실생활에서 필요한 수학은 초등학교 수준이면 충분하지만, 학교 성적과 명문 학교 입학을 위해서는 배워야하는 교과라는 선입견을 가진 사람들이 많다. 또한 수학에서는 참과 거짓이 분명하게 구분된다는 잘못된 고정관념도 갖고 있다. 즉, 수학에서는 2개의 정답이 존재하지 않으며, 모든 명제나 풀이는 참이 아니면 거짓이라고 생각한다. 정말 그럴까?

수학에서 업적이나 학문적 영향이 아인슈타인과 비교되는 괴델이 1931년 20대의 나이에 불완정성의 정리를 발표했다. 수학계를 발칵 뒤집어 놓았던 이 정리를 요약하면 다음과 같다. ‘진리이나 증명되지 않는 수학적 명제가 존재한다.’ 수학은 증명을 통해 밝혀진 진리들의 체계인데, 증명될 수 없는 진리인 명제가 존재한다는 말은 수학은 더 이상  수학은 진리의 체계가 아니라는 것이다. 쉽게 이야기하자면 국가별로 다른 언어를 가지고 삶을 살아가듯이, 다양한 논리를 가진 수학이 존재가능하다는 의미로 받아들여도 된다.
다음의 예를 살펴보자.

일본에 진출한 이대호 선수가 어제 시합에서 2개의 볼넷, 1개의 홈런, 1개의 삼진을 기록했고, 오늘의 시합에서는 볼넷 1개, 2루타 1개, 3루타 1개, 1개의 외야 플라이를 기록했다면 이대호 선수의 타율을 어떻게 되는가?

볼넷은 타율 계산에서 빠지므로 이대호 선수의 타율은 어제는 1/2, 오늘은 2/3 이다. 두 시합에서 평균 타율을 계산하기 위해서 우리가 알고 있는 분수 계산법 1/2+2/3=7/6 으로 계산하는 사람은 없다. 이 식은 6번의 타석에서 7번의 안타를 친다는 어처구니없는 결과를 보여 주기 때문에 잘못된 계산임을 금방 알게 된다. 또, 평균 타율을 구해야 하므로 위의 계산 결과를 2로 나눈 (1/2+2/3)/2=7/12도 정확한 답이 아니다. 어제는 2타석 1안타, 오늘은 3타석 2안타를 기록했으므로 5타석 3안타가 되어 3/5가 올바른 풀이다. 이 계산은 1/2+2/3=(1+2)/(2+3)=3/5와 같다. 

이 문제에서 옳은 답을 얻기 위해서는 분모를 통분하여 계산하면 안 되고, 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 더하는 새로운 분수식의 덧셈을 해야만 한다(분수식의 덧셈을 할 때 분모는 분모끼리 분자는 분자끼리 더하는 계산 방법을 ‘바보 셈’이라고 부르기도 한다).

또 다른 예를 살펴보자.

보험 설계사인 보장해씨는 어제는 8명의 고객과 만나서 5개의 보험 계약을, 오늘은 7명의 고객과 만나서 4개의 보험 계약을 성사 시켰다. 보장해씨의 보험 계약 성공률을 구하면?

이 경우에도 새로운 분수식의 덧셈 5/8+4/7=9/15로 계산을 해야 올바른 답이 된다.
좀 더 생각해보면 비율을 나타내는 분수의 계산에는 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 더하는 새로운 분수식의 덧셈이 제법 가치 있는 계산법이라는 사실을 알 수 있다. 우리가 이미 알고 있는 분수의 덧셈과는 다른 계산법을 도입한 새로운 분수 계산을 이용하는 수학을 만들 수 있다.

과학은 ‘실험과 검증’이라는 과정을 거쳐 새로운 이론의 가치가 결정된다. 그에 비해 수학은 실험과 검증의 과정이 필요 없다. 논리적 결함만 없다면 이론 그 자체가 성립된다. 그러나 새로운 수학적 이론이 널리 인정받기 위해서는, 이 이론이 다른 문제들을 해결하는데 도움이 되는 유용성이 중요한 기준이 된다. 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 더하는 새로운 분수식의 덧셈이 널리 인정되지 않는 이유는, 새로운 분수 계산법이 다른 문제들을 해결하는데 그다지 도움이 못하기 때문이다.

중간제목> 한 걸음 더
분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 더하는 새로운 분수식의 덧셈이 성립하는 예를 찾아보자.
더 읽기 전에 자신의 힘으로 해결을 시도해 보자. 많은 학생들이 수학을 싫어하고, 사교육을 유발하는 주범이라는 지탄에도 학교에서 수학을 가르치는 가장 큰 이유는 논리적 사고력을 기르기 위해서다. 어렵다고하기 전에 잠깐이라도 풀이를 시도해 주길 바란다. 가랑비에 옷이 젖는 법이다.

신바람 씨는 승용차에 가족을 태우고 고속도로를 2시간 동안 200km를 달렸고, 그 후 3시간 동안 255km를 달려 부산에 도착했다. 이때 신바람 씨가 운전한 승용차의 평균 속력을 200/2+255/3=455/5=91(km/h)로 계산해도 된다.(평균 속력은 (거리)/(시간)로 구한다.)

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신인선 진광고등학교 교사

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