▶논리적 근거에 입각한 수학

수학은 철학이다. 철학은 논리적인 생각이 수반되어야 한다. 단순한 문제풀이가 아니라 ‘왜’ 그 문제들이 출제될 수밖에 없는지를 논리적인 근거를 들어 가르쳐야 하고 배워야 한다. 아이들의 대부분이 선행학습을 하지만 어려운 문제를 푸는 해법만 가르칠 뿐 수학적 원리와 개념을 설명해 주는 경우는 극히 드물다. 그러다 보니 수학을 잘 한다는 아이들조차 상급 학년의 상위개념을 가지고 제 학년의 심화문제를 풀어내는데 이는 수학적 논리와는 거리가 먼 방법이다.

상급학년에서 경험하게 될 수학 또는 고등교육과 연계성을 가지는 교육도 함께 진행 되어야 한다. 2013년도 수학 교육 과정이 개정되면서 내용이 20%정도 삭제, 경감되었다. 그러나 수학적 과제를 다양하고 독창적인 방법으로 해결하거나 새로운 관점에서 문제를 탐구하는 창의사고력과 방법적 지식을 강조하는 내용은 부담으로 다가온다.

▶ 수학적 개념의 연관성과 단원과의 연계하는 학습이 필요

수학을 공부하는 목적이 어떻든 간에 현실적으로 피할 수 없는 수능시험을 예로 들면 수리영역에서 크게 ‘내적 문제 해결력’과 ‘외적 문제 해결력’을 측정한다. ‘내적 문제 해결력’이란 두 가지 이상의 수학적 개념과 원리 법칙의 연관성을 파악하고 종합하여 문제를 해결하는 능력을 말한다. 가령, (평행이동과 대칭성), (함수와 방정식), (확률과 복소수), (수열과 로그) 등으로 두 가지 이상의 개념을 복합적으로 연계해서 출제하고 있다. 단순히 암기 위주의 빠른 학습법 보다는 하나의 이론을 익히더라도 그 이론이 어떻게 다른 단원과 관련이 되는지 까지 꼼꼼히 따져보고, 그 이론을 심화해 보는 작업이 반드시 필요하다. 10개의 문제로 원리 하나를 익히기는 힘들지만, 한 가지 원리를 10번 반복 학습하면 100가지의 문제로 활용할 수 있다. 또한 공식을 문제에 제대로 적용하기 위해서는 반드시 모든 공식을 증명하는 연습을 해야 한다. 수학 겉핥기식의 개념 학습은 한 차원 높은 수학으로 끌어올리기에는 위험해 보인다.

초, 중등 수학은 구체적인 사실에 기인하지만 고등 수학은 관계 이해를 바탕으로 한 많은 부분이 추상적이어서 생각을 많이 요구하므로 개념을 익히는데 시간이 오래 걸린다. 가령, 자연수 · 정수 · 유리수 · 무리수 · 실수 범위를 넘어 추상적인 허수로 수를 확장해 나간다. 실수는 일상생활에서 접할 수 있다면 허수는 일상에서 쉽게 접하기 어려운 추상적인 수이다. 허수를 다루는 능력은 수1을 공부하는데 긴요하게 쓰인다. 예를 들어 A가 10% 증가한 후 20% 감소하는 경우와 B가 20% 감소한 후 10% 증가하면 결과가 같을까? 라고 질문하면 대다수의 학생이 다르다고 답한다. 그러니까 원리합계가 어렵고 확률이 어려운 것이다.

▶ 증명을 통한 개념 확장과 생각하는 힘을 기르자.

수학에서 증명을 하지 않으면 뿌리 없는 나무와 같다. 구체적인 사실에 익숙한 학생일수록 증명을 하지 않으려고 한다. 증명을 하지 않으면 수학의 체계가 없어지고 무엇을 아는지 모르는지 그냥 나열된 사실들만 아는 것이 되어 자신의 실력에 힘이 없어진다. 증명은 실력의 처음이자 끝이다. 누구나 개념이 중요하다고 한다. 개념을 명확하게 잡고 싶으면 증명을 해야 하는 것이 답이다. 독일에서는 천재의 기준을 “주어진 일을 끈질기게 물고 늘어져서 이루어 내는 사람” 이라고 한다. 수학은 한 문제 한 문제 끈질기게 물고 늘어져야 잘 할 수 있고, 긴 호흡으로 여러 개념들을 녹여야 실력의 밑거름이 된다. 문제를 많이 풀어서 생기는 기교적인 테크닉뿐만 아니라 끈질기게 부딪히고 생각하는 힘(power)을 근원적으로 키워야 한다. 아무리 좋은 강의도, 아무리 좋은 교재도 스스로 생각하는 것에는 절대 미치지 못한다. 부단히 생각하고 생각하여 수학을 나의 가장 편한 도구로 만들 수 있는 학년은 초, 중등수학까지다.

▶문제를 분석하는 방법

초등학교 때는 과정을 쓰지 않아도 답이 나온다. 과정에는 관심이 없고 답 찾는데 만 집중 하다 보니 내용이 어려워지면 답이 나오지 않아 힘들어 하게 된다. 중등 수학에서는 답을 찾는 것 보다 답에 ‘이르는 과정’에 중점을 두어야 한다. 문제를 분석하는 포인트로는 문제를 제대로 읽고 상황과 구조를 파악하는 ‘독해력’, 구하고자 하는 것을 정확하게 파악하는 ‘이해력’, 배경지식과 이론을 바탕으로 수식이나 수학의 언어로 나타내는 ‘수식화 과정’, 주어진 조건을 활용하고 문제를 풀어낼 아이디어를 찾아내는 ‘해결능력’, 수식화 시킨 식을 공식을 활용하여 풀이하는 ‘계산과정’, 주어진 조건과 요구사항을 파악하여 답을 도출하는 ‘검산하기’ 과정으로 이루어진다. 단기적으로 중학교 내신이든 장기적으로 수능 수리영역 시험이든 최상위권과 상위권 학생들의 학력 격차를 벌이는 문제의 해석과 수식전환 등을 측정하는 사고력 문제가 강화되면 체감 난이도는 상당히 어렵게 느껴질 것이다. 자! 지금부터 수학공부의 방법을 바꿔 ‘깊이 있는 수학’으로 학습해 보자. 준비하는 사람만이 많은 열매를 맺을 것이다.

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