학교에 진학하면 1학년 때 수학(상)·(하)를 배우고, 2학년 때 수능 공통과목인 수학Ⅰ, 수학Ⅱ를 배운다. 수학(상)·(하)가 수능에서 직접적으로 출제되는 부분은 아니지만, 이 과목을 제대로 공부하지 않으면 답을 구해낼 수 없다. 즉, 1학년 때 배우는 수학 과목이 수능 문제를 풀 수 있는 근간이 된다는 의미이다.
강기태 부원장은 “1학년 때 배우는 고등 수학은 기본적인 식의 연산과 도형의 방정식 그리고 집합과 명제처럼 새로운 표현법과 체계를 공부한다. 함수 단원에서 고교 2학년 이후 공부하게 될 ‘수1, 수2, 미적분, 기하’의 기본을, 순열과 조합에서 ‘확률과 통계’의 기본을 공부한다. 이 단원들은 중학교 때부터 해왔던 내용의 연장선에 있어서 중학교 과정을 전반적으로 숙지해두어야 고등 수학을 공부할 때 도움이 된다. 특히 중학교 때 배운 ‘이차함수’와 ‘삼각비’, ‘원에 대한 개념’이 잘 잡혀 있다면 고등 수학을 공부하는데 큰 밑거름이 될 것”이라고 조언했다 .
고등 수학은 중학교 때보다 더욱 포괄적으로, 또한 깊이 있게 접근해야 한다.
이에 박세희 부원장은 “중3 1학기에 배우는 내용이 고1 수학에 그대로 투영되는데 해석해야 하는 범위가 달라진다. 이차방정식을 단순히 근의 공식으로 해를 구하는 과정이 아닌 이차함수와 관계성을 따져가며 광범위한 접근이 필요하다. 또한 중3 2학기에 배우는 삼각비는 고2 과정의 수1에서 삼각함수 단원으로 연계가 된다. 사인법칙이나 코사인법칙은 중3 수학에서 배운 내용으로 충분한 증명이 가능해서, 처음부터 확장 가능성을 염두에 두고 폭넓게 학습할 필요가 있는 단원”이라고 조언했다.

학생 사례별 예비 고1 수학 학습법

<사례 ①> 중등 수학이 미진한데 선행만?
강기태 부원장 : “중학교 전 과정을 정확하게 숙지하고 넘어가야 한다. 우선 고등 수학을 위해 필요한 1차, 2차 함수의 개념과 다항식의 계산, 그리고 원의 내용을 중점으로 빠르게 중학교 내용을 복습해야 한다. 이러한 기본기가 있어야 고등 수학의 앞부분인 다항식의 연산과 이차함수의 내용을 공부할 때 불편함이 없다. 또한. 방학 중에는 부담스러운 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 등의 무리한 선행보다는 1학년 과정인 고등 수학을 완벽하게 숙지하고 입학하는 것이 도움이 될 것이다.”
박세희 부원장 : “고등 수학에서 처음 배우는 내용이라 해도 기본 바탕은 중등 수학에서 시작되고 그 바탕이 불안정하면 답 자체를 구할 수 없는 경우가 대부분이다. 특히, 예비 고1이라면 고1 수학을 구멍 없이 학습하기 위해서 중3-1 과정이 심화까지 꼼꼼하게 학습이 되어있어야만 한다. 곱셈공식과 인수분해가 막힘없이 진행되어야 하고 이차방정식과 이차함수에 대한 기본 공식 및 해석 방법까지 학습되어있어야만, 고등과정에서 확장되는 개념을 얹으면서 해당 단원에 대한 구성을 폭넓게 이해할 수 있다.”

<사례 ②> 개념 학습 없이 문제 풀이만?
강기태 부원장 : “개념 부족이라는 의미를 ‘학생의 문제점 파악’과 ‘개선’이라는 측면에서 접근할 수 있다. 예를 들어 ‘학생의 풀이를 지켜보고 그로 인해 발생하는 문제를 스스로 찾도록 도와줘야 하며, 부족하다면 어떤 부분이 부족한지 짚어주어, 그 학생이 문제해결을 완벽하게 진행할 수 있도록’ 하는 것이 선생님의 역할이다. 또한, 학생 자신도 개념 공부를 진행할 때 무작정 공식을 외우거나 개념서에 있는 내용을 외우고 여러 번 읽는 것만이 개념이라고 생각한다. 여기에 더해, 개념을 연습해볼 수 있는 ‘대표 유형에 대한 문제풀이’를 함께 개념으로 인지하고, 다양한 유형을 개념과 함께 알고 있어야 진정한 개념 공부임을 명심해야 한다.”
박세희 부원장 : “중등 수학에서는 대부분 정해진 공식을 바탕으로 활용되는 문제들이 대부분이라 연산을 얼마나 빠르고 정확하게 실수 없이 해내느냐가 관건이다. 문제에서 주어지는 조건 자체가 결과에 큰 영향을 주지 않는다. 하지만 고등 수학에서는 단 한 줄이라도 주어지는 조건에 따라 풀이법이 달라지기 때문에, 공식 암기에만 그치지 않고 문제를 꼼꼼하게 확인해야 한다. 그 조건을 이용하는 것 또한 개념을 얼마나 확실하게 알고 활용할 수 있느냐를 판단하는 기준이 될 수 있다. 출제된 문제의 활용 범위가 중등 수학과는 확연하게 차이가 나서 모든 유형을 공부할 수 없기에 개념부터 시작하여 어떤 방향으로 문제를 해석해야 하는지를 연습해야 한다.”

