수학 문제를 풀어가는 과정은 논리적이다. 어떤 문제를  [과정A]-[과정P]-[과정T] 를 거쳐서 문제를 풀었다고 하면 이들은 체계적으로 연결되어 있다. ‘[과정A]니까 [과정P]고, [과정P]니까 [과정T]다.’라고 설명될 수 있다. 하지만 실제로 문제를 풀어야 하는 입장에서는 전혀 다른 일이 벌어진다. 문제를 보고 [과정A], [과정B], [과정C] 등이 떠올랐을 때 [과정A]를 선택해야 하는데, 이 떠오름과 선택은 전혀 ‘논리적’이지 않은 것이다. 떠올리는 것을 ‘발상’, 선택하는 능력을 ‘직관’이라고 말할 수 있을 것인데, 그냥 ‘발상’으로 묶겠다.

고난도 문제에서 요구되는 ‘해석’과 ‘발상’
우선 이야기의 대상을 조금 좁혀 보겠다. 학생이 접하는 대부분의 문제는 ‘개념’의 문제이다. 다시 말해, 시중의 어떤 문제집에도 수록되어 있는 문제다. 일반적인 학교의 내신이라면 2등급, 수능 수학이라면 3등급 정도까지는 ‘기본 유형 문제집을 하나 정해서 달달 외워라.’라는 말이 도움이 될 것 같다. 고난도 문항의 경우에 ‘개념’ 이상으로 요구되는 것이 ‘해석’과 ‘발상’이고 이 글에서 다루고 싶은 것이 ‘발상’이다. 개인적으로 수능 킬러문항에서는 ‘해석’이, 논술이나 면접문항에서는 ‘발상’이 상대적으로 더 요구된다고 생각한다. 수학에서 논리가 필요하지 않다는 이야기는 아니다. 수학은 논리 그 자체라고 부를만한 과목이다. 간단한 등식의 변형조차도 논리를 요구한다. 다만 ‘발상’이라는 영역이 논리를 갈고 닦는 것과는 별개라는 소고다.

‘발상능력’ 키우는 것은 강사가 할 수 없어 하기 어려워
‘그 생각을 어떻게 해요?’라는 질문을 받게 된다. 이 질문이 시작되는 시기는 학생마다 제각각이다. 고1때 이미 입에 붙어 있는 학생도 있지만, 수학2나 확률과 통계의 고난도 문항을 다룰 때 시작하는 경우가 일반적이다. 물론 이전에도 어려운 문제는 있었지만 해설을 외우고(?) 넘어가다가, 시험장에서 문제를 만났을 때를 고민하기 시작하는 것이다. 어떤 학생에게는 당연하게 느껴지는 문제가 어떤 학생에게는 초월적인 발상을 요구하는 문제로 느껴지는 경우도 있다. 그래서 오래 지도하던 학생들이 ‘발상’에 대한 질문을 시작하면, 반가우면서도 생각이 복잡해지게 된다. 가르치는 입장에서 이야기하면, 학생에게 ‘논리’를 이해시키는 것은 어렵지 않다. 수준에 맞추어서 과정을 펼쳐주면 된다. 학생이 이를 학습해서 논리력을 향상시키는 것도 당연히 중요하다. 하지만 ‘발상능력’을 자라게 하는 영역에서는 강사가 할 수 있는 것이 거의 없다. 이를 착각하는 강사들이 ‘이렇게 하면 된다.’라고 주장하고 있는 것 뿐이다.

해설지나 해설강의는 직관력 좋아지는데 도움 안 돼
발상과 직관을 통해 문제를 푸는 과정은 미로 찾기와 비슷하다. 제 딸 세빈이가 미로찾기를 좋아한다. 아래의 두 예시를 보자.

[그림1]

[그림2]

필자에게는 [그림1]의 길은 한눈에 보이는데, [그림2]는 그렇지 않다. 쉬운 문제와 어려운 문제라고 할 수 있다.
세빈이가 [그림1] 수준의 문제를 푸는 것을 처음 관찰할 때는 답답했다. 제가 볼 때 당연히 답이 없는 길로 연필이 자꾸 갔다. 한 반년정도 지나서 보니까 연필의 우왕좌왕이 줄었다. 저와 비슷한 수준에서 문제가 내려다보이기 시작한 것이다.
직관력이 좋아지는 비결이 따로 있지는 않다. 상당부분 타고나는 것 같다. 여러분의 대부분이 [그림1]은 쉽고 [그림2]는 어렵다고 느끼는 정도를 타고났을 것이다. [그림2]가 한눈에 보이는 사람도 있을 수 있다.  그나마 연마되는 방법을 생각하면, 반드시 스스로 좌충우돌하며 도전해야 한다는 것이다. 해설지나 해설강의가 크게 도움이 되지 않는다는 말이다.

필자는 옛날부터 길치에 가까웠다. 운전해서 어디를 가야할 때는 97% 헤매게 된다. 그런데 차에 네비게이션이 생겼을 때부터 헤매는 일이 없어졌다. 당장의 우회전 지시가 이해되지 않더라도 머리를 비우고 네비님의 인도를 따르면 반드시 목적지에 도착하게 된다. 그리고 제 길찾기력의 성장이 멈추게 된 것이다.
좀 도움이 되는 말을 하자면, 해석능력이 자라면 발상능력에 도움을 받을 수 있다. 미로의 일부를 알고 있다는 등의 이유로 자동화시킬 수 있다면 전체적인 미로 찾기가 쉽게 느껴질 수 있기 때문이다. 

일산 5A아카데미 대표강사 한성은
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