지난 회에는 피자를 두 명이 나누는 공정한 분배인 분할자 선택법에 대해 설명했다. 이번 회에서는 고독한 분할자 방법을 배워 보도록 하자

중간제목> 예시 문제
서현 준호 민정이는 주말에 피자를 시켜먹기로 했다. 그런데 피자가 조각나지 않은 상태로 배달됐다. 각자 잘라서 먹다간 먹는 속도가 느린 사람이 손해를 보게 되므로 애초에 피자를 세 조각으로 나누어 각자의 몫을 미리 정하고 먹자는 합의가 이루어졌다. 어떻게 피자를 나누어야 서로가 만족하게 피자를 나눌 수 있을까·

고독한 분할자 방법
한 사람은 분할을 하고 나머지 두 사람은 선택을 하는 것을 고독한 분할자 방법이라고 한다.
분할자를 준호라 하자. 준호는 피자의 어떤 조각을 갖더라도 만족하도록 세 조각 A, B, C로 나눌 것이다. 이제 나머지 두 사람이 나누어진 조각을 선택할 차례이다. 서현이와 민정이가 서로 다른 조각을 선택했다면(예를 들어 A, B) 각자가 선택한 조각을 가지면 된다. 그리고 준호가 조각 C를 가지면 모두가 만족하는 공정한 분배가 이루어지게 된다.
그러나 서현이와 민정이가 모두 조각 A를 선택했다고 하자.　이때는 남은 조각 B, C 중 하나를 준호가 가지면 된다. 준호가 C조각을 가졌다고 하자. 이제 남은 피자 A, B조각을 분할자 선택법에 따라 나누면 된다. 즉 민정이와 서현이 중 한 명이 남은 피자를 한 덩어리로 보고 이등분을 하는 분할자가 되고 나머지 한명이 선택를 하게 되면 세 명 모두가 만족하는 공정한 분배가 이루어지게 된다.

사진 1> 
 
한 걸음 더
서현이와 준호가 가격이 1만5천 원인 피자를 시켰다. 피자 가격으로 서현이가 1만 원을 준호가 5천원을 지불했다. 이 경우에는 피자를 어떻게 나누어야 두 사람에게 공정한 분배가 되겠는가· (아래의 풀이를 보기 전에 독자들의 힘으로 분배 방법을 생각해 주길 바란다.)
서현이와 준호가 지불한 금액이 2:1이다. 따라서 준호가 피자를 3조각으로 나누었다면 서현이가 3조각 중 두 조각을 가져가면 된다. 만약 서현이가 3조각으로 나누었다면 준호가 한 조각을 선택하고 난 나머지 조각을 서현이가 가져가면 된다. 

마지막 감축법
마지막 감축법은 모든 사람이 분할자이면서 선택자가 되는 분할 방법이다. 즉 그 조각을 마지막으로 줄어들게 만든 사람이 그 조각을 가져가는 방법이다. 참가자 모두가 동의하면 자른 사람이 그 조각을 가져간다. 반대하는 사람은 조각이 더 크기 때문에 반대하였으므로 그 조각을 잘라내어 더 줄어들게 만든다. 그 조각을 잘라낸 사람이 가져가는 방법이다. 마지막 감축법은 피자보다는 복합적인 대상을 나눌 때 유용하다.
쉽게 개념이 이해되지 않으므로 동욱, 서현, 민정, 준호 네 명이 피자를 나누어 먹는 경우를 생각해 보자.
먼저 동욱이가 자신의 생각에 피자의 1/4이라고 생각하는 부분을 잘라낸다. 이때 동욱이가 잘라낸 부분이 적당하다고 모두가 동의하면 이 조각을 동욱이가 가져가면 된다. 나머지 세 사람은 고독한 분할자 방법에 의해 피자를 나누면 된다.
그러나 나머지 세 명 중 서현이가 동의하지 않는다고 하자. 서현이가 동의하지 않은 이유는 이 조각의 전체의 1/4보다 크다고 생각하였으므로 동욱이가 잘라낸 조각에서 일부를 덜어내어 1/4에 적당하다고 생각하는 조각을 만든다. 그리고 이 조각을 서현이가 가져가면 된다. 나머지를 세 명이 나누면 된다.
만약 서현과 민정이가 동의하지 않는다고 하자. 서현이나 민정이 중 한 사람이 동욱이가 잘라낸 조각에서 일부를 덜어내어 1/4에 적당하다고 생각하는 조각을 만든다. 이 조각에 민정이가 동의한다면 이 조각을 서현이가 가져가면 된다. 그러나 민정이가 이 조각에 동의하지 않는다면 민정이가 또 다시 일부를 덜어내어 1/4에 적당하다고 생각하는 조각을 만든다. 이 조각을 민정이가 가져가면 된다. 세 명 모두가 동의하지 않았을 때도 같은 방법을 사용한다. (독자들이 나머지 풀이를 꼭 시도해 주길 바란다.)

옛말에 ‘남의 떡이 더 커 보인다’는 말이 있다. 공정한 분배를 통해 자신의 몫으로 1/N을 받았다고 할지라도 나보다 더 많은 몫을 가진 사람이 보이고, 나보다 적은 몫을 가진 사람들이 보일 수 있다. 분배를 하기 전에는 분배의 법칙에 동의하고 결과에 동의한다고 약속을 했다고 하더라도 인간의 이기심을 완전히 만족시키기는 어렵다는 이야기이다. 그래서 수학자들은 분배를 마치고 자신의 몫이 최고라고 여길 수 있는 분배 방법이 존재하는가를 연구하였고, 그러한 분배가 존재한다는 것을 보였을 뿐 아니라 방법까지 찾았다. 멀지 않아 분배 때문에 벌어지는 인간이 다툼은 없어질 지도 모른다.

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진광고등학교 교사 신인선

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