기하와 대수는 서로 다른 수학의 두 기둥이다.
고대 그리스 수학에서 현대수학까지 다양한 분야로 나뉘고 발전되어 온 수학은 여전히 두 가지 접근방식을 혼용하고 있다. 중학교 수학의 절반이 도형에 대한 내용인데 그림을 그리고 보조선을 그어 증명하는 방식은 고대그리스 수학의 논증기하방식을 따르고 있다. 

논증기하와 해석기하
고대 그리스인들은 논쟁하고 이치를 따져 논의하는 것을 좋아하였다. 도형을 연구하며 즐거워하고 심미안과 귀족적 자부심을 가득 느꼈을 것이다. 그런 그들에게 치명적인 약점이 하나 있었는데 도형을 그려서 고정시켜 놓고 연구하다 보니 변화와 움직임에 곤란함을 느꼈던 것이다. 매번 다시 그려보고 복잡한 계산을 하면서 얻어진 결과물은 후대에 전수하기도 어려웠다.
중세에 들어 비춰오는 서광이 있었으니, 그 무렵 아라비아에서 유럽으로 넘어오면서 발달한 대수는 방정식을 연구하면서 수학을 언어로 차츰 다듬어가고 있었다. 문자와 기호를 사용하고 식을 세워 방정식의 해를 구하는 과정은 근대수학의 꽃 미적분이 탄생되기까지 그 기반을 튼실히 다져놓게 된 것이다. 바야흐로 17세기, 수학의 역사상 엄청난 사건이 발생한다. 프랑스의 철학자 데카르트가 좌표평면을 발명했다. 이것은 고대그리스 수학의 전통을 깨고 도형의 성질을 바로 좌표평면 위에서 방정식을 통하여 연구할 수 있게 해 주었다.
도형의 성질을 대수적으로 연구하는 것이 바로 해석기하다. 현 고등학교 수학Ⅰ의 도형의 방정식 단원이 해당된다. 좌표평면 위의 기하학은 수많은 수학자, 철학자, 물리학자들에게 영감과 아이디어를 주었다. 미분이 탄생하고(미분이란 곡선을 짧게 끊어 직선으로 보는 것!) 극한의 개념이 정립되면서 미적분학의 기본정리가 만들어진다. 우리는 미분이라 하면 뉴턴과 라이프니쯔를 떠올리지만 사실 여러 학자들의 선행된 연구와 협력이 있었기에 가능했다. 결코 한 사람의 머리에서 불쑥 튀어나온 것이 아닌 인류 공동의 문화유산임을 기억하여야 하겠다.

수학의 벡터
19세기부터 벡터가 연구되었는데 이것 역시 좌표 위에서 정립된다. 이것이 위치벡터이다.
벡터란 무엇인가? 도형으로 보면 방향이 부여된 선분이다. 고등학교 벡터개념의 핵심은 내적에 있는데 두 벡터가 직각을 이루고 있는 경우에 그 값이 0이 된다. 이것은 피타고라스의 정리가 성립하는 상황으로 기하적으로 매우 의미가 있다. 

고등학교 기하와벡터 과목은 수학과 교육과정의 마지막 위계에 있으면서 지금까지 배웠던 모든 수학 개념을 통섭하고 융합시킨다. 문제를 해결하려 할 때, 다양한 접근법을 떠울리게 되고 고민에 빠지는 것은 당연하다! 논증기하로 풀까? 해석기하로 풀까? 아니면 벡터의 내적을 이용할까?
아래 문제를 가지고 해결하는 방법을 고민해보자. 분명 수학에서의 창의적 사고가 시작되는 지점이다! 

목동 코치클래스 수학학원 이소이 원장

문의 2650-8770

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