<사례 ③> 문제 풀 때 계산 실수가 잦다면?
강기태 부원장 : “계산 실수는 사실 그 학생이 문제풀이를 진행할 때 발휘되는 집중력에서부터 시작이 되기 때문에 집중력을 높이는 훈련을 통해 그 계산 실수를 줄일 수 있다. 그럼에도 좀처럼 나아지지 않는다면 답을 구한 다음 그 답을 냈던 마지막 식부터 거슬러 올라가서 3단계 정도까지 검산을 진행하는 습관을 들이며 한 번 더 집중한다면 계산 실수를 줄일 수 있다.”
박세희 부원장 : “연산 실수는 엄밀히 말해 중학교 때 끝내야 한다. 고등 수학에서는 문항 자체의 난이도가 높기 때문에 접근법과 속도에서 판가름이 난다. 문항의 난이도에 따라 제한 시간을 정해두고 걸리는 시간을 점점 줄여나가려면 풀이과정에서도 불필요한 부분은 과감히 생략도 할 줄 알아야 한다. 고등학교 내신의 서술형 문항은 중학교처럼 세분화되어 채점되지는 않기 때문에 선택과 집중이 필요하다.”  

<사례 ④> 시간 부족이나 문제풀이 속도가 느리다면?
강기태 부원장 : “시험에서 시간 부족을 느끼는 학생이라면 ‘문제를 빨리 꼼꼼하게 읽으며 필요한 부분엔 중요 표시를 하는 습관’을 만들어야 한다. 또, 근본적으로 문제풀이 시간을 줄일 방법은 ‘실력향상(문제풀이 경험을 늘리는 것)’이다. 많은 문제를 풀어보며 문제를 익숙하게 만들면, 문제를 보자마자 풀이 방향이 떠올라 시간을 단축해나갈 수 있다.”
박세희 부원장 : “문항의 난이도에 따라 제한 시간을 걸어두고 연습해야 한다. 처음 시도할 때는 당연히 시간을 넘기게 될 텐데, 위에서 언급했듯이 불필요한 풀이과정을 과감히 생략하거나 빈출 유형에 대한 빠른 풀이법을 숙지하고 언제든지 활용 가능할 정도로 반복연습을 진행해야 한다.”

<사례 ⑤> 자연계열 최상위권을 목표로 한다면?
강기태 부원장 : “우선, 전 범위 학습을 위해 고3 기출 모의고사를 100분 안에 풀어보는 연습을 해보자. 고3 기출 모의고사를 통해 전 범위 학습이 익숙해지면 고등학교에 가서도 100분이라는 시험 시간과 킬러 문항들의 표현 형식이 익숙해지는 효과를 불러올 수 있다. 무엇보다도 어느 수준까지 도달해야 할지를 스스로가 확실히 알아볼 수 있고, 기출 모의고사의 경우 매우 좋은 문제들로 구성돼 있어서 어떤 사설 기관의 문제들보다 질 좋은 문제들로 공부할 수 있는 장점이 있다. 또한 강남지역 학교들의 킬러 문항들이 1, 2학년 때는 주로 기출 모의고사를 변형하기 때문에 이 또한 장점이 될 수 있다. 이 과정에서 부족한 과목과 단원이 있으면 이 부분을 더 공부할 수 있도록 계획을 수정할 수 있다.”
박세희 부원장 : “학교 내신 문제는 학교에서 지정하는 부교재, 학습과제 프린트 그리고 1년에 4회 실시하는 전국단위 학력평가 문제들을 변형하여 출제된다. 지난 27년간 시행된 문제 중 출제 범위에서 많이 벗어난 문제들을 제외하더라도 고1 과정에서 해결해야 할 문제들이 800문제 가량 있다. 학기가 시작되기 전 방학 중에는 이 학력평가 문제들부터 차근차근 정복해 나가자. 2학기 내용도 익혀 놓으면 좋다. 어느 정도 문제풀이에 익숙해졌다면, 학기 중에는 자신이 속하는 지역의 기출문제들을 시간을 정해놓고 정확하게 풀어내는 연습을 하자. 빠르게 푸는 연습이 되어서, 검토할 시간을 충분히 확보할 수 있도록 해야 한다.”

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