중고등 수학에서 짚어야 할 주요 개념들 ①- 방정식 지역내일

중고등 수학에서 짚어야 할 주요 개념들 ①- 방정식

지역내일 2012-03-26

중고등 수학에서 짚어야 할 주요 개념들 ①- 방정식

수능은 쉽게 나온다고 하고, 내신 시험에는 수능 문제 형식이 많이 출제되고 있다. 학교 수업 시간에는 교과서 중심으로 가르치면 집중 안하니까 수능형 문제를 많이들 풀어준다. 평가원이 신유형을 대폭 개발하지 않는 이상, 적어도 학생들이 낯설어 하는 문제가 수능에서 출제되지는 않을 것 같다.

지면 관계상 수식이나 그림이 적어야 하니까 이번 3월 3점짜리 문제를 소개하겠다. 매우 기본적이지만 실수하기도 한다. 방정식은 등식을 만족하는 미지수의 값을 묻는다.

   (1) 먼저 수학(상)의 방정식 문제를 살펴보자. 의 두 근이 서로 다른 두 양의 실근을 가질 조건은? 우리는 이 문제를 근과 계수와의 관계로 푼다. 두 근을 라 하자. , , . 계산하면 이다.

(2) 수학(하)의 함수 문제를 보자. 의 서로 다른 두 근이 모두 1보다 클 조건은? 이 문제는 근과 계수와의 관계로 풀지 않고 로 만들어서 푼다. 그림을 그려서 푸는 것이 바람직하다. (그림생략) , , 대칭축 . 계산하면 이다.

(3) 이번에는 3월 모의고사 출제문제이다. 지수방정식 이 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖도록 하는 정수 의 개수는 치환하면 가 된다. 이면 이다. 결국 (2)번처럼 풀면 된다. 답은 k는 2개이다. 이라고 (1)번처럼 풀다가 틀린 1등급 학생이 좀 있었다. 이런 실수는 절대 하면 안 된다.

이번 3월 출제 문제는 제일 쉬운 변형이고 여러 가지 변종들이 있다. 지수만이 아니라 로그, 삼각함수 등 다양하다. 설정도 훨씬 복잡하게 나올 수 있다. 원래 변수 x와 치환된 변수 t를 잘 구별해야 한다는 것이 이 문제의 핵심이다. 또, 방정식의 성질을 이용할 것인지, 함수의 성질을 이용할 것인지를 잘 구별해야 한다.
그래도 틀리는 학생이라면 마음먹고 이런 유형을 확실히 연습해둬야 한다. 수학(상)과 수학(하)까지 거슬러 올라가서 말이다.

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