곧 있으면 기말고사 기간이다. 고등학교 1학년이라면 수학 하에서 ‘함수’와 ‘경우의 수’를 공부해야 한다. 두 파트 모두 충분한 연습 없이는 잘 보기 힘들다. 고1 신입생이 있다면 수학 하를 얼마나 공부하고 왔는지 물어보곤 한다. 대부분의 학생들은 ‘한 번 이상 보고 왔어요.’ 라고 말한다. 하지만 내가 봤을 땐 한 번도 안 본 것 같다. 그만큼 너무나 아쉬운 점들이 많다. 기말고사가 코앞인데 아이들에게 가르쳐야 할 것이 너무나 많다. 훈련시켜야 할 것이 산더미이다. 시간이 더 있었으면 좋겠다는 생각이 들 뿐이다.
그래서 수학 하를 기준으로 선행 수업을 할 때 꼭 연습해야 하는 내용들을 정리해 보았다.

함수는 알아야 할 것이 너무나 많다!
합성함수의 그래프 그리는 훈련을 꼭 미리 하길 바란다. 합성함수를 그리는 방법은 크게 두 가지가 있다. 하나는 대수적으로 계산하여 식을 얻는 방법이다. 다른 하나는 그래프의 개형을 보고 유추하는 방법이다. 만약 y=f(g(x)) 의 그래프를 그리고자 한다면 괄호 속의 함수 g(x)의 값이 변하는 것을 상상하며 한 번에 합성함수를 그릴 수 있다.
내신 및 수능에 가장 잘 나오는 주제 중 하나는 함수의 개수 세기 문제이다. 이 문제는 함수 파트에서도 잘 나오고 경우의 수에서도 잘 나온다. 함수의 정의들을 정확히 구분할 줄 알아야 하며 다양한 조합 테크닉을 알아야 빠르고 정확하게 풀 수 있다.
코시의 함수방정식 중 가장 유명한 f(x+y)=f(x)+f(y)에 대한 해석은 상식이라고 생각해야 한다. 시험에 잘 나오는 함수방정식을 기준으로 다양한 문제들을 풀어봐야 한다. f(xy)=f(x)+f(y) 가 나온다면 로그함수를 바로 떠올려야 한다. 상식을 알고 있어야 시간을 세이브에서 어려운 문제들을 풀어낼 수 있다.
그 외에도 유리함수의 대칭성 및 기하적 해석, 무리함수의 특성과 볼록성, 역함수와 원함수의 관계, 고정점 논리, 합성함수 교점 개수 등 어려운 주제들이 많으니 미리미리 공부해야 한다.

경우의 수는 노력하면 된다?
경우의 수는 많은 학생들이 어려워하는 단원이다. 수학 상, 미적분, 수학 1과 같은 다른 과목들과는 별개의 독립적인 단원이라고 생각해야 한다. 고등학교 경우의 수는 올림피아드 수준으로 어렵게 출제되지 않는다. 따라서 노력하면 충분히 좋은 점수를 받을 수 있다. 경우의 수를 잘 못하면 무조건 노력 부족이라고 보면 된다. 시간이 많은 학생들에게 가장 권장하는 것은 kmo를 공부를 해보는 것이다. 포함배제의 원리, 점화식 잡기, 더블 카운팅 등 다양한 경우의 수 기법들을 배우면 고등학교 문제들은 매우 쉽게 느껴질 수 있다.
만약 올림피아드 수학을 공부할 여력이 없다면 어려운 문제라도 많이 풀어보길 바란다. 복잡한 경우의 수 문제를 어떻게 해결할지 충분히 고민해봐야 한다. 한 문제를 한 두 시간씩 풀어봐야 한다. 그리고 소위 ‘노가다’도 많이 해보는 것이 좋다.
가장 중요한 것은 문제를 틀렸을 때 왜 틀렸는지 짚고 넘어가야 한다는 것이다. 이 과정을 거치지 않으면 절대로 실력이 늘지 않는다. 집합 {1,2,3,4,5}에서 집합 {a,b,c}로 가는 함수 중 공역과 치역의 개수가 같은 함수는 몇 개일까? 포함배제 혹은 분할 기법으로 150개라는 것을 쉽게 알 수 있다. 그런데 많은 학생들은 ‘a,b,c로 가줄 원소 3개를 미리 선택하여 보내고(5P3=60), 나머지 정의역의 원소는 아무데나 가도 되니(3*3=9), 60*9=540, 즉 540개’라고 말한다. 이렇게 세면 중복이 일어나므로 틀리게 된다. 많은 시행착오를 통해 이상한 접근법과 생각들을 미리 고쳐나가야 한다. 기말고사를 한 달 앞두고 고민하기엔 너무나 시간이 부족하다.

학생들은 수학 상 까지는 많이 보고 온다. 하지만 수학 하로 갈수록 공부했던 양이 적어진다. 앞부분인 집합과 명제는 첫 단원이다 보니 어느 정도 공부를 해 온다. 하지만 함수 및 경우의 수는 암울한 경우가 많다. 예비 고1 학생이라면 시간이 많은 지금 이 부분을 많이 보고 오길 바란다. 선행 수업으로 쉬운 교재를 적당히 돌리면 하나도 기억에 남지 않는다. 단순히 진도를 빼는 형식으로 수업을 하면 단기적으로 기억에 남을 뿐 시간이 지나면 잊게 된다. 선행은 나중에 시간이 오래 걸릴 것 같은 내용들을 미리 연습하는 것임을 기억하자. 현명하게 수학 하를 미리 집중공략하자. 그리고 최상위권이 되어보자.

일산 후곡 아이디수학학원 전인덕 원장
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