수학은 엄밀한 논리를 바탕으로 참과 거짓을 분명히 구분하는 학문이다. 이와 같은 특성 때문에 수학은 직관이나 상식에서 벗어나지만 논리적으로 타당한 근거를 갖는 패러독스를 피하고자 한다. 그렇지만 수백 년 간 해결되지 않은 채 수학자들을 괴롭힌 다양한 패러독스가 존재하였다. 골치 아픈 패러독스를 해결하기 위해 수학자들은 새로운 개념과 이론을 정립하고 수정?발전시켜왔다. 이 과정에서 기존의 지식 체계가 확장되었을 뿐 아니라 현대 수학의 기초도 튼튼히 하게 되었다. 

오늘은 패러독스와 관련된 몇 문제를 풀어보자.

●거북이와 아킬레스의 달리기 패러독스
거북이보다 10배 빨리 달리는 아킬레스와 거북이가 100m 달리기 시합을 한다고 하자. 이 때 거북이의 달리는 속도가 느리므로 공정한 시합을 위해서 거북이가 아킬레스 보다 10m 앞에서 출발한다면 아킬레스는 영원히 거북이를 따라 잡지 못한다. 왜냐하면 아킬레스가 10m를 달리는 동안 거북이는 1m를 달린다. 다시 아킬레스가 1m를 가면 거북이는 10cm을 가게 되고, 아킬레스가 10cm을 가는 동안 거북이는 1cm을 간다. 그리고 아킬레스가 1cm을 가면 거북이는 1mm를 가게 되는 상황이 반복되면서 둘 사이의 거리는 점점 줄어들겠지만, 아킬레스는 영원히 거북이를 따라 잡지 못한다. 

그림 1 넣어 주세요

●거짓말쟁이 패러독스
그들 중의 한 사람이 “우리 그레데 사람들은 언제나 거짓말쟁이이고 몹쓸 짐승이고 먹는 것밖에 모르는 게으름뱅이다” 하고 말하지 않았습니까? 이 말을 한 사람은 바로 그들의 예언자라는 사람입니다.
           -신약성서 디도서 1장 12절

위 글에 따르면 예언자는 그레데 사람임이 틀림없다. 그렇다면 이 예언자의 말은 참일까 거짓일까?
만약 예언자의 말이 ‘참’이라면 그레데 주민들은 모두 거짓말쟁이고 몹쓸 사람이다. 그렇지만 예언자 자신도 그레데의 주민이므로 거짓말을 해야 하는데 자신은 참인 말을 하고 있으므로 모순이 생긴다. 그렇다면 그가 한 말이 ‘거짓’이라면 모든 그레데 섬 주민들은 거짓말쟁이가 아니므로 그는 거짓말을 해서는 안 된다. 그렇지만 그는 거짓말을 하고 있으므로 모순이 또 발생한다. 결국 예언자가 한 말은 참인지 거짓인지를 판정할 수가 없다.

●이발사 패러독스
어느 마을의 한 이발사가 ‘나는 스스로 면도를 하지 않는 모든 마을 사람들의 면도를 해 드립니다’ 라는 안내문을 이발소 유리창에 써 붙여 놓았다. 그렇다면 이 이발사의 면도는 누가 해 주는가? 
만약에 이발사가 자신의 면도를 하지 않는다면, 그 이발사 자신이 면도를 해 주어야 할 마을 사람들에 속하게 되므로 이발사는 자신의 면도를 해 주어야 한다. 그런데 이발사가 자신의 면도를 한다면 이번엔 자신이 스스로를 면도 하는 사람이 되므로 안내문에 따라 이발사는 자신의 면도를 하지 말아야 한다. 따라서 이발사는 자신의 면도를 할 수도, 하지 않을 수도 없는 곤란한 상황에 처하게 된다.

●5월의 문제
제시되는 문제의 풀이 과정과 정답을 보내 준 독자들을 대상으로, 추첨을 통하여 2명에게 필기용품 전문회사인 ㈜모나미(www.facebook.com/monami1963)에서 마련한 필기도구세트를 가정으로 배송해 준다.

어머니가 아이와 함께 늪지대를 지나가는데 악어가 아기를 빼앗아 갔다. 아기를 빼앗은 악어가 아이 어머니에게 다음과 같은 문제를 냈다.
“당신이 내가 아기를 잡아먹을지, 안 잡아먹을지를 알아맞힌다면 아기를 무사히 돌려주지.”
어머니는 다음 보기 중 어떤 대답을 해야 아기를 살릴 수 있으며, 그 이유는 무엇인가?
1) 너는 내 아기를 먹고 말거야.
2) 너는 내 아기를 잡아먹지 않을 거야.

6월 20일까지 풀이를 메일로 보내면(상품을 받을 분의 연락처와 주소도 함께) 6월 26일자 신문에 당첨자를 발표하고 상품은 7월 초에 발송할 예정이다.

4월의 문제 당첨자
장*연, 강원도 횡성읍 읍하로 
박*련, 강원도 원주시 단계동

궁금한 점은 아래의 블로그를 활용해 주세요.
 
E-mail:istiger@hanmail.net
Blog:http://blog.daum.net/istiger

진광고등학교 신인선 교사

위 기사의 법적인 책임과 권한은 내일엘엠씨에 있습니다.
<저작권자 ©내일엘엠씨, 무단 전재 및 재배포 금지